Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ
CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện
: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ
: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2020


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU
1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3
3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

17

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1

Kết luận

17

3.2

Kiến nghị

18

2


1. MỞ ĐẦU:
1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2020 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 4
với hình thức thi trắc nghiệm.
Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính
xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh
vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm
tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải.
Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng toán khó và xuất
hiện thường xuyên. Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dục
đào tạo: “Cho số phức z = a + bi thoả mãn | z − 4 − 3i = 5 | . Tính P = a + b khi
| z + 1 − 3i | + | z − 1 + i | đạt giá trị lớn nhất ” đã làm cho học sinh khá đau đầu.
Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận
dạng và làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là
điểm quan trọng để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết
bài toán này. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông
qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên nhanh và chính xác. Và đã viết thành một sáng kiến kinh
nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán
trắc nghiệm về cực trị của số phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu
trực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tích
nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,
tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề
luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt
để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp
12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không? Có giải quyết được vấn đề hay không? Có gặp khó khăn gì
không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi
mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên
quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh
hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào
các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất.
3


2. NỘI DUNG:
2.1. Cơ sở lí luận:
a)Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) được biểu diễn hình học trong mặt phẳng
Oxy là một điểm M ( x; y ) . Khi đó:
+) Môđun của số phức z bằng OM .
+) Hai điểm biểu diễn hình học của số phức z và số phức z đối xứng
nhau qua trục hoành.
+) Hai điểm biểu diễn hình học số phức z và số phức − z đối xứng nhau
qua gốc O.

Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của môđun phép cộng, phép trừ hai số phức).
Cho z1 = x1 + y1i là số phức có điểm biểu diễn hình học là M1( x1; y1) .
Cho z2 = x2 + y2i là số phức có điểm biểu diễn hình học là M 2 ( x2 ; y2 )
Ta có:
+) | z1 − z2 |= M1M 2 .

+) | z1 + z2 |= OQ sao cho tứ giác OM1QM 2 là hình bình hành

Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).
+) Phương trình đường thẳng: ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0)
+) Phương trình đưòng tròn: ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = R 2
b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
4


Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức z, a, b.
+) | z − a |=| z − b |<=> MA = MB . Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực
của đoạn AB.
+) z − a = R > 0 <=> |MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán
kính R.
+) z − z1 + z − z2 = k > 0 ⇔ MM 1 + MM 2 = k . Khi đó tập hợp M là đưòng Elip
nhận M 1 , M 2 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k = 2a.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp 12
và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức
là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là
phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp
kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn
giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian
giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và
tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12 tôi trực tiếp giảng
dạy năm học 2019 - 2020 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số

Số học sinh
trả lời chính
xác

2019- 2020

12B3

47

20

Số học sinh trả lời chính
xác trong 30s – 1p
10

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn giũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể giải bằng phương
pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức. Sau đây
ta xét một số bài toán cực trị của số phức thông qua các phương pháp đại số nói

trên. Đây là cách thức trước khi đổi mới.
2.3.1. Các bài toán cực trị giải bằng phương pháp đai số:
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − ( a + bi ) = k , ( k > 0 ) , tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của z .
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = 2 .Tìm môđun lớn nhất của số phức
z.

5


A. 9 + 4 5.
B. 11+ 4 5
C. 6 + 4 5 .
D. 5+ 6 5 .
Hướng dẫn:
2
2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có: z − 1+ 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 4.
Đặt x = 1+ 2sin t; y = −2 + 2cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:

z = ( 1+ 2sin t ) + ( −2 + 2cost ) = 9 + ( 4sin t − 8cost ) = 9 + 42 + 82 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡
2

2

2

2
⇒ z = 9+ 4 5sin ( t + α ) ⇒ z ∈  − 9 + 4 5; 9 + 4 5 




⇒ zmax = 9 + 4 5 đạt được khi z =

5+ 2 5 −10 + 4 5
+
i.
5
5

Chọn đáp án A
Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = k (k > 0) . Tìm giá trị nhỏ nhất,
lớn nhất của P = z − z2 .
Ví dụ 1: Cho các số phức z thoả mãn z = 2 . Đặt w = ( 1 + 2i ) z − 1 + 2i .
Tìm giá trị nhỏ nhất của w .
A. 2 .
B. 3 5 .
C. 2 5 .
D. 5 .
Hướng dẫn:
Gọi số phức z = a + bi với a , b ∈ ¡ . Ta có z = 2 ⇔ a 2 + b 2 = 2
⇔ a 2 + b 2 = 4 ( *) . Mà số phức w = ( 1 + 2i ) z − 1 + 2i

⇔ w = ( 1 + 2i ) ( a + bi ) − 1 + 2i ⇔ w = ( a − 2b − 1) + ( 2a + b + 2 ) i .

