Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT quốc gia

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Năm 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia, đề thi môn Toán
đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan thì bài
toán cực trị hình học trong mặt phẳng trên trường số phức đã được coi là bài
toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc Gia, minh chứng điều đó chúng
ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ Giáo dục &
Đào tạo. Sự đổi mới đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với
thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh
không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả
là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công trong
việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải
học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề kiểm tra, đề thi tôi phát hiện ra
rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực
trị hình học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy
về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.
Chính vì những lý do trên tôi đã tổng hợp các kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài toán điển hình hay gặp trong
các đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO
HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA LỚP CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ
PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, NHẰM NÂNG CAO CHẤT
LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI
THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải
quyết tốt các bài toán về cực trị hình học trong mặt phẳng trên trường số phức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa
số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán
cực trị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị

trong tập số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn
thi, các đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các báo cáo,
luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Môđun của số phức.
1


- Môđun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) được kí hiệu là

z

và

z = a2 + b2 .

- Một số tính chất của môđun số phức:
+ Với mọi số phức z; z ' , ta có: z.z ' = z z ' ;

z'
z'
=
( z ≠ 0) .
z

z

+ Với mọi số phức z; z ' , ta có: z + z ' = z + z ' ; z + z ' ≤ z + z ' .
2.1.2. Biểu diễn hình học của số phức
- Mặt phẳng phức có Ox là trục thực và Oy là trục ảo.
- Mỗi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) được biểu diễn là điểm M ( x; y ) . Khi
đó:
uuuu
r

2
2
+ Môđun của số phức z bằng OM = x + y .

+ Hai điểm biểu diễn số phức z và z đối xứng nhau qua trục thực.
- Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 = x + yi ; N là điểm biểu diễn
của số phức z2 = x '+ y ' i . Khi đó:
uuuu
r
MN
= ( x '− x; y '− y ) ;
+

uuuur

+ MN =

( x '− x )

2

+ ( y '− y )

2

 x + x' y + y'

;
+Trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là 
÷.
2 
 2
- Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng sẽ có dạng:
z − z1 = z − z2 .

- Nếu số phức z thỏa mãn: z − z0 = R thì tập hợp các điểm biểu diễn số
phức z nằm trên đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R.
- Nếu giả thiết có z − c + z + c = 2a ; a, c là hằng số cho trước thì tập hợp
điểm biểu diễn số phức là một elip có độ dài trục lớn bằng 2a.
- Nếu bài toán không có các dạng trên có thể sử dụng các tính chất
môđun số phức đưa về các dạng quen thuộc trên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi
THPTQG tôi đã dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quá trình
dạy học của bản thân và đồng nghiệp về nội dung số phức ở mức độ vận dụng
thấp, vận dụng cao, bản thân tôi thấy học sinh gặp những trở ngại sau:
- Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, mất nhiều thời gian.
- Có nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học
sinh cảm thấy khó khăn từ đó dẫn đến học sinh ngại làm các bài tập đó.
- Có những bài toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, chỉ biến đổi mày

mò, không có hướng cụ thể.
- Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho những bài toán số phức làm
theo phương pháp hình học.
Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào quá trình dạy học năm học 2019
– 2020, tôi đã có một số biện pháp khắc phục như sau:
2


- Ôn tập, rèn luyện các kĩ năng về các bài toán vectơ, bài toán hình học
phẳng thành thục.
- Xây dựng hệ thống bài toán gốc để áp dụng vào giải các bài toán số
phức.
- Hướng dẫn nhận dạng các bài toán có thể sử dụng phương pháp hình
học.
- Phân chia các dạng toán và xây dựng các bước thực hiện giải quyết bài
toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng
Bài toán 1. Cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài d. Tìm N thuộc d sao
cho khoảng cách MN là ngắn nhất.
Hướng dẫn
Gọi N là hình chiếu của điểm M trên d.
Gọi N1 là điểm bất kì thuộc d.
Xét tam giác vuông MNN1 , ta có:
MN ≤ MN1.

Vậy MN ngắn nhất khi N là hình chiếu của
M trên d hay MN min = d ( M ; d ) .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán

trên.
Bước 1: Nhận dạng các giả thiết đã cho để chuyển sang các đối tượng hình
học.
Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một
đường thẳng.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z − z0 với z0 là một số phức đã biết.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z0 lần lượt là N1 , M . Gọi đường thẳng
biểu diễn quỹ tích số phức z là ( d ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán
hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra
được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường
thẳng. Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+ Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) sao cho ax + by + c = 0 (a, b, c ∈ R ) .
+ Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = z − z2 với z1 , z 2 là hai số phức đã
biết.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng
( d ) : 3x − 3 y + 1 = 0 . Giá trị nhỏ nhất của z là:
3


A.

