Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 9 trường THCS quảng thành rèn luyện phương pháp chứng minh bài toán hình học

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD & ĐT TP THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS
QUẢNG THÀNH RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Người thực hiện: Hà Văn Thao
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Quảng Thành
SKKN thuộc môn: Toán

Phần 1: MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

THANH HOÁ NĂM 2020


2

MỤC LỤC.
TT NỘI DUNG
01 1. Mở đầu.
02 1.1. Lý do chọn đề tài.
03 1.2. Mục đích nghiên cứu.
04 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
05 1.4. Phương pháp nghiên cứu.

06 2. Nội dung sang kiến kinh nghiệm.
07 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
08
nghiệm.
2. 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện đã sử dụng để giải quyết
09
vấn đề.

TRANG
3
3
4
4
4
4
4-5
5
6

10

2.3.1. Bài học thứ nhất: Phải coi trọng bước vẽ hình

6-7

11

2.3.2. Bài học thứ hai:
Khai thác triệt để giả thiết để phát hiện những quan hệ mới

8-9

12

2.3.2. Bài học thứ ba:
Khai thác triệt để giả thiết để phát hiện những quan hệ mới

10 - 11

13

14
15
16
17

2.3.4. Bài học thứ tư:
Sử dụng hết các dữ kiện của bài toán và kết quả của các câu 11- 13
phía trước
2.3.5. Bài học thứ năm:
Đổi hướng chứng minh khi đi vào ngõ cụt

14 - 15

2.3.6. Bài học thứ sáu: Dùng đại số để hỗ trợ hình học

15

2.3.7. Bài học thứ bảy: Hãy tìm cách đưa khó về dễ

16

2.3.8. Bài học thứ tám: Đưa lạ về quen

17-19

18

2.3.9. Bài học thứ chín:
Phương pháp phản chứng trong bài toán chứng minh

19

2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
20

20
20
21

3. Kết luận - kiến nghị
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.

19-20

21
21

21


3
1. Mở đầu
1.1.

Lí do chọn đề tài:

Như chúng ta đã biết giải toán là một công việc hết sức khó khăn nhưng
đầy hứng thú, đặc biệt việc giải bài toán chứng minh hình học nó yêu cầu sự
thông minh sắc sảo của người giải toán rất nhiều, ngoài ra nó còn đòi người giải
toán phải có một phương pháp làm việc, tư duy khoa học và một vốn kinh
nghiệm nhất định. Các bài toán hình học đã từng hấp dẫn nhiều thế hệ học sinh
vì những lời giải hấp dẫn, những khám phá sáng tạo sau những cách giải hay.
Nhưng đối với học sinh THCS là những người mới bắt đầu tiếp cận với việc
chứng minh hình học khi đứng trước một bài toán chứng minh hình học không ít
học sinh có tâm trạng hoang mang, không xác định được phương hướng, không
biết phải làm những gì để tìm ra lời giải cho bài toán.
Vậy có cách nào để giúp các em có thể hình thành và rèn luyện được kỹ
năng tìm tòi lời giải cho bài toán chứng minh hình học hay không? Là một giáo
viên có trên mười lăm năm giảng dạy môn toán ở trường THCS và cũng đã được
tham gia ôn luyện bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, với kinh nghiệm góp nhặt của
bản thân và qua học tập trao đổi với thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp, tìm hiểu qua
các kênh tài liệu, tôi nhận thấy muốn làm được điều này ngoài việc trang bị cho
học sinh hệ thống kiến thức hình học cơ bản chúng ta cần giúp học sinh có được
những kỹ năng quan trọng mà trong bài viết này tôi tạm gọi là những “bài học”
những bài học này đã được tôi áp dụng và rút kinh nghiệm trong nhiều năm qua
và đã thu được kết quả khả quan. Tôi xin mạnh dạn viết ra những hiểu biết, suy
nghĩ, cách làm của mình để trao đổi cũng các đồng nghiệp nhằm tìm ra cách tốt

nhất để giúp học sinh THCS Quảng Thành hình thành được kỹ năng tìm lời giải
cho bài toán chứng minh bài toán hình học. Sáng kiến mang tên “ Một số giải
pháp giúp học sinh lớp 9 THCS Quảng Thành rèn luyện phương pháp
chứng minh bài toán hình học”
Tôi rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của Hội đồng khoa học, của
các bạn đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !


4

1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về chứng minh hình
học, học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng
giờ dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua
đó giới thiệu cho bạn bè đông nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng
dạy môn hình học ở trường THCS Quảng Thành đạt hiệu quả cao.
- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức
và có ý thức vận dụng linh hoạt sang tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được.
- Nhằm nắm lại chất lượng môn Hình học lớp mình dạy trong năm học trước,
theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh có học lực trung bình, khá, giỏi.
- Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9C trường THCS Quảng Thành.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát: Nhằm quan sát những mặt tích cực, tiêu cực của học
sinh trong quá trình giải bài toán hình học.
- Phương pháp điều tra: Để biết được hiện trạng và biện pháp của học sinh
trong việc giải bài toán hình học.

