Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh khối 11 trường THPT hậu lộc 4

MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề

3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

18

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

19

3.1. Kết luận

19

3.2. Kiến nghị

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình hình học ở bậc trung học phổ thông, các bài toán liên
quan đến góc trong không gian trong đó có bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng
là một trong những nội dung quan trọng. Các bài tập về tính góc giữa hai mặt
phẳng thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trước đây,
đề thi THPT quốc gia hiện nay, đề thi học sinh giỏi các cấp... Tuy nhiên, các
phương pháp về tính góc giữa hai mặt phẳng thường ít được đề cập đến trong
các tài liệu tham khảo về bài tập hình học không gian, một số tài liệu có trình
bày đến phương pháp giải dạng toán này nhưng chưa đầy đủ, chưa có hệ thống
hoặc các ví dụ minh họa chưa đủ sức thuyết phục. Hơn nữa, đây là dạng toán
khó đối với học sinh, học sinh bộc lộ nhiều hạn chế như học rất nhanh quên,
chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo và không vận dụng được những kiến thức
đã học vào giải toán. Do đó đòi hỏi người học phải có khả năng tư duy, có trí
tưởng tượng trong không gian và vận dụng linh hoạt quan hệ vuông góc để tìm
ra cách xác định được góc trong từng trường hợp cụ thể.
Với thực thế ấy, để giúp học sinh có định hướng tốt hơn trong quá trình
giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng, người giáo viên cần tạo cho học sinh
thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời
giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, quy cái
chưa biết về cái đã có. Hơn thế nữa từ năm 2017 đến nay, môn toán đã được đổi
sang hình thức thi trắc nghiệm, việc hiểu và thành thạo các kỹ năng giải bài tập
càng cần thiết hơn. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số giải pháp nhằm nâng
cao kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh lớp 11 trường THPT
Hậu Lộc 4”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bồi dưỡng, hệ thống cho học sinh phương pháp giải bài toán tính góc giữa

hai mặt phẳng thông qua các ví dụ minh họa nhằm trang bị cho học sinh một số
phương pháp cũng như kỹ năng giải quyết khi đối mặt với bài toán này, góp
phần phát triển tư duy cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai
đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng
0
nhau thì góc giữa chúng bằng 0 . [1].

2.1.2. Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Giả sử hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) cắt nhau
theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kỳ trên
c , dựng trong ( α ) đường thẳng a vuông
góc với c và dựng trong ( β ) đường thẳng
b vuông góc với c .
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và

(β)

là góc giữa hai đường thẳng a và b . [1].

2.1.3. Diện tích hình chiếu của một đa
giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong
mặt phẳng ( P ) , S ′ là diện tích hình chiếu

H ′ của H trên mặt phẳng ( P′ ) và ϕ là
′
góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( P ) thì
S ' = S .cos ϕ
[1].

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát
chất lượng học tập của học sinh hai lớp 11A6 và 11A8 trường THPT Hậu Lộc 4
với đề thi tự luận như sau:

KIỂM TRA 45 PHÚT
3


Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết
AB = a, AD = a 3 , cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Tính góc giữa:

( SCD ) và ( ABCD ) .
SCD ) và ( SCD ) .
Hai mặt phẳng (

a) Hai mặt phẳng
b)

KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
Số SL % SL % SL % SL % SL
%
11A6 39
1 2.6 7 17.9 17 43.6 11 28.2 3
7.7
11A8 40
3 7.5 13 32.5 14 35.0 9 22.5 1
2.5
Tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được câu a), một số học sinh làm
được câu b). Tuy nhiên việc trình bày bài còn chưa khoa học và chặt chẽ, kỹ
năng vẽ hình còn kém, tính toán còn nhiều sai sót.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
2.3.1. Giải pháp 1: Tính góc giữa hai
mặt phẳng bằng cách sử dụng định
nghĩa:
Bước 1. Dựng các đường thẳng a và
b:

a ⊥ (α)



Bước 2

.

b⊥(β)

Khi đó góc giữa hai mặt

phẳng ( α ) ,( β ) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b .
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa hai mặt phẳng
( BA′C ) và ( DA′C ) . [7]
′
′
Phân tích: Nhìn vào hình vẽ ta có thể nhận thấy AB ⊥ ( A BC ) và
AD′ ⊥ ( A′CD )
. Như vậy bài toán quy về tính góc
giữa hai đường thẳng AB′ và AD′ .
Lời giải
 AB′ ⊥ A′B
⇒ AB′ ⊥ ( A′BC ) .