1
.
3

B.

3
.
2

C.

4
.
5

D.

2
.
5

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
1
⇒ Min z = OM min = d ( O; d ) = . Đáp án A.
3
Ví dụ 2: Cho các số phức z , w thỏa mãn z − 1 + 2i = z + 3 − 4i . Giá trị nhỏ nhất
của z là:
2
.
2
Gợi ý: Đặt z = x + yi, x ∈ R và M = M ( z ) = M ( x; y ) .
2
2
2
2

Ta có z − 1 + 2i = z + 3 − 4i ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = ( x + 3) + ( y − 4) .
Hay M ∈ ∆ : 2 x − 3 y + 5 = 0 .

A.

5 13
.
13

B. 13.

Khoảng cách từ O đến ∆ là d (O, ∆) =

C.

5
22 + (−3) 2

=

D.

26.

5
5 13
=
. Đáp án A.
13
13

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa điều kiện z − 2 + 5i = z − 1 + 4i . Giá trị nhỏ nhất
của z + 1 − i bằng:
16
7
.
.
C.
D.
82
16
Gợi ý: Đặt z = x + yi, x ∈ R và M = M ( z ) = M ( x; y ) .
2
2
2
2
Ta có z − 2 + 5i = z − 1 + 4i ⇔ ( x − 2) + ( y + 5) = ( x − 1) + ( y − 4) .
16
16
=
Hay ∆ : x − 9 y − 6 = 0 . Vậy Min z + 1 − i = d ( M , ∆ ) = 2
82
1 + (−9)2

A.

4
.
21

B.

5
.
14

Với M(-1;1). Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 − 3i = z − 4i . Giá trị nhỏ nhất của
z + 5 − i là:
A.

4 10
.
5

B. 3.

C.

3 10
.
5

D. 2 10.

 z − 4i = z − 4i = z + 4i

Gợi ý: 
.
 z + 5 − i = z + 5 − i = z + 5 + i

Bài toán trở thành: Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 − 3i = z + 4i . Tìm giá trị
nhỏ nhất của z + 5 + i . Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2.

Bài toán 2. Cho đường thẳng d và 2 điểm A, B. Tìm M thuộc d sao cho
MA + MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau:
TH1: A, B khác phiá so với d. TH2: A, B cùng phía so với đường thẳng d.
a. Hướng dẫn

4


TH1: Lấy M’ bất kì thuộc d. Ta có:
M ' A + M ' B ≥ AB

Dấu “=” xảy ra khi A, M’, B thẳng hàng.
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao
điểm của AB và d.
TH2: Lấy A’ đối xứng với A qua d.
Lấy M’ thuộc d, khi đó:
M ' A + M ' B = M ' A '+ M ' B ≥ A ' B

Dấu “=” xảy ra khi M’ là giao điểm của
A’B và đường thẳng d.
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao
điểm của AB và d.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1: Nhận dạng các giả thiết đã cho để chuyển sang các đối tượng hình
học.
Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường thẳng.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z − z1 + z − z2 với z1 , z 2 là một số
phức đã biết.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z1 , z2 lần lượt là M , A, B . Gọi đường
thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là ( d ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài
toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện
nhanh yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục
tọa độ để xác định nhanh vị trí của A, B với đường thẳng ( d ) .
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5. Cho số phức z và w thỏa mãn: z + 2 − 2i = z − 4i ; w = iz + 1 . Giá trị
nhỏ nhất của w là:
A.

2
.
2

B.

3 2
.
2

C.2.

D. 2 2.

Hướng dẫn

w -1
. Khi đó ta có:
i
w -1
w -1
z + 2 − 2i = z − 4i ⇔
+ 2 − 2i =
− 4i ⇔ w + 1 + 2i = w + 3 .
i
i

w = iz + 1 ⇔ z =

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w
5


⇒ M nằm trên đường trung trực của AB với A ( −1; −2 ) ; B ( −3;0 ) .
Phương trình đường trung trực của AB là: x − y + 1 = 0 .
w nhỏ nhất khi OM ngắn nhất .

OM ngắn nhất khi d ( O; d ) = OM =

2
.
2

Đáp án A.
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn: z = z − 1 + 2i .
Giá trị nhỏ nhất của

A.

5
.
2

P = ( 1 + 2i ) z + 11 + 2i là:

B.

