Sáng kiến kinh nghiệm: Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trường THPT Chu Văn An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Giáo viên: Lê Quốc Sang

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.

BÁO CÁO
Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI
LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ:
Họ và tên: Lê Quốc Sang
Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982
Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang
Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An
Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2
Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:
1. Đặc điểm tình hình:
Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp
III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn
mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ
chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều năm

liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”.
Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:
 Chất lượng văn hóa:
 Học lực:
Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68%
Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14%
Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19%
Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%
 Hạnh kiểm:
Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52%
Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4%
Trung bình: 1 học sinh, tỉ lệ: 0,08%

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 1


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

 Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:
 Học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải
 Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh
 Chất lượng hoạt động các cuộc thi:
 Tham gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả.
 Tổ chức các Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành công,
học sinh được giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết
mục sáng tạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng.

2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH
GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
3. Lĩnh vực sáng kiến: Toán học.
III. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:
1. Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất
khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về
dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng
các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường
xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic.
Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung
học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu
tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của
học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu
sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho
mình một tài liệu tham khảo phù hợp.
Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường
THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các
kỳ thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các
em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó
khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng,
không tìm được lời giải.
Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà
bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi.
Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp
nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi
khi nó mang tính chủ quan.
Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục
triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác.
Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:

 Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
 Giới hạn của dãy số dạng: un 1  f un 

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 2


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang
n

 Giới hạn của tổng thường gặp: lim  H x i 
i 1

 Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình.
2. Nội dung sáng kiến:
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
2.1.1. Các định nghĩa:
1) Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu un  un 1, n  *
Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu un  un 1, n  *
2) Dãy số bị chặn.
Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un  M , n  *
Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un  m, n  *
Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới .
3) Cấp số cộng.
Dãy số un  được gọi là cấp số cộng nếu un 1  un  d , n   * , trong đó d là
số không đổi, gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu dãy số un  là cấp số cộng thì un  u1  n  1d, n  2 .
Nếu dãy số un  là cấp số cộng thì tổng

Sn  u1  u2  ...  un 

n
u  un 
2 1

4) Cấp số nhân.
Dãy số un  đươc gọi là cấp số nhân nếu un 1  un .q , n   * , trong đó q là số
không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu dãy số un  là cấp số nhân thì un  u1.q n 1, n  2
Nếu dãy số un  là cấp số nhân với q  1, q  0 thì tổng

1 qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1.
1 q
2.1.2. Các định lý:
1) Định lý 1. Nếu lim un  a thì lim un  a
2) Định lý 2. Nếu q  1 thì lim q n  0

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 3


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

3) Định lý 3. Cho dãy un  xác định bởi công thức truy hồi un 1  f (un ) , trong đó

f (x ) là hàm số liên tục. Khi đó, nếu un   a thì a là nghiệm của phương trình
f (x )  x .
4) Định lý 4. Cho dãy số un  với u1  a là một số thực cho trước và un 1  f (un ) .
Khi đó
a) Nếu f (x ) là hàm số đồng biến và x 1  x 2 thì un  là dãy số tăng.
b) Nếu f (x ) là hàm số đồng biến và x 1  x 2 thì un  là dãy số giảm.
5) Định lí 5. Cho dãy số (un ) với u1  a là một số thực cho trước và un 1  f (un ) .
Khi đó
a) Nếu f (x ) là hàm số nghịch biến và x 1  x 2 thì u2n  là dãy số tăng và u2n 1 
là dãy số giảm.
b) Nếu f (x ) là hàm số nghịch biến và x 1  x 2 thì u2n  là dãy số giảm và

u2n 1  là dãy số tăng.
6) Nguyên lý kẹp. Cho ba dãy số un , vn , wn  sao cho:

n  , n  , n  n  u  v  w
 0
0
n
n
n
 lim vn  a
 lim u  lim w  a

n 
n
n

n 
n 
7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
8) Định lý LAGRANGE. Nếu f (x ) là hàm số liên tục trên đoạn
trong khoảng a;b  thì tồn tại c  a; b  sao cho

f '(c ) 

a;b  , có đạo hàm
 

f (b )  f (a )
hay f (b)  f (a )  f '(c )(b  a )
b a

2.2. Các dạng toán thường gặp:
2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp
số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số
phụ.
Bài toán 1: Cho dãy số un 

u  2
1
xác định bởi: 
.