AB′ ⊥ BC

Ta có
′
′

Chứng minh tương tự ta cũng có AD ⊥ ( A CD ) .

4


′
′
Do đó góc giữa hai mặt phẳng ( BA C ) và ( DA C ) bằng góc giữa hai đường
thẳng AB′ và AD′ . Dễ có AB′ = AD′ = B′D′ nên tam giác AB′D′ đều. Suy ra
0
góc giữa hai đường thẳng AB′ và AD′ bằng 60 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng
( BA′C ) và ( DA′C ) bằng 600.
-

-

Nhận xét:
Đây là bài toán cơ bản vận dụng trực tiếp định nghĩa. Các bước làm cụ thể rõ
ràng giúp cho học sinh có được cách trình bày lời giải ngắn gọn, đầy đủ, chính
xác.
Việc sử dụng trực tiếp định nghĩa vào tính góc giữa hai mặt phẳng được vận
dụng vào giải các bài toán tương tự ở các ví dụ 2, 3 dưới đây.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SD . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AHK ) và ( ABCD ) . [8]
Phân tích:

Ta đã có sẵn SA ⊥ ( ABCD ) . Như vậy ta chỉ cần tìm thêm một đường thẳng
vuông góc với ( AHK ) . Dễ dạng nhận thấy
đó là SC. Như vậy ta quy về tính góc giữa

SC và SA.
Lời giải
Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH .

Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC
AK ⊥ SC
Tương tự ta cũng có
⇒ SC ⊥ ( AHK )
Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) . Do đó góc giữa

hai mặt phẳng ( AHK ) và ( ABCD ) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và SA ,
·
tức là góc ASC .
·
Dễ thấy AC = a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A . Vậy ASC = 45° .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2 BC và
·
BAC
= 120°. Hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là
M và N . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AMN ) .
Lời giải

·
·
Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên ABD = ACD = 90° .
5


Do

 BD ⊥ BA

 BD ⊥ SA

⇒ BD ⊥ ( SAB )

BD ⊥ AM và AM ⊥ SB hay

hay
AM ⊥ ( SBD )

⇒ AM ⊥ SD .
Chứng minh tương tự ta được AN ⊥ SD .
SD ⊥ ( AMN )
Suy ra
SA ⊥ ( ABC ) . Do đó góc giữa 2
Mặt khác
ABC )
AMN )
mặt phẳng (
và (
bằng góc
·DSA
giữa SA và SD, tức bằng góc
.
BC = 2 R sin A

= AD.

3

2

Ta có
⇒ SA = 2 BC = AD 3 .
1
AD
=
tan ·ASD =
3 ⇒ ·ASD = 30° .
SA
Vậy
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA ⊥ ( ABCD ) SA = x
,
. Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) tạo với
nhau một góc 60°. [4]
Phân tích:
Đây là một bài toán thuộc thể loại có hình vẽ
quen thuộc. Dễ dàng dựng được 2 đường
thẳng cùng đi qua A và lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) . Cụ thể
từ A kẻ AN ⊥ SB thì AN ⊥ ( SCD ) , kẻ
AN ⊥ SD thì AM ⊥ ( SCD ) . Từ đó góc giữa
2 mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) bằng góc giữa
AM và AN.
Lời giải
Ta có ( SCD ) ⊥ ( SAD ) , vẽ AN ⊥ SD tại N ⇒ AN ⊥ ( SCD ) .
( SAB ) ⊥ ( SBC ) , vẽ AM ⊥ SB tại M ⇒ AM ⊥ ( SBC ) .