2
5

5
.
2

5
2

C. .

D. .

Hướng dẫn
Đặt w = ( 1 + 2i ) z + 11 + 2i ⇔ z =

w - 11 - 2i
1 + 2i

z = z − 1 + 2i ⇔ z = z − 1 + 2i ⇔ z = z − 1 − 2i
⇒

w - 11 - 2i
w - 11 - 2i
w - 11 - 2i
w - 11 - 2i + 3 - 4i
=
− 1 − 2i ⇔
=
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i

⇔ w − 11 − 2i = w − 8 − 6i .

Gọi M là điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực
d của AB trong đó A ( 11;2 ) ; B ( 8;6 ) .
uuu
r
r
 19 
AB = ( −3;4 ) ⇒ n d = ( −3;4 ) , trung điểm I  ; 4 ÷.
 2 
19 
25

Phương trình đường thẳng d là : −3  x − ÷+ 4 ( y − 4 ) = 0 ⇔ −3 x + 4 y − = 0 .
2

2

P = ( 1 + 2i ) z + 11 + 2i đạt GTNN khi OM ngắn nhất, khi đó :
OM = d ( o; d ) = OM =

−25 2
42 + 32

=

5
. Đáp án D.
2

Ví dụ 7 (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018)
Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: z − 2i = z + 2 .
GTNN của biểu thức P = z + 2i + z − 5 + 9i là:
A.

10
.
5

B. 3.

C. 3 10.

D. 2 10.

Hướng dẫn

Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z; z = 2i; z = −2 .
⇒ A ( 0;2 ) ; B ( −2;0 ) .

6


Theo giả thiết ta có MA = MB, nên
M thuộc đường trung trực của AB.
Phương trình đường thẳng d là
đường trung trực của AB là:
1( x + 1) + 1( y − 1) = 0 ⇔ x + y = 0 .
Gọi điểm C, D là các điểm biểu diễn
các số phức z = −2i; z = 5 − 9i .
⇒ C ( 0; −2 ) ; D ( 5; −9 ) .
Khi đó P = MC + MD . Nhận thấy C, D cùng phía so với d nên theo bài toán 2
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng C’D ( C’ đối xứng với C qua d).
Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0).
Vậy Pmin = C ' D =

( 5 − 2)

2

+ ( −9 ) = 3 10 . Đáp án C.
2

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB .
Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất. Khi đó
hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM .
a. Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng ( AB ) . Ta xét hai
trường hợp:
• Trường hợp 1: Điểm H nằm trong đoạn AB
I

M

A

H

B

Dễ dàng thấy IM min = IH và IM max = max { IA; IB} .
• Trường hợp 2: Điểm H nằm ngoài đoạn AB
I

A

M

B

H

Dễ dàng thấy IM min = min { IA; IB} và IM max = max { IA; IB} .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một đoạn

thẳng.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun z − z0 với z0 là một số phức
đã biết.
7


Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z0 lần lượt là M , I . Gọi đoạn thẳng
biểu diễn quỹ tích số phức z là AB . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán
hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra
được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn
thẳng. Điều kiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: Điểm M thuộc đoạn
thẳng AB khi và chỉ khi MA + MB = AB . Tính chất này viết theo ngôn ngữ số
phức sẽ có một số dạng sau:
+ Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = a với z1 , z 2 là hai số phức đã
biết và z1 − z 2 = a . Đây chính là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở
phần cơ sở lý thuyết.
+ Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 nhỏ nhất với z1 , z 2 là hai số
phức đã biết.
Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới
hạn ở miền trong đường tròn, elip.
+ Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một
đường thẳng, điều kiện còn lại là z − z 0 ≤ r hoặc z − z1 + z − z2 ≤ 2a .
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn z + 5 − 2i + z − 2 − 4i = 53 . Gọi m , M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z − 1 + 2i . Giá trị của biểu thức
P = m + M là:
5 2 + 2 73
.

2
40
+ 52 .
C. P = 5 2 + 2 73 .
D. P =
53
Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi A ( −5;2 ) , B ( 2;4 ) . Từ

A. P = 13 + 73 .

B. P =

giả thiết z + 5 − 2i + z − 2 − 4i = 53 ⇔ MA + MB = AB ⇒ Quỹ tích điểm M
chính là đoạn thẳng AB . Gọi I ( 1; −2 ) thì z − 1 + 2i = IM . Vẽ hình trực quan dễ
kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng ( AB ) nằm trong đoạn AB .
40
40
⇒P=
+ 52 . Đáp án D.
53
53
Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 1 + i nhỏ nhất . Gọi t , T lần lượt
T
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z − 6i . Giá trị của P = là:
t
50
A. P = 2 3 .
B. P =
.
C. P = 5 .