un 1  un  2n  3, n  1


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 4


Trường THPT Chu Văn An

Tính giới hạn L  lim

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un
un 1

Bài giải

u1  2

Theo đề suy ra:

u2  u1  2.1  3
u 3  u2  2.2  3
…

…

un  un 1  2 n  1  3

Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được
un  2  2 1  2  ...  n  1  3 n  1


 un  2  n  1 n  3 n  1  n 2  4n  5

 un 1  un  2n  3  n 2  2n  2

L  lim

un
un 1

4
5
 2
n  4n  5
n n
 lim 2
 lim
1
2
2
n  2n  2
1  2
n n

Bài toán 2: Cho dãy số un 

1

2


u1  1

un
xác định bởi: 
.

;n  1
un 1 
1  3n  2 un



Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Từ công thức truy hồi suy ra

1
un 1



1
 3n  2; n  1
un

Từ đó ta có

1
1
u1
1
1

 3.1  2
u2
u1
1
1

 3.2  2
u3
u2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 5


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

1
1

 3.3  2
u4

u3
…

…

1
1

 3 n  1  2
un
un 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

1
 1  3 1  2  ...  n  1  2 n  1


un
n  1 n

1
3n 2  n  2

 1 3
 2 n  1 
un
2
2

 un 

2
3n 2  n  2

Vậy L  lim un  0
Bài toán 3. Cho dãy số un 

u  2
 1
xác định bởi: 
.
u  un 1  1 , n  2
 n
2

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Ta có un 

un 1  1
2

 2un  un 1  1  2 un  1  un 1  1

1
v
 (vn ) là một cấp số
2 n 1
1
nhân có số hạng đầu v1  u1  1  1 và công bội q 

2
Đặt vn  un  1 . Ta được: 2vn  vn 1  vn 

 1 n 1
 1 n 1

Suy ra vn   
 un     1, n  2
 2 
 2 

 n 1

 1 

Vậy L  lim un  lim  
 1  1
 2 



u  2, u  5
1
2
Bài toán 4. Cho dãy số (un ) xác định như sau: 

un 2  5un 1  6un , n  1 (1)


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 6


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

 u 
Tính giới hạn L  lim  n 
 3n 
Bài giải
Từ đẳng thức (1), ta có: un 2  2un 1  3 un 1  2un 
Đặt vn  un 1  2un , n  1 .
Khi đó: un 2  2un 1  3 un 1  2un   vn 1  3.vn  (vn ) là một cấp số
nhân có công bội q  3 và số hạng đầu v1  u2  2u1  1
Suy ra vn  v1.q n 1  3n 1, n  1 .
Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có: un 2  3un 1  2 un 1  3un 
Đặt wn  un 1  3un , n  1 .
Khi đó: un 2  3un 1  2 un 1  3un   wn 1  2.wn  (wn ) là một cấp số
nhân có công bội q  2 và số hạng đầu w1  u2  3u1  1
Suy ra wn  w1.q n 1  2n 1, n  1 .
n 1
u
 n 1  2un  3
Ta có hệ phương trình 
 un  3n 1  2n 1, n  1
n

1

u
 3un  2
 n 1

n 1 

 u 
3n 1  2n 1
 1 1  2   1

n

Vậy L  lim  n   lim
 lim      
 3 
 3 3  3   3
3n



Bài toán 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức:
u  1; u  2
 1
2
.

n .un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un , n  * (1)


 u 

Tính giới hạn L  lim  nn 
 n.2 
Bài giải
Từ đẳng thức (1):

n.un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un  n un 2  un 1   2(n  1) un 1  un 



un 2  un 1
n 1

 2.

un 1  un

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

n

Trang 7


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un 1  un

, ta được: vn 1  2vn  (vn ) là một cấp số nhân có công

n
bội q  2 và số hạng đầu v1  u2  u1  1
Đặt vn 

Suy ra vn  2n 1, n  1
Khi đó: un 1  un  n.2n 1  un  u1  1.20  2.21  3.22  ...  (n  1).2n 2
 un  2  2.21  3.22  ...  (n  1).2n 2  , n  1


 2un  4  2.22  3.23  ...  (n  2).2n 2  (n  1).2n 1 





 2un  un  (n  1).2n 1  2  22  23  ...  2n 2



 un  (n  1).2n 1  (2n 1  2)  (n  2).2n 1  2

 u 
1 n 2
(n  2).2n 1  2
1  1

n
 .

