Cong thuc vatly 12 - Võ Khánh Hưng

Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
CƠ HỌC VẬT RẮN
1. Toạ độ góc (rad)
Là toạ độ xác định vị trí của một vật rắn quay quanh một trục cố định bởi góc ϕ (rad) hợp giữa mặt phẳng động gắn với vật và
mặt phẳng cố định chọn làm mốc (hai mặt phẳng này đều chứa trục quay)
Lưu ý: Ta chỉ xét vật quay theo một chiều và chọn chiều dương là chiều quay của vật ⇒ ϕ ≥ 0
2. Tốc độ góc (rad/s)
Là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh hay chậm của chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục
* Tốc độ góc trung bình:
( / )
tb
rad s
t
ϕ
ω
∆
=
∆
* Tốc độ góc tức thời:
'( )
d
t
dt
ϕ
ω ϕ
= =
Lưu ý: Liên hệ giữa tốc độ góc và tốc độ dài v = ωr
3. Gia tốc góc (rad/s
2

)

Là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc
* Gia tốc góc trung bình:
2
( / )
tb
rad s
t
ω
γ
∆
=
∆
* Gia tốc góc tức thời:
2
2
'( ) ''( )
d d
t t
dt dt
ω ω
γ ω ϕ
= = = =
Lưu ý: + Vật rắn quay đều thì
0const
ω γ
= ⇒ =
+ Vật rắn quay nhanh dần đều γ > 0
+ Vật rắn quay chậm dần đều γ < 0
4. Phương trình động học của chuyển động quay
* Vật rắn quay đều (γ = 0)

ϕ = ϕ
0
+ ωt
* Vật rắn quay biến đổi đều (γ ≠ 0)
ω = ω
0
+ γt
2
0
1
2
t t
ϕ ϕ ω γ
= + +
2 2
0 0
2 ( )
ω ω γ ϕ ϕ
− = −
5. Gia tốc của chuyển động quay
* Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm)
n
a
uur
Đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của vận tốc dài
v
r
(
n
a v⊥

uur r
)
2
2
n
v
a r
r
ω
= =
* Gia tốc tiếp tuyến
t
a
ur
Đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của
v
r
(
t
a
ur
và
v
r
cùng phương)
'( ) '( )
t
dv
a v t r t r
dt

ω γ
= = = =
* Gia tốc toàn phần
n t
a a a= +
r uur ur
2 2
n t
a a a= +
Góc α hợp giữa
a
r
và
n
a
uur
:
2
tan
t
n
a
a
γ
α
ω
= =
Lưu ý: Vật rắn quay đều thì a
t
= 0 ⇒

a
r
=
n
a
uur
Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
6. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định

M
M I hay
I
γ γ
= =

Trong đó: + M = Fd (Nm)là mômen lực đối với trục quay (d là tay đòn của lực)
+
2
i i
i
I m r=
∑
(kgm
2
)là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
Mômen quán tính I của một số vật rắn đồng chất khối lượng m có trục quay là trục đối xứng
- Vật rắn là thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ:
2
1
12

I ml=
- Vật rắn là thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ: I= ml
2
- Vật rắn là vành tròn hoặc trụ rỗng bán kính R: I = mR
2
- Vật rắn là đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc bán kính R:
2
1
2
I mR=
- Vật rắn là khối cầu đặc bán kính R:
2
2
5
I mR=
- Vật rắn là vỏcầu mỏng bán kính R: I = mR
2
7. Mômen động lượng
Là đại lượng động học đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn quanh một trục
L = Iω (kgm
2
/s)
Lưu ý: Với chất điểm thì mômen động lượng L = mr
2
ω = mvr (r là k/c từ
v
r
đến trục quay)
8. Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định
dL

M
dt
=
9. Định luật bảo toàn mômen động lượng
Trường hợp M = 0 thì L = const
Nếu I = const ⇒ γ = 0 vật rắn không quay hoặc quay đều quanh trục
Nếu I thay đổi thì I
1
ω
1
= I
2
ω
2
10. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
2
đ
1
W ( )
2
I J
ω
=