D. P = 5 2 .
29

Lại có: IA = 52, IB = 37, d ( I ; AB) =

Hướng dẫn
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi A ( −2;1) , B ( 1; −1) .
8


Ta có: z + 2 − i + z − 1 + i = MA + MB ≥ AB , nghĩa là z + 2 − i + z − 1 + i nhỏ nhất
thì quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB . Gọi I ( 0;6 ) thì z − 6i = IM . Vẽ
hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng ( AB ) nằm ngoài
đoạn AB . Lại có: IA = 29, IB = 50 ⇒ P =

50
.
29

Đáp án B.
 z + 2 = z − 8 − 8i
.
 z ≤ 5

Ví dụ 10: Xét số phức z thỏa mãn 
Giá trị nhỏ nhất của z − 4i là:
A. 4 .

B. 3 .

C.

6 5
.
5

D. 2 5 .

Hướng dẫn
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , vì z + 2 = z − 8 − 8i nên M thuộc đường
thẳng ( d ) : 2x + y − 10 = 0 , mà z ≤ 5 nên M thuộc miền trong đường tròn
( C ) : x 2 + y 2 = 25 . Lại có ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A(3;4), B(5;0) nên
quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB . Gọi I ( 0;4 ) thì z − 4i = IM , vẽ hình trực
quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng ( d ) nằm ngoài
đoạn AB mà IA = 41, IB = 3 nên z − 4i min = 3 . Đáp án B.
2.3.2. Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn.
Bài toán 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm A. Tìm trên
( C ) vị trí điểm M, N sao cho OM ngắn nhất và ON dài nhất.
Hướng dẫn
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường
tròn, ta thấy:
OM + MA ≥ OA ⇔ OM ≥ OA − MA
Vậy OM min = OA − R .

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm
của đường thẳng OA và đường tròn,
M nằm giữa đoạn OA.
OM − MA ≤ OA ⇔ OM ≤ OA + R

Vậy OM max = OA + R .

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn, M nằm
ngoài đoạn OA.
Bài toán 5. Cho đường tròn ( C ) có tâm A và đường thẳng ∆ .
a.Tìm trên ( C ) vị trí điểm M sao cho khoảng cách từ M đến ∆ ngắn nhất.
b. Tìm trên ( C ) vị trí điểm N sao cho khoảng cách từ N đến ∆ dài nhất
Hướng dẫn
9


a.
- Nếu d ( I ; ∆ ) ≤ R thì d ( M , ∆ ) ngắn nhất bằng 0 tức là M là giao điểm
giữa đường thẳng và đường tròn.
- Nếu d ( I ; ∆ ) > R , gọi N’ là điểm bất kỳ trên (C), K là hình chiếu của
điểm A trên d khi đó ta luôn có:
N ' A + N ' K ≥ AK ⇔ N ' K ≥ AK − AN ' = AK − R

Dấu “=” xảy ra khi A, N’, K thẳng hàng và N’ nằm giữa AK.
Vậy vị trí điểm M là giao điểm giữa đường thẳng AK và đường tròn (C ),
M nằm giữa AK.
b. Xét tam giác N’AK ta có: N ' K − AN ≤ AK ⇔ N ' K ≤ AN + AK .
Dấu “=” xảy ra khi A, N’, K thẳng hàng và N’ nằm ngoài AK.
Vậy vị trí điểm N là giao điểm giữa đường thẳng AK và đường tròn (C ),
N ngoài AK.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một
đường tròn.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z − z0 với z0 là một số phức đã biết.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.

Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z0 lần lượt là M , A . Gọi đường tròn
biểu diễn quỹ tích số phức z là ( C ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán
hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra
được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường
tròn. Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+ Cho số phức z thỏa mãn z − z0 = R với z0 là hai số phức đã biết.
+ Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = k z − z2 với z1 , z 2 là hai số phức đã
biết và k > 0 .
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 11: (Toán học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn:
z − 1 + 2i = 5 . Khi đó w = z + 1 + i có môđun lớn nhất là:
A.20.

B. 2 5 .

C. 5 .

D. 5 2 .

Hướng dẫn
10


w = z + 1 + i ⇔ z = w − 1 − i .Thay

vào giả

thiết, ta có:
w − 1 − i − 1 + 2i = 5 ⇔ w − 2 + i = 5

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w.
⇒
M thuộc đường tròn
I ( 2; −1) ; R = 5

tâm

Theo bài toán 1. w max = OI + R = 2 5.
Đáp án B.
2
2
Ví dụ 12: Xét số phức z1 thỏa mãn: z1 − 2 − z1 + i = 1 và các số phức z2 thỏa
mãn: z2 − 4 − i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 − z2 là:
A. 5.

