Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 trường THCS nguyễn hồng lễ

MỤC LỤC
TT

Nội dung

Trang

1

Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết luận, kiến nghị.
Kết luận
Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng sáng
kiến kinh nghiệm ngành giáo dục và đào tạo huyện, Tỉnh và
các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên

1
1

1
2
2
2
2
2
3
4
16

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

2
2.1
2.2
2.3
2.4

3
3.1
3.2

16
16
17
18

19

1. MỞ ĐẦU.

1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình THCS, môn toán chiếm một vai trò rất quan trọng. Với
đặc thù là một môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát


triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi khám phá tri thức, và khả
năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của mình vào thực tế, cuộc sống. Mà
toán học còn là môn học công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp
phần phát triển năng lực cho học sinh một cách toàn diện.
Chính vì thế việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học, giúp các
em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm
cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém trong học toán là một yêu cầu tất yếu đối với
giáo viên dạy toán. Nhất là đất nước ta đang trong thới kỳ hội nhập, thời kỳ công
nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu
biết, có tri thức...
Trong chương trình môn đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành
nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng, không chỉ để phân tích một đa thức
thành nhân tử mà còn sử dụng nó trong việc làm một số bài toán khác. Việc áp
dụng dạng toán này rất phong phú, đa dạng như biến đổi đồng nhất các biểu thức
hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của
phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… hầu hết sử
dụng phương pháp biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy giáo viên cần
phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng
toán trong chương trình lớp 8 và là cơ sở cho các em học ở lớp trên.
Qua thực tế giảng dạy: Phân tích đa thức thành nhân tử không khó nhưng

nhiều học sinh nắm chưa chắc, chưa vận dụng biến đổi linh hoạt, sáng tạo vào
giải toán. Chính vì vậy mà tôi đã chọn đề tài:
“ Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8
tại trường THCS Nguyễn Hồng Lễ ”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày nội dung “Phân tích đa
thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 tại trường THCS
Nguyễn Hồng Lễ” Cụ thể là :
Mục đích của phương pháp này giúp nâng cao chất lượng môn Toán cho
học sinh lớp 8, rèn luyện cho học sinh phải tích cực chủ động biết tự học tự tìm


2
hiểu thêm ngoài những kiến thức SGK, phải tham khảo thêm nhiều tài liệu.
Người giáo viên không phải chỉ đưa ra kiến thức mà phải hướng dẫn các em tự
học tự tìm tòi. Điều này đặc biệt quan trọng cần thiết trong công tác BDHSG,
muốn thành công được khả năng tự học của học sinh phải tốt, học sinh say mê
yêu thích môn Toán, mỗi bài toán tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tăng
cường khả năng tự học, tự sáng tạo của học sinh điều này rất có ích trong
BDHSG ở Trường THCS Nguyễn Hồng Lễ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy Toán lớp 8A2 và bồi dưỡng HSG lớp 8
Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 8A2, HSG trường THCS Nguyễn Hồng
Lễ.
Đề tài nghiên cứu về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong
dạy học toán lớp 8 để giúp học sinh biết, nắm vững hơn, rộng hơn về phân tích
đa thức thành nhân tử nói riêng và học toán nói chung trong học toán lớp 8 và
BD HSG lớp 8.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thực hành
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế
- Phương pháp thu thập thong tin
- Đúc rút một phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy
môn Toán lớp 8
1.5. Những điểm mới của SKKN( đây là SKKN làm lần đầu)


3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó
thành tích của những đa thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử, là một trong những chuyên đề toán học
quan trọng có liên quan đến rất nhiều các chuyên đề Đại số lớp 8 và các lớp học
sau này.
- Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng biến
đổi đầu tiên của chương trình đại số.
- Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta không chỉ sử dụng một
phương pháp mà ta có thể phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.
- Đặc biệt trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy học
theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được
tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những bài toán cụ thể, các
phương pháp giải cụ thể, sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản một cách
chắc chắn, và tạo ra sự hứng thú, say mê học tập tìm tòi nghiên cứu các bài tập
nâng cao.
- Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử và
ứng dụng trong dạy học toán lớp 8” không chỉ phát huy tính năng động sáng
tạo cho học sinh mà nó còn phát huy được khả năng liên hệ kiến thức cũ và mới

