Về Tập Nghiệm Của Đa Thức Nhiều Biến Trên Trường Thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ TRÍ HÀO

VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ TRÍ HÀO

VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu "Về tập
nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực" dưới sự hướng dẫn
của GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Đến nay, luận văn đã được hoàn
thành. Có được kết quả này là do sự dạy bảo và hướng dẫn hết sức
tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới Cô và gia đình!
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng
Đào tạo và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập tại Trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT
Vũ Lễ nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành khóa học này.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K9A (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạo điều
kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 5 năm 2017


Mục lục
Lời mở đầu

4

Chương 1. Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm
Hilbert

6

1.1

Đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Đa thức nhiều biến và Định lý cơ sở Hilbert . . . . . .

12

1.3

Tập nghiệm của họ đa thức và iđêan trong vành đa thức 17

1.4

Định lý không điểm Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Bài toán về hai đa thức có cùng tập nghiệm

27

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

Trường hợp một biến và trường hợp đóng đại số

. . .

28

2.3

Trường hợp đa thức hai biến trên trường thực . . . . .

32

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

3


Lời mở đầu
Bài toán xác định mối quan hệ giữa các nghiệm và các nhân tử
của một đa thức là một bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm.
Cho K là một trường. Chú ý rằng nếu a ∈ K là một nghiệm của
f (x) ∈ K[x] thì x − a là một nhân tử của f (x). Do đó, nếu f (x) và
g(x) là hai đa thức với hệ số trên K có cùng tập nghiệm thì ước chung
lớn nhất d(x) = gcd(f, g) cũng có tập nghiệm trùng với tập nghiệm
chung của f và g. Mục đích của luận văn này này là mở rộng kết quả
trên cho trường hợp nhiều biến. Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến bài
toán sau.
Cho f, g là hai đa thức n biến với hệ số trên một trường K sao cho
f, g có cùng tập nghiệm trong Kn . Tìm điều kiện để tồn tại một ước
chung d của f và g sao cho f, g, d có cùng tập nghiệm.
Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 tập trung trình bày kiến thức
chuẩn bị về đa thức một biến, đa thức nhiều biến, đa thức thuần nhất,
tập nghiệm của họ đa thức, iđêan trong vành đa thức, đồng thời nêu
lại chứng minh hai định lý của Hilbert là Định lý cơ sở Hilbert và
Định lý không điểm Hilbert. Định lý cơ sở Hilbert cho phép quy mỗi
tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức và Định lý không điểm
Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của Đại số. Chương 2 là
nội dung chính của luận văn, chương này trình bày bài toán về hai đa
thức có cùng tập nghiệm.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn bài báo [3] của M. Balaich

4

và M. Cocos và bài báo [2] của R. M. Aron and P. Hajek. Ngoài ra
còn tham khảo hai cuốn sách [1,4].
Trong luận văn này luôn giả thiết V là một vành giao hoán có
đơn vị và K là một trường. Ta ký hiệu N, N0 , R, C lần lượt là tập
số nguyên dương, tập các số nguyên không âm, trường các số thực,
trường các số phức, V [x], K[x], V [x1 , ..., xn ], K[x1 , ..., xn ] lần lượt vành
đa thức một biến trên V , K, vành đa thức n biến trên V và trên K.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn
chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.
Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý
thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả

5


Chương 1

Định lý cơ sở Hilbert và
Định lý không điểm
Hilbert
Trong chương này ta luôn giả thiết V là một vành giao hoán, K là
một trường. Kí hiệu N là tập các số nguyên dương và N0 là tập các
số nguyên không âm. Trong chương này chúng tôi tập trung trình bày
kiến thức chuẩn bị về đa thức như đa thức một biến, đa thức nhiều
biến, đa thức thuần nhất, tập nghiệm của họ đa thức, iđêan trong
vành đa thức, đồng thời nêu lại chứng minh hai định lý của Hilbert
là Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert. Định lý cơ sở
Hilbert cho phép quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa
thức và Định lý không điểm Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ

bản của Đại số.

1.1

Đa thức một biến

Định nghĩa 1.1.1. Một đa thức một biến với hệ số trên V có thể
được viết dưới dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , trong
6


đó a0 , . . . , an ∈ V và x là một ký hiệu gọi là biến (hay biến không
∞

xác định). Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) =

ai xi hoặc

i=0

f (x) =

i

ai x , trong đó ai = 0 với mọi i > n. Hai đa thức

ai xi và

bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i.
Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V .

Định nghĩa 1.1.2. Cho f (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 ∈ V [x]
là một đa thức.
i) Ta gọi a0 là hệ số tự do của f (x).
ii) Nếu an = 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu là
deg f (x). Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất của
f (x).
iii) Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn (monic
polynomial).
Chú ý 1.1.1. i) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0.
ii) Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là đa thức hằng.
iii) Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Với hai đa thức f (x) =

ai xi và g(x) =

bi xi

trong V [x], định nghĩa
f (x) + g(x) =
f (x).g(x) =

(ai + bi )xi ,
ck xk ,

ai bj , ∀k.

trong đó ck =
i+j=k

Chú ý 1.1.2. Với các phép toán trên thì V [x] là vành giao hoán.