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi nghiên cứu các tài liệu có liên quan
đến giải bài toán hình học.
- Phương pháp thực nghiệm đối chứng: Để kiểm tra lại quá trình tiếp thu bài
của học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học: Nhằm rút ra các số liệu cụ thể cho đề tài
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Thực tế bài toán chứng minh hình học trong trường THCS là dạng toán cơ bản,
thường gặp nhất chiếm dung lượng rất lớn trong chương trình hình học THCS,
các bài toán chứng minh hình học rất đa dạng, bên cạnh những bài đơn giản có
rất nhiều bài yêu cầu người học phải có một khả năng tư duy sáng sủa và một kỹ


5

năng giải toán nhất định, thậm chí có những bài trong các đề thi HSG yêu cầu
học sinh phải thông minh có vốn kinh nghiệm tương đối tốt trong chứng minh
hình học.
- Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức,
phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó đòi hỏi HS phải có phương pháp phân
tích hợp lí để tìm được lời giải cho bài toán. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh
cách phân tích tìm lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng
thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
- Về phía học sinh: Bắt đầu từ giữa lớp 7 các em chính thức tiếp cận với
bài toán chứng minh hình học, thực tế cho thấy rất nhiều học sinh ngại học môn
hình học hơn so với môn đại số với lý do việc chứng minh một bài toán hình học
gây rất nhiều khó khăn cho các em, từ đó dẫn đến hiện tượng sợ học hình và dĩ
nhiên đã dẫn đến việc rất nhiều học sinh hiện nay học yếu phân môn hình học.
- Về phía giáo viên: Giáo viên Toán đa phần từng là những học sinh học

khá về môn toán trở lên với lý do nói trên cộng thêm với việc học sinh không
mấy hứng thú với việc học hình, nên rất nhiều giáo viên hiện nay xem nhẹ việc
dạy phân môn hình học mà chỉ tập trung nhiều cho số học và đại số, điều này là
hết sức sai lầm vì thời lượng trong chương trình cho đại số và hình học là gần
như tương đương nhau và trong các đề thi Toán thì hình học chiếm khoảng 40%.
Từ thực tế nêu trên là một giáo viên Toán với may mắn đã từng được thầy
cô truyền cho tình yêu phân môn hình học nói chung, bài toán chứng minh nói
riêng. Tôi luôn trăn trở và tìm ra cách tốt nhất giúp các em học sinh có được
niềm tin và tình yêu đối với việc chứng minh bài toán hình học, nhiều năm qua
những học sinh do tôi giảng dạy đã có nhiều tiến bộ trong việc học hình nói
chung và chứng minh hình học nói riêng nhiều em đã thực sự “yêu” môn hình
học. Sự tiến bộ của các em là phần thưởng quý giá nhất mà tôi nhận được, là
động lực giúp tôi viết sáng kiến này với hy vọng góp một phần nhỏ bé vào việc
nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS Quảng Thành.


6

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Để giúp học sinh hình thành và rèn luyện phương pháp chứng minh bài
toán Hình học, đầu tiên chúng ta cần phải tạo cho học sinh có niềm tin vào chính
bản thân mình khi đứng trước một bài toán chứng minh hình học.
Muốn vậy chúng ta giúp các em ghi nhớ và làm tốt chín bài học sau đây:
2.3.1. Bài học thứ nhất: Phải coi trọng bước vẽ hình
Hình vẽ có vai trò vô cùng quan trọng trong chứng minh hình học, hình vẽ
chính xác giúp ta dễ phát hiện đúng các quan hệ hình học trong bài toán.
Tránh vẽ hình rơi vào những trường hợp đặc biệt để tránh ngộ nhận những
tính chất mà bài toán không có.
Cần vẽ hình thoáng, rộng, đường nét không quá sát nhau. Nên ký hiệu vào
hình vẽ các đoạn thẳng bằng nhau các góc bằng nhau, các góc vuông...để sử

dụng chúng cho tiện khi tìm cách chứng minh.
Ví dụ 1: (Lớp 7 - Tam giác cân).
Cho tam giác ABC (AB < AC), At là tia phân giác của góc A. Qua trung
điểm M của BC, kẻ MH vuông góc với At, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.
Chứng minh rằng BD = CE.
Hướng dẫn giải: (Hình 1)
Kẻ BK//AC thì BKD =AED (đồng vị).
AHD = AHE (g.c.g) nên D = AED.
Suy ra BKD = D, do đó BKD cân, BD = BK. (1)
BK // AC nên KBM = C.
KBM =ECM (g.c.g) nên BK= CE. (2)
Từ (1) và (2) � BK = CE.
Bàn luận về việc vẽ hình khi giải bài toán:
Đối với bài toán này học sinh sẽ gặp khó khăn gì?