cho học sinh. Bên cạnh đó nó còn có tác động tích cực đến khả năng vận dụng
kiến thức đã học vào thực tế đời sống hàng ngày. Từ đó giúp các em tiến bộ hơn,
thành đạt hơn trong học tập, cũng như trong đời sống, để các em có thể hoàn
thành ước mơ, hoài bão của mình trong đời sống, và kế thừa sự nghiệp của đất
nước, tiếp thu vận dụng sáng tạo nền văn minh của nhân loại.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
- Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để các
em có thể biến đổi, rút gọn các biểu thức đại số và đây là một trong những kỹ
năng quan trọng trong học đại số. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy có nhiều
giáo viên lại không chú trọng đến vấn đề này, mà lúc nào cũng yêu cầu học sinh
phải rút gọn thành thạo các biểu thức đại số.
VD: Rút gọn biểu thức A= (

x
x −4
2

+

1
x+2

-

2
)
x−2

: (1 -

x
)
x+2


4
Để rút gọn được biểu thức trên, thì học sinh phải biết cộng trừ các phân
thức đại số ⇒ phải biết quy đồng mẫu các phân thức ⇒ phải biết tìm mẫu
chung ⇒ phải biết phân tích đa thức thành nhân tử.
-Đối với học sinh:
- Trong thực tế hiện nay mức độ biến đổi tính toán của các em cũng đang còn
một số vướng mắc, đặc biệt các dạng toán khác mà trong đó có liên quan đến
phân tích thành nhân tử
- Trong các năm gần đây các đề thi luôn có phần thi rút gọn biểu thức
- Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải một số dạng toán
nâng cao rất hiệu quả trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Khảo sát học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó tại
lớp 8A3 trường THCS Nguyễn Hồng Lễ năm học 2018 – 2019 kết quả phản
ánh như sau:
Lớp

Số HS kiểm
Giỏi
Khá
TB
Yếu
tra
8A3
43
13 30,2% 18 41,9%

9
20,9%
3
7,0%
Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp
thực hiện như sau:
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Với hoạt động giảng dạy của giáo viên lớp chính khóa :
Qua các tiết học, Tôi đã thực hiện nhiều biện pháp kết hợp; dành sự quan
tâm đặc biệt đến đối tượng học sinh; tăng cường việc vận dụng đổi mới các
phương pháp dạy học nhằm phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo
của học sinh ; tạo cho mình có những phương pháp dạy học đặc trưng, qua đó
tạo sự hứng thú cho các em trong việc học tập bộ môn Toán 8 một cách có hiệu
quả .Để thực hiện được điều đó, giáo viên phải thực hiện một số biện pháp sau:
+ Giáo viên giảng dạy môn Toán 8 phải biết tạo ra các tình huống có vấn đề một
cách dí dỏm, nhẹ nhàng; nêu câu hỏi đặt vấn đề; câu hỏi dẫn dắt gợi mở phù hợp
với đối tượng học sinh yếu; giảng kĩ; chỉ bảo một cách tỉ mỉ như: cách ghi chép
bài và nghe giảng; cách viết, cách đặt phép toán cho đúng và chính xác; cách
học bài và làm bài tập về nhà; việc chuẩn bị bài, đọc bài mới trước khi đến lớp;
qua đó giúp học sinh biết cách tự học hiệu quả; biết cách phân tích tìm ra lời giải
của bài toán; biết cách giải những bài toán có nội dung tương tự; rèn luyện được
cho học sinh có tính cẩn thận chính xác trong học tập và tạo được hứng thú cho
các em. Từ việc học sinh biết cách giải bài tập, tôi hướng dẫn và tập cho các em