B.

3 5
.
10

C. 5 .

D. 3 2 .

Nhận xét: Từ giả thiết thứ 2 ta thấy tập hợp các điểm biểu diễn z2 là đường
tròn nên khả năng có thể sử dụng phương pháp hình học.
Hướng dẫn
Gọi số phức z1 = x + yi ( x, y ∈ R ) .

z1 − 2 − z1 + i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + y 2 − x 2 − ( y + 1) = 1 ⇔ 2 x + y − 1 = 0
2

2

2

2

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1
nằm trên đường thẳng d : 2 x + y − 1 = 0 .
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z2
thỏa mãn z2 − 4 − i = 5 nằm trên đường
tròn tâm I ( 4;1) ; R = 5 .
Ta có P = MN , P nhỏ nhất khi MN ngắn
nhất .
MN ngắn nhất khi MN = d ( I ; d ) − R =

2.4 + 1 − 1
5

− 5=

3 5
. Đáp án B.
5

Ví dụ 13:(Đề thi thử Sở Phú thọ lần 2 – 2019) Giả sử z là các số phức thỏa
mãn iz − 2 − i = 3 . Giá trị lớn nhất của P = 2 z − 4 − i + z + 5 + 8i là:
A. 18 5 .

B. 3 15 .
C.15 3 .
D. 9 5 .
Hướng dẫn
iz − 2 − i = 3 ⇔

iz − 2 − i
= 3 ⇔ z − 1 + 2i = 3. Gọi M là điểm biểu diễn số phức
i

z. Vì z − 1 + 2i = 3 nên tập hợp các điểm M nằm trên đường tròn tâm
I ( 1; −2 ) ; R = 3 .

11


Gọi A, B là các điểm biểu diễn số phức
z = 4 + i; z = −5 − 8i .
⇒ A ( 4;1) ; B ( −5; −8 )
uu
r
uur
IA
=
3;3
;
IB = ( −6; −6 )
(
)
Vì

uur
uu
r
IB = −2 IA .

nên

Ta có:

2 MA2 + MB 2 = 3MI 2 + 2 IA2 + IB 2 = 3R 2 + 6 IA2
= 3.9 + 6. ( 9 + 9 ) = 135.

(

)

P = 2MA + MB = 2. 2MA + MB ≤ 3 2MA2 + MB 2 = 3.135 = 9 5 .

Vậy Pmax = 9 5 . Đáp án D.
3
2

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 = 2 z và min z + + 2i = a + b 2 .
Giá trị của a + b là:
A. 1 .

B. 2 2 .

1
.

2

C.

D.

4
.
3

Hướng dẫn

2
2
2
Đặt z = x + yi với ( x, y ∈ R) . Từ z − 3 = 2 z ⇒ ( x − 3) + y = 2 ( x + y )
2

⇒ x 2 + y 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ( x + 3) + y 2 = 18 ⇒ z + 3 = 3 2 . Gọi M là điểm biểu
2

diễn số phức z thì quỹ tích M là đường tròn tâm I (−3;0) , bán kính R = 3 2 .
 3



3

Đặt A  − ; −2 ÷ thì z + + 2i = AM . Dễ thấy điểm A nằm ở miền trong đường
2

 2

5
2

1
2

tròn ( C ) nên AM min = R − AI = − + 3 2 ⇒ a + b = .
Đáp án C.
Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) và đường tròn
( C ) có tâm I bán kính R không có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường

tròn ( C ) , điểm N thay đổi trên đường thẳng (d ) . Xác định vị trí hai điểm M ,
N để độ dài đoạn MN có giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn:
MN min = AH = d ( I , d ) − R .
I
R

M

A

H

N

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.

Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
12


Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z1 sao cho quỹ tích điểm biểu diễn
nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức z2 sao cho quỹ tích
điểm biểu diễn nó là một đường thẳng.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z1 − z2 .
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z 1 , z2 lần lượt là M , N . Gọi đường tròn
biểu diễn quỹ tích số phức z1 là ( C ) , đường thẳng biểu diễn số phức z2 là ( d ) .
Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài toán 1 và 3 thì cũng sẽ dễ
dàng hình dung được con đường hình học để giải quyết bài toán này.
c. Ví dụ minh họa:
 z1 − i = z1 + 1
. Giá trị nhỏ nhất của
 z2 − 1 − i = 1

Ví dụ 15: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 
z1 − z2 là:

A.

2.