Định nghĩa 1.1.4. Vành V [x] được gọi là vành đa thức một biến x
với hệ số trong V . Phần tử không của vành là đa thức 0, phần tử đơn
vị là đa thức 1.
7


Tiếp theo là một số tính chất sau đây về bậc của tổng và tích các
đa thức một biến.
Bổ đề 1.1.1. Cho f (x), g(x), h(x) ∈ V [x] là các đa thức khác 0. Khi
đó
(i) Nếu f (x) + g(x) = 0 thì
deg((f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)}.
(ii) Nếu f (x)g(x) = 0 thì
deg((f (x)g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x).
Định nghĩa 1.1.5. Cho V là vành giao hoán khác 0.
i) V được gọi là miền nguyên nếu ab = 0 kéo theo a = 0 hoặc
b = 0.
ii) Cho V là miền nguyên. Phần tử a ∈ V được gọi là bất khả quy
nếu a = 0, a không khả nghịch và a không có ước thực sự.
iii) Miền nguyên V được gọi là miền phân tích duy nhất (UFD)
nếu mọi phần tử khác không, không khả nghịch đều phân tích được
thành tích của các nhân tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy
nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và các nhân tử khả nghịch.
iv) Miền nguyên V được gọi là miền iđêan chính nếu mọi iđêan
của V đều là iđêan chính, (tức là: Nếu I là iđêan của V thì tồn tại
phần tử a ∈ I sao cho I = {ax | x ∈ V } = (a)).
Ví dụ 1.1.1. Ta thấy Z là miền chính vì mọi iđêan của Z có dạng
mZ = {mx | x ∈ Z}. Tuy nhiên vành Z[x] không là miền chính vì
iđêan I = (x, 2) không là iđêan chính.
Bổ đề 1.1.2. Cho V là miền nguyên khi đó với mọi f (x), g(x) ∈ V [x]

ta có
deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x),
8


với mọi f (x), g(x) ∈ V [x], f (x), g(x) = 0.
Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để vành đa thức là
miền phân tích duy nhất, miền iđêan chính (xem Mệnh đề 1.4.2 của
[1]).
Mệnh đề 1.1.1. i) Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x] là
miền phân tích duy nhất.
ii) Cho V là một miền nguyên. Khi đó V [x] là miền iđêan chính
khi và chỉ khi V là một trường.
Định nghĩa 1.1.6. Một ánh xạ ϕ : V → V giữa hai vành V , V được
gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) ϕ(1) = 1;
ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b);
iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b),
với mọi a, b ∈ V .
Định nghĩa 1.1.7. Một đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu (toàn cấu,
đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai vành V và V
được gọi là đẳng cấu với nhau, viết V ∼
= V , nếu có một đẳng cấu giữa
chúng.
Chú ý 1.1.3. Chú ý rằng hợp thành của hai đồng cấu vành là một
đồng cấu vành, ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành là một đẳng cấu
vành, ánh xạ nhúng j : V → V [x] cho bởi j(a) = a với mọi a ∈ V là
một đơn cấu vành. Ta gọi j là phép nhúng tự nhiên hay phép nhúng
chính tắc.
Ví dụ 1.1.2. Ta có ánh xạ ϕ : V [x] → V cho bởi ϕ

một toàn cấu và ker ϕ = (x). Do đó V [x]/(x) ∼
= V.

ai xi = a0 là

Định lý dưới đây là một kết quả rất quan trọng trong lý thuyết đa
thức. Nó giúp chúng ta xây dựng được thuật toán tìm ước chung lớn
nhất của các đa thức (xem Định lý 1.2.2 của [1]).
9


Định lý 1.1.1. (Định lý chia với dư). Giả sử g(x) ∈ V [x] là đa thức
có hệ số cao nhất khả nghịch trong V . Khi đó với mỗi f (x) ∈ V [x],
tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) thuộc V [x] sao cho f (x) =
q(x)g(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x).
Kết quả dưới đây, được gọi là Định lý Bezout bé, là một hệ quả
trực tiếp từ Định lý 1.1.1.
Hệ quả 1.1.1. Cho a ∈ V và f (x) ∈ V [x]. Khi đó dư của phép chia
f (x) cho x − a là f (a).
Chứng minh. Hệ số cao nhất của x − a là 1 (là phần tử khả nghịch).
Theo Định lý 1.1.1, tồn tại q(x), r(x) ∈ V [x] sao cho
f (x) = (x − a)q(x) + r(x),
trong đó r(x) = r ∈ V là một đa thức hằng. Thay x = a vào đẳng
thức trên ta được r = r(a) = f (a).
Định nghĩa 1.1.8. i) Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ K[x]. Sao cho
g(x) = 0. Tồn tại q(x) ∈ K[x] sao cho f (x) = g(x)q(x) thì ta nói g(x)
là ước của f (x) hoặc f (x) là bội của g(x).
ii) Một đa thức d(x) ∈ K[x] được gọi là một ước chung của các
đa thức f1 (x), . . . , fs (x) ∈ K[x] nếu d(x) là ước của fi (x) với mọi
i = 1, . . . , s.