5
biết cách trình bày lời giải của bài toán là: các kết luận; các khẳng định đều phải
có căn cứ; dùng từ ngữ phải rõ ràng; đầy đủ các bước.
+ Trong giờ học, tôi chủ động tạo không khí vui vẻ, gần gũi; chia sẻ; giúp đỡ
học sinh; khuyến khích học sinh bộc bạch những lo lắng; khó khăn; những kiến

thức chưa hiểu rõ; để phát hiện ra những kỹ năng học sinh còn yếu kém; những
“lỗ hổng” kiến thức của học sinh; từ đó có kế hoạch tổ chức phụ đạo thêm cho
học sinh vào buổi chiều: giúp đỡ các em ôn tập lại các kiến thức có liên quan; bù
đắp những lỗ hổng kiến thức ở các lớp dưới.
+ Cũng thông qua nội dung các bài học, có những bài toán có liên quan đến thực
tế cuộc sống của các em. Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò, tác
dụng của kiến thức này; áp dụng được gì từ kết quả bài toán đó vào thực tiễn đời
sống của các em.
+ Với mỗi tiết học, Tôi vẫn thường xuyên kiểm tra đánh giá học sinh về ý thức
và thái độ học tập bằng các phương pháp quen thuộc như: kiểm tra bài cũ; kiểm
tra sự chuẩn bị bài của học sinh; kiểm tra đồ dùng học tập của học sinh; kiểm tra
vở ghi chép bài của học sinh xem có đầy đủ hay không ?. Kết hợp với việc theo
dõi việc nghe giảng và học bài trên lớp của học sinh. Từ đó, điều chỉnh phương
pháp giảng dạy, điều chỉnh việc giao bài tập về nhà cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh; khi hướng dẫn bài tập về nhà giáo viên nêu cụ thể những nội
dung cần học của học sinh ở nhà và sự chuẩn bị cần thiết cho tiết học sau.
Trong việc giảng dạy cần lưu ý đến định hướng phát triển năng lực của học sinh,
không chỉ chú trọng truyền tải hết nội dung SGK là đủ mà cần phải mở rộng
nâng cao cho phù hợp với đối tượng học sinh, khi khen chê học sinh cũng phải
phù hợp với đối tượng người học.
Bồi dưỡng năng lực định hướng đường lối giải bài toán
Công việc định hướng tìm đường lối giải bài toán là một vấn đề khó khăn
cho những học sinh . Để giải quyết tốt bài toán thì cần phải có định hướng giải
đúng. Do đó việc định hướng giải bài toán là một vấn đề rất cần thiết và rất quan
trọng.
Việc xác định đường lối giải chính xác sẽ giúp cho HS giải quyết các bài
toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn và tránh mất được thời gian.
Chính vì vậy, đòi hỏi mỗi GV cần phải rèn luyện cho HS khả năng định hướng
đường lối giải bài toán là điều không thể thiếu trong quá trình dạy học toán.
1. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

6
1.1. Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung:
a. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 4x2 – 12x = 4x(x – 3)
b. 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y)(5x +4y)
b. Chú ý:
- GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh.
- Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
1.2. Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 4x2 - 12x + 9
c. 16x2 - 9(x + y)2
b. 27 - 27x + 9x2 - x3
b. 1 - 27x3y6
Giải
a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3
c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
3 6
3
d. 1 - 27x y = 1 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)
b. Chú ý:
- Nắm vững hằng đẳng thức.
- Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2
1.3. Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

a. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
b. ax + x + a + 1 = (ax + x) + (a + 1) = x(a + 1) + (a + 1)
= (a + 1)(x + 1)
c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)
b. Chú ý:
- Thông thường mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức
- Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau. Chẳng hạn ở ví dụ
b ta có thể nhóm bằng cách khác như sau:
ax + x + a + 1 = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1)


7
= (x + 1)(a + 1)
- Nếu đa thức có nhân tử chung thì nên đặt nhân tử chung trước khi nhóm.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]
= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
1.4. Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Đối với cách này để tách một cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệm
của đa thức.
-Định nghĩa nghiệm của đa thức
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa thức f(x)
có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x - a.
Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:
- Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm của đa

thức.
- Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng
các hệ số của luỹ thừa bậc lẻ thì - 1 là nghiệm của đa thức.
- Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì
nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.
- Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ
p

x = q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
* Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm của
đa thức có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì

f (1)
f (−1)
và
a −1
a +1

đều là số nguyên.
a. Đa thức là tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c
* Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Tìm hai số nguyên có tích bằng a.c mà có tổng bằng b
Ví dụ: Phân tích đa thức: x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = (x2 – x) - (2x – 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2)