B. 1 .

C.

2 −1.

D.

1
.
2

Hướng dẫn
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Theo bài ra
 z1 − i = z1 + 1
, suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng ( d ) : x + y = 0 và quỹ

 z2 − 1 − i = 1
tích điểm N là đường tròn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán kính R = 1 . Vẽ hình trực
quan dễ thấy ( C ) và ( d ) không có điểm chung, mà z1 − z2 = MN nên
z1 − z2 min = MN min = d ( I , d ) − R = 2 − 1. Đáp án C.

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán
kính R . Đoạn AB là một đường kính của ( C ) . Điểm M thay đổi trên đường
tròn ( C ) . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k .MA + l.MB (với k ≥ l > 0 )
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn:
Ta có :

k ≥ l > 0 ⇒ kMA + lMB ≥ l ( MA + MB ) ≥ lAB ,
dấu bằng xảy ra khi M ≡ A .

M

A

R

I

B

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
13


Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một
đường tròn.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học.
Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun k z − z1 + l z − z2 với z1 , z2 là hai số
phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng là một đường kính của
đường tròn biểu diễn số phức z .
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z1 , z2 lần lượt là M , A, B . Gọi đường
tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là ( C ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài
toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được
z1 , z2 sao cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường tròn.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 16: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = z + 1 + 2 z − 1 là:
B. min T = 2 .

C. min T = 5 .
D. MinT = 2 .
Hướng dẫn
Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra z = 1 nên quỹ tích điểm
M là đường tròn ( C ) tâm O bán kính R = 1 . Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , vẽ hình trực
quan dễ thấy AB là một đường kính của đường tròn ( C ) . Khi đó
T = z + 1 + 2 z − 1 = MA + 2MB ≥ MA + MB ≥ AB = 2 , dấu bằng xảy ra khi M ≡ B .
Suy ra min T = 2 . Đáp án B.
Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán
kính R . Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm. Điểm M thay đổi
trên đường tròn ( C ) . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k .MA + l.MB (với
k > 0, l > 0 ) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn:
Theo công thức đường trung tuyến ta có:
A. min T = 2 5 .

MA2 + MB 2 AB 2
MI =
−
2
4

M

2

AB 2
⇒ MA + MB = 2MI +
2
= const .

2

2

2

A

I

B

14


Lại có: k .MA + l.MB ≤ k 2 + l 2 . MA2 + MB 2 = k 2 + l 2 . a , dấu bằng xảy ra khi
MA MB
k
k2 + l2
=
⇒ MA = MB ⇒ (
) MB = k 2 + l 2 . a , hay M là giao
và chỉ khi
k
l
l
l

điểm của đường (C ) với đường tròn tâm B bán kính

l a
k 2 + l2

.

b. Cách tạo và giải một bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên.
Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một
đường tròn.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học.
Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun k z − z1 + l z − z2 với z1 , z2 là hai số
phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng nhận tâm của đường
tròn biểu diễn số phức z làm trung điểm.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z , z1 , z2 lần lượt là M , A, B . Gọi đường
tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là ( C ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài
toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được
z1 , z2 sao cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường tròn ( C ) ;
đồng thời hai số thực k , l phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm B bán kính
2Rl
k 2 + l2

và đường tròn (C ) có điểm chung, nghĩa là các đánh giá bất đẳng

thức ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 17: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z + 1 + 2 z − 1 là:
A. max T = 2 5 .

B. max T = 2 10 . C. max T = 3 5 . D. max T = 3 2 .
Hướng dẫn
Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra z = 1 nên quỹ tích
điểm M là đường tròn ( C ) tâm O bán kính R = 1 . Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , vẽ hình
trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm nên trong ∆MAB ta có:
MA2 + MB 2 AB 2
AB 2
2
2
2
MO =
−
⇒ MA + MB = 2MO +
= 4.
2
4
2
2

Khi

đó

T = z + 1 + 2 z − 1 = MA + 2MB ≤ 12 + 2 2 . MA2 + MB 2 = 2 5 , dấu bằng xảy ra
2 5
⇒ A là giao điểm của đường tròn ( C ) với đường
5
2 5
tròn tâm A bán kính

. Suy ra max T = 2 5 . Đáp án A.
5

khi MB = 2MA ⇒ MA =

15


Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán
kính R . Điểm M cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm A, B thay
đổi trên ( C ) sao cho ba điểm M , A, B thẳng hàng. Xác định vị trí hai điểm
A, B để tổng độ dài k .MA + l.MB (với k > 0, l > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính
giá trị nhỏ nhất này.
a. Hướng dẫn:
Ta có tích MA.MB chính là độ lớn phương
tích của điểm M với đường tròn ( C ) , suy ra
MA.MB = R 2 − MI 2 .
I
Nên
k .MA + l.MB ≥ 2 klMA.MB = 2 kl ( R 2 − MI 2 ) ,