Hình 1

Đó là đề bài cho AB < AC nếu ta vẽ độ dài AB, AC
chênh lệch ít thì các đường nét vẽ sau sẽ rất sát nhau, hình vẽ rất khó quan sát,
gây khó khăn cho việc chứng minh. Vậy khi vẽ hình chúng ta phải lưu ý điều
này.


7

Ví dụ 2: (Lớp 7 –Tam giác cân – Bài toán nguỵ biện hình học)
Tìm ra chỗ sai trong cách giải bài toán sau:
Chứng minh rằng mọi tam giác đều là tam giác cân.
Hướng dẫn giải: (Hình 2)
Vẽ ABC bất kỳ, gọi O là giao

điểm của phân giác góc A và đường
trung trực cạnh BC, từ O hạ OEAB và

O

OFAC. Xét EAO và FAO có:
E = F = 900 (cách vẽ);
EAO = FAO (cách vẽ)
AO (chung)

Hình 2

Suy ra: EAO = FAO (cạnh huyền – góc nhọn) � AE = AF

(1)

Xét EBO và FCO có: OE = OF (chứng minh trên);
OB = OC (O � đường trung trực của cạnh BC)
E = F = 900 (cách vẽ)
Suy ra EBO = FCO (cạnh huyền - cạnh góc vuông) � BE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra; AE + BE = AF + CF hay AB = AC
Vậy mọi tam giác đều là tam giác cân.
Bàn luận về việc vẽ hình khi giải bài toán: Rõ ràng kết luận của bài
toán trên là hoàn toàn vô lý, song qúa trình chứng minh bài toán nêu trên lại
nghe rất có lí. Vậy vấn đề là bài toán trên người giải toán đã phạm phải sai lầm ở
điểm nào? (đây là một câu hỏi không hề dễ đối với học sinh) lúc này chúng ta
hãy rà soát lại thật cẩn thận từng khâu của bài toán, đầu tiên là khâu vẽ hình và
nếu vẽ hình cẩn thận thì chúng ta sẽ phát hiện ra sai lầm ở đây thuộc về khâu vẽ
hình, đó là giao điểm của đường phân giác của một góc trong tam giác và đường
trung trực của cạnh đối diện, không thể nằm ở miền trong tam giác, trừ trường

hợp tam giác cân thì hai đường này trùng nhau.


8

Khi tìm ra chỗ sai lầm của bài toán này học sinh sẽ vô cùng thích thú và
nhớ lâu, từ đó các em luôn nhớ rằng việc vẽ hình có độ chính xác cao là vô cùng
quan trọng và phải luôn cẩn thận mỗi khi vẽ hình khi giải bài toán chứng minh
hình học.
2.3.2. Bài học thứ hai: Khai thác triệt để giả thiết để phát hiện những
quan hệ mới
Giả thiết của bài toán là các vật liệu cần thiết để chúng ta chứng minh
thành công bài toán đó. Giả thiết đề cập đến hình nào thì chúng ta cần khai thác
các tính chất của hình đó, đặc biệt là những tính chất có liên quan đến các dữ
kiện trong bài. Càng phát hiện được nhiều quan hệ mới từ giả thiết chúng ta
càng có nhiều vật liệu để giải bài toán.
Muốn vậy người giải toán ngoài việc cần trang bị cho mình một hệ thống
kiến thức cơ bản, cần phải luôn đặt ra cho mình một câu hỏi thường trực khi
đứng trước giả thiết của mỗi bài toán, đó là “Bài toán cho điều này ta có thể suy
ra điều gì? nó có liên quan gì với kết luận không?” từ đó tìm cách để nối với kết
luận.
Ví dụ 3: (Lớp 8 – Tính chất đường phân giác của tam giác)
Cho hình bình hành ABCD (AB > CD). Trên cạnh AD lấy điểm E. Tia
phân giác của góc B cắt CE ở I. Gọi F là giao điểm của AI và CD.
Chứng minh AE = CF.
Hướng dẫn giải: (Hình 3)
Gọi K là giao điểm của CE và BA.
Theo tính chất đường phân giác của
BC IC


CBK ta có BK IK (1)
BC AE

Do AE // BC nên theo định lí Ta - let BK AK (2)

Hình 3


9
AE IC

Từ (1) và (2) suy ra AK IK (3)
IC CF

Do AK // CD nên theo định lý Ta – let IK AK (4)

