Phân dạng bài toán tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 có một phần rất quan trọng
của chương trình Toán phổ thông đó là giới hạn của dãy số . Đây là nội dung rất
mới đối với các em học sinh THPT. Việc mới tiếp cận nội dung mới đã khiến
nhiều em cảm thấy khó, đặc biệt đối với các bài toán liên quan đến tìm giới hạn
của dãy số cho bởi công thức truy hồi. Các em học sinh cảm thấy bỡ ngỡ không
biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bài toán như thế nào và tình hình này cũng diễn ra
đối với cả các em trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 11 của trường. Do
đó, hiệu quả học tập và ôn thi các em không cao. Thực tế yêu cầu trong việc
giảng dạy chỉ phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận
giải toán với phương pháp và cơ sở rõ ràng. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh
nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách định hướng trong việc tìm lời giải bài
toán. Vì vậy với trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên
đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh
để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này. Qua quá
trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phân dạng bài toán tính giới hạn
của dãy số cho bởi công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt
hơn”.
1.2. Mục đich nghiên cứu
Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán tính giới hạn của dãy số
cho bởi công thức truy hồi và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán ở
dạng này.
Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho
học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các
kì thi, đặc biệt là kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá.
Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốt hơn
kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán.
Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán tính giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi

- Một số đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh các trường THPT trên địa bàn
tỉnh Thanh Hoá.
- Một số đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11, lớp 12 các tỉnh
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11
- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi học
sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của học sinh lớp 11C1, 11C2 năm học 2018-2019
trường THPT Yên Định 3.
- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán về
phương pháp giải các bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liên quan đến tìm giới hạn dãy số trong kì thi
1


học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây.
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sỏ lý luận
a. Một số kết quả thường dùng
1. Tính chất cấp số nhân [1]
2. Tính chất cấp số cộng [1]
3. Các định lý về giới hạn dãy số [1]
4. Định lý về dãy số bị chặn. [1]
5. Cho 3 dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn các điều kiện
limv n =lmw n = a

v n ≤ un ≤ w n , ∀n

và

, khi đó limun = a. [6]

6. Định lí tính bị chặn dãy số [1]
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”
un
un ≤ M , ∀n
lim un
7. Nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện
và tồn tại giới hạn
thì
lim un ≤ M
un
un ≥ m, ∀n
; nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện
và tồn tại giới hạn
lim un
lim un ≥ m
thì
[6]
lim un = lim un+1
un
n→+∞
n →+∞
8. Giả sử dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn thì
[6]
Trên cở sở phân tích, nhìn nhận và đánh ra tôi đưa ra một số phương pháp
tính giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi
Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định
công thức số hạng tổng quát.
Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng
phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng
tính đơn điệu và bị chặn của dãy.
b. Các ví dụ điển hình
Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác
định công thức số hạng tổng quát .
2


Phương pháp xác định công thức tổng quát của một dãy số cho bởi hệ thức
truy hồi khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ trình bày
kĩ thuật tìm công thức tổng quát của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến
để đưa dãy đã cho về cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc tổng hiệu của các cấp
số cộng, và cấp số nhân.
u1 = 1; u2 = 3

( un )
un+ 2 = 2un+1 − un + 1
Cho dãy số
được xác định như sau:
Ví dụ 1:
u
lim n2
n →+∞ n
Tính
.
(HSG lớp 11 - Vĩnh Phúc 2013)
Lời giải
un+ 2 − un+1 = un+1 − un + 1, n = 1, 2,...
{ un+2 − un+1}
Ta có

suy ra
lập thành một cấp số
un+ 2 − un+1 = u2 − u1 + n.1 = n + 2
cộng có công sai bằng 1 nên
(1)
un − u1 = un − un−1 + un−1 − un−2 + ... + u2 − u1 = n + n − 1 + ... + 2
Từ (1) ta được
n ( n + 1)
⇒ un = 1 + 2 + ... + n =
2
n ( n + 1) 1
un
= lim
=
2
n →+∞ n
n→+∞
2n 2
2

⇒ lim

un 1
=
n →+∞ n 2
2

.

lim

Vậy

.

Ví dụ 2: Cho dãy số

( un )

a. Tìm số hạng tổng quát
b. Tính

lin( nun )

có
un

u1 = 16


15 ( n.un + 1)
, ∀n ≥ 1
un +1 + 14 =
n +1


.