Do đó góc giữa 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) bằng góc giữa AM và AN, tức

·
bằng góc MAN .
6


=

ax

SM MN
=
x 2 + a 2 , SB
BD

2
2
Ta có SB = SD = x + a , AM = AN
SM .BD
⇒ MN =
SB
x2
.a 2
2
2
x2
x
+
a
x2a 2
SM =

⇒ MN =
⇒ MN = 2
x2 + a2
x2 + a2
x + a2 .
xa
x 2a 2
⇒
= 2
2
2
x + a2 ⇔ x2 + a2 = x 2
x
+
a
∆AMN đều cho ta MN = AM
⇔ x=a.
Nhận xét:
- Nhóm các bài toán tìm điều kiện để hai mặt phẳng tạo với nhau một
góc cho trước cần yêu cầu học sinh nắm chắc cách xác định góc giữa
hai mặt phẳng. Từ đó kết hợp
với giả thiết để tìm mối liên hệ
giữa các yếu tố chưa biết với các
yếu tố đã biết.
- Giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh kỹ năng xác định quy trình
giải toán, biết cách giải quyết
các vấn đề nảy sinh một cách
khoa học, hình thành học sinh
biết tương tự hóa, biết quy lạ về quen khi giải quyết những bài toán.

2.3.2. Giải pháp 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng khi 2 mặt phẳng cắt nhau:
“Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2
mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm”.
Bước 1. Tìm giao tuyến d của ( α ) và ( β )
Bước 2. Chọn điểm O trên d , từ đó:
( α ) dựng Ox ⊥ d .
 Trong
( β ) dựng Oy ⊥ d .
 Trong
Bước 3. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( α ) ,( β ) bằng góc giữa hai đường
thẳng Ox, Oy .

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình
vuông A′B′C ′D′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2 MI . Khi
MC ′D′ ) và ( MAB ) bằng
đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (
7


6 85
A. 85 .

7 85
B. 85 .
17 13
C. 65 .
6 13
.
65

D.
[5]

Phân tích:
Ở ví dụ này, việc tìm ra 2 đường thẳng a,
b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
( MC ′D′ ) và ( MAB ) là tương đối khó khăn.
Hai mặt phẳng trên có 1 điểm chung M và lần lượt chứa 2 đường thẳng song
MC ′D′ ) và ( MAB ) là
song là C ′D′ và AB nên giao tuyến d của 2 mặt phẳng (
đường thẳng qua M và song song với AB.
- Điểm mấu chốt của bài toán này là 2 tam giác MAB, MC ′D′ cân nên từ M ∈ d
dễ dàng tìm được các đường thẳng MP, MQ lần lượt thuộc hai mặt phẳng trên và
cùng vuông góc với giao tuyến d . Từ đó ta chuyển bài toán về tìm góc giữa hai
đường thẳng MP và MQ .
Lời giải
Không mất tính tổng quát, ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6.

Hai mặt phẳng ( MC ' D ') và ( MAB ) lần lượt chứa hai đường thẳng song song
C ' D ', AB nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua M và song
song với AB .
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của C ' D ', AB . Các tam giác ∆MC ' D ', ∆MAB
cân ở M nên MP ⊥ C ' D ', MQ ⊥ AB .
Do đó nếu α là góc giữa hai mặt phẳng ( MC ' D ') và ( MAB ) thì
·
cos α = cosPMQ
Ta có IP = 3, MI = 1, OM = 2, MJ = 5

⇒ MP = IM 2 + IP 2 = 10, MQ = MJ 2 + JQ 2 = 34, PQ = 6 2.
Áp dụng định lí côsin ta được

MP 2 + MQ 2 − PQ 2
−14
·
cos PMQ
=
=
2MP.MQ
340 .
MC ′D′ ) và ( MAB ) ta có
Góc α là góc giữa hai mặt phẳng (
8


14
7 85
=
.
85
340

·
cos α = cos PMQ
=

Vậy chọn phương án B.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, có AB = 2a và góc
·
BAD
= 120° . Hình chiếu vuông góc của S

xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) trùng với
SI =

a
2.

giao điểm I của hai đường chéo và
Tính góc tạo bởi mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( ABCD ) .
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Phân tích:
Khi gặp bài toán xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy, ta thường dựng một mặt
phẳng đi qua chân đường cao của hình chóp và vuông góc với giao tuyến của
mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó. Ở đây từ tâm I của đáy ta dựng IH vuông
·
góc với giao tuyến AB . Khi đó góc cần tìm là góc SHI .
Lời giải