Từ (3) và (4) suy ra AE = CF.
Bàn luận về việc khai thác giả thiết tìm cách giải:
Để sử dụng tính chất BI là tia phân giác của góc B, ta nghĩ đến việc tạo ra
tam giác nhận BI làm phân giác, vậy ta kéo dài CE cắt BA ở K để sử dụng
BC IC

BK IK . Sau đó khai thác tính chất của hình bình hành vận dụng Ta –let để gải

bài toán.
Ví dụ 4: (Lớp 9 – vị trí tương đối của hai đường tròn)
Cho hai đường tròn (O) và (O,) cắt nhau ở A và B. Gọi I là trung điểm của
OO’, gọi C là điểm đối xứng của B qua I. Một đường thẳng đi qua B cắt các
đường tròn (O) và (O,) lần lược tại các điểm thứ hai là D và E,
chứng minh rằng CD = CE.

Hướng dẫn giải: (Hình 4)
Kẻ OH, IM, O’K vuông góc với DE thì
H, K lần lượt là trung điểm của BD và BE.
Hình thang OO’KH có IO = IO’,
IM // OH // O’K nên MH = MK.
I thuộc trung trực của HK nên IH = IK. (1)
IH là đường trung bình của BCD nên CD = 2 HI. (2)

Hình 4

IH là đường trung bình của BCE nên CE = 2 IK. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra CD = CE.
Bàn luận về việc khai thác giả thiết tìm cách giải:
Do I vừa là trung điểm của OO’ vừa là trung điểm của BC Nên nếu gọi H,
K lần lượt là trung điểm của BD và BE thì CD = CE tương ứng với IH = IK


10

tương ứng với I thuộc đường trung trực của HK. Đến đây chúng ta có thể dễ
dàng chứng minh bài toán như trên.
2.3.3. Bài học thứ ba: Phân tích kết luận để định hướng chứng minh
Với mỗi bài toán chứng minh hình học cụ thể có nhiều phương án để đi
đến kết luận, song không phải phương án nào cũng khả thi. Phân tích kết luận để
định hướng chứng minh giúp ta chọn được những phương án có nhiều khả năng
đi đến đích nhất.
Muốn vậy người giải toán phải luôn đặt ra cho mình câu hỏi thường trực
trước mỗi kết luận của bài toán đó là “Để chứng minh điều này ta phải chứng
minh điều gì” câu hỏi này đặt ra liên tục cho đến khi ta nối được với giả thiết đã
được khai thác ở trên.

Ví dụ 5: (Lớp 7 – trường hợp bằng nhau cạnh – góc cạnh)
Cho hai tam giác ABC và ADE không có điểm chung trong, có hai cặp
cạnh bằng nhau AB = AD, AC = AE và cặp góc xen giữa bù nhau
1
BAC + DAE = 1800. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM = 2 DE.

Hướng dẫn giải (Hình 5)
Trên tia đối MA lấy điểm K sao cho
MK = MA. Ta có BMK =CMA (c.g.c)
suy ra BK = AC = AE, K = MCA.
Do K = MCA nên AC // BK,
suy ra BAC = ABK = 1800.
Ta lại có BAC + DAE = 1800
nên ABK = DAE.
ABK = DAE (c.g.c) suy ra AK = DE,
1
do đó AM = 2 DE.

Hình 5


11

Bàn luận về việc phân tích kết luận tìm hướng giải:
Yêu cầu của bài toán có thể nói là một trong những dạng thường gặp
trong chứng minh vậy việc đầu tiên người giải toán phải nghĩ đến đó là: Để
chứng minh AM = 1/2DE ta phải chứngminh điều gì? Ta tìm cách tạo ra một
đoạn thẳng bằng 2AM và chứng minh cho nó bằng DE, hoặc ngược lại.
Ví dụ 6: (Lớp 9 – Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Cho đường tròn (O), bán kính OC vuông gốc với dây AB tại điểm I nằm

giữa O và C. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Gọi N là
1

1

1

giao điểm của OC và BK. Chứng minh rằng IB  NB  KB .

Bàn luận về việc phân tích kết luận tìm
1

1

1

cách giải: Để chứng minh IB  NB  KB ta phải có
KB KB KB


CK KB
IB NB KB ta phải có

1 (vì từ GT
IB NB

hai tiếp tuyến cắt nhau ở K nên KB = CK), ta phải
có

NK KB


1 (vì IB // CK nên
NB NB

phải có được

CK NK

) hay ta
IB NB

NK  KB
Hình
6
 1 hay NK + KB = NB (đẳng thức này luôn
có được).
NB

Suy luận ngược lại ta có điều phải chứng minh (đây là một trong những
cách tư duy thường dùng trong chứng minh đặc biệt là nhừng bài toán chứng
ming đẳng thức, bất đẳng thức hình học)
2.3.4. Bài học thứ tư: Sử dụng hết các dữ kiện của bài toán và kết quả
của các câu phía trước
Trong quá trình tìm cách giải bài toán cần chú ý sử dụng hết mọi dữ kiện
của bài toán. Nếu còn một dữ kiện nào đó chưa sử dụng đến, hãy tìm cách sử nó.