iii) Một ước chung d(x) của các đa thức f1 (x), . . . , fs (x) được gọi là
ước chung lớn nhất nếu d(x) là bội của mọi ước chung f1 (x), . . . , fs (x).
Ví dụ 1.1.3. Cho f (x) = x2 − 1 và g(x) = x − 1 là các đa thức trên
trường số hữu tỷ Q. Khi đó f (x) = (x − 1)(x + 1) = g(x)(x + 1). Suy
1
ra, g(x) là ước của f (x). Ta có 1, , (x − 1) là ước chung của f (x) và
2
1
g(x). Khi đó x − 1, (x − 1), 2(x − 1) . . ., là các ước chung lớn nhất
2
của f (x) và g(x).
10


Bổ đề 1.1.3. Cho d(x) ∈ K[x] là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) ∈
K[x]. Khi đó đa thức t(x) ∈ K[x] cũng là ước chung lớn nhất của f (x),
g(x) nếu và chỉ nếu tồn tại 0 = a ∈ K sao cho t(x) = ad(x).
Bổ đề 1.1.4. Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặc
deg r(x) < deg g(x). Khi đó đa thức d(x) là ước chung lớn nhất của
f (x), g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x).
Tiếp theo chúng tôi trình lại định lý về thuật toán tìm ước chung
lớn nhất.
Định lý 1.1.2. (Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất) Giả sử
f (x), g(x) là hai đa thức trong K[x] và g(x) = 0. Khi đó tồn tại một
số tự nhiên k và các đa thức ri (x), qi (x) ∈ K[x] sao cho
f (x) = g(x)q0 (x) + r0 (x), r0 (x) = 0, deg r0 (x) < deg g(x);
g(x) = r0 (x)q1 (x) + r1 (x),
r0 (x) = r2 (x)q2 (x) + r2 (x),

r1 (x) = 0, deg r1 (x) < deg r0 (x);

r2 (x) = 0, deg r2 (x) < deg r1 (x);

...........................................................................
rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x),

rk (x) = 0, deg rk (x) < deg rk−1 (x);

rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x).
Hơn nữa đa thức dư cuối cùng rk (x) = 0 là một ước chung lớn nhất
của f (x) và g(x).
Ví dụ 1.1.4. Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức với hệ số trên
Q là x2 − 1 và x3 − 3x + 2.
Giải. Theo thuật toán Euclid ta có
x3 − 2x + 2 = x2 − 1 x − 2x + 2
x2 − 1 = (−2x + 2) − 21 x −

1
2

.

Do đó −2x + 2 là một ước chung lớn nhất của x2 − 1 và x3 − 3x + 2.

11


1.2

Đa thức nhiều biến và Định lý cơ sở
Hilbert

Định nghĩa 1.2.1. i) Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1 , . . . , in ) ∈
Nn0 cho ta một đơn thức xi11 . . . xinn của n biến x1 , . . . , xn với bậc là
i1 + . . . + in . ta thường viết đơn thức này đưới dạng xi .
ii) Với j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn0 , hai đơn thức xi , xj là bằng nhau nếu
i = j, tức là ik = jk với mọi k.
iii) Một từ là biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi là hệ số
của từ) và xi được gọi là đơn thức của từ. Hai từ được gọi là đồng
dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau. Hai từ được gọi là bằng
nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số.
iv) Một đa thức là tổng hữu hạn các từ. Nếu u = axi và v = bxi là
hai từ đồng dạng thì chúng ta có u + v = (a + b)xi . Vì vậy, mỗi đa thức
ai xi

f (x1 , . . . , xn ) có một cách biểu diễn chính tắc f (x1 , . . . , xn ) =
i∈Nn0

thành tổng của các từ đôi một không đồng dạng, trong đó chỉ hữu
hạn các từ khác 0 (tức là hệ số của từ khác không), và biểu diễn này
là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các hạng tử.
v) Mỗi từ khác 0 xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của đa thức
được gọi là một từ của đa thức đó.
ai xi và

vi) Hai đa thức
mọi i ∈ Nn0 .

i∈Nn0

bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với

i∈Nn0

Định nghĩa 1.2.2. Bậc của một từ khác không là bậc của đơn thức từ
đó. Bậc (hay bậc tổng thể ) của đa thức f (x1 , . . . , xn ) = 0, kí hiệu bởi
deg f (x1 , . . . , xn ), là số lớn nhất trong các bậc của từ của f (x1 , . . . , xn ).
Bậc theo biến xk của một đa thức là số lớn nhất trong các số mũ của
xk xuất hiện trong các từ của đa thức đó.
Chú ý 1.2.1. i) Ta không định nghĩa cho bậc của đa thức 0.
12


ii) Đa thức hằng khác không là đa thức có bậc 0.
iii) Các đa thức bậc 1 là đa thức tuyến tính. Đa thức thuần nhất
bậc m (hay một dạng bậc m) là một đa thức mà các từ của nó đều có
bậc m.
iv) Đa thức thuần nhất bậc hai được gọi là dạng toàn phương.
Định nghĩa 1.2.3. Ký hiệu V [x1 , . . . , xn ] là tập các đa thức n biến
x1 , . . . , xn với hệ số trong V . Với i, j ∈ Nn0 , trong đó i = (i1 , . . . , in )
và j = (j1 , ..., jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ). Khi đó
V [x1 , . . . , xn ] là một vành với phép cộng và phép nhân
ai x i +
i∈Nn0