·
·
Ta có BAD = 120° ⇒ BAI = 60°
 BI = AB sin 60° = a 3

Suy ra:  AI = AB cos 60° = a

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có: AB ⊥ ( SHI ) ⇒ AB ⊥ SH
·
Do đó: ϕ = ( SH , IH ) = SHI
1
1
1
3
= 2 + 2 ⇔ IH =
a
2
IA
IB
2
Xét tam giác vuông AIB có: IH
·
tan SHI
=

SI
1
·
=
⇒ SHI
= 30°
HI
3
hay ϕ = 30° .

Vậy chọn phương án A.

9


Nhận xét: Xuất phát từ bài toán cơ bản trên giáo viên có thể tạo ra điều kiện tốt
cho học sinh phát huy sáng tạo, sức tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng các bài
toán cơ bản và phương pháp giải tương ứng để khai thác các bài toán tương tự ở
các ví dụ tiếp theo sau đây.
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) vuông góc với
0 ·
·
nhau, SA vuông góc với mp ( ABC ) , SB = a 2, BSC = 45 , ASB = α . Xác định

α để hai mặt phẳng ( SCA ) và ( SCB ) tạo với nhau góc 600 . [3]

Phân tích:
Đối với một hình chóp, việc xác định góc giữa hai mặt bên ta thường nghĩ tới
việc dựng hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt bên đó và cùng vuông góc
với giao tuyến tại một điểm. Trong ví dụ này ta dựng một mặt phẳng qua A và
vuông góc với giao tuyến SC của 2 mặt phẳng ( SCA ) và ( SCB ) . Khi đó bài toán
trở về tìm góc giữa hai đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng đó với 2 mặt
phẳng ( SCA ) và ( SCB ) .
Lời giải
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Dễ chứng minh
được AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ HK , AH ⊥ SC .
Do đó SC ⊥ ( AHK ) . Suy ra ·AKH là góc giữa ( SCA ) và ( SCB ) .
0
Ta có AH = SH .tan α , HK = SH .sin 45 .

0
Vậy hai mặt phẳng ( SCA ) và ( SCB ) tạo với nhau góc 60 khi và chỉ khi

2
6
. 3 ⇔ tan α =
.
0 ⇔ SH .tan α = SH .
AH = HK .tan 60
2
2

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC . A′B′C ′ có AB = 2 3 và AA′ = 2 . Gọi M ,
N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A′B′ ,
A′C ′ và BC . Côsin của góc tạo bởi hai mặt
AB′C ′ ) và ( MNP ) bằng
phẳng (
6 13
13
A. 65 .
B. 65 .
C.
17 13
65 .

18 13
D. 65 [6]
Lời giải
10


Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN , B′C ′ . Gọi O = PI ∩ AQ .

O ∈ ( AB′C ′ ) ∩ ( MNP )

 B′C ′ // MN
 B′C ′ ⊂ ( AB′C ′ ) , MN ⊂ ( MNP )
Khi đó 
nên
AB′C ′ ) và ( MNP ) là đường
giao tuyến của (
thẳng d qua O và song song MN , B′C ′ .
Tam giác AB′C ′ cân tại A nên
AQ ⊥ B′C ′ ⇒ AQ ⊥ d .
Tam giác PMN cân tại P nên
PI ⊥ MN ⇒ PI ⊥ d .

′ ′
Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB C ) và ( MNP ) là góc giữa AQ và PI .
5
IP
=
2.
Ta có AP = 3 , AQ = 13 ,
AP
=2
∆
OAP
∽
∆
OQI
IQ
Vì

và
nên

2
5
2
2 13
OP = IP =
AQ =
3
3 ;
3
3.
′ ′
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( AB C ) và
( MNP ) . Ta có
·
cos ϕ = cos ( AQ, PI ) = cos AOP
OA =

OA2 + OP 2 − AP 2
13
=
=
2OA.OP
65 .
Vậy chọn phương án B.