.

.
Thi HSG THPT Yên Định 2 -2020
Lời giải

a. Ta có:

3


un+1 + 14 =

15 ( n.un + 1)
⇔ ( un+1 + 14 ) ( n + 1) = 15 ( n.un + 1)
n +1

⇔ (n + 1)un+1 = 15nun − 14n + 1

Đặt

vn = n.un

, ta có

v1 = 16

.(1)

. Khi đó (1) trở thành :

vn+1 = 15vn − 14n + 1 ⇔ vn+1 − (n + 1) = 15(vn − n)

Đặt

w n = vn − n

(2) trở thành:

⇒ w n = 15n

,

w1 = 15

wn +1 = 15wn

. (2)

.

, suy ra

. Từ đó ta có:

( wn )

là cấp số nhân có

15n + n
un =
n

w1 = 15, q = 15

.

lim(nun ) = lim(15 + n) = +∞
n

b.

u1 = 1

un − 4

u
=
, ∀n ≥ 1
n
+
1

u
+
6
n


Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi
un ≠ −4, ∀n ≥ 1
a. CMR
u +1

vn = n
un + 4
b. CMR dãy (vn) với
là một CSN. Tính limun
( Bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007)
Lời giải
un ≠ −4, ∀n ≥ 1
a. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
.
u1 = 1 ≠ −4
Khi n = 1 ta có
uk ≠ −4, ∀k ≥ 1
uk +1 ≠ −4
Giả sử
, ta chứng minh
. Thật vậy, giả sử ngược lại

4


uk +1 = −4

, khi đó

uk − 4
= −4 ⇒ uk − 4 = −4uk − 24 ⇒ uk = −4
uk + 6

, trái với giả thiết

quy nạp.
un ≠ −4, ∀n ≥ 1
Vậy

∀n ≥ 1
b. Từ câu a suy ra vn luôn xác định với mọi
un − 4
+1
un+1 + 1 un + 6
2(un + 1) 2
vn +1 =
=
=
= vn , ∀n
un+1 + 4 un − 4 + 4 5(un + 4) 5
un + 6
Ta có
.
2
5

Vậy (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = . Suy ra
n
n
2
2
4. ÷ − 1
4. ÷ − 1
5
5


un =
lim un = lim   n = −1
n
2
2
1−  ÷
1−  ÷
5
5
Nên
. Do đó
u1 = 3

5un − 3

u
=
, n∈Ν *
n
+
1

3
u
−
1

n
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi

u +1
vn = n
, ∀n ∈ Ν *
un − 1
Xét dãy số (vn) với
.
a. Chứng minh dãy số (vn) là một cấp số cộng.
lim un
b. Tính
.
Lời giải
u +1
v +1
vn = n
⇒ un = n
un − 1
vn − 1
Ta có
thay vào hệ thức truy hồi ta có
v +1
5. n
−3
vn+1 + 1
vn − 1
v + 1 2vn + 8
v + 1 2vn + 8
=
⇒ n
=
⇒ n+1

=
vn+1 − 1 3. vn + 1 − 1
vn − 1 2vn + 4
2
4
vn − 1

5

n

2
vn =  ÷
5


vn +1 = vn + 3 và v1 = 2

Hay
. Suy ra dãy số (vn) là một cấp số cộng có v 1 = 1 và
công sai d = 3
Ta có vn = v1 + (n – 1)d = 2 +3(n – 1) = 3n – 1
3n − 1 + 1
3n
un =
=
3n − 1 − 1 3n − 2
Do đó
. Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn
3n

un =
n∈ N *
3n − 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là
3n
3
lim un = lim
= lim
=1
2
3n − 2
3−
n
b.
u1 = 1

(u n ) : 
un −1
un = 1 + 5n.u , n ≥ 2
limu n
n −1

Ví dụ 5: Cho dãy số:
. Tìm
Lời giải
un −1
1
1
un =
⇔

=
+ 5n
n
un un −1
1 + 5 .u n −1
Ta có
.
Vn =

Đặt

1
n
n
U n ⇒ vn = vn −1 + 5 ⇔ vn − vn−1 = 5

⇒ vn = ( vn − vn −1 ) + ( vn −1 − vn −2 ) + ... + ( v2 − v1 ) + v1
5
21
⇔ vn = 5n + 5n −1 + ... + 52 + 1 = .5n −
4
4
⇒ un =

1
5 n 21
.5 −
4
4

⇒ limu n = 0

Ví dụ 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy
Tính

lim ( n

2019

un )

( un )

, biết

1

u1 = 2

un +1 = un , n ∈ ¥ *
2un + 3


.