12

Nếu bài toán gồm nhiều bài toán nhỏ (nhiều câu) thì phải chú ý đến kết

quả của câu trên khi tìm cách chứng minh câu dưới, vì thông thường thì kết quả
câu trên là gợi ý là đường dẫn cho những câu sau.
Ví dụ 7: (Lớp 7 – Trường hợp bằng nhau góc cạnh góc)
Cho đoạn thẳng AB điểm M là trung điểm của AB. Trên cùng nửa mặt
phẳng bờ AB, kẻ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm C thuộc
Ax, điểm D thuộc By sao cho CMD = 900. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Hướng dẫn giải: (Hình 7a)
Gọi E là giao điểm của CM và BD, ta có:
AMC = BME (g.c.g) nên AC = BE, MC = ME,
do đó AC + BD = BE = BD = DE (1)
CMD =EMD (c.g.c) nên CD = DE (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD = AC + BD
Hình 7a
Bàn luận về việc tìm cách giải: (Hình 7b)
Để Chứng minh CD = AC + BD, ta lấy điểm H
trên CD sao cho CH = CA, rồi chứng minh HD = HB. Ta
chưa có hướng chứng minh ACM = HCM.
Chuyển hướng giải: Ta kẻ MH  CD để tạo các tam

Hình 7b

giác vuông. cũng chưa chứng minh được ACM = HCM.
Các hướng giải trên đi đến bế tắc vì ta chưa sử dụng dữ kiện AM = MB và
CMD = 900. Để sử dụng nốt các dữ kiện đó, ta nghĩ đến việc kéo dài CM cho cắt
DB.
Ví dụ 8: (Lớp 8 – Tam giác đồng dạng)
ChoABC. Gọi M,N lần lươt là trung điểm của BC, AC. Gọi O, H, G lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm và
trọng tâm của ABC. Chứng minh:
a) ABH đồng dạng MNO;

13

b) AHG đồng dạng MOG
c) H, O, G thẳng hàng
Hướng dẫn giải: (Hình 8)

Hình 8

a) Ta có OM// AH (vì cùng  BC)

ON // BH (vì cùng  AC)
MN // AB (đường trung bình của ABC)
Suy ra BAH = OMN và ABH = ONM (hai góc nhọn có cạnh tương ứng song
song).
Vậy ABH đồng dạng MNO theo tỉ số

1
MN 1
 )
(vì
2
AB 2

b) Xét AHG và MOG có: HAG = GMO (so le trong); (1)
GM 1
OM 1
 (tính chất trọng tâm) và
 (theo trên)

GA 2
AH 2

Do đó:

GM OM

. (2)
GA AH

Từ (1) và (2) suy ra MOG đồng dạng AHG
c) Ta có MOG đồng dạng AHG nên AGH = MGO.

Mà A, G, M thẳng hàng nên H, G, O thẳng hàng.
Chú ý: Đường thẳng đi qua trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác gọi là đường thẳng Euler (Ơ - le).
Bàn luận về việc tìm cách giải:
Để chứng minh ABH đồng dạng MNO ta cần khai thác giả thiết M, N
lần lượt là trung điểm của BC và AC; H là trực tâm, O là trọng tâm thì ta có thể
suy ra điều gì? từ đó ta tìm ra hướng chứng minh;
Khi gải xong câu a) chúng ta tiếp tục phải chứng minh các tam giac đồng
dạng ở câu b) ngoài các GT đã khai thác ở trên ta cần chú ý đến dữ kiện G là
trọng tâm cho ta điều gì? Hãy huy động các tính chất của trọng tâm và tất nhiên
chúng ta cần lưu ý kết quả của câu a) có gợi ý gì cho câu b) không, từ đó tìm ra
cách chứng minh.


14

Nếu bài toàn này không có hai câu a,b mà đề bài yêu cầu ngay câu c) thì

thực sự là một khó khăn rất lớn, song sau khi đã giải quyết câu a, b thì việc
chứng minh H, O, G thẳng hàng lại là một điều khá đơn giản.
2.3.5. Bài học thứ năm: Đổi hướng chứng minh khi đi vào ngõ cụt
Khi đi theo một hướng chứng minh nào đó mà gặp bế tắc, chúng ta hãy
nghĩ đến một hướng chứng minh khác và tạm thời quên đi một số bước tư duy
của hướng chứng minh ban đầu mà phải tìm một con đường khác. Muốn vậy
chúng ta cần trở lại chỗ xuất phát ban đầu và bình tĩnh tìm lối ra theo hướng
mới.
Ví dụ 9: (Lớp 7 – Tam giác cân)
ChoABC có A = 1200 . Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác đều
BCD. Chứng minh AD = AB + AC
Hướng dẫn giải: (Hình 9a)
Lấy E trên tia phân giác của BAC
sao cho AE = AB. ABE có BAE = 600,
AB = AE nên là tam giác đều,
suy ra BE = AB và AEB = 600. (1)
EBD = ABC ( = 600 - CBE)
BED = BAC (c.g.c)
nên BED = BAC = 1200
Từ (1) và (2) suy ra