11. Sự tương tự giữa các đại lượng góc và đại lượng dài trong chuyển động quay và chuyển động thẳng
Chuyển động quay
(trục quay cố định, chiều quay không đổi)
Chuyển động thẳng
(chiều chuyển động không đổi)
Toạ độ góc ϕ

Tốc độ góc ω
Gia tốc góc γ
Mômen lực M
Mômen quán tính I
Mômen động lượng L = Iω
Động năng quay
2
đ
1
W
2
I
ω
=
(rad)
Toạ độ x
Tốc độ v
Gia tốc a
Lực F
Khối lượng m
Động lượng P = mv
Động năng
2
đ
1
W
2
mv=
(m)
(rad/s) (m/s)

(Rad/s
2
) (m/s
2
)
(Nm) (N)
(Kgm
2)
(kg)
(kgm
2
/s) (kgm/s)
(J) (J)
Chuyển động quay đều:
ω = const; γ = 0; ϕ = ϕ
0
+ ωt
Chuyển động thẳng đều:
v = const; a = 0; x = x
0
+ at
Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
Chuyển động quay biến đổi đều:
γ = const
ω = ω
0
+ γt
2
0
1

2
t t
ϕ ϕ ω γ
= + +
2 2
0 0
2 ( )
ω ω γ ϕ ϕ
− = −
Chuyển động thẳng biến đổi đều:
a = const
v = v
0
+ at
x = x
0
+ v
0
t +
2
1
2
at

2 2
0 0
2 ( )v v a x x− = −
Phương trình động lực học

M

I
γ
=
Dạng khác
dL
M
dt
=
Định luật bảo toàn mômen động lượng

1 1 2 2

i
I I hay L const
ω ω
= =
∑
Định lý về động

2 2
đ 1 2
1 1
W
2 2
I I A
ω ω
∆ = − =
(công của ngoại
lực)
Phương trình động lực học

F
a
m
=
Dạng khác
dp
F
dt
=
Định luật bảo toàn động lượng

i i i
p m v const= =
∑ ∑
Định lý về động năng

2 2
đ 1 2
1 1
W
2 2
I I A
ω ω
∆ = − =
(công của ngoại
lực)
Công thức liên hệ giữa đại lượng góc và đại lượng dài
s = rϕ; v =ωr; a
t

= γr; a
n
= ω
2
r
Lưu ý: Cũng như v, a, F, P các đại lượng ω; γ; M; L cũng là các đại lượng véctơ
DAO ĐỘNG CƠ HỌC VÀ SÓNG CƠ HỌC
1/ Dao động điều hoà
- Li độ: x = Acos(ωt + ϕ)
-Vận tốc: v = x’ = -ωA sin(ωt + ϕ).
*Vận tốc v sớm pha hơn li độ x một góc
2
π
.
Vận tốc có độ lớn đạt giá trịcực đại v
max
= ωA khi x = 0.
Vận tốc có độ lớn có giá trịcực tiểu v
min
= 0 khi x = ± A
- Gia tốc: a = v’ = x’’ = - ω
2
Acos(ωt + ϕ) = - ω
2
x.
*Gia tốc a ngược pha với li độ x (a luôn trái dấu với x).
- Gia tốc của vật dao động điều hoà luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với li độ.
- Gia tốc có độ lớn đạt giá trịcực đại a
max
= ω