.
HSG 11 – Tĩnh Gia 1 – 2020
Lời giải
6

un > 0, ∀n ∈ ¥ *

Bằng phương pháp quy nạp suy ra được
un
1
3
un+1 =
⇔
= +2
2un + 3
un +1 un
Khi đó
.
v1 = 2
1
vn = , n ∈ ¥ *

un
vn+1 = 3vn + 2
Đặt
ta được
.
 x1 = 3

xn = vn + 1
 xn+1 = 3xn
Đặt
ta được

xn = 3.3n −1 = 3n ⇒ vn = xn − 1 = 3n − 1 ⇒ un =
Do đó
n

3n = ( 1 + 2 ) > Cn2020 .2 2020 =

Ta có
Suy ra

.

1
1
= n
vn 3 − 1

n ( n − 1) ... ( n − 2019 ) 2020
n!
.22020 =
.2
2020!( n − 2020 ) !
2020!

1
1
n
n
n
yn = n < n <
=

= zn
3 − 1 3 − 1 n ( n − 1) ...( n − 2019 ) .22020 − 1 11 − 1 ...1 − 2019 

÷ 
÷
1
n  2020
2020!
 n 
.2
− 2020
2020!
n
2019

Vì

2019

lim yn = lim zn = 0

Ví dụ 7: Cho dãy số
lim un
Tính
.

Dễ thấy

lim n

2019

un = lim

nên

( un )

xác định

n 2019
3n − 1

=0

4

u1 = 3
,n∈¥*

( n + 2 ) 2 u + ( n + 1) u u = n 2u
n
n n +1
n +1


Lời giải
(n + 2) 2 n 2
= − (n + 1)
un+1

un

un ≠ 0; ∀n ∈ N *

. Từ giả thiết ta có
1 1
vn = +
un 4
v1 = 1
*
n
∈¥
Với mỗi
, đặt
ta có
và
7

.


1
1
n2

2
2
2
.vn
( n + 2 )  vn+1 − ÷ = n  vn − ÷− (n + 1) ⇒ (n + 2) .vn+1 = n vn ⇒ vn+1 =

4
4
( n + 2) 2


2

⇒ ( n + 2 ) (n + 1) 2 vn+1 = (n + 1)2 n 2vn
2

Ta có dãy số
a1 = 4v1 = 4
.

an+1 = an ⇒ (an )

an = 4 ⇒ vn =

Do đó
Vậy

Đ ặt

an = (n + 1) 2 n 2vn

là một cấp số cộng với công sai

d =0

và

4
1
1
4(n + 1) 2 n2
⇒
u
=
=
=
n
1
4
1 16 − ( n + 1) 2 n 2
(n + 1)2 n 2
vn −
−
4 (n + 1) 2 n 2 4

4(n + 1) 2 n 2
lim un = lim
= −4
16 − (n + 1) 2 n2

Ví dụ 8: Cho dãy số
hạng tổng quát của

( un )

( un )

thỏa mãn

và tính

u1 = 1, u2 = 2

un + 2 = 4un +1 − 3un + 2n + 1, ∀n ∈ ¥ *

. Tìm số

u
lim nn+1
3

?
Lời giải
un+2 − un+1 + n + 2 = 3 ( un+1 − un + n + 1)

Ta có
vn = un+1 − un + n + 1, ∀n ∈ ¥ *
Đặt
.
v1 = u2 − u1 + 2 = 3

( vn )
vn+1 = 3vn , ∀n ∈ ¥ *
Khi đó ta có dãy số
với
.