Hình 9a

AEB + BED = 1800, do đó A, E, D thẳng hàng.
Từ BED = BAC còn suy ra ED = AC. Do đó AD = AE + ED = AB + AC.
Bàn luận về việc tìm cách giải:
(Hình9b)
Lấy E trên AD sao cho AE = AB,
ta sẽ chứng minh BED = BAC để có

15

ED = AC. Đến đây ta gặp khó khăn vì hai tam giác trên có BD = BC những còn
các yếu tố bằng nhau khác chưa xuất hiện, ta nghĩ đến việc đổi hướng chứng
minh.

Hình 9b
Ta đổi hướng chứng minh như sau: lấy E trên tia phân giác của góc BAC

sao cho AE = AB, rồi chứng minh cho A, E, D thẳng hàng.
2.3.6. Bài học thứ sáu: Dùng đại số để hỗ trợ hình học
Các biến đổi đại số và giải phương trình nhiều khi rất có ích trong giải
toán hình học. Vì thế khi giải toán hình học về chứng minh hệ thức giữa các số
đo hoặc tính toán các số đo, hãy nghĩ đến cách đại số hoá các số do như: số đo
góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích ..., hãy ngĩ đến việc lập phương trình để thiết
lập các mối quan hệ và đại lượng chưa biết.
Ví dụ 10: ( Lớp 7 - định lí Py – ta – go)
Cho ABC vuông ở A, điểm M là trung điểm của AC. Kẻ MH  BC (H �
BC). Gọi D là điểm thuộc tia đối của tia HM. Chứng minh rằng các độ dài AB,
BD, DC là dộ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải: (Hình 10)
Ta sẽ chứng minh BD2 = AB2 + CD2.
Áp dụng định lí Py - ta - go, ta có:
AB2 = BM2 – AM2 = BM2 – MC2 =
= (BM2 – MH2) – (MC2 – MH2) = BH2 – HC2. (1)
CD2 = HC2 + HD2. (2)

Hình 10

Từ (1) và (2) suy ra AB2 + CD2 = BH2 – HC2 + HC2 + HD2 = BH2 + HD2 = BD2
Vậy các độ dài AB, BD, DC là dộ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Bàn luận về việc tìm cách giải bài toán:
Trong bài toán này chúng ta đã sử dụng những phép biến đổi đại số để
biến đổi một hệ thức đã có thành hệ thức cần có để đạt được mục tiêu chứng
minh, rõ ràng trong những bài toán kiểu này sự hỗ trợ của công cụ đại số là hết
sức cần thiết. Đây là một trong những cách chứng minh khá phổ biến, sử dụng
một cách kheo léo phương pháp này giúp chúng ta giải quyết được khá nhiều bài
toán chứng minh hình học.


16

2.3.7. Bài học thứ bảy: Hãy tìm cách đưa khó về dễ
Một trong những cách đưa bài toán khó về bài toán dễ hơn là xét những
trường hợp đặc biệt của bài toán. Tuy việc giải bài toán trong trường hợp đặc
biệt chưa phải là đã giải được bài toán, nhưng nhiều khi việc xét các trường hợp
đặc biệt giúp ta “mò” ra kết quả và định hướng chứng minh, giúp ta đưa trừu
trượng về cụ thể, giúp ta dễ dàng giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ 11 (Lớp 9 – Tứ giác nội tiếp)
Cho hai đường tròn bằng nhau (O; R) và (O ’; R), trong đó tâm của đường
tròn này nằm trên đường tròn kia. Một đường thẳng d thay đổi vị trí có khoảng
cách OH từ O đến d bằng h không đổi (h < R). Gọi B, C là các giao điểm của
đường thẳng d với đường tròn (O’). Chứng minh rằng tích OB.OC có giá trị
không đổi.
Hướng dẫn giải (Hình.11a)
Kẻ đường kính OE của (O’).
Ta có OBH = OEH nên OBH đồng dạng
với OEC (g.g) �

OB OH

.
OE OC

Hình 11a

Do đó OB.OC = OE.OH = 2Rh (không đổi)
Bàn luận về việc tìm cách giải:(Hình.11b)
Chúng ta đưa khó về dễ bằng cách xét trường
hợp đặc biệt khi đường thẳng d đi qua O ’
(hình 11a).
Khi đó BC là đường kính của (O’), BOC = 900
nên OB.OC = OH.BC = 2Rh (hệ thức cạnh
và đường cao trong tam giác vuông).