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
kMA = lMB = kl ( R 2 − MI 2 ) ⇒ MA =

đường tròn tâm M bán kính

M

A

B

l 2
( R − MI 2 ) hay A là giao điểm của
k

l 2
( R − MI 2 ) với đường tròn ( C ) .
k

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.
Tạo một điều kiện ràng buộc hai số phức z1 , z2 sao cho quỹ tích điểm
biểu diễn chúng cùng là một đường tròn. Chọn một số phức z0 có điểm biểu
diễn nằm ở miền trong đường tròn biểu diễn z1 , z2 . Tạo một điều kiện ràng
buộc để ba điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 thẳng hàng.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng môđun k z0 − z1 + l z0 − z2 .
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của số phức z0 , z1 , z2 lần lượt là M , A, B . Gọi đường
tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức z1 , z2 là ( C ) . Khi đó bài toán số phức trở về
bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được
điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng; đồng
thời hai số thực k , l và số phức z0 phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm M
bán kính

l 2
( R − MI 2 ) và đường tròn ( C ) có điểm chung, nghĩa là các đánh
k

giá bất đẳng thức ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng. Điều kiện ràng buộc để
ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng ta thường sử dụng là
z1 − z0 + z2 − z0 = z1 − z2 .
c. Ví dụ minh họa:

16


 z1 − 1 − i = z2 − 1 − i = 1

Ví dụ 18: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 
1
1 .
 z1 − z2 = z1 − 1 − 2 i + z2 − 1 − 2 i

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2 z1 − 2 − i + 2iz2 + 1 − 2i là:

A. min T = 2 5 .

B. min T = 2 3 .
C. min T = 2 2 .
D. min T = 3 2 .
Hướng dẫn
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Theo bài ra
z1 − 1 − i = z2 − 1 − i = 1 , suy ra quỹ tích điểm A và quỹ tích điểm B là đường

tròn

( C ) tâm

I ( 1;1)

 1

có bán kính R = 1 . Đặt điểm M 1; ÷, ta có
 2

1
1
z1 − z2 = z1 − 1 − i + z2 − 1 − i ⇒ MA + MB = AB ⇒ điểm M thuộc đoạn AB ,
2
2
3
nên theo công thức phương tích ta có MA.MB = R 2 − IM 2 = . Lại có
4
T = 2 z1 − 2 − i + 2iz2 + 1 − 2i = 2 z1 − 1 −

i
1
+ 2i z2 + − 1 =
2
2i


i
i 
2  z1 − 1 − + z 2 − 1 − ÷
2
2


⇒ T = 2 ( MA + MB ) ≥ 4 MA.MB = 2 3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
MA = MB hay A, B là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với IM và
đường tròn ( C ) . Đáp án B.

2.3.3. Các bài toán cực trị liên quan tới Elip
Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip ( E ) có độ dài trục lớn
là 2a , độ dài trục bé là 2b , tâm đối xứng là I ; điểm M thay đổi trên ( E ) .
Xác định vị trí điểm M sao cho độ dài đoạn IM lớn nhất, nhỏ nhất và tính
các giá trị đó.
a. Hướng dẫn:
IM max = IA = IA ' = a và
B
IM min = IB = IB ' = b .
M

A'

I

A

B'

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên.
Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.

17

Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích điểm biểu diễn
của nó là một đường Elip.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất môđun z − z0 với z0 là số phức có điểm biểu
diễn là tâm của Elip.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.
Gọi điểm biểu diễn của hai số phức z0 , z lần lượt là I , M . Gọi đường
Elip biểu diễn quỹ tích số phức z là ( E ) . Khi đó bài toán số phức trở về bài
toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được
điều kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một Elip; đồng
thời số phức z0 phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn nó đúng là tâm của Elip.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 19: (Thi thử THPTQG Hoàng Văn Thụ - 2019) Cho số phức z1; z2
thỏa mãn z1 − 3 + z1 + 3 = z1 − 4 + z1 + 4 = 10 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z1 − z2 là:
A.7 .
B. 20.
C. 14.
D. 10.
Nhận xét: Nhận dạng đặc điểm để sử dụng phương pháp hình học :
z1 − 3 + z1 + 3 = z1 − 4 + z1 + 4 = 10 , ta thấy có 2 phương trình Elip.
Hướng dẫn
Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu
diễn số phức z1; z2 .
Gọi A, B, C, D lần lượt là các
điểm biểu diễn số phức
z = 3; z = −3; z = 4; z = −4