L  lim  n   lim


lim


2 n
 n.2 
n.2n
n.2n 1  2

2.2.2. Giới hạn của dãy số dạng un 1  f un 
u  1
 1
u
Bài toán 6. Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
un  2 n 1 , n  2

un 1  1


(1)

.

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được un  0, n  1 , vậy dãy (un )
bị chặn dưới.
Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
*

n   , un 1  un 

un
un2  1

 un  

un3
un2  1

 0 , vậy dãy (un ) là dãy số

giảm.
Do (un ) giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

a

a
2

a 1

a 0

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 8

Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Vậy L  lim un  0
u  1
 1
Bài toán 7. Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
.
1
2019 
, n  2 (1)
un  un 1 

2 
un 1 

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được un  0, n  1 . Mặt khác, ta
lại có:

1
2019  1
2019
un  un 1 
 2019 , vậy dãy (un ) bị chặn dưới.
  .2. un 1.
2 

un 1  2
un 1
Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
2019  un2
1 
2019 
n   , un 1  un  un 
 0 , vậy dãy (un ) là
  un 
2 
un 
2un
*

dãy số giảm.
Do (un ) giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2019
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
a

1 
2019 
  a  2019
a 
2
a 

Vậy L  lim un  2019
Bài toán 8. Cho dãy số thực x n 

x  2019
 0
xác định bởi: 
1

x n 1 
, n  
4  3x n


.

Tính giới hạn L  lim x n
Bài giải
Xét hàm số f x  

1
3
, ta có f ' x  
 0 suy ra f là hàm tăng.
2
4  3x
4  3x 

Tính toán trực tiếp ta có x 2  x 3 , do đó dãy x n 

n 2

tăng.

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

(1)

Trang 9


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được x n 

1
, với mọi n  1 .
3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn.
Gọi a là giới hạn của dãy thì a 

1
và a là nghiệm của phương trình
3

a  f a   a 
Vậy L  lim x n 

1

1
a 
4  3a
3

1
.
3

u  2019
 1

un
Bài toán 9. Cho dãy số thực un  xác định bởi: 
.
, n  * (1)
un 1  3 

un2  1

Tính giới hạn L  lim un .
Bài giải
Bằng quy nạp chứng minh được un  3, n  1
Giả sử rằng un  có giới hạn là a thì a  3 và a là nghiệm của phương trình
a 3

a
a2  1



 a 3



2



2

 a  3a



a2
a2  1

  2 a
2

2

a 2  3a  1

 2
a 
a  3a  3

Xét hàm số f (x )  3 

Ta có:

f '(x )  

x
2

x 1

trên

1

x

2



1

3





 3a  3  0
3  15

2



3;  , thì un 1  f (un ) và f (a )  a

 f '(x ) 

1
2 2

, x 



3; 



Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra:

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 10


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un 1  a  f (un )  f (a )  f '(cn ) un  a 

(cn  un ; a   cn  a; un )

= f '(cn ) un  a

 1 n
 u1  a
<
un  a <...< 

 2 2 
2 2
1

 1 n
 u a
Như thế ta có: 0  un 1  a  
 2 2  1

 1 n
 u1  a  0
mà lim 
n  
 2 2 

nên lim un 1  a  0  lim un 1  a   0
n 

n 

 lim un  lim un 1  a
n 

n 

Vậy dãy số un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un 
n 

3  15
2

Bài toán 10. Khảo sát sự hội tụ của dãy số thực an  cho bởi

a1  a  0, an 1 

1
, n  * .
1  an

Bài giải
Chứng minh bằng qui nạp ta được an   0;1
Với f x  

1
1
, x   0;1 thì an 1  f an  và f ' x  
0
2
1x

1  x 

 1  1  x

Xét g x   f f x   f 
, x  0;1 , g x  là hàm tăng.
1  x  2  x





(1)

Đối với dãy a2n 1  ta có





g a2n 1   f f a2n 1   f a2n 2   a2n 3  a2n 11

(2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy a2n 1  đơn điệu và bị chặn trên 0;1 nên a2n 1  hội tụ
đến k , tương tự dãy a2n  cũng hội tụ đến l .

Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x   x hay

k l 

5 1
.
2

Vậy lim an 

5 1
2

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 11


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Bài toán 11. Cho dãy số x n 

x  a
 1
xác định bởi 
.
xn 1  3xn3  7x n2  5x n , n  1


Tìm tất cả các giá trị a để dãy x n  có giới hạn hữu hạn.
Bài giải

Nếu dãy có giới hạn là k thì k là nghiệm của phương trình

3k 3  7k 2  5k  k  k  0; k  1; k 

4
3

Xét hàm số f x   3x 3  7x 2  5x . Khi đó dãy đã cho có dạng

x n 1  f x n , n   * .

5
Ta có f ' x   9x 2  14x  5  9 x  1x  

9 
f x   x  3x 3  7x 2  4x  x x  13x  4 , suy ra

x 1  x 0  f x 0   x 0  x 0 x 0  13x 0  4
Ta có bảng biến thiên sau

Trường hợp 1. a  0 .
Từ bảng biến thiên suy ra x n  0 và x 1  x 0 ; do f tăng nên x n  là dãy giảm.

4 
Giả sử lim x n  b khi đó b  0;1;  và b  a , do a  0 nên không tồn tại b.

3 

Suy ra dãy không có giới hạn khi a  0 .
Trường hợp 2. a  0 .

Khi đó dãy x n  là dãy hằng và lim x n  0
Trường hợp 3. a 

4
3

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 12


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

4

Từ bảng biến thiên suy ra x n   ;  và x 1  x 0 và do f tăng nên x n  là dãy
 3


4
4 
tăng. Nếu tồn tại giới hạn của dãy là b khi đó b  0;1;  và b  a , do a  nên

3
3 
4
không tồn tại b . Suy ra dãy không có giới hạn khi a  .
3

Trường hợp 4. a 

4
3

Khi đó dãy x n  là dãy hằng và lim x n 

4
3

 4
Trường hợp 5. a  0; 
 3 
 4
Từ bảng biến thiên suy ra x n  0;  và
 3 
2

x n 1  1  x n  1 3x n  1  x n  1
 4
(do x n  0;  nên x n  13x n  1  1 ).
 3 

Bằng phương pháp qui nạp ta thu được x n 1  1  a  1 

1
, suy ra x n  có
3

giới hạn là 1.
n

2.2.3. Giới hạn của tổng thường gặp

 H x i 
i 1

Cho dãy số x n  f x n 1 , n  2 . Để tính giới hạn của

n

 H x i  (trong đó
i 1

H x i  là biểu thức theo các số hạng của dãy đã cho) ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Chỉ ra rằng lim x n  
n

Bước 2. Tính

 H x i 
i 1

n

Bước 3. Tìm lim  H x i 
i 1

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 13


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Bài toán 12. Cho dãy số x n 

x  1
 1
thoả mãn 
.
x n 1  2019x n2  x n , n  1


x
x2
x n 

1
 .
Tìm L  lim    ... 
 x 2 x 3
x n 1 
Bài giải
Bước 1. (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu)
Ta có x n 1  x n  2019x n2  0 n  1,2,... nên dãy x n  là dãy tăng và là dãy
dương

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a thì a  2019a 2  a  a  0 (vô lý).
Vậy lim x n  
Bước 2.
Ta có x k 1  2019x k2  x k 

Suy ra

x1
x2



x2
x3

 ... 

xn
x n 1

xk
x k 1





1  1
1 
 


2019  x k x k 1 

1  1
1 
 

2019  x1 x n 1 

x
x
x 
1
Vậy L  lim  1  2  ...  n  
 x 2 x 3
x n 1  2019

Bài toán 13. Cho dãy số x n 


x  1
 1 2
xác định bởi 
.


x n21  4x n 1  x n 1
x n 
, n  2


2
n

1

i 1

x i2

Chứng minh rằng dãy yn  với yn  

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài giải
Nhận thấy x n  0, n  1 .
Ta có
x n  x n 1 

x n2 1  4x n 1  x n 1
2

 x n 1 

2x n 1
x n2 1

 0, n  2

 4x n 1  x n 1

Do đó dãy x n  là dãy tăng.