Giả sử số phức w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) . Khi đó
 x = a − 2b − 1
 x + 1 = a − 2b
⇔

.

 y = 2a + b + 2  y − 2 = 2a + b
2
2
2
2
Ta có : ( x + 1) + ( y − 2 ) = ( a − 2b ) + ( 2a + b )

⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = a 2 + 4b 2 − 4ab + 4a 2 + b 2 + 4ab
2

2

⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 ( a 2 + b 2 ) ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 20 (theo ( *) ).
2

2

2

2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm
I ( −1; 2 ) , bán kính R = 20 = 2 5 .

Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì w đạt giá
trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất.
Ta có OI = ( −1) 2 + 22 = 5 , IM = R = 2 5 .
Mặt khác OM ≥ OI − IM   ⇔ OM ≥ 5 − 2 5

6

)


Vậy chọn đáp án D.
Bài toán 3: Cho số phức z thỏa mãn z − z1=z − z2. Tìm GTNN của T =z − z0.
Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + 2 − i . Tìm số phức có
môđun nhỏ nhất.
1
5

2
5

1 2
5 5

B. z = − + i .

A. z = 1 − 2i .

C. z = − i .

D. z = −1 + 2i .

Hướng dẫn:
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
z + 3i = z + 2 − i ⇔ x + ( y + 3 ) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i ⇔ x 2 + ( y + 3) = ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

2

⇔ 6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y + 1 ⇔ 4x − 8 y − 4 = 0 ⇔ x − 2 y −1 = 0 ⇔ x = 2 y + 1
2

2 1
5

z = x + y = ( 2 y + 1) + y = 5 y + 4 y + 1 = 5  y + ÷ + ≥
5 5
5

2
1
5
Suy ra z min =
khi y = − ⇒ x =
5
5
5
1 2
Vậy z = − i.
5 5
2

2

2

2

2

Chọn đáp án C
Bài toán 4 : Trong số phức z thỏa mãn: z − z1 + z − z2 = k , ( k > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z .
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M + m bằng:
A. 4 − 7.
B. 4 + 7.
C. 7.
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi với x; y ∈ ¡ .
Ta có 8 = z − 3 + z + 3 ≥ z − 3 + z + 3 = 2 z ⇔ z ≤ 4 .
Do đó M = max z = 4 .
Mà
z − 3 + z + 3 = 8 ⇔ x − 3 + yi + x + 3 + yi = 8 ⇔

D. 4 + 5.

( x − 3)

2

+ y2 +

( x + 3)

2

+ y2 = 8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 = 1.

( x − 3)

2

+ y 2 + 1.

( x + 3)

2

+ y2 ≤

(1

2

+ 12 ) ( x − 3 ) + y 2 + ( x + 3) + y 2 


2

2

⇔ 8 ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ⇔ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ≥ 64

⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔ z ≥ 7 .

Do đó M = min z = 7 .
Vậy M + m = 4 + 7 . Chọn đáp án B.

7

2


Nhận xét: Có rất nhiều bài toán cực trị về số phức có thể giải bằng phương
pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức. Tuy
nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất quá nhiều thời gian. Vì vậy tôi đã
hướng dẫn học sinh dựa vào vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra để
tìm được phương án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc trên và thêm các bài
toán nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh các bài
toán cực trị của số phức. Trên cơ sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh phân tích
sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọn
nhất. Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới.
2.3.2. Các bài toán cực trị giải bằng phương pháp hình học:
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − ( a + bi ) = k , ( k > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của z .
PP giải:
z − ( a + bi ) = k , ( k > 0 ) ,  Tập hợp các điểm M biểu diễn hình học của số phức
z là đường tròn có tâm I ( a; b ) và bán kính R = k .