8

Nhưng trong thực tế không phải lúc nào cũng sử dụng được cách 1. Chính vì thế
ta có cách sau.
* Cách 2: Biến đổi tam thức như sau.
b
c
b
c
b2
b2
2
F(x) = ax + bx + c = a(x + x + ) = a(x + 2 x + 2 - 2 + )
a
a
2a
a
4a
4a
2

= a(x +

2

b 2 4ac − b 2
) +
2a
4a

- Nếu b2 – 4ac < 0 thì F(x) không phân tích được.
- Nếu b2 – 4ac > 0 thì F(x) sẽ phân tích được thành hai đa thức bậc nhất.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
* Chú ý: Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa
thức bậc 2 một biến.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2
Cách 1:
4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
Cách 2:
4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
= 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
b. Đa thức bậc cao:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18
Ta có các ước của 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18.
f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18
f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44
Hiển nhiên ± 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy:

− 18
− 18
− 18
;
;
;
(−3 − 1) (±6 − 1) (±9 − 1)

− 18

− 44
không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không là nghiệm của f(x);
(±18 − 1)
(2 + 1)

không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x), chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta
thấy 3 là nghiệm của f(x). Nên ta có thể tách như sau:
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18
= 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6)


9
1.5. Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a. Thêm bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ: Phân tích đa thức:
4x4 + 81
Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của hai bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng
với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB. Vậy
cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9
= (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9).
* Chú ý:
- Trong phương pháp này ta thường sử dụng hai hằng đẳng thức:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 và hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b)
- Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài toán được.
b. Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung
Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 - x + x2 + x + 1
= x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1).
1.6. Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến
Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho được đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơn
giản hơn.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12.
Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12
= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)
Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]
= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
Biến đổi đa thức đã cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x2 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24


10
= y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)
Tương đương với (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)
1.7. Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên
đa thức không có nghiệm hữu tỷ.
Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

Phép nhân này cho kết quả:
x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được hệ:
 a + c = −6
ac + b + d = 12


ad + bc = 14
bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1.
Hệ trên thành:
 a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14


 a = −2
⇔ 
c = −4

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
* Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3
= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
1.8. Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối
Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến

của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nếu thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa
x - y thì cũng chứa y - z và z - x.


11
Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích
(x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z
Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với ∀ x, y, z.
Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1
Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = - 1
Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)
= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)
= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
2. ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN

2.1. Dạng toán: Chứng minh chia hết:
Bài 1. Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)
Giải
Nhận xét: Ta cần phân tích 55n + 1 – 55n thành tích của 54 với một số nào đó.
Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54. 55n

Nên 55n + 1 – 55n luôn chia hết cho 54 với mọi n là số tự nhiên
Bài 2. Chứng minh rằng:
2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3 luôn chia hết cho x2 – 4x – 3.
Giải
Ta có: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3
= 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 – 4x – 6x2 + 15x – 3
= x2(2x2 – 5x + 1) – 4x(2x2 – 5x + 1) – 3(2x2 – 5x + 1)
= (2x2 – 5x + 1)(x2 – 4x – 3)
2.2. Dạng toán: Giải phương trình quy về pt tích:
f(x) = 0 nếu có nghiệm thường được giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử
đẻ đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192
Giải
⇔ (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192


12
⇔ (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192
⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192

Đặt x2 + 2x - 1 = y ta có: (Điều kiện y ≥ -2)
(y + 2)(y - 2) = 192 ⇔ y2 - 4 = 192 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14
Chỉ có y = 14 thoả mãn
* Với y = 14 ta có x2 + 2x - 1 = 14
⇔ x2 + 2x - 15 = 0 ⇔ (x - 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 và x = - 5
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 và x = - 5
Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16
Giải
Đặt x - 7 = y, phương trình đã cho là (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16

⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 +6y2 + 1 = 8 ⇔ y4 +6y2 - 7 = 0
⇔ (y2 - 1)(y2 + 7) = 0
(y2 + 7) > 0 với mọi y nên (y2 - 1) = 0; y = ± 1 tức là x = 6, hoặc x = 8
Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình.
2.3. Dạng toán: Tìm tập xác định và rút gọn một phân thức
Muốn tìm tập xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng phải
phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định và rút gọn phân thức sau
x3 - 5x2 - 2x + 24
x3 - x2 - 10x - 8
Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24
= x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 = x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x - 4)
Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - 8
= x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - 8 = x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 3x - 4) = (x + 2)(x + 1)(x - 4)
Tập xác định của phân thức là x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ 4
A=