bi xi =
i∈Nn0

ai x i
i∈Nn0

bi xi =

i∈Nn0

i∈Nn0

ck xk , ck =
k∈Nn0

ai x i ,

với mọi đa thức

(ai + bi )xi ;
i∈Nn0

ai b j
i+j=k

bi xi ∈ V [x1 , . . . , xn ].
i∈Nn0

Chú ý 1.2.2. i) Vành V [x1 , . . . , xn ] được gọi là vành đa thức n biến
x1 , . . . , xn với hệ số trong V.
ii) Vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V có thể được
xây dựng bằng quy nạp theo n như sau. Khi n = 1, vành đa thức một
biến V [x1 ] đã được định nghĩa trong mục 1.2.3. Với n = 2, vành đa
thức hai biến V [x1 , x2 ] với hệ số trong V chính là vành đa thức một
biến x2 với hệ số trong V [x1 ]. Bằng quy nạp, vành đa thức n biến
V [x1 , . . . , xn ] với hệ số trong V chính là vành đa thức một biến xn với
hệ số trong vành V [x1 , . . . , xn−1 ].
Theo Mệnh đề 1.1.1. Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x]

là miền phân tích duy nhất. Bằng quy nạp theo số biến ta có hệ quả
sau.
Hệ quả 1.2.1. Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x1 , . . . , xn ]
cũng là miền phân tích duy nhất.
13


Chú ý rằng, nếu K là trường thì K là miền phân tích duy nhất, do
đó vành đa thức K[x1 , . . . , xn ] luôn là miền phân tích duy nhất.
Định nghĩa 1.2.4. Cho đa thức f (x1 , . . . , xn ) ∈ V [x1 , . . . , xn ]. Khi
đó ta có ánh xạ f : V n → V cho ứng mỗi phần tử (a1 , . . . , an ) ∈ V n
với phần tử f (a1 , . . . , an ) ∈ V. Ta gọi f là hàm đa thức n biến trên V
tương ứng với đa thức f (x1 , . . . , xn ).
Kết quả quan trọng sau đây cho phép ta có thể đồng nhất mỗi
đa thức với một hàm đa thức. Từ đó, ta có thể liên hệ các đối tượng
đại số (trong vành đa thức V [x1 , . . . , xn ]) với các đối tượng hình học
(trong tập V n ) (xem Định lý 3.1.9 của [1]).
Định lý 1.2.1. Nếu V là miền nguyên vô hạn thì ánh xạ ϕ cho tương
ứng mỗi đa thức f (x1 , . . . , xn ) với hàm đa thức f là một song sánh từ
tập các đa thức V [x1 , . . . , xn ] đến tập các hàm đa thức n biến trên V.
Đặc biệt, đa thức f (x1 , . . . , xn ) là đa thức 0 khi và chỉ khi hàm đa thức
f là hàm không.
Định nghĩa 1.2.5. Cho V là vành giao hoán. Ta nói V là vành Noether
nếu nó thỏa mãn điều kiện các dãy tăng dừng trên các iđêan, tức là
với mọi dãy tăng I1 ⊆ I2 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ . . . các iđêan của V, tồn tại
một số tự nhiên n0 sao cho In = In0 với mọi n > n0 .
Tiếp theo là các đặc trưng của vành Noether (xem Mệnh đề 3.4.1
của [1]).
Mệnh đề 1.2.1. Cho V là vành giao hoán. Khi đó các phát biểu sau
là tương đương.

(i) V là vành Noether.
(ii) Mỗi iđêan của V là hữu hạn sinh.
(iii) Mỗi họ khác rỗng những iđêan của V đều có phần tử cực đại
(theo quan hệ bao hàm).
14


Hệ quả 1.2.2. Cho V là vành Noether và I là iđêan của vành V khi
đó vành thương V /I là vành Noether.
Ta thấy rằng, nếu V là miền nguyên (miền phân tích duy nhất),
thì vành đa thức một biến V [x] tương ứng là miền nguyên (miền phân
tích duy nhất). Định lý tiếp theo của Hilbert chỉ ra tính chất Noether
được giữ nguyên trên vành đa thức.
Định lý 1.2.2. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho V là vành Noether. Khi
đó V [x] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.1, ta cần chứng minh mọi iđêan của
V [x] đều hữu hạn sinh. Cho J là iđêan của V [x]. Nếu J = 0 thì rõ
ràng J là hữu hạn sinh. Cho J = 0. Gọi m là số bé nhất trong các bậc
của các đa thức khác 0 thuộc J. Với n ≥ m ta định nghĩa
n