Max z = OM = OI + R = a 2 + b 2 + k
2


z  = OM
Khi đó : →

Min z = OM 1 = OI − R = a 2 + b 2 − k
Cách tìm tọa độ điểm M 1 , M 2 (tức là tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn
nhất).
+ Phương trình đường tròn ( C ) quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

( C ) : ( x − a)

+ ( y − b) = k 2
+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O, I là d : Ax + By + C = 0 .
Khi đó, M 1 , M 2 là giao điểm của ( C ) và d .
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k 2
⇒ hai nghiệm ⇒ tọa độ hai
Giải hệ phương trình: 
 Ax + By + C = 0
điểm.
2

2

8


So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn
thì điểm đó ứng với điểm M 1 và điểm còn lại là điểm M 2 .
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 3 5

B. 5
C. 5
D. 13
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 2; 4 ) và bán kính R = 5
min z = ON = OI − R = 2 2 + 4 2 − 5 = 5.
Chọn đáp án C

Nhận xét: Như vậy nếu HS biết được công thức này thì chỉ làm trong vòng 30s
là xong còn nếu tính toán thông thường thì sẽ rất lâu mà còn dễ sai.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị lớn nhất của z là:
A. 3 5
B. 5
C.
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)

5

D. 13

max z = OM = OI + R = 2 2 + 42 + 5 = 3 5. Chọn đáp án A
Ví dụ 3: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 số phức có mô đun nhỏ
nhất là:
A. z = 3 + 6i
B. z = 3 − 6i
C. z = 1 + 2i
D. 1 − 2i
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)
Phương trình đường thẳng OI là y = 2 x .
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:

 y = 2 x
 y = 2 x
⇔


2
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 4 )
( x − 2 ) + ( 2 x − 4 ) = 5
 x = 1
⇒ N ( 1;2 )

y
=
2
 y = 2x

⇔ 2
⇔
 x = 3
x − 4x + 3 = 0

⇒ M ( 3;6 )
  y = 6
9


+ Số phức z có môđun lớn nhất là z = 3 + 6i ứng với điểm M ( 3;6 ) .

+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 1 + 2i ứng với điểm N ( 1; 2 ) .
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4: Nếu các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có giá trị lớn
nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 7
D. 6.
Hướng dẫn:
1 − 7i 

Ta có: ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ ( 1 + i )  z +
÷= 2
1+ i 

⇔ 1 + i z − ( 3 + 4i ) = 2 z − ( 3 + 4i ) = 2 ⇔ z − ( 3 + 4i ) = 1
Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 3;4 ) và bán kính R = 1
Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + 1 = 6 ⇒ Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Nếu các số phức z thỏa mãn

−2 − 3i
z + 1 = 1 thì z có giá trị nhỏ nhất
3 − 2i

bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 2
D. 3.
Hướng dẫn:

Ta có:
−2 − 3i
1
z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ −i z +
= 1 ⇔ z + i = 1 ⇔ z − ( −i ) = 1.
3 − 2i
−i
Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 0; −1) và bán kính R = 1.
Vậy max z = OI + R = 02 + ( −1) + 1 = 2 ⇒ Chọn đáp án B.
2

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = k (k > 0) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z2 .
PP giải:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 ,z2 ,z .

Tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z là đường tròn có tâm I ( a; b )
và bán kính R = k .

10


Max P = AM 1 = AI + R
Khi đó: 
Min P = AM 2 = AI − R
Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao điểm M 1 , M 2 của
đường tròn ( I ,R ) với đường thẳng AI .
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 2i = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 − i lần
lượt là
A. 7.

B. 3.
C. 2.
D. 5.
Hướng dẫn:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z1 = 3 − 2 i,z2 = −1 + i,z .
Ta có I ( 3; −2 ) , A ( −1;1)




Ta có: z − 3 + 2i = z − ( 3 − 2i ) ÷ = 2 = R và z + 1 − i = z − ( −1 + i )
14 2 43
1 2 3 ÷
z2
 z1 
⇒ min z + 1 − i = AI − R = 5 − 2 = 3 ⇒
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2 : Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i = 1 , gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) là
số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P = a ( b + 2 ) .
A. P = 2 −

1
2

B. P = − 2 −

1
2

1

2

C. P = + 2

1
2

D. P = − 2

Hướng dẫn:
Ta có: z − 2 + 2i = z − ( 2 − 2i ) = 1 ⇒ I ( 2; −2 ) và
14 2 43
z1

z + 4i = z − ( −4i ) ⇒ A ( 0; −4 ) .
{
z2

Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 2; −2 ) và bán kính R = 1 .
Phương trình đường thẳng IA là: x − y − 4 = 0
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
y = x − 4
 x − y − 4 = 0
 y = x − 4

⇔
⇔

1
2

2
2
2
2
x
−
2
+
y
+
2
=
5
x
−
2
+
x
−
4
+
2
=
1
(
)
(
)
(
)