Hình 11b

Từ đó chúng ta biết rằng trường hợp tổng quát ta cũng phải tìm cách
chứng minh OB.OC = 2Rh.
Giá trị 2R làm chúng ta nghĩ đến việc vẽ thêm đường kính OE của (O’).
Từ đó ta có thể giải bài toán như trên.


17

2.3.8. Bài học thứ tám: Đưa lạ về quen
Thao tác đưa lạ về quen là một thao tác tư duy cơ bản trong giải toán,
riêng với bài toán chứng minh hình học thao tác này có vai trò vô cùng quan
trọng.

Nên khi gặp một bài toán lạ ta hãy cố gắng chia nhỏ bài toán ra thành
những bài toán nhỏ quen thuộc (bài toán quen thuộc là những tính chất, những
định lý, hệ quả đã được chứng minh hoặc công nhận, hay những bài toán mà
chúng ta đã giải hoặc biết cách giải chúng).
Khi giải toán chúng ta sẽ gặp những dấu hiệu quen thuộc, từ những dấu
hiệu đó hãy cố gắng liên hệ với những bài toán đã giải, những định lý, tính chất
đã được chứng minh hoặc ta đã biết cách giải, và hãy sử dụng những kết quả
quen thuộc đã biết đó để giải bài toán mới này.
Muốn vậy ngoài việc trang bị cho mình những kiến thức nền tảng vững
chắc người giải toán cần phải được va chạm nhiều với các dạng toán chứng
minh và tập cho mình một khả năng phân tích, tổng hợp, để có thể “Đưa lạ về
quen”.
Ví dụ 12: (Lớp 7 – Tam giác cân).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho B
và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ d. Kẻ BH và CK cùng vuông góc với
đường thẳng d (H và K thuộc d). Chứng minh:
a) BH = AK, AH = CK
b) BH + CK = HK
c) BH2 + CK2 = AH 2 + AK2 = AB2

Hướng dẫn giải: (Hình 12)
a) Ta có: ABH = CAK (cùng
phụ với BAH)
ABH = CAK (cạnh huyền
góc nhọn) nên BH = AK,
AH = CK.

Hình 12

b) Từ BH = AK và CK = AH � BH + CK = AK + AH = HK.

18

c) Áp dụng định lý Py – ta – go vào AHB vuông tại H ta có:
BH2 + AH2 = AB2.
Do AH = CK, BH = AK (câu a) nên BH2 + CK2 = AB2, AK2 + AH2 = AB2
Ví dụ 13: (Lớp 7 – Tam giác cân)
Cho ABC, ở phía ngoài tam giác đó, vẽ các tam giác vuông cân tại A là
ABD và ACE. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC cắt DE tại F.
Chứng minh F là trung điểm của DE.
Hướng dẫn giải: (Hình 13)
Gọi H là giao điểm của của FA và BC.
Để áp dụng kết quả ví dụ 12a, ta kẻ
DM  FH, EN  FH.
Theo kết quả ví dụ 12a ta có
AH = DM; AH = EN � DM = EN.
Ta có: DM // EN (cùng  với FH).
DMF = ENF (g.c.g) � DF = FE.

Hình 13

Ví dụ 14: (Lớp 9 - Vị trí tương đối của hai đường tròn)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính R cắt nhau tại A và B, trong
đó OAO’ = 900. Kẻ cát tuyến chung MAN, M �(O) , N �(O’) , A nằm giữa M và
N. Tính tổng AM2 + AN2 theo R.
Hướng dẫn giải: (Hình 14)
Kẻ OI, O’K vuông góc với MN.
Ta có AM2 + AN2 = (2AI)2 + (2AK)2
= 4(AI2 + AK2) = 4OA2(ví dụ 12c)

= 4R2
Bàn luận về việc đưa lạ về

Hình 14
quen để tìm cách giải: Trong các ví dụ trên ví dụ sau (lạ) được giải bằng cách
quy về trường hợp của ví dụ trước đã giải (quen) bằng cách vẽ thêm đường phụ,
hoặc chia nhỏ bài toán, ở ví dụ 13 đó là việc vẽ thêm DM  FH, EN  FH để đưa