{ a ∈ V | ∃f (x) =

ai xi ∈ J, deg f (x) = n, an = a } ∪ {0} .
i=0

Khi đó In là iđêan của V và In ⊆ In+1 . Vì V là vành Noethher,
nên In hữu hạn sinh theo Mệnh đề 1.2.1. Do đó ta có thể viết In =
(an,1 , . . . , an,in ) với mọi n > m. Hơn nữa, do V là vành Noether nên
tồn tại một số tự nhiên k ≥ m sao cho In = Ik với mọi n ≥ k. Với mỗi

n = m, . . . , k và mỗi j = 1, . . . , in , gọi fn,j (x) ∈ J là đa thức bậc n và
hệ số cao nhất là an,j . Đặt
An = {fn,j (x) | j = 1, . . . , in }
k

và A =

An . Khi đó A là tập hữu hạn. Ta chứng minh J = (A).
n=m

Rõ ràng (A) ⊆ J. Cho 0 = p(x) ∈ J với a là hệ số cao nhất của
p(x). Khi đó deg p(x) ≥ m. Ta chứng minh p(x) ∈ (A) bằng quy
nạp theo deg p(x). Cho deg p(x) = m. Khi đó a ∈ Im . Do đó tồn tại
im

c1 , . . . , cim ∈ V sao cho a =

im

cj am,j . Đặt q(x) = p(x) −
j=1

cj fm,j (x).
j=1

15


Khi đó q(x) hoặc bằng 0 hoặc có bậc bé hơn m. Chú ý rằng q(x) ∈ J.
Do đó q(x) = 0 theo cách chọn m. Suy ra p(x) ∈ (A). Cho deg p(x) =

n > m và giả thiết rằng với mọi đa thức trong J với bậc nhỏ hơn n
đều thuộc (A). Khi đó a ∈ In . Đặt t = min{n, k}. Suy ra In = It
it

và vì thế a ∈ It . Do đó tồn tại c1 , . . . , cit ∈ V sao cho a =

cj at,j .
j=1

it

Đặt q(x) = p(x) −

cj ft,j (x). Khi đó q(x) ∈ J và q(x) hoặc bằng 0
j=1

hoặc có bậc nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp, q(x) ∈ (A). Suy ra
p(x) ∈ (A). Do đó J = (A).
Cho V là vành và S là vành chứa V , với α1 , . . . , αn ∈ S. Đặt
V [α1 , . . . , αn ] = {f (α1 , . . . , αn )|f (x1 , . . . , xn ) ∈ V [x1 , . . . , xn ]} ⊆ S.
Từ Định lý 1.2.2 và bằng quy nạp theo số biến ta suy ngay hệ quả
sau.
Hệ quả 1.2.3. Các phát biểu sau đây là đúng.
(i) Nếu V là vành Noether thì V [x1 , . . . , xn ] cũng là vành Noether.
(ii) Nếu V là vành Noether, S là vành chứa V và α1 , . . . , αn ∈ S
thì V [α1 , . . . , αn ] cũng là vành Noether.
Chứng minh. i) Vì V [x1 , . . . , xn ] = (V [x1 ])[x2 , ..., xn ] nên ttheo quy
nạp ta suy ra điều phải chứng minh.
ii) Cho α1 , . . . , αn ∈ S là phần tử của S. Xét đồng cấu
ϕ : V [x1 , . . . , xn ] → S

sao cho f (x1 , . . . , xn ) → ϕ(f ) = f (α1 , . . . , αn ). Khi đó ta có Imϕ =
V [α1 , . . . , αn ]. Theo định lý đồng cấu vành ta có V [x1 , . . . , xn ]/ ker ϕ ∼
=
V [α1 , . . . , αn ]. Do đó V [x1 , . . . , xn ] là Noether nên theo Hệ quả 1.2.2
ta có V [α1 , . . . , αn ] là Noether.

16


1.3

Tập nghiệm của họ đa thức và iđêan
trong vành đa thức

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử V là một vành con của một vành giao hoán
S và 0 = f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ V [x]. Một phần tử c ∈ S được
gọi là một nghiệm của f (x) trong S nếu f (c) = an cn +. . .+a1 c+a0 = 0.
Trong trường hợp này ta cũng nói c là một nghiệm của phương trình
f (x) = 0.
Ví dụ 1.3.1. Xét hai đa thức f (x) = x2 − 3 và g(x) = x2 + 1 trong
√
vành Q[x]. Rõ ràng R và C đều chứa Q. Ta có ± 2 ∈ R là các nghiệm
của f (x) và ±i ∈ C là các nghiệm của g(x).
Bổ đề 1.3.1. Phần tử a ∈ V là nghiệm của f (x) nếu và chỉ nếu tồn
tại một đa thức g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x).
Chứng minh. Nếu f (x) = (x − a)g(x) với g(x) ∈ V [x] thì rõ ràng a là
nghiệm của f (x). Ngược lại, nếu a là nghiệm của f (x) thì f (a) = 0.
Theo Hệ quả 1.1.1, dư của phép chia f (x) cho x − a là f (a) = 0. Vì
thế tồn tại g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x).
Định nghĩa 1.3.2. Cho f (x) ∈ V [x]. Giả sử k > 0 là một số nguyên

và S là một vành giao hoán chứa V . Một phần tử a ∈ S được gọi là
một nghiệm bội k của f (x) nếu trong vành S[x], đa thức f (x) chia hết
cho (x − a)k nhưng f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 . Nếu k = 1 thì
a được gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2 thì a được gọi là nghiệm kép.
Ví dụ 1.3.2. Cho f (x) = x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ∈ Q[x]. Khi đó i
và −i là hai nghiệm kép của f (x) và −1 là nghiệm đơn của f (x), bởi
vì trong C[x] ta có phân tích f (x) = (x − i)2 (x + i)2 (x + 1).
Bổ đề 1.3.2. Phần tử a ∈ V là nghiệm bội k của f (x) ∈ V [x] nếu và
chỉ nếu tồn tại một đa thức g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)k g(x)
và g(a) = 0.
17