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 14


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

a 2  4a  a
Giả sử lim x n  a suy ra a  0 và a 
 a  0 (vô lí)
2

Vậy lim x n   .
Từ x n 

x n2 1  4x n 1  x n 1
2

 x n2  x n  1 x n 1 
n

1

i 1

x i2

Suy ra yn  



1
x 12





1
x n2



, n  2, 3,...

1
x n 1



1
, n  2
xn

1
 1

1 1
1
1
         ...  
 
x 12  x 1 x 2   x 2 x 3 
 x n 1 x n 
1

1
1
1

 6  , n  2
x1 x n
xn

Vậy yn  có giới hạn hữu hạn và lim yn  6 .

2.2.4. Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình
Bài toán 14. Xét phương trình

1
1
1
1
1

 ...  2
 ...  2


x  1 4x  1
k x 1
n x 1 2

trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1;  và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Chứng minh rằng

lim x  4

n  n

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất nghiệm
trong 1; 
Xét phương trình

x  1; 

1
1
1
1
1

 ...  2
 ...  2
 với

x  1 4x  1
k x 1
n x 1 2
(1)

1
1
1
1
1
(1)  fn (x )   

 ...  2
 ...  2
0
2 x  1 4x  1
k x 1
n x 1

(2)

Khảo sát tính đơn điệu của fn (x ) trên 1; 
Dễ thấy rằng f (x ) liên tục trên 1; 

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 15


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Do



1
4
k2
n2

'
fn (x )   

 ... 
 ... 
2
 x  12 4x  12
2
n 2x  1
k x 1












  0, x  1; 






nên fn (x ) nghịch biến trên x  1;  .

(3)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1; 

 lim f (x )  
  n
x 1
Do fn (x ) liên tục trên 1;  và 

 lim f (x )   1
x  n
2

(4)

Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1;  .

2) Ký hiệu nghiệm đó là x n .Chứng minh rằng lim x n  4
n 

So sánh fn (x n ) và fn (4) , ta có

1
1
1
1
1
fn (4)    2
 2
 ... 

...

2
2
2 2 1 4 1
2k   1
2n   1
1
1 1 1
1
1
1
1 

 1  1     ... 


 ... 

2
3 3 5
2k  1 2k  1
2n  1 2n  1



1
0
2 2n  1

Do fn (x n )  0 nên fn (x n )  fn (4) .
Do fn (x ) nghịch biến trên 1;  và fn (x n )  fn (4) nên theo định nghĩa tính
đơn điệu suy ra x n  4
Lại tiếp tục đánh giá x n . Áp dụng định lý Lagrange cho fn (x n ) trên x n ; 4  , ta suy
ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại cn  x n ; 4  sao cho

fn 4  fn (x n )  fn' (cn )(4  x n )  fn' (cn ) 

1
2 2n  14  x n 

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 16


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Mặt khác





2
2
1
4
k
n

 1
'
fn (cn )   

 ... 
 ... 
2
2
2
2
9
 c  1
4cn  1
k 2cn  1

n 2cn  1 
 n






2

(Do 1  x n  cn  4  0  cn  1  9 



1
2

cn  1



1
  ) nên
9

1
1
9
   xn  4 
9

2 2n  14  x n 
2 2n  1
Tóm lại ta luôn có:

4

9
 x n  4 với mỗi số nguyên dương n
2 2n  1

(5)

Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim x n  4 .
n 

Bài toán 15. Xét phương trình
trong đó n là số nguyên dương.