Phân thức được rút gọn là
(x + 2)(x - 3)(x - 4)
x-3
A=
=
(x + 2)(x + 1)(x - 4)
x+1
2.4. Dạng toán: Giải bất phương trình
Ví dụ 1: giải bất phương trình sau: x2 - x - 12 < 0 (4)

13
Giải
(4) ⇔ x2 - 4x + 3x - 12 < 0
⇔ x(x - 4) + 3(x - 4) < 0
⇔ (x - 4)(x + 3) < 0
Lập bảng xét dấu:
x
-3
4
x +3
0
+
+
x-4
0
+
(x - 4)(x + 3)
+
0
0
+
Từ bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình là: - 3 < x < 4
2.5. Dạng toán: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ: Cho x4 + y4 = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4
Giải
Để giải bài toán trên ta phải biến đổi biểu thức M xuất hiện (x4 + y4 )
Ta có: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 = (x8 + 2x4y4 + y8) + (2x4y4 + 2x8) + 2y4
= (x4 + y4)2 + 2x4(x4 + y4) + 2y4 = 1 + 2x4 + 2y4 = 1 + 2(x4 + y4) = 3
2.6. Dạng toán: Chứng minh đẳng thức:
Ví dụ: Cho (x + y)3 = x3 + y3

Chứng minh: (x + y)7 = x7 + y7 (*)
Giải
Từ (x + y)3 = x3 + y3 ⇔ x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 ⇔ 3xy(x + y) = 0
x = 0

⇔ y = 0
x = − y


- Nếu x = 0, hoặc y = 0 thì (*) luôn được chứng minh
- Nếu x = - y thì (*) có dạng: 0 = 0
Vậy đẳng thức (*) đã được chứng minh.
2.7. Dạng toán: Chứng minh bất đẳng thức:
x6 y6
Ví dụ: Chứng minh rằng với x, y ≠ 0 , chứng minh: x + y ≤ 2 + 2
y
x
4

4

Giải
Ta dùng phép biến đổi tương đương.
Ta có: x + y ≤
4

4

x6 y6
+

y2 x2

⇔ x2y2(x4 + y4) ≤ x8 + y8 ⇔ x8 + y8 – x6y2 – x2y6 ≥ 0
⇔ x6(x2 – y2) – y6(x2 – y2) ≥ 0 ⇔ (x2 – y2) (x6 – y6) ≥ 0


14
⇔ (x2 – y2)2(x4 + x2y2 + y4) ≥ 0 (Bất đẳng thức luôn đúng)
Vậy x + y ≤
4

4

x6 y6
+
.
y2 x2

2.8. Dạng toán: Giải bài toán liên quan đến số nguyên tố:
h.1.Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên a sao cho 2a + 1 là lập phương của một số
Giải
* Nếu a là số chẵn, ⇒ a = 2. Thì 2a + 1 = 5 (loại)
* Nếu a là số lẻ, thì 2a + 1 cũng là một số lẻ.
Khi đó ta có: 2a + 1 = (2k + 1)3 ⇔ 2a + 1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1 ( k ∈ N)
⇔ a = k(4k2 + 6k + 3)
Vì k ∈ N nên 4k2 + 6k + 3 ≠ 1 ⇒ k = 1
Nên a = 13 (Thoả mãn), vì 2a + 1 = 27 = 33
h.2. Ví dụ 2: Tìm các cố tự nhiên m, n để m4 + 4n4 là số nguyên tố.
Giải
4