Khi đó ta có:

MA + MB = NC + ND = 10 .
⇒ Tập hợp các điểm M nằm trên

hai Elip có cùng tâm O cùng trục
lớn và độ dài trục lớn là 10.
⇒ Điểm M, N chỉ có thể nằm hai vị trí M 1 hoặc M 2 . P = z1 − z2 = MN ≤ 10 .
Vậy Pmax = 10 . Đáp án D.
Ví dụ 20: Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − i + z − 3 + i = 6 . Giá trị lớn nhất của
P = z − 4 + 4i là:
A.7 .
B. 9.
C. 8.
D. 10.
Nhận xét: z + 1 − i + z − 3 + i = 6 có hình thức giống phương trình Elip. Vì vậy
ta cần biến đổi giả thiết trên .
Hướng dẫn

18


z + 1 − i + z − 3 + i = 6 ⇔ ( z − 1) + ( 2 − i ) + ( z − 1) − ( 2 − i ) = 6
z −1
z −1
6
+1 +
−1 =
.
2−i
2−i

5
6
z −1
.
Đặt w =
, khi đó phương trình trên trở thành: w + 1 + w − 1 =
5
2−i
⇔

Gọi M là các điểm biểu diễn số phức w, suy ra tập hợp các điểm M thuộc Elip
có tâm O, độ dài trục lớn là

6
.
5

P = z − 4 + 4i = ( 2 − i ) w − 3 + 4i = w − 2 + i 5
 3

P = w − 2 + i 5 ≤ ( w + −2 + i ) 5 = 
+ 5 ÷ 5 = 8.
 5

Vậy Pmax = 8 . Đáp án C.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trong năm học
2019 – 2020 tại lớp 12E8 trường THPT Triệu Sơn 3. Qua đó, so với lớp đối

chứng 12E7 nhưng chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi nhận thấy học
sinh lớp 12E8 giải quyết các bài toán số phức linh hoạt hơn học sinh lớp 12E7
một cách rõ rệt:
- Học sinh thành thạo các bài toán quỹ tích.
- Học sinh có nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán số phức,
tăng tính linh hoạt trong việc giải quyết các giả thiết phức tạp.
- Học sinh chủ động hơn trong việc định hướng giải quyết bài oán phức
tạp.
Đối với bản thân, khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng
dạy tôi thấy hiệu quả ôn tập tốt hơn. Học sinh chủ động, tích cực trong việc
phát hiện vấn đề giúp cho tiết dạy có hiệu quả tốt.
Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm này được tổ chuyên môn đánh giá tốt,
thiết thực và được đồng ý triển khai vận dụng trong những năm học tới nhằm
góp phần nâng cao tính chủ động, tích cực của học sinh trong việc dạy và học
môn Toán. Đồng thời sáng kiến kinh nghiệm là một tài liệu tham khảo hữu ích
cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia.
Trong những năm học vừa qua bản thân tôi đã góp phần vào thành tích
của nhà trường trong công tác chuyên môn, cụ thể:
+) Kết quả thi THPT Quốc Gia:
Năm học 2017-2018 xếp thứ 7 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
Năm học 2018-2019 xếp thứ 8 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
+) Kết quả thi học sinh giỏi:
Năm học 2017-2018 xếp thứ 10 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
Năm học 2018-2019 xếp thứ 7 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
19


Từ những kết quả trên tôi có thể khẳng định những giải pháp mà đề tài
đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong công tác giảng
dạy.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Đề tài được đúc rút từ kinh nghiệm của nhiều năm giảng dạy, với sự học
hỏi và sự giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên
quan, đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả trong quá trình dạy học.
+ Đề tài đã nêu lên được tính thiết thực sử dụng phương pháp hình học
để giải quyết bài toán cực trị của số phức hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp có hiệu quả trong việc rèn luyện kĩ năng tìm
GTLN, GTNN cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian
ngắn.
+ Đề tài đã nêu được các phương pháp chung và các ví dụ minh chứng
điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập
quen thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi THPT
Quốc Gia, các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở Giáo
dục và Đào tạo ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước để học sinh được rèn
luyện kỹ năng giải trắc nghiệm môn Toán.
3.2. Kiến nghị.
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, thiết
thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, tạo điều
kiện cho giáo viên, học sinh được tham khảo.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu
sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ
sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 06 tháng 06 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Trần Viết Kiên

20