2.3.3. Giải pháp 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng diện tích
hình chiếu của của một đa giác:

Bước 1: Xác định đa giác H nằm trong mặt phẳng ( α ) và hình chiếu vuông
góc H ' của H trên mặt phẳng ( β ) .
Bước 2: Tính diện tích S của đa giác H và diện tích S' của đa giác H ' .
Bước 3: Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) theo công thức

cos ϕ =

S'
S .
11


Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
BA = BC = a; SA vuông góc với đáy, SA = a . Góc ϕ giữa hai mặt phẳng

( SAC )

A. 30°

và ( SBC ) bằng

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Phân tích: Ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC = ( SAC ) ∩ ( SBC ) nhưng
lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều
thời gian tính toán…, không phù hợp với yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc

nghiệm. Đồng thời nhận thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên ( SAC ) và
tính diện tích hai tam giác ∆SHC , ∆SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng công
thức diện tích hình chiếu của đa giác đa giác để giải quyết.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC ⇒ BH ⊥ AC .
Vì BH ⊥ AC , BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC )

⇒ ∆SHC là hình chiếu của ∆SBC lên

( SAC ) ⇒ cosϕ =

S∆SHC
S∆SBC

2
2
Ta có: AC = BA + BC = a 2

S∆SHC =

1
1 a 2 a2 2
SA.HC = a.
=
2
2
2
4

Vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB )

⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.

12


Khi đó:

S∆SBC

cos ϕ =
Vậy

1
1
a2 2
2
2
= SB.BC = . a + a .a =
2
2
2

S∆SHC
S ∆SBC

a2 2
1
= 24 = ⇒ ϕ = 60°
a 2 2

2
.

Vậy chọn phương án C.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với
·
AB = AC = a , góc BAC
= 120° , BB ' = a và I là trung điểm của CC ' . Tính
côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) .
Lời giải
·
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ BAM = 60° .
·
sin MAB
=

BM
AB .

Xét ∆ABM vuông tại M, có
a 3
⇒ BM = sin 60°. AB =
⇒ BC = 2.BM = a 3.
2
2
2
Ta có AB ' = AB + B ' B = a 2,
IB ' = IC '2 + B ' C '2 =

Và

a 13
.
2

a 5
⇒ AI 2 + AB '2 = IB '2
2
⇒ ∆AB ' I vuông tại A.
1
a 2 10
1
a2 3
⇒ S ∆AB ' I = . AI . AB ' =
S∆ABC = AM .BC =
2
4
2
4 .
và
AI = AC 2 + IC 2 =

Mà ∆ABC là hình chiếu của

∆AB ' I ⇒ cos ϕ =

S ABC
3
=
S AB′I

10 .

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông cạnh a
và chiều cao AA′ = 6a . Trên CC ′ lấy điểm M, trên DD′ lấy điểm N sao cho
C ′M = 2MD, DN = 2 ND′ . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( B′MN ) và

( ABCD ) .

13


20
A. 21 .

21
B. 21 .

22
C. 21 .

23
D. 21 .

Lời giải
′
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( B MN )
và ( ABCD ) .

a2
= ; D′N = 2a; C ′M = 4a.

2

S BCD
Ta có
Lại có
B′D′ = a 2; B′N = B′D′2 + D′N 2 = a 6.
B′M = B′C ′2 + C ′M 2 = a 17;
MN = a 2 + ( 2a ) = a 5.
2

S = p ( p − a) ( p − b) ( p − c )
Theo công thức Hê-rông
ta tính được
2
a 21
S BMN =
2 .
Do ∆BDC là hình chiếu của ∆B′MN nên theo công thức hình chiếu ta có
S
21
cos ϕ = BCD =
S B′MN
21 .
Vậy chọn phương án B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với
mặt đáy. Gọi N là trung điểm của SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo một
2
thiết diện có diện tích S = 2a 3. Tính góc giữa
mặt phẳng (NDC) và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải

Gọi ϕ là góc giữa mặt phẳng (NDC) và mặt
phẳng (ABCD). Do CD / / AB nên (NCD) cắt