4
4
4
2 2
Ta có: m + 4n = m + 4n + 4m n - 4m2n2 = (m2 + 2n2) – (2mn)2
= (m2 + 2n2 – 2mn)(m2 + 2n2 + 2mn)
Do m, n là các số tự nhiên. Nên để m4 + 4n4 là số nguyên tố thì:
m2 + 2n2 – 2mn = 1 ⇔ (m – n)2 = 1- n2 ⇒ -1 ≤ n ≤ 1
⇒ n = 1, hoặc n = 0
* Nếu n = 1 thì m = 1 (Thoả mãn). Vì m4 + 4n4 = 5 là số nguyên tố
* Nếu n = 0 thì m = 1 (Loại).
Vì m4 + 4n4 = 1 không phải là số nguyên tố
Vậy với m = n = 1 thì m4 + 4n4 là số nguyên tố.
2.9. Dạng toán: Giải phương trình nghiệm nguyên:
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình. x + y = xy
Giải
Ta có: x + y = xy ⇔ xy – x – y = 0 ⇔ (x – 1)(y – 1) = 1
x − 1 = 1
x = 2
 x − 1 = −1
x = 0
⇔ 
⇔ 
⇔ 
hoặc 
y −1 = 1
y = 2
 y − 1 = −1
y = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) và (0 ; 0)
3. BÀI TẬP VẬN DỤNG
3.a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) (x2 + y2 - 5)2 - 4x2y2 - 16xy - 16
(P2-Nhóm)
2) x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x)
(Khai triển và nhóm lại)
3) (x - y + 4)2- (2x + 3y- 1)2
(HĐT)
4) 9x2 + 90x + 225 - (x-7)2
(HĐT)


15
5) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1
(Khai triển ra nhóm lại)
6) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz
(Nhóm thành 3 nhóm)
7) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y)
(Nhân ra nhóm lại)
8) a2 + 2b2 - 2c2 + 3ab + ac
9) a4 + 2a3 + 1
(Tách)
10) 4a2 - 4b2- 4a + 1
(Nhóm)
11) a2 - 2b2 - 2c2 - ab + 5bc - ac
12) a2 + b2+ 2a - 2b - 2ab
13) 8b2 + 2b - 1
14) 25x2(x - y) – x + y
15) 4x3y + 0,5yz3

16) x9 + x8- x- 1
17) x6 + 2x5 + x4- 2x3 - 2x2 + 1
18) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) -12
19) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15
20) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1
21) (x2 + 4x + 8)2-3x(x2+ 4x + 8) + 2x2
22) x4 + 324
23) a7 + a5 + 1
24) a7 - 1
25) (x - a)4 + 4a4
3.b. Giải phương trình:
1) x2+ 3x – 18 = 0
2) 8x2 +30x +7 = 0
3) x3- 11x2 + 30x = 0
6) x3- 6x2- x +30 = 0

5) x2- x + 1 = 0

7) x10+ x5+ 1=0
8) x3- x - 4=0
9) (5x2 + 3x-2)2- (4x2-x-5)2 = 0
3.c. Chứng minh rằng với n là số nguyên ta luôn có:
a) 5n3 + 15n2 + 10n chia hết cho 30
b)

n 5 − 5n 3 + 4n
n+2

chia hết cho 24 (n là số tự nhiên)

c) n3 - n chia hết cho 6
d) n4 - 1 chia hết cho 8
3.d. Tìm tất cả các số tự nhiên n để các số có dạng:
1) n3- n2 + n- 1
2) n3- 6n + 4
3) n5 - 2n3 – n - 1
4) n3- 4n2 + 4n- 1
5) n3- 6n2+ 9n - 2
6) n3 - n2- n - 2
Là số nguyên tố
3.e. Cho: a + b + c = 1 và

1 1 1
+ + = 0 Tính giá trị của biểu thức
a b c

P = a2 + b2 + c2
3.f. Cho A = x3 + y3+ z3 – 3xyz
a. Chứng minh rằng nếu x + y+ z=0 thì A = 0
b. Điều ngược lại có đúng không?


16
3.g. Giải các bất phương trình:
≥ 0

a. 2x2 -7x + 5

b.

2−x
>0
3x + 1

c.

x 2 − x − 12
≤0
2x 2 + 1

3.h. Giải các phương trình nghiệm nguyên:
a. y3 – x3 = 91
b. 3x3 – xy = 1 c. p(x + y) = xy
3.i. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
3)

a4 + b4 ≥ a3b + ab3
2 ab
a+ b

≤ 4 ab

2)

a
b

− a≥ b−

với p là số nguyên tố.
b
a

( với a > 0, b > 0)

( với a > 0, b > 0)