(
)
( x − 2 ) = 2


1
1


x = 2+
x = 2−
y = x − 4


1
1 
1
1 




2

2
⇔
∨
⇒ M1  2 +
; −2 +
;M2 2−

; −2 −
1 ⇔
÷
÷.
2
2
2
2


x − 2 = ± 2
 y = −2 + 1  y = − 2 − 1


2 
2
11


 uuuur 
 AM 1 =  2 +


Khi đó  uuuuur
 AM =  2 −
2




1
1 
;2 +
÷
2
2
⇒ AM 1 > AM 2 ⇒ M 2 là điểm biểu diễn số phức cần
1
1 
;2 −
÷
2
2

tìm.
1

a
=
2
−

1 
1 
1
2
z = a + bi
⇒ z = 2−
+  −2 −
i


→
⇒
P
=
a
b
+
2
=
2
−
⇒
(
)

÷
2
2 
2
b = −2 − 1

2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3 : Cho số phức z thỏa mãn: z − 2 − 2i = 1 . Số phức z − i có môđun nhỏ
nhất là:
A. 5 − 1 .
B. 5 + 1 .
C. 5 − 2 .
D. 5 + 2 .

Hướng dẫn:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 = 2 + 2 i,z2 = i,z . Ta có I ( 2; 2 )
, A ( 0;1)

⇒ min z − i = AI − R = 5 − 1
Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 :

Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = 3. Tìm môđun lớn nhất của số

phức z − 2i.
A. 26+ 6 17 . B. 26− 6 17
C. 26+ 8 17
D. 26− 4 17 .
Hướng dẫn:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z1 = 1 − 2 i,z2 = 2i,z .
Ta có I ( 1; −2 ) , A ( 0; 2 )
⇒ max z − 2i = AI + R = 17 + 3
Chọn đáp án A.
Bài toán 3 : Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = k (k > 0) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z2 .
PP giải:
Gọi I , A, M , N lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z ,z ,z,z .
1 2
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I ( a; b ) và bán
kính R = k .
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I1 ( a; −b ) và bán
kính R = k .

12


Max P = AN1 = AI1 + R
Khi đó: 
Min P = AN 2 = AI1 − R
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 13 + 1 .
Hướng dẫn:
Gọi I , A, M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của z = 2 + 3 i,z = −1 − i,z,z .
1
2
Ta có I ( 2;3) ; I1 (2; −3) , A ( −1; −1)

⇒ max z + 1 + i = AI1 + R = 1 + 13

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Biết rằng z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của mô đun số phức w = z + 2i
A. 5 − 2

B. 5 − 2

C. 2 + 5

D. 2 + 5

Hướng dẫn:

Gọi I , A, M , N lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z = 1,z = −2i,z,z .
1
2
Ta có I ( 1;0 ) ; I1 (1; 0) , A ( 0; −2 )

⇒ max z + 2i = AI1 + R = 5 + 2

Chọn đáp án D.
Bài toán 4 : Cho số phức z thỏa mãn z − z1=z − z2. Tìm GTNN của T =z − z0.
PP giải:
điều kiện z − z1=z − z2 thực chất là phương trình đường thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z , A là điểm biểu diễn hình học z1 và B là
điểm biểu diễn hình học z2 thì giả thiết tương đương với MA = MB hay M nằm
trên đường trung trực của AB . Gọi I là điểm biểu diễn hình học của z0 thì
T = IM .
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d . Giá trị nhỏ nhất
bằng.: Min T = d ( I , d )

13


Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng z − z1=z − z2,
cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng
hay đường tròn là gọi z = x + yi rồi thay vào phương trình.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . GTNN của z là:
1
3
A.
B. 2
C.

D. 2 2
2
2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi thì M ( x; y ) là điểm biểu diễn hình học của số phức z .
Từ z + i + 1 = z − 2i ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y + 2) 2 ⇔ x − y − 1 = 0 .
1
Vậy M di chuyển trên (d). Có z= OM do đó z nhỏ nhất bằng d (O; d ) =
.
2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Giá trị
nhỏ nhất của T =z − 1 + i
3
A. 3
B. 2 3
C.
D. 3 2
2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi , ta có
( z + 3 − i ) ( z + 1 + 3i ) = ( x + 3 ) + ( y − 1) i  ( x + 1) + ( − y + 3 ) i  .
Tích này có phần ảo là ( x + 3) ( − y + 3) + ( y − 1) ( x + 1) .
Phần ảo bằng 0 ⇔ 3 x − 3 y + 9 − x + y − 1 = 0 ⇔ x − y + 4 = 0 (d).
Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z thì M chạy trên đường
thẳng (d).
Gọi A(1; −1) là điểm biểu diễn −1 + i thì T = AM .
1 + 1 + 4
=3 2.
Vậy min T = d (A;d) =

2
Chọn đáp án D.
14


(

)

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là một số thực.
Giá trị nhỏ nhất của z là:
A.