( vn )
v1 = 3
q=3
Suy ra
là một cấp số nhân với
và công bội
.
n −1
n−1
n
n
vn = v1.q = 3.3 = 3
un+1 − un + n + 1 = 3 ∀n ∈ ¥ *
Do đó
suy ra
Từ đó suy ra
n −1
n −1
3 ( 1 − 3n−1 )
n ( n − 1)
k
+ ( n − 1) =
( uk +1 − uk + k + 1) = ∑ 3 ⇔ un − u1 +
∑
2
1− 3
k =1
k =1

⇔ un =

1 n
3 − n 2 − n + 1)
(
2

.
8


Do đó

un
1  1 n2
n
1  1
lim n+1 = lim  − n+1 − n+1 + n+1 ÷ =
3
23 3
3
3  6

Ví dụ 9: Cho dãy số
lim

Tính

( un )

thỏa mãn:

u1 = 2, u2 = 3, un+1 − 2un + un −1 = 1, n ≥ 2

.

un
n2

Lời giải

Giả thiết

un+1 − 2u n + un−1 = 1 ⇔ ( un+1 − un ) − ( un − un−1 ) = 1

Khi đó dãy
đầu

( vn )

v1 = 3 − 2

với

vn = un +1 − un

.

un = vn−1 + ... + v1 + u1 =

Do đó:

lim

Suy ra

.

là một cấp số cộng có công sai

d =1

và số hạng

n −1
[ 2v1 + (n − 2) d ] + u1
2

un 1
=
n2 2

Như vậy, việc xác định được công thức tổng quát của dãy số có một ý nghĩa
rất quan trọng , việc xác định được công thức của số hạng tổng quát giúp cho
bài toán trở nên quen thuộc hơn. Vì vậy việc tính giới hạn dãy số trở nên dễ
dàng hơn rất nhiều.

Dạng 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
1

u

=
1

4

u = u 2 + un , ∀n ≥ 1
n
 n+1
2
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi
a. CMR:
b. CMR:

1
0 ≤ un ≤ , ∀n
4
un +1 3
≤ , ∀n
un
4

. Tính limun
Bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007
9


Lời giải
a. Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được
Với n = 1 thì u1 =

Thật vậy, ta có
Do đó

1
4

đúng. Giả sử

1
1
u k ≤ ⇒ u k 2 ≤ uk
4
4

0 ≤ un , ∀n

1
uk ≤ , ∀k ≥ 1
4

và

. Ta CM

1
un ≤ , ∀n
4

, ta chứng minh

3
3 1 3
uk ≤ . =
4
4 4 16

1
uk +1 ≤
4

.

.

.

1
1
3
3 1
uk +1 ≤ uk + uk = uk ≤ <
4
2
4
16 4

1
0 ≤ un ≤ , ∀n
4

Vậy
b. Từ câu a suy ra

un +1
1 1 1 3
= un + ≤ + = , ∀n
un
2 4 2 4
n −1

0 < un =

Do đó ta có

un un −1
u
3 3
3
1 3
.
...... 2 .u1 ≤ . ..... .u1 = .  ÷ , ∀n
un −1 un− 2
u1
4 4
4
4 4

n −1

Mà lim

1 3
. ÷
4 4

=0, nên theo nguyên lí kẹp thì limun = 0
1

u
=
1

3

u = 1 u 2 − 1, ∀n ≥ 1
 n+1 2 n
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Tính limun
( Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải)
L ời gi ải
−1 < un < 0
n≥2
Ta thấy với mọi
thì
. Giả sử rằng (un) có giới hạn là a thì
1 2
a −1 = a ⇔ a = 1± 3
2
-1

a =1− 3
Do -1Xét hiệu sau đây

10


 un2

1
un+1 − (1 − 3) =  − 1÷− 1 − 3 = un + 1 − 3 un − 1 − 3 =
2
 2


(

)

(

)

n −1

 3
1
3
= un + 3 − 1 un − (1 − 3) <
un − (1 − 3 < ... < 

÷
2
2
2



(

)

un − (1 − 3)

n

 3
=
÷
 2 

n

 3
0 < un+1 − (1 − 3) < 
÷
 2 

Do -1lim un+1 = 1 − 3 ⇒ lim un = 1 − 3
Nên

lim un = 1 − 3
Vậy

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi

n

mà

 3
lim 
÷ =0
 2 

u1 = 10

un+1 = un , ∀n ≥ 1

. Tính limun
BT ĐS và GT11 NC NXBGD2007

Lời giải

un+1 = un = 1.un ≤
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

un+1 <

1 + un
, ∀n

2

∀n
Dấu “=” không xảy ra vì un >1, , do đó
u −1
⇒ un+1 − 1 < n , ∀n
2
(*)
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có
u − 1 un− 2 − 1
u −1
9
0 < un − 1 < n−1
<
< .... < 1 n−1 = n−1 , ∀n ≥ 1
2
2
2
2
2
1 < un < 1 +
Hay

