Bài giảng Toán cao cấp (Phần 1): Chương 1 - Đại học Kinh tế Luật

Company

LOGO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Phần 1
(lưu hành nội bộ)

Tp.HCM Năm 2017


Company

LOGO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF

CHƯƠNG 1
HÀM SỐ
GIỚI HẠN – LIÊN TỤC


§1 – HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1 – HÀM SỐ
1 – Định nghĩa
Cho X, Y Ì R, một quy tắc cho tương ứng
mỗi số thực x Î X với một số thực duy
nhất y Î Yđược gọi là một hàm số với môt
biến số thực x và ký hiệu là:

f:X
Y
x
y= f(x)
hay y= f(x)


Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f
Tập f(X) = { f(x)/xÎX)} được gọi là miền giá trị
của f
2 – Đồ thị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có miền xác định là X. Ta
gọi tập hợp:
G = {M(x; f(x))/xÎX} là đồ thị của hàm số f
Biểu diễn tất cả các điểm M(x; f(x))/xÎX lên
mặt phẳng xOy thì ta nhận được một đường
cong. Ta cũng gọi đường cong đó là đồ thị của
hàm số f


3 – Cách cho hàm số


x …
f(x) …

-3
9

-2

4

-1
1

0
0

1
1

2
4

3
9

…
…


3 – Cách cho hàm số
Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn
Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ
của hàm số này là D = {x Î R/ f(x) có nghĩa}
Bài Tập:


Bài tập

Bài tập


1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ
1 – Hàm đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng
(a,b).Ta nói hàm số y = f(x) là một hàm tăng
(giảm) trong khoảng (a, b) nếu ta có:
x1 , x2   a, b  / x1  x2 : f  x1   f  x2   f  x1   f  x2  


Hàm số tăng hay giảm trên một miền được
gọi là hàm đơn điệu trên miền đó


2 – Hàm chẵn lẻ
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong một miền D
nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Ta nói rằng hàm số y = f(x) là một hàm chẵn (lẻ)
trên D nếu x Ỵ D ta có f(-x) = f(x)
(f(-x) = -f(x))
Ghi chú:
Đồ thò hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thò hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng


3 – Hàm tuần hồn
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong một miền D.
Nếu tồn tại số thực T > 0 sao cho:

f(x+T) = f (x) ( x Ỵ D)
thì f(x) được gọi là một hàm tuần hoàn trên miền
D
Số thực dương T0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện
trên được gọi là chu kỳ của hàm số f


4 – Hàm hợp
Cho hàm số y = f(u), trong đó u là một hàm
số của x nghóa là u = u(x). Khi đó y là một
hàm số của x, ta nói rằng y là hàm hợp có
biến là x thông qua biến trung gian u.
Ký hiệu là y = f(u(x)) hay y = fou

 y  f (u )
hay : 
u  u ( x)


Bài tập


5 – Hàm ngược
1 - Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) xác đònh trên tập hợp X.
Ta nói rằng f là một hàm 1 – 1 nếu thỏa mãn các
điều kiện:
 x1 x2 Ỵ X: x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2 ).
 f(X)=Y.
Nếu f là một hàm 1 – 1 ta có:

 y Ỵ Y , !x Ỵ X / y = f(x). Khi đó ta lập được một
hàm số x theo biến y, ký hiệu là x = f-1(y)
Ta gọi hàm số x = f-1(y) là hàm ngược của hàm số
y = f(x) và cũng ký hiệu là y = f-1(x)


2 – Ghi chú:
Các hàm số đơn điệu trên một khoảng (a, b)
là những hàm 1 – 1 nên chúng có hàm ngược
Đồ thò hàm ngược của hàm số y = f(x) đối
xứng với đồ thò của hàm số đó qua đường
phân giác thứ nhất


6 – Hàm bị chặn
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)
(1) Nếu  M Î R sao cho x Î (a, b) ta có
f(x) ≤ M thì ta nói f(x) bị chặn trên bởi M
(2) Nếu  m Î R sao cho x Î (a, b) ta có
f(x) ≥ m thì ta nói f(x) bị chặn dưới bởi m
(3) Nếu f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn
dưới trong khoảng (a, b) thì ta nói f(x) là hàm
số bị chặn trong khoảng (a, b)