B. 2 2

2

Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡

(

)

)

C.

3
2

D. 3 2

ta có

u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i = x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 6 + 2 ( x − y + 4 ) i
Ta có: u là một số thực x − y + 4 = 0 (d)
1
Min z = d (O; d ) =
2
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn z − 1 + 3i = 2 + i − z . Số phức z sao cho
z + i − 3 đạt giá trị nhỏ nhất là:
99 23
99 23
+ i
A. z =
B. z = − − i
34 17
34 17
99 23
99 23
− i
C. z =
D. z = − + i
34 17
34 17
Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) .Ta có M(x;y) là điểm biểu diễn hình học của z thỏa
mãn z − 1 + 3i = 2 + i − z ⇔ 2 x + 8 y + 5 = 0 .Tập hợp các điểm biểu diễn của z là

đường thẳng d: 2 x + 8 y + 5 = 0. Mà z + i − 3 = AM với A ( 3; −1) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua A, và vuông góc với d: 4 x − y − 13 = 0
Khi đó z + i − 3 nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi AM ⊥ d .
99 23
 99 23 
− i
Khi đó M = ∆ ∩ d . Tìm M  ; − ÷. Vậy z =
34 17
 34 17 
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Gọi z là số phức thỏa z − 1 + 2i = z + 3 − i và z − 1 + 2i nhỏ nhất. Khi
đó tổng phần thực và phần ảo của z là:
A. −

5
2

B.

23
6

C.

5
2

D. −

23

6

Hướng dẫn:
z − 1 + 2i = z + 3 − i ⇔ 8 x − 2 y + 5 = 0 ( d )
z − 1 + 2i = AM với A ( 1;−2 ) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua A, và vuông góc với d: x + 4 y + 7 = 0 .
15


Khi đó z − 1 + 2i nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi
3

⇔ AM ⊥ d . Khi đó M = ∆ ∩ d . Tìm M  −1; − ÷.
2

Chọn đáp án A.
Bài toán 5 : Trong số phức z thỏa mãn: z − z1 + z − z2 = k , ( k > 0 ) .Tìm giá trị
nhỏ nhất, lớn nhất của P = z .
PP giải:
Gọi M , M 1 , M 2 lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức z,z1 ,z2
Khi đó : z − z1 + z − z2 = k ⇔ MM 1 + MM 2 = k ⇔ M elip ( E ) nhận M 1 , M 2 làm
tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k = 2a.
Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là
F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) nên thường đề bài sẽ cho dưới dạng:
z − c + z − c = k , ( 0 < c, k ∈ ¡ )
⇒ M ∈ elip ( E ) nhận F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn
bằng k = 2a .
k

Max

z
=
a
=

2
⇒ 
2
2
 Min z = b = k − 4c

2
Ví dụ 1: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 , gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m2
bằng
A. P = −6
B. P = −13
C. P = −5
D. P = −4
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức trên, ta có:
10

M
=
z
=
a
=
=5

max

2
⇒ P = M − m 2 = 5 − 32 = −4 ⇒ Chọn đáp án

2
2
m = z = b = 10 − 4.4 = 3
min

2
D.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M + m bằng
A. 4 − 7.
Hướng dẫn:

B. 4 + 7.

C. 7.

D. 4 + 5.

16


Áp dụng công thức trên, ta có:
8

 M = z max = 2 = 4

⇒ P = M + n = 4 + 7 ⇒ Chọn đáp án B

2
2
8
−
4.3
m = z =
= 7
min

2
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + z + 2 = 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M + m ?
A. M + m =

17
2

B. M + m = 8

C. M + m = 1

D. M + m = 4

Hướng dẫn:
5

M
=

z
=
a
=
max

2
⇒P=M +n=4
Áp dụng công thức trên, ta có: 
2
2
5
−
4.2
3
m = z = b =
=
min

2
2
⇒ Chọn đáp án D
Bài toán 6 : Cho số phức z thỏa mãn z − z1= k > 0; w − w1 = w − w2 . Tìm
GTNN của T =z − w.
PP giải:
Nếu ta gọi M , N , I lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z; w;z 1 .
Gọi A, B là điểm biểu diễn hình học của w1 , w2 .Giả thiết z − z1= k > 0 suy ra
tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I và bán kính
R = k.
Còn giả thiết w − w1 = w − w2 tương đương với MA = MB hay M nằm trên

đường trung trực của AB (d ) . Mà T =z − w= MN
Giá trị nhỏ nhất bằng.: Min T = d ( I ; d ) − R

Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn = k > 0; w − w1 = w − w2
17


z1 + 5 = 5, z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i . Giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 là:

A.