1
1
1
1
1


 ... 
 ... 
0
2
2x x  1 x  4

x k
x  n2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 0;1 và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n
n 

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n , phương trình có duy nhất nghiệm
trong 0;1
Xét phương trình

x  0;1
Đặt fn (x ) 

1
1
1
1
1


 ... 
 ... 
 0 với
2
2x x  1 x  4
x k
x  n2

(1)

1
1
1
1
1


 ... 

...

2x x  1 x  4
x  k2
x  n2

Khảo sát tính đơn điệu của fn (x ) trên 0;1
Do



2
1
1
'
fn (x )   


...


 2x 2 x  12
x  k2






2



1
  0, x  0;1
 ... 
 
2
2 
x n 






Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 17

Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

nên fn (x ) nghịch biến trên 0;1 .

(2)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;1

 lim f (x )  
  n
Do fn (x ) liên tục trên 0;1 và x  0
 lim fn (x )  
x 1

(3)

Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n
n 

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của x n 
Với mỗi số nguyên dương n ta có:

1
1
1

1
1
1


 ... 

...


2x n x n  1 x n  4
xn  k 2
x n  n 2 x  n  12
n
1
1
 fn (x n ) 
 fn 1(x n ) 
 0 (do 0  x n  1)
2
2
x n  n  1
x n  n  1

fn 1(x n ) 

Mặt khác lim fn 1(x )   và fn 1(x ) nghịch biến trên 0; x n  nên suy ra
x  0

phương trình fn 1(x )  0 có duy nhất nghiệm trên 0; x n  , gọi nghiệm duy nhất này là

x n 1 . Do 0; x n   0;1 nên 0  x n 1  x n .
Dãy x n  là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn
lim x .

n  n

Bài toán 16. Xét phương trình x n  x 2  x  1  0 trong đó n là số nguyên dương và
n  3.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có một
nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Tìm

lim x

n  n

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình có duy nhất
nghiệm
Xét phương trình x n  x 2  x  1  0  x n  x 2  x  1  1 x  0, n  2
suy ra phương trình chỉ có nghiệm x  1.
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

(1)
Trang 18


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Đặt fn x   x n  x 2  x  1, x  1, n  2
Khảo sát tính đơn điệu của fn (x ) trên 1; 
Do fn '(x )  nx n 1  2x  1, fn "(x )  n n  1 x n 2  2  0 n  3, x  1
Suy ra fn '(x )  fn' 1  n  2  1  0,

n  3

nên fn (x ) đồng biến trên x  1;  .

(2)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1; 

 lim f (x )  2
  n
Do fn (x ) liên tục trên 1;  và 
nên
x 1
 lim fn (x )  2n  4  2  1  0, n  3
x 2
tồn tại x 0  1;2 sao cho fn (x 0 )  0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1;2 .
2) Ký hiệu nghiệm đó là x n . Chứng minh rằng lim x n  1
n 

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên :

x nn  x n2  x n  1  0  x n  n x n2  x n  1





Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: xn  n x n2  x n  1  n xn2  xn  1 . 1.1...1


x n2  x n  1
 1
 ...  1


n sô 1

n



x n2  x n  n
n

Kết hợp với x n  2 , với mọi n  1, 2... ta được: x n2  x n  6
Từ (4) và (5) suy ra: 1  x n  1 

n 1 sô 1

(4)

(5)

6
n


6
Do lim 1    1 và theo nguyên lý kẹp suy ra lim x n  1
n  
n 
n 


Bài toán 17. Xét phương trình x n  x  n trong đó n là số nguyên dương n  2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm
dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n .
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 19


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

2) Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó lim x n
n 

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có nghiệm

dương duy nhất
Xét phương trình: x n  x  n
Khảo sát tính đơn điệu của fn (x )  x n  x  n, x  0 trên
Dễ thấy fn x   0, x  0;1
 

(1)

Do fn' (x )  nx n 1  1  0 với mọi x  1;  nên fn (x ) là hàm số đồng biến
trên

1; 


(2)

 f (1)  n  0
n

Do fn (x ) liên tục trên  0;  và 
nên tồn tại x 0  1; n 
 fn (n )  n n  2n  0

sao cho fn (x 0 )  0
(3)

Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có duy
nhất nghiệm trong 1;n  .
2) Ký hiệu nghiệm đó là x n .Tìm

lim x

n  n

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên

x nn  x n  1  1  x n  n x n  n  n 2n
Vì lim

n

n 

2n  1 , theo nguyên lý kẹp ta được

lim x  1

n  n

Vậy lim x n  1
n 

Bài toán 18. Xét phương trình x n  x n 1  ...  x  1  0 với n là số nguyên dương
và n  2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có một
nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Tìm

lim x .

n  n

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có nghiệm
dương duy nhất
Xét phương trình: x n  x n 1  ...  x  1  0
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

(1)
Trang 20


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Khảo sát tính đơn điệu của fn (x )  x n  x n 1  ...  x  1 trên 0; 
Dễ thấy rằng f (x ) liên tục trên  0; 

Do fn' (x )  nx n 1  n  1 x n 2  ...  1  0 với mọi x  0;  và n  2
nên fn (x ) là hàm số đồng biến trên  0; 

(2)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên  0; 

 f (0)  1  0
n

Do fn (x ) liên tục trên  0;  và 

nên tồn tại x 0  0;1 sao


 fn (1)  n  1  0

cho fn (x 0 )  0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có duy
nhất nghiệm trong 0;1 .
2) Ký hiệu nghiệm đó là x n .Tìm

lim x

n  n

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên:

x n  0 và x n  x n2  ...  x nn  1

(4)

Vì x n  0 nên từ (4) suy ra ( x n ) là dãy giảm, mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên
tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n  a

(5)

n 

Ta lại có: 1 

x n  x n2

(4), (5) suy ra

1a

Vậy lim x n 
n 

 ...  x nn

 xn

1  x nn
1  xn

và lim x nn  0 nên kết hợp với
n 

1
1
a 
1a
2

1
2

IV. HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Bản thân đã mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 của

trường THPT Chu Văn An các năm qua. Sau quá trình học tập các em đã làm quen với
các bài toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải cũng rất tự nhiên theo chiều
hướng dễ tiếp cận. Chất lượng của đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường được nâng
lên rõ rệt. Kết quả thi học sinh giỏi các năm qua như sau:
 Năm học 2013 – 2014:
Học sinh giỏi cấp tỉnh:

2 giải ba

Vào vòng 2:

2 học sinh

 Năm học 2014 – 2015:
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 21


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Học sinh giỏi cấp tỉnh:

1 giải nhất, 1 giải 3

Vào vòng 2:

2 học sinh

Học sinh giỏi cấp quốc gia:

1 học sinh

 Năm 2015-2016:
Học sinh giỏi cấp tỉnh:

1 giải nhất, 1 giải nhì, 2 giải ba

Vào vòng 2:

4 học sinh

 Năm 2016-2017:
Học sinh giỏi cấp tỉnh:

5 giải ba

Vào vòng 2:

3 học sinh

 Năm 2017-2018:
Học sinh giỏi cấp tỉnh:

1 giải nhì, 2 giải ba

Vào vòng 2:

3 học sinh

V. MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG:
Giáo viên ở các trường trung học phổ thông không chuyên trong và ngoài tỉnh đều
có thể áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt là áp dụng để
giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán của trường mình.
Học sinh khối lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số
thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên, từ đó giúp các em tự tin hơn khi
đứng trước các bài toán về dãy số.
VI. KẾT LUẬN:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu là hướng dẫn học
sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi
đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể
nâng cao khả năng tư duy, đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói
riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu
Văn An đã tập làm quen cách tiếp cận bài toán dãy số một cách tự nhiên, các em đã
không còn ngán ngại khi gặp các câu dãy số trong các đề thi học sinh giỏi. Điều đó góp
phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán của trường ngày càng được nâng cao trong
những năm vừa qua.
Với thời gian ngắn nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Một
lần nữa, tôi rất mong sự góp ý chân tình của quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Xin
chân thành cám ơn!
Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến

Người viết sáng kiến

Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 22


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD
2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.
[4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 các năm.
[5] Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. NXBGD 2005
[6] Các diễn đàn toán học
/> /> /> /> /> /> /> />
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 23