Chứng minh. Giả sử a là nghiệm bội k của f (x). Vì f (x) chia hết cho
(x − a)k nên f (x) = (x − a)k g(x) với g(x) ∈ V [x]. Nếu g(a) = 0 thì
theo Bổ đề 1.3.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ V [x] và do
đó f (x) chia hết cho (x − a)k+1 , vô lý. Vậy g(a) = 0. Ngược lại, vì
f (x) = (x − a)k g(x) nên f (x) chia hết cho (x − a)k . Nếu f (x) chia hết
cho (x − a)k+1 thì f (x) = (x − a)k+1 h(x) với h(x) ∈ V [x]. Do đó
(x − a)k g(x) = (x − a)k+1 h(x).
Suy ra
(x − a)k (g(x) − (x − a)h(x)) = 0.
Do hệ số cao nhất của (x − a)k bằng 1 nên g(x) − (x − a)h(x) = 0. Do
đó g(a) = 0, mâu thuẫn. Vì thế f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 .
vậy a là nghiệm bội k của f (x).
Từ các bổ đề trên ta suy ra hai hệ quả sau (xem Hệ quả 1.5.5 của
[1]).
Hệ quả 1.3.1. Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x]. Giả sử a1 , . . . , ar
thuộc V là những phần tử đôi một khác nhau và ai là nghiệm bội bội
ki của f (x) với i = 1, . . . , r. Khi đó tồn tại u(x) ∈ V [x] sao cho

f (x) = (x − a1 )k1 . . . (x − ar )kr u(x)
và u(ai ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r.
Hệ quả 1.3.2. Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x]. Nếu f (x) = 0
thì số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của nó, không vượt
quá bậc của f (x).
Chứng minh. Giả sử a1 , . . . , an là các nghiệm của f (x) với số bội lần
lượt là k1 , . . . , kr . Theo Hệ quả 1.3.1 ta có
f (x) = (x − a1 )k1 . . . (x − ar )kr g(x),
18


trong đó g(x) ∈ V [x]. Do V là miền nguyên nên ta có
deg f (x) = (k1 + . . . + kr ) + deg g(x) ≥ k1 + . . . kr .

Chú ý 1.3.1. Đối với đa thức một biến trên trường K, bài toán tìm
nghiệm là bài toán cơ bản. Chú ý rằng mỗi đa thức khác không trong
K[x] chỉ có hữu hạn nghiệm (số nghiệm không vượt quá bậc của nó).
Trong khi đó đa thức nhiều biến nhìn chung có vô số nghiệm và việc
nghiên cứu một nghiệm riêng lẻ là không khả thi. Thay vào đó, người
ta nghiên cứu tập các nghiệm của một đa thức hay một họ đa thức.
Những tập nghiệm như vậy gọi là tập đại số. Ký hiệu
Kn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ K, i = 1, . . . , n}.
Ta gọi Kn là không gian affin n chiều. Đặc biệt K = K1 được gọi là
đường thẳng affin, K2 được gọi là mặt phẳng affin. Với mỗi tập con S
của K[x1 , . . . , xn ], ký hiệu
Z(S) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Kn | f (a1 , . . . , an ) = 0, ∀f ∈ S}.
Tập Z(S) được gọi là tập nghiệm của S (hay tập các không điểm chung
của S).
Định nghĩa 1.3.3. Mỗi tập con X của Kn được gọi là tập đại số (hay
đa tạp affin) nếu tồn tại S ∈ K[x1 , . . . , xn ] sao cho X = Z(S). Khi đó

ta nói X là tập đại số định nghĩa bởi S.
Cho X = Z(S) là một tập đại số trong Kn . Nếu S = {f } thì ta viết
X = Z(f ). Nếu f khác hằng thì Z(f ) được gọi là một siêu mặt trong
K n . Nếu S = {f1 , . . . , fk } là tập hữu hạn thì ta viết X = Z(f1 , . . . , fk ).
Chú ý rằng mỗi tập đại số (khác ∅ và khác Kn ) đều là giao của một
họ siêu mặt, vì ta có X = Z(S) =