5
2

B.

7
2

C.

1
2

D.

3
2

Hướng dẫn:

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z1;z 2 ,
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z1 là đường tròn có tâm I (−5;0) và bán
kính R = 5
Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng ∆ : 8 x + 6 y − 35 = 0
Mà T =z − w= MN
Giá trị nhỏ nhất bằng: Min T = d ( I ; d ) − R =

5
2

⇒ Chọn đáp án A

Bài toán 7 : Cho số phức z thỏa mãn z − z1= k > 0; w − w1 = m > 0 .Tìm
GTNN,GTLN của T =z − w.
PP giải:
Nếu ta gọi M , N , I , A lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z; w;z 1 , w1
Giả thiết z − z1= m > 0 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là
đường tròn có tâm I và bán kính R1 = k .
Giả thiết w − w1 = m > 0 suy ra tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z là
đường tròn có tâm A và bán kính R2 = m
Mà T =z − w= MN
 MaxT = IA + R1 + R2 ( Với giả thuyết là 2đường tròn ngoài nhau )
⇒ 
 MinT = IA − R1 − R2

18


Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i = 1 , số phức w thỏa mãn
w − 2 + 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − w .

A. 13 − 3
B. 17 − 3
C. 17 + 3
Hướng dẫn:
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z1;z 2 ,

D. 13 + 3

Ta có M thuộc đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 1;1) , bán kính R1 = 1 . N thuộc đường
tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( 2; −3) , bán kính R2 = 2 .
uuur
Ta có I1 I 2 = ( 1; −4 ) ⇒ I1 I 2 = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 ) và ( C2 ) ở ngoài nhau.
Min z − w = I1 I 2 − R1 − R2 = 17 − 3
⇒ Chọn đáp án B
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn | z − (1 + 5i ) |=| i z − 1 + 3i | . Tìm giá trị nhỏ
nhất của |z|.
B. 2
C. 1
D. 2
A. 3
Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b ∈ R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có
môđun nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2. .
A. M=10
B. M= 16
C. M= 26
D. M=8
Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn
nhất Pmax của biểu thức P = |z|.
A. Pmax = 12

B. Pmax = 5
C. Pmax = 9
D. Pmax = 3
Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i|. Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B.z= -2+i
C. z = 2+2i
D. z= 3+2i
Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Tìm giá trị
nhỏ nhất của z.
2
A. 2
B. 2 2
C. z=2
D.
2
Bài 6 : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z-2i|. Tìm số phức z
có môđun bé nhất.
A. z= 2+i
B. z = 3+I
C. z = 2+2i
D. z = 1+3i
i−m
, m ∈ R . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k
Bài 7 : Cho số phức z =
1 − m( m − 2i )
sao cho tồn tại m để |z + 1| ≤ k .
5 −1
5 +1

A. k =
B. k = 0
C. k =
D. k = 1
2
2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

19


Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:
Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời
xác trong
số chính xác
30s – 1p

Năm

Lớp

20192020

12B3 47

20

10

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác
30s – 1p
42

35

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán lớp
12B3 trường THPT Hàm Rồng, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú
với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm một cách
đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận
thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh
nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà
trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và tự đặt ra câu
hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính xác và hiệu
quả nhất.
3.2. Kiến nghị:

- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần số phức và nhất là
khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến
việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc
trưng của từng dạng toán để sử dụng phương pháp phù hợp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 27 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Lê Thị Phương Thảo

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12
[2]. Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ.
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác
giả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP

LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Sử dụng các phương pháp
khác nhau chứng minh bất

2.

đẳng thức Nesitt
Khai thác một phương pháp

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Sở giáo dục C
2008-2009
tỉnh Thanh

Hóa

Sở giáo dục
tỉnh Thanh
tính khoảng cách từ một điểm
Hóa
đến một mặt phẳng cho học

C

2014-2015

sinh lớp 11.

22