19

ví dụ 13 về bài toán ví dụ 12a, ở ví dụ 14 đó là việc kẻ OI, O ’K cùng vuông góc
với MN để đưa ví dụ 14 về bài toán rong ví dụ 12c. Khi chứng minh hình học
việc đưa lạ về quen có ý nghĩa vô cùng quan trọng để làm tốt điều này chúng ta
cần rèn cho học sinh cách nhìn nhận, phân tích, sắp xếp các dữ kiện của bài toán
để tìm ra trọng vấn đề mới lạ những cái đã quen.
2.3.9. Bài học thứ chín: Phương pháp phản chứng trong bài toán
chứng minh
Để chứng minh A kéo theo B, trong nhiều trường hợp ta gặp khó khăn khi
tìm đường nối từ A đến B. trong quy tắc suy luận ta có: B là đúng tương đương
với phủ định của B là sai. Do đó thay cho việc chứng minh B đúng, ta có thể
chứng minh phủ định của B là sai (Bằng cách giả sử phủ định của B là đúng và
dẫn đến mâu thuẩn hoặc điều vô lý).
Cách chứng minh trên gọi là chứng minh bằng phản chứng.
Ba bước của bài chứng minh phản chứng:
Bước 1: (phủ định kết luận): Nêu lên các trường hợp trái với kết luận của
bài toán;
Bước 2: (đưa đến mâu thuẫn): Chứng tỏ các trường hợp trê đều dẫn đến
mâu thuẫn (mâu thuẫn với giả thiết hoặc mâu thuẫn với các kiến thức đã học);
Bước 3: (khẳng định kết luận): Vậy kết luận của bài toán là đúng.

Ví dụ 15: (Lớp 8 – Hình vuông- Đề thi HSG)
Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trong hình vuông sao cho
EAB = EBA = 150. Chứng minh:
a) AED = BEC
b) AED = 750

Hướng dẫn giải: (Hình 15)
a) AED =BEC (c.g.c) nên AED = BEC
b) Đặt AD = CD = a, EC = EB = b

Ta có EAD = 900 – 150 = 750, AEB = 1500
- Giả sử AED > 75

0

Hình 15

Tam giác AED có AED > EAD nên AD > ED, tức là a > b. (1)


20

Mặt khác nếu AED > 750 thì CED < 3600 – 1500 – 2. 750 = 600.
Tam giác cân ECD có CED < 600 nên 2DCE > 1200 , DCE > 600,
suy ra CD < ED, tức là a < b (mâu thuẫn với (1)).
- Giả sử AED < 750 (chứng minh tương tự dẫn đến mâu thuẫn)
- Vậy AED = 750
Bàn luận về việc giải bài toán: Rõ ràng trong bài toán trên nếu ta chứng
minh trực tiếp AED = 750 thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều, khi đó
chúng ta buộc phải chứng minh ADE cân ở D và chúng ta phải vẽ thêm AEI

đều bên trong ADE việc giải bài toán khá phức tạp (như đáp án thi HSG lớp 8
môn Toán. Như vậy việc sử dụng phương pháp phản chứng đã đem lại cho
chúng ta thêm một lựa chọn rất tốt cho việc giải quyết một số bài toán chứng
minh hình học, đặc biệt có những bài toán ngoài con đường chứng minh bằng
phản chứng chúng ta không còn con đường nào khác. Song những bài toán nào
thì có thể sử dụng phương pháp này, đó là những bài toán mà ta có thể phát biểu
được mệnh đề phản của nó.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường:
Kết quả cụ thể: Qua theo dõi đối với cùng một đối tượng học sinh trong 3
năm gần đây, thu được kết quả như sau:

TT

1
2
3

Năm học

2017 – 2018
2018 – 2019
2019 – 2020

Năm học lớp 8
Tổng (Chưa áp dụng sáng kiến)
Số HS yếu Số HS khá,
số HS
kém,TB
giỏi môn

môn Toán
Toán
45
33
12
45
30
15
44
31
13

Năm học lớp 9
(có áp dụng sáng kiến)
Số HS yếu Số HS khá,
kém, TB
giỏi môn
môn Toán Toán
20
25
15
30
19
25

Như vậy việc giúp học sinh hình thành và rèn luyện phương pháp chứng
minh bài toán hình học, là việc làm hết sức cần thiết đòi hỏi người thầy phải có
phương pháp rèn luyện tốt.

21

Phần 3: Kết luận - Kiến nghị
3.1. Kết luận:
Trên đây là những bài học và các ví dụ (minh hoạ). Muốn học sinh nắm
vững chín bài học nêu trên, không thể ngày một ngày hai mà cần phải có một
quá trình rèn luyện thường xuyên, liên tục và bắt đầu ngay từ khi học chứng
minh hình học, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên
thông qua mỗi bài toán chứng minh, theo mức dộ tăng dần từ dễ đến khó.
3.2. Kiến nghị:
Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng môn
Toán, tôi xin mạnh dạn nêu ra một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân góp nhặt
được trong quá trình giảng dạy và học tập, chắc chắn không tránh khỏi những
hạn chế khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học và
đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn góp phần tích cực vào việc nâng cao chất
lượng giáo dục.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Quảng Thành, ngày 30 tháng 05 năm2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Hà Văn Thao