(SAB) theo giao tuyến MN / / AB ⇒ MN là
đường trung bình của tam giac SAB. Khi đó thiết
diện là hình thang MNDC.
Gọi H là hình chiếu của M trên (ABCD) thì H là
a + 2a
S AHCD =
.2a = 3a 2
2
trung điểm của AB và
.
14


Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên mặt phẳng (ABCD) nên
theo công thức hình chiếu ta có
S AHCD
3a 2
3
cos ϕ =
= 2
=
S NMCD 2a 3
2 . Do đó ϕ = 300 .
Nhận xét: Như vậy thông qua các ví dụ trên ta có thể nhận thấy việc sử dụng
công thức diện tích hình chiếu của một đa giác lên một mặt phẳng giúp giải
quyết vấn đề dễ dàng, rút gọn các bước tính toán để tìm ra kết quả cuối cùng mà
không cần cụ thể hóa việc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Đó chính là tính ưu

việt của phương pháp này.
2.3.5. Giải pháp 4: Tính góc giữa hai mặt phẳng dựa vào khoảng cách:
Cho tứ

BCD ) và ( ACD ) , CD là
diện ABCD , đặt ϕ là góc giữa mặt phẳng (

giao tuyến của

( BCD ) và ( ACD ) .
sin ϕ =

d ( A, ( BCD ) )

Khi đó ta có:

d ( A, CD )

Chứng minh:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên
BCD )
mặt phẳng (
và CD . Khi đó

CD ⊥ ( SHK ) ⇒ HK ⊥ CD, SK ⊥ CD.

Vậy góc giữa mặt phẳng
·
là ϕ = SKH .
sin ϕ =

Do đó:

( BCD )

và

( ADC )

AH d ( A, ( BCD ) )
=
.
AK
d ( A, CD )

Ví dụ 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AD = 2a, AB = a . Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Cạnh
SA = a 5. Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SCD ) .

15


Phân tích: Xét riêng vào tứ diện SACD , theo công thức đã chứng minh ở trên
d ( A, ( SCD ) )
sinϕ =
d ( A, SC )
ta có
, với ϕ là góc
SAC )
giữa hai mặt phẳng (

và ( SCD ) .
Như vậy bài toán quy về việc tính khoảng
cách từ A đến SC và đến mặt phẳng
( SCD ) rồi áp dụng công thức nêu trên.
Lời giải
Gọi H ,K lần lượt là hình chiếu của A lên
SD, SC và ϕ góc giữa hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SCD ) . Ta có:
SA. AD
2a 5
d ( A; ( SCD ) ) = AH =
=
.
3
SA2 + AD 2
d ( A; SC ) = AK =

SA. AC

=

a 10
2 .

SA2 + AC 2
Lại có ( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC
d ( A, ( SCD ) ) AH 2 2
⇒ sin ϕ =
=
=

d ( A, SC )
AK
3

.

Nhận xét: Trong nhiều bài toán, việc xác định định tính góc giữa hai mặt phẳng
là tương dối khó khăn. Khi đó giải pháp 4 tỏ ra vô cùng hiệu quả khi không cần
xác định cụ thể góc cần tìm nhưng vẫn định lượng chính xác góc giữa hai mặt
phẳng đó.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B , SA vuông góc với mặt đáy, AB = BC = a, AD = 2a . Nếu góc giữa SC và
0
mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SCD )
bằng
A. ϕ = 60° .
B. ϕ = 45° .
C. ϕ = 30° .
D. ϕ = 90° .
Lời giải

16


Vì AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABCD ) nên góc giữa SC và mặt
0
·
phẳng ( ABCD ) là góc SCA = 45 .
Do đó tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ SA = AC = a 2 . Suy ra tam giác
ACD vuông tại C ⇒ CD ⊥ ( SAC ) .

Gọi I là trung điểm của AD . Dễ có ABCI là hình vuông nên IA = ID = IC .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD .
Ta có CD ⊥ AH , AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ ( SCD ) . Suy ra

d ( A, ( SCD ) ) = AH =
AK =

SA. AC
SA2 + AC 2

AS . AD

=

= a.

2 3
a
3 .