2
A khi x = ± A.
- Gia tốc có độ lớn có giá trịcực tiểu a
min
= 0 khi x = 0.
- Liên hệ tần số góc, chu kì và tần số: ω =
T
π
2
= 2πf.
- Tần số góc có thể tính theo công thức: ω =
22
xA
v
−
;
- Lực tổng hợp tác dụng lên vật dao động điều hoà (gọi là lực hồi phục): F = - mω
2
x ; F
max
= mω
2
A.
- Dao động điều hoà đổi chiều khi lực hồi phục đạt giá trịcực đại.
- Trong một chu kỳ vật dao động điều hoà đi được quăng đường 4A,
- Trong
4
1
chu kỳ vật đi được quăng đường bằng A.Vật dao động điều hoà trong khoảng có chiều dài L = 2A.
-Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra vị trí biên A hoặc -A thì mất khoảng thời gian t =

Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
-Khi vật đi từ vị trí biên dươngA đến vị trí biên âm-A(hoặc ngược lại) thì mất khoảng thời gian t =
-Khi vật đi từ vị trí biên dương A đến vị trí biên dương A(hoặc ngược lại) thì mất khoảng thời gian t =T
-Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra vị trí A/2 hoặc – A/2 thì mất khoảng thời gian t =
*Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2
2 1
t
ϕ ϕ
ϕ
ω ω
−
∆
∆ = =
với
1
1
2
2
s
s
x
co
A
x
co
A
ϕ

ϕ

=




=


và (
1 2
0 ,
ϕ ϕ π
≤ ≤
)
* Chiều dài quỹ đạo: L = 2A
* Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
* Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Xác định:
1 1 2 2
1 1 2 2
Acos( ) Acos( )
à
sin( ) sin( )

x t x t
v
v A t v A t
ω ϕ ω ϕ
ω ω ϕ ω ω ϕ
= + = +
 
 
= − + = − +
 
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: t
2
– t
1
= nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S
1
= 4nA, trong thời gian ∆t là S
2
.
Quãng đường tổng cộng là S = S
1
+ S
2
Lưu ý: + Nếu ∆t = T/2 thì S

2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x
1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động
tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t
2
:
2 1
tb
S
v
t t
=
−
với S là quãng đường tính như trên.
*Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < ∆t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi
được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
Góc quét ∆ϕ = ω∆t.
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M

1
đến M
2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
ax
2Asin
2
M
S
ϕ
∆
=
Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 2)
2 (1 os )
2
Min
S A c
ϕ
∆
= −
Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2
Tách
'
2
T
t n t∆ = + ∆

trong đó
*
;0 '
2
T
n N t∈ < ∆ <
Trong thời gian
2
T
n
quãng đường
luôn là 2nA
Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:
ax
ax
M
tbM
S
v
t
=
∆
và
Min
tbMin
S
v
t

=
∆
với S
Max
; S
Min
tính như trên.
A
-A
M
M
1
2
O
P
x x
O
2
1
M
M
-A
A
P
2
1
P
P
2
ϕ

∆
2
ϕ
∆
A
-A
x1x2
M2
M1
M'1
M'2
O
∆ϕ
∆ϕ
Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
*Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà:
* Tính ω
* Tính A
* Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t
0
(thường t
0
= 0)
0
0
Acos( )
sin( )
x t
v A t
ω ϕ

ϕ
ω ω ϕ
= +

⇒

= − +

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác
(thường lấy -π < ϕ ≤ π)
* Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 ⇒ phạm vi giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý:+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều
* Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) từ thời điểm t
1
đến t
2
.

* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t
1
< t ≤ t
2
⇒ Phạm vi giá trị của (Với k ∈ Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
* Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian ∆t.
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x
0
.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + ϕ) cho x = x
0
Lấy nghiệm ωt + ϕ = α với
0
α π
≤ ≤
ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0)
hoặc ωt + ϕ = - α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó ∆t giây là

x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ +



= − ± ∆ +

hoặc
x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ −


= − ± ∆ −

* Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = a ± Acos(ωt + ϕ) với a = const
Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu ϕ
x là toạ độ, x
0
= Acos(ωt + ϕ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A
Vận tốc v = x’ = x
0
’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
Hệ thức độc lập: a = -ω
2

x
0


2 2 2
0
( )
v
A x
ω
= +

* x = a ± Acos
2
(ωt + ϕ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ.
2. Con lắc Lò xo

- Thế năng: E
t
=
2
1
kx
2
. Động năng: E
đ
=
2
1

mv
2
.