Z(f ).
f ∈S

19


Ví dụ 1.3.3. Trong mặt phẳng affin R2 , tập đại số Z(x2 + y 2 − 4) là
một đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là gốc tọa độ. Trong hình học
giải tích, các đường tròn, đường elip, đường parabol, đường hypebol
đều là các tập đại số.
Hệ quả sau đây, sử dụng Định lý cơ sở Hilbert để chứng minh, cho
phép quy nạp mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức.
Hệ quả 1.3.3. Mỗi tập đại số trong Kn là tập nghiệm của một iđêan
trong vành đa thức K[x1 , . . . , xn ]. Đặc biệt, mỗi tập đại số là tập
nghiệm của hữu hạn đa thức. Nói cách khác, mỗi tập đại số là giao
của hữu hạn siêu mặt.
Chứng minh. Giả sử X = X(S) là tập đại số, trong đó S ⊆ K[x1 , . . . , xn ].
Đặt I = (S) là iđêan của K[x1 , . . . , xn ] sinh bởi S. Với
(S) = {f1 g1 + . . . + fk gk | k ∈ N, fi ∈ S, gi ∈ K[x1 , . . . , xn ],∀i} .
Suy ra, X = Z(S) = Z(I). Theo Định lý cơ sở Hilbert, I là hữu hạn
sinh, chẳng hạn I = (f1 , . . . , fn ). Khi đó
X = Z(f1 , . . . , fk ) =

Z(fi ).
i=1,...,k

1.4

Định lý không điểm Hilbert

Trong tiết này, chúng tôi chứng minh lại Định lý không điểm của
Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của đại số. Để chứng cho
Định lý không điểm của Hilbert không cần đến những kiến thức về
môđun. Tất cả các chứng minh mà chúng tôi biết được đều sử dụng
những kết quả về môđun Noether. Vì thế, trước khi phát biểu và
20


chứng minh lại định lý, chúng tôi trình bày khái niệm môđun Noether
và một số đặc trưng của môđun Noether.
Trong suốt tiết này ta luôn giả thiết K là một trường. Ta nói rằng
K là đóng đại số nếu mọi đa thức một biến bậc dương với hệ số trong
K đều có ít nhất một nghiệm trong K. Ví dụ, theo Định lý cơ bản của
đại số, trường số phức C là trường đóng đại số.
Định nghĩa 1.4.1. Cho V là vành giao hoán. Một tập hợp M cùng
với phép cộng và ánh xạ V × M −→ M (gọi là phép nhân vô hướng),
trong đó ảnh của phần tử (a, u) ∈ V × M được ký hiệu là au, được
gọi là một V -môđun nếu M là nhóm giao hoán với phép cộng và các
tính chất sau thỏa mãn:
(i) (ab)u = a(bu) với mọi a, b ∈ V, u ∈ M .
(ii) a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu với mọi a, b ∈ V, u, v ∈ M .
(iii) 1u = u với mọi u ∈ M .
Chú ý rằng mỗi iđêan của V là một V -môđun. Cho M1 , . . . , Mt là

các V -môđun. Khi đó tích đề các
M1 × . . . × Mt = {(x1 , . . . , xt ) | xi ∈ Mi , ∀i = 1, . . . , t}
cũng là V -môđun với phép cộng theo tọa độ và phép nhân vô hướng
xác định bởi
a(u1 , . . . , ut ) = (au1 , . . . , aut ),
với mọi a ∈ V và (u1 , . . . , ut ) ∈ M1 × . . . × Mt .
Nếu M1 = M2 = . . . = M thì ta ký hiệu M t thay có M1 × . . . × Mt .
Định nghĩa 1.4.2. Cho M là V -môđun. Một tập con N của M gọi
là V -môđun con của M nếu N là V -môđun.
Chú ý 1.4.1. i) Giao của một họ khác rỗng những môđun con của
M là môđun con của M .
21


ii) Nếu M1 , M2 là hai môđun con của M thì
M1 + M2 := {u + v | u ∈ M1 , v ∈ M2 }
là môđun con của M .
iii) Cho tập L là tập con của V -môđun M . Giao của các môđun
con của M chứa L kí hiệu là (L), là môđun con bé nhất của M chứa
L và được gọi là môđun con sinh bởi L.
iv) Ta nói M là môđun hữu hạn sinh nếu M sinh bởi một tập hữu
hạn {u1 , . . . , ut }. Trong trường hợp này ta viết M = V u1 + . . . + V ut
hay M = (u1 , . . . , ut ). Khi đó mỗi phần tử u ∈ M được viết dưới dạng
u = a1 u1 + . . . + at ut với a1 , . . . , at ∈ V .
Định nghĩa 1.4.3. Cho M là V -môđun. Ta nói M là môđun Noether
nếu nó thỏa mãn các điều kiện dãy tăng dừng trên các môđun con,
tức là M1 ⊆ M2 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . . là dãy tăng các môđun con của M
thì tồn tại n0 ∈ N sao cho Mn = Mn0 với mọi n ≥ n0 .
Với M là môđun con của V -môđun M , đặt
M/M = {u + M |u ∈ M }