1.3 – CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 – Hàm hằng: y = C ( C là hằng số)
Hàm hằng có tập xác định là R và có tập giá
trị là { C }
2 – Hàm lũy thừa: y = xα (α Î R)

Miền xác định và miền giá trị của hàm lũy
thừa tùy thuộc vào α:
Hàm số y = xn (n Î N) có MXĐ là R;
 Nếu n lẻ thì MGT của hàm số là R
 Nếu n chẵn thì MGT của hàm số là [0; +)


Nếu hàm lũy thừa có dạng

1) y  x

1
2k



2k

x

thì MXĐ là tập [0; + ) và MGT cũng là [0; + )

2) y  x

1
2 k 1



2 k 1

x

thì MXĐ là tập hợp R và MGT cũng là R


3 – Hàm số mũ y = ax(a>0; a≠1)
Hàm số mũ có MXĐ Là R và có MGT là R+
Nếu a > 1 thì hàm số mũ đồng biến
Nếu 0 < a < 1 thì hàm số mũ nghịch biến
4 – Hàm lôgarit y = logax (a>0; a≠1)
Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm số mũ:
y = logax  x = ay
Hàm logarit có MXĐ Là R+ và có MGT là R
Nếu a > 1 thì hàm logarit đồng biến
Nếu 0 < a < 1 thì hàm logarit nghịch biến
Ký hiệu: lgx = log10x; lnx = logex


5 – Các hàm lượng giác
(1) Hàm y = sin x
Hàm y = sinx có MXĐ là R; MGT là [-1,1]
Hàm y = sin x là một hàm lẻ và là hàm
tuần hoàn có chu kỳ 2π
(2) Hàm y = cos x
Hàm y = cosx có MXĐ là R; MGT là [-1,1]
Hàm y = cosx là một hàm chẵn và là hàm
tuần hoàn có chu kỳ 2π

(3) Hàm y = tanx
Hàm y = tanx có MXĐ là R \ {π/2+kπ (kÎZ)} và
MGT là R; Hàm y = tanx là một hàm lẻ và là
hàm tuần hoàn có chu kỳ π
Hàm y = tanx là hàm tăng trên từng khoảng xác
định của nó
(4) Hàm y = cotanx
Hàm y = cotanx có MXĐ là R\ {kπ (kÎZ)} và
MGT là R; Hàm y = cotanx là một hàm lẻ và là
hàm tuần hoàn có chu kỳ π
Hàm y = cotanx là hàm giảm trên từng khoảng
xác định của nó


6 – Các hàm lượng giác ngược
1 – Hàm y = arcsinx
Hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm sinx
trên đoạn [- π/2; π/2]:
Hàm y = arcsinx  x = sin y ( y Î [- π/2; π/2])
Hàm y = arcsinx có MXĐ là [-1;1] có MGT là
[- π/2; π/2]
Hàm y = arcsinx là một hàm lẻ và là hàm tăng
trên MXĐ


2 – Hàm y = arccosx
Hàm y = arccosx là hàm ngược của
hàm cosx trên đoạn [0; π] :
y = arccosx  x = cosy ( y Î [0; π])
Hàm y = arccosx có MXĐ là [-1;1] có

MGT là [0; π]
Hàm y = arccosx là một hàm chẵn và
là hàm giảm trên MXĐ


3 – Hàm y = arctanx
Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm
tanx trong khoảng (-π/2; π/2) :
y = arctanx  x = tany
(y Î (-π/2; π/2))
Hàm y = arctanx có MXĐ là R có MGT là
(-π/2; π/2)
Hàm y = arctanx là một hàm lẻ và là
hàm tăng trên MXĐ


4 – Hàm y = arccotanx
Hàm y = arccotanx là hàm ngược của
hàm cotanx trong khoảng (0; π) :
y = arccotanx  x = cotany (yÎ(0; π))
Hàm y = arccotanx có MXĐ là R có
MGT là (0; π)
Hàm y = arccotanx là một hàm lẻ và là
hàm giảm trên MXĐ