- Cơ năng: E = E
t
+ E
đ
=
2
1
kx
2
+
2
1
mv
2
=
2
1
kA
2
=
2
1
mω
2
A
2

- Lực đàn hồi của Lò xo: F = k(l – l
o
) = k∆l
- Lò xo ghép nối tiếp:
...
111
21
++=
kkk
. Độ cứng giảm, tần số giảm.
Võ Khánh Hưng – ĐT: 097.9929977 – 0987.915123. Email:
- Lò xo ghép song song : k = k
1
+ k
2
+ ... . Độ cứng tăng, tần số tăng.
- Con lắc Lò xo treo thẳng đứng: ∆l
o
=
k
mg
; ω =
o
l
g
∆
.
Chiều dài cực đại của Lò xo: l
max
= l

o
+ ∆l
o
+ A.
Chiều dài cực tiểu của Lò xo: l
min
= l
o
+ ∆l
o
– A.
Lực đàn hồi cực đại: F
max
= k(A + ∆l
o
).
Lực đàn hồi cực tiểu:
F
min
= 0 nếu A > ∆l
o
; F
min
= k(∆l
o
– A) nếu A < ∆l
o
.
Lực đàn hồi ở vị trí có li độ x (gốc O tại vị trí cân bằng ):
F = k(∆l

o
+ x) nếu chọn chiều dương hướng xuống.
F = k(∆l
o
- x) nếu chọn chiều dương hướng lên.
3. Con lắc đơn
- Phương tr
́
nh dao động : s = S
o
cos(ωt + ϕ) hay α = α
o
cos(ωt + ϕ).
Với s = α.l ; S
o
= α
o
.l (α

và α
o
tính theo rad)
- Tần số góc và chu kỳ : ω =
l
g
; T = 2π
g
l
.
- Động năng : E

đ
=
2
1
mv
2
.
- Thế năng : E
t
= = mgl(1 - cosα) =
2
1
mglα
2
.
- Cơ năng : E = E
đ
+ E
t
= mgl(1 - cosα
o
) =
2
1
mgl
2
o
α
.
- Gia tốc rơi tự do trên mặt đất, ở độ cao (h > 0), độ sâu (h < 0)

g =
2
R
GM
; g
h
=
2
)( hR
GM
+
.
- Chiều dài biến đổi theo nhiệt độ : l = l
o
(1 +αt).
- Chu kì T
h
ở độ cao h theo chu kì T ở mặt đất: T
h
= T
R
hR +
.
- Chu kì T’ ở nhiệt độ t’ theo chu kì T ở nhiệt độ t: T’ = T
t
t
.1
'.1
α
α

+
+
.
-Thời gian nhanh chậm của đồng hồ quả lắc trong t giây :
∆t = t
'
'
T
TT −
-Nếu T’ > T : đồng hồ chạy chậm ; T’ < T : Chạy nhanh.
* Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi:
Lực phụ không đổi thường là:
* Lực quán tính:
F ma= −
ur r
, độ lớn F = ma (
F a↑↓
ur r
)
Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều
a v↑↑
r r
(
v
r
có hướng chuyển động)
+ Chuyển động chậm dần đều
a v↑↓
r r
* Lực điện trường:

F qE=
ur ur
, độ lớn F = |q|E (Nếu q > 0 ⇒
F E↑↑
ur ur
; còn nếu q < 0 ⇒
F E↑↓
ur ur
)
* Lực đẩy Ácsimét: F = DgV (
F
ur
luông thẳng đứng hướng lên)
Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí.
g là gia tốc rơi tự do.
V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó.
Khi đó:
'P P F= +
uur ur ur
gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai trò như trọng lực
P
ur
)

'
F
g g
m
= +
ur

uur ur
gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu kiến.