AS 2 + AD 2
Ngoài ra
Lại có ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD nên
d ( A, ( SCD ) ) AH
3
sin ϕ =
=
=
⇒ ϕ = 600
d ( A, SD )

AK
2

.

Vậy chọn phương án A.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy.Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng
( SBC ) và ( SCD ) .
Lời giải
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Khi đó SH là đường cao của hình chóp và
a 3
SH =
.
2 Gọi K và P lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H, B lên SI, SC. Suy ra
CD ⊥ ( SHI ) ⇒ CD ⊥ HK
.
Mà SI ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SCD ) .

Do

BH / / ( SCD )

nên:

d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) )

= HK =

SH .HI
SH 2 + SI 2

=

a 21
7
17


SB = SH 2 + BH 2 = a , SC = SB 2 + BC 2 = a 2.
Tam giác SBC vuông cân tại B nên
Gọi

d ( B, SC ) = BP =

SC a 2
=
.
2
2

ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) .

Ta có

( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC . Khi đó:

sin ϕ =

d ( B, ( SCD ) )
d ( B, SC )

=

42
.
7

Do sin 2 ϕ + cos 2ϕ = 1 ⇒ cosϕ = 1 − sin 2 ϕ =

7
.
7

Ví dụ 4. Cho tứ diện D.ABC có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt
0
·
·
phẳng (DBA) và (DBC) vuông góc với nhau, DB = a 2 , BCD = 45 , ADB = α

π

0 <α < ÷
2  . Xác định góc α để góc giữa hai mặt phẳng (DCA) và (DCB) bằng

600 . [7].

Lời giải

Do ( DBC ) ⊥ ( DAB ) , ( ABC ) ⊥ ( DAB )
⇒ BC ⊥ ( DAB )

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Khi đó

AH = d ( A, ( DBC ) ) , AK = d ( A, DC )

.

Theo giả thiết ta tính được
DA = DBcosα = a 2 cosα , AB = DB sinα = a 2 sinα , DC = DB.sin 450 = 2a .
18


AC = DC 2 − AD 2 = a 2 ( 1 + sin 2 α )

AK =

AD. AC
AD 2 + AC 2

=

, AH = DA.sin α = a 2 sin α cosα

a 2 cosα .a 2 ( 1 + sin 2 α )

2a 2cos 2α + 2a 2 ( 1 + sin 2 α )

= acosα

( 1 + sin α ) .
2

Lại có ( SAC ) ∩ ( SBC ) = SC

sin ϕ =

d ( A, ( SCD ) )
d ( A, SC )

=

AH
a 2 sin α cosα
3
⇔ sin600 =
⇔
=
AK
2
a.cosα ( 1 + sin 2 α )

2 sin α

( 1 + sin α )
2

3
3
π
⇔ 3 ( 1 + sin 2 α ) = 8sin 2 α ⇔ sin 2 α = ⇒ sin α =
(do 0 < α < ).
5
5
2
Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta nhận thấy việc tính góc giữa hai mặt phẳng
bằng cách sử dụng khoảng cách đã thể hiện tính ưu việt khi giải quyết triệt để
những bài toán định hướng liên quan đến mối quan hệ của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng với góc giữa hai mặt phẳng (như ở ví dụ 2), tính các giá trị lượng
giác của góc giữa hai mặt phẳng (như ở ví dụ 3), hay các bài toán định lượng về
góc ở mức độ vận dụng cao (như ở ví dụ 4).
2.3.6. Giải pháp 5: Bài tập tự luyện.
Mục đích:
- Cũng cố, khắc sâu kiến thức về tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến
mặt bên của hình chóp.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính
xác khi làm bài cho học sinh.
Yêu cầu:
- Học sinh hoàn thành bài tập được giao trong một tuần.
Bài tập tự luận
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Tính góc giữa hai
′
′
mặt phẳng ( BA C ) và ( DA C ) .
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a .
ABC )
Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (

trùng với trung điểm H
0
của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính góc giữa hai
′ ′
mặt phẳng ( BCC B ) và ( ABC ) .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
SBC )
SCD )
vuông góc với đáy và SA = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng (
và (
.
19


α
Bài 4. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ . Một mặt phẳng ( ) hợp với
0
mặt phẳng đáy ( ABCD ) một góc 45 và cắt các cạnh bên của lăng trụ tại

M , N , P, Q . Tính diện tích thiết diện, biết cạnh đáy của lăng trụ bằng a .
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của
góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Bài tập trắc nghiệm
Bài 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD )
bằng
0
0
0
300 .