là tập các lớp ghép trái của M . Ta có u + M = v + M khi và
chỉ khi u − v ∈ M . Tập M/M là một V -mônđun với phép cộng
(u + M ) + (v + M ) = (u + v) + M và phép nhân với vô hướng
a(u + M ) = au + M . Ta gọi M/M là môđun thương của M theo
môđun con M . Một ánh xạ f : M −→ N giữa các V -môđun được
gọi là một đồng cấu nếu f (u + v) = f (u) + f (v) và f (au) = af (u)
với mọi u, v ∈ M, a ∈ V . Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu,
đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai V -môđun M, N
được gọi là đẳng cấu với nhau, viết là M ∼
= N , nếu tồn tại một đẳng
cấu giữa M và N . Chú ý rằng nếu f : M −→ N là đồng cấu thì
ker f := {u ∈ M | f (u) = 0} là môđun con của M và Imf là môđun
22


con của N . Hơn nữa M/ ker f ∼
= Imf .
Tiếp theo là đặc trưng của môđun Noether (xem Bổ đề 3.5.3 của
[1]).
Bổ đề 1.4.1. Cho M là V -môđun và M là môđun con của M .
(i) M là Noether khi và chỉ khi M và M/M là Noether.
(ii) Nếu M là môđun Noether thì M là hữu hạn sinh.
(iii) Nếu M là hữu hạn sinh và V là vành Noether thì M là môđun
Noether.
Nhắc lại rằng, với K ⊆ E thì E/K là một mở rộng trường và
α1 , . . . , αn ∈ E, và với 0 = α ∈ E, ta ký hiệu phần tử α−1 ∈ E là 1/α
và ký hiệu
K[α1 , . . . , αn ] = {f (α1 , . . . , αn ) | f ∈ K[x1 , . . . , xn ]},
K (α1 , . . . , αn )
=

f (α1 ,...,αn )
g(α1 ,...,αn )

| f, g ∈ K [x1 , . . . , xn ] , g (α1 . . . , αn ) = 0

lần lượt là vành con và trường con bé nhất của E chứa K và α1 , . . . , αn .
Ta có bổ đề sau đây (xem Bổ đề 3.5.4 của [1]).
Bổ đề 1.4.2. Nếu các phần tử α1 , . . . , αn ∈ E đều đại số trên K thì
K[α1 , . . . , αn ] = K(α1 , . . . , αn ) và [K(α1 , . . . , αn ) : K] < ∞.
Bổ đề 1.4.3. (xem Bổ đề 3.5.5 của [1]) Cho E = K[α1 , . . . , αn ]. Nếu
E là một trường thì E là mở rộng hữu hạn của K.
Hệ quả 1.4.1. Cho V = K[x1 , . . . , xn ] và J là iđêan tối đại của V .
Khi đó vành thương E = V /J là một trường và K ⊆ E là mở rộng hữu
hạn. Hơn nữa, Nếu K là trường đóng đại số thì K = E.
Chứng minh. Vì J là tối đại nên vành thương E = V /J là trường. Chú
ý rằng, ánh xạ j : K → E cho bởi j(a) = a + J là một đơn cấu. Do
23


đó K ∼
= j(K) và vì thế ta có thể xem K là trường con của trường E,
trong đó ta đồng nhất phần tử a ∈ K với phần tử a + J ∈ E. Đặt
αi = xi + J ∈ E. Khi đó E = K[α1 , . . . , αn ]. Theo Mệnh đề 1.4.3, E
là một mở rộng hữu hạn của K, tức là dimK E < ∞. Cho α ∈ E. Do
E/K là một mở rộng hữu hạn nên nó là mở rộng đại số. Vì thế α đại
số trên K, tức là α là nghiệm của một đa thức f (x) bậc đương với hệ
số trong K. Vì thế nếu K đóng đại số thì α ∈ K và do đó E = K.
Định nghĩa 1.4.4. Cho V là vành giao hoán và J là iđêan của V .
Đặt

rad(J) = {a ∈ V | ∃n ∈ N, an ∈ J } .
Khi đó rad(J) là iđêan của V chứa J. Ta gọi rad(J) là căn của J. Nếu
J =rad(J) thì ta nói J là iđêan căn.
Chú ý rằng nếu J1 ⊆ J2 là các iđêan của V thì rad(J1 ) ⊆ rad(J2 ).
Và khi V = Z là vành các số nguyên ta có rad(4Z) = 2Z = rad(8Z) và
nếu n = pi11 . . . pikk là phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n thành tích
các thừa số nguyên tố thì rad(nZ) = p1 . . . pk Z. Khi V = K[x1 , . . . , xn ]
là vành đa thức với K là trường, nếu X ⊆ Kn là tập đại số thì iđêan
của X
I(X) = {f ∈ K[x1 , . . . xn ] | f (a1 , . . . , an ) = 0, ∀(a1 , . . . , an ) ∈ X}
là một iđêan căn.
Bổ đề 1.4.4. Cho J là iđêan của K[x1 . . . , xn ]. Khi đó J ⊆ I(Z(J)).
Chứng minh. Cho f (x1 , . . . , xn ) ∈ J. Khi đó f (a1 , . . . , an ) = 0 với mọi
(a1 , . . . , an ) ∈ Z(J). Suy ra f ∈ I(Z(J)).
Nhắc lại rằng, J là iđêan tối đại của V nếu J = V và giữa J với
V không còn iđêan nào trung gian nữa.
24