3.k. Tính giá trị của biểu thức:
1) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
a
b

b
c

c
a

A = (1 + )(1 + )(1 + )
2) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
B = a4 + b4 + c4 .
3.m. Rút gọn các phân thức sau:
2y2 + 5y + 2
1) Q = 3
2 y + 9 y 2 + 12 y + 4

a 3 + b 3 + c 3 − 3abc
2) P = 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Với những kinh nghiệm như đã trình bày, sau nhiều năm dạy và bồi
dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên
rõ rệt.. Hầu hết học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử
đơn giản,. học sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn
phụ, thêm bớt, hệ số bất định ... vào việc phân tích các đa thức phức tạp thành
nhân tử. Học sinh còn tỏ sự sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tập
các em có thể giải theo nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu
nhất để trình bày. Mặt khác qua việc áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành
nhân tử để giải một số dạng toán khá phổ biến trong chương trình trung học cơ
sở, một lần nữa nói lên tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Điều đó còn khẳng định, để trở thành học sinh khá giỏi, học sinh không thể thiếu
được kĩ năng này. Chính vì thế chất lượng học sinh ngày một tăng lên thể hiện
qua kết quả khảo sát ở lớp 8A2 trong năm học 2019 – 2020 như sau:
Lớp

Số HS kiểm

Giỏi

Khá

TB

Yếu


17

tra
8A2
49
34 69,4% 15 30,6%
0
0
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI:
3.1.Kết luận:
Qua việc giảng dạy thực tế và đặc biệt là sau khi áp dụng đề tài trên ở lớp
8A2 năm học 2019-2020, tôi nhận thấy các em học tập một cách rất hứng thú,
tiếp thu tốt, vận dụng trong làm bài tập cũng rất nhanh và cho kết quả tốt. Nhiều
học sinh đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải toán
không cần sự hướng dẫn của giáo viên. Từ đó, các em phát triển năng lực tư duy
độc lập, khả năng sáng tạo, tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh,
kỹ năng phát hiện tốt. Để làm được như vậy, mỗi giáo viên cần nghiên cứu, tìm
tòi, tham khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác
nhau.
Đối với học sinh của trường THCS Nguyễn Hồng Lễ, việc áp dụng
phương pháp trên đã làm thay đổi nhận thức học Toán của học sinh. Phần lớn
các em thích và say mê với Toán học hơn, đã có nhiều học sinh đạt giải Toán
trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp thành phố và hầu hết các em thi vào cấp
3 đạt điểm cao môn Toán.
3.2. Kiến nghị:
- Đề nghị nhà trường, Phòng giáo dục quan tâm hơn nữa về các thiết bị phục
vụ cho việc giảng dạy theo phương pháp mới ( tài liệu tham khảo, máy chiếu)
- Giáo viên dạy môn toán cần tích cực cho học sinh thảo luận nhóm để học
sinh giao lưu và phát hiện ra những cách giải hay.
- Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8 là một nội dung quan trọng,
bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các kiến
thức về sau. Do vậy trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương

pháp phân tích đã nêu trong SGK, tiếp đến là phương pháp tách hạng tử, đặc biệt
là tách tam thức bậc 2 bởi phương pháp này rất hay sử dụng.
- Với học sinh khá giỏi cần hướng dẫn thêm cho các em phương pháp thêm
bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định... Để học sinh nắm vững và hứng
thú học tập
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng là tài liệu giúp giáo viên dạy toán
trong quá trình giảng dạy, ôn tập, BD HSG cho học sinh khi làm các bài tập về
phân tích đa thức thành nhân tử và thấy được tầm quan trọng của nó. Tuy nhiên,
trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất


18
mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp, HĐKH để đề tài của tôi
hoàn chỉnh hơn và đạt hiệu quả cao./.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sầm Sơn, ngày 20 tháng 5 năm 2020
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Phan Thế Lợi

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS (Bộ
Giáo Dục và Đào Tạo)
2. SGK Toán 8 (nhà xuất bản giáo dục)

19
3. SGV Toán 8 (nhà xuất bản giáo dục)
4. Nâng cao và phát triển Toán 8
5. Toán nâng cao &các chuyên đề Đại số 8


20

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phan Thế Lợi
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Trường Sơn

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Khắc sâu khái niệm hình học
qua các tiết dạy luyện tập

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Cấp Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

C

Năm học
đánh giá
xếp loại
2009-2010