B. 45 .
C. 90 .
D. 60 .
A.
Bài 7. Lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng a . Gọi M là điểm
3a
AM =
4 . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng ( MBC )
trên cạnh AA′ sao cho
và ( ABC ) là

2
3
1
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Bài 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = x . Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) tạo với
o
nhau góc 60 .
3a
a
x= .
x= .
2
2
A.
B.

C. x = a .
D. x = 2a .
Bài 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng ( P ) .
Trên các đường thẳng vuông góc với ( P ) tại B, C lần lượt lấy D, E nằm trên
a 3
BD =
, CE = a 3
P
2
cùng một phía đối với ( ) sao cho
. Góc giữa ( P ) và
( ADE ) bằng bao nhiêu?

0
0
0
0
A. 30 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AB = 2a , AD = 3a ,
AA′ = 4a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( AB′D′ ) và ( A′C ′D ) . Giá trị của
cosα bằng

29
A. 61 .

27
B. 34 .

2
C. 2 .

3
D. 2 .

20


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào việc dạy một số tiết tự
chọn trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng
tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy bằng một đề kiểm tra 45
phút.
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a , hai
mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy, SC = 3a .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) .
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBD ) .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) .

KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ

Lớp
Số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A6 39
13 33.3 14 35.9
9
23.1
3
7.7
0
0
11A8 40
16 40.0 18 45.0
5
12.5
1
2.5
0
0
Thông qua bảng số liệu có thể khẳng định một điều: Việc triển khai sáng
kiến kinh nghiệm này thông qua các buổi học tự chọn, bồi dưỡng mang lại kết

quả rất tốt cho học sinh.
Thực tế cho thấy, học sinh hào hứng và thích thú khi thực hiện đề tài này.
Đa số các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập, biết trình bày lời giải một cách
khoa học, chặt chẽ, đầy đủ. Ngoài ra học sinh còn thành thạo kỹ năng vẽ hình,
nhận biết giả thiết nhanh chóng, tư duy vấn đề linh hoạt …
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Kiến thức được trình bày trong đề tài đã được giảng dạy cho các em học
sinh trung bình khá ở lớp 11. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một
cách say mê, hứng thú.
Qua trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, việc tổng kết rút kinh nghiệm từ
thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng vào
cho đối tượng học sinh khối 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, cũng như
học sinh ôn thi vào đại học, cao đẳng của trường THPT Hậu Lộc 4.
Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề
tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô giáo và các em học sinh để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có
ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
3.2. Kiến nghị

21


Tổ chuyên môn cho phép được sử dụng sáng kiến kinh nghiệm ở một số
lớp mà tác giả không giảng dạy để tăng thêm tính khách quan trong việc kiểm
nghiệm kết quả.
Nhà trường cần có hỗ trợ hơn nữa cho những sáng kiến kinh nghiệm có
chất lượng để khích lệ tinh thần nghiên cứu khoa học của giáo viên và nhân
viên.
Sở Giáo dục và Đào tạo cần phổ biến những sáng kiến kinh nghiệm hay

đến các nhà trường để các giáo viên học hỏi.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 6 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Văn Tuấn

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Hình học nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Bài tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất
bản giáo dục.
[4]. Trần Hữu Nam (Tổng biên tập), Tạp chí toán học tuổi trẻ, Nhà xuất bản
giáo dục.
[5]. Bộ đề thi THPT quốc gia môn toán, Bộ giáo dục và đào tạo.
[6]. Bộ đề minh họa, tham khảo kỳ thi THPT quốc gia môn toán, Bộ giáo dục và
đào tạo.
[7]. Bộ đề tuyển sinh đại học môn Toán, Bộ giáo dục và đào tạo.
[8]. Tài liệu sưu tầm trên mạng Internet.

23