1+
Mà lim(

9
2n−1

1 + un

2

,

9
, ∀n ≥ 1
2n−1

) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1
11

.


u1 = a ( −1 < a < 0 )

u = un + 1 − 1, ∀n ≥ 1
 n+1
un 2 + 1


Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi
.
1
0 < un+1 + 1 ≤
(un + 1), ∀n ≥ 1
a2 + 1
a) CMR
lim un
b) Tính

( BT ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007)
Lời giải
Nhận xét rằng – 1 < un < 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy nap).
un 2 + 1
Từ đó suy ra 0 < un + 1 < 1 và
>1
u +1
un+1 = n
− 1 < (un + 1) − 1 = un , ∀n ≥ 1
un 2 + 1
(u n )
Suy ra
, nên Dãy
là dãy giảm
−1 < un ≤ un−1 ≤ .... ≤ u1 = a < 0, ∀n ≥ 1
Do đó
1
1
⇒ un 2 ≥ a 2 ⇒ un 2 + 1 ≥ a 2 + 1 ⇒
≤
un 2 + 1
a2 + 1
un + 1

0 < un+1 + 1 =

un + 1
2

Nên

≤

1
a +1
2

(un + 1), ∀n ≥ 1
2

 1 
⇒ 0 < un + 1 ≤
(un−1 + 1) ≤ 
÷ (un−2 + 1)
2
a2 + 1
 a +1 
1

n −1

 1 
≤ .... ≤ 
÷ (u1 + 1), ∀n ≥ 1
2
a
+
1



n −1

Hay

 1 
−1 < un ≤ 
÷ .(a + 1) − 1, ∀n ≥ 1
2
a
+
1



n −1


 1 
0<
< 1 ⇒ lim (a + 1) 
÷ − 1 = −1
2


a2 + 1
a
+
1



1

Vì

Do đó theo nguyên lí kẹp ta được

lim un = −1
12

.


Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi

3

u
=
1

2

2
u = 1 + u − un , ∀n ≥ 1
n
 n+1
2

. Tính

lim un

(Các bài toán về dãy số – Phan Huy Khải )
Lời giải
Xét hiệu sau đây

(

un2
1
1
un+1 − 2 = 1 + un − − 2 = un − 2 un − 2 + 2 = un − 2 un − 2 + 2
2
2
2
n −1

 2
2
<
un+1 − 2 < ... < 
÷
2
 2 

n −1

 2 3


u1 − 2 = 
÷  − 2÷

 2  2
n −1

Như vậy

 2 3

0 < un+1 − 2 < 
÷  − 2÷

 2  2
n −1

Mà

 2 3

lim 
÷  − 2 ÷ = 0 ⇒ lim un = 2

 2  2
u1 = 2014

un +1 = 1 + u1u 2 ...u n

( un )

(n ∈ ¥ * )

Ví dụ 6: Cho dãy số
xác định như sau:
n
1
Sn = ∑
l imSn .
k =1 uk
n→+∞
Đặt
. Tìm
( HSG – Hà Nam 2014)
Lời giải

ui +1 = 1 + u1u2 ...ui ∀i ≥ 1

⇒ ui +1 − 1 = ui (ui − 1)
⇒ ui > 1 ∀i ≥ 1, ui+1 > 1 + u1 ∀i ≥ 1
1
1
1
1
1
1
=
− ⇒ =
−
ui +1 − 1 ui − 1 ui
ui ui − 1 ui +1 − 1

Sn =

1
1 1
1
1
1
1
2
1
+ ... + = +
−
+ ... +
−
= −
u1
un u1 u2 − 1 u3 − 1
un − 1 un+1 − 1 u1 un +1 − 1

13

)


un+1 − 1 = u1u2 ...un > u1 (1 + u1 ) n−1 = 2014.2015n−1
0<

1
un+1 − 1

<

lim sn =

n→+∞

1
1
1
⇒ lim
= 0 ⇒ lim
=0
n −1
n
−
1
n→+∞ 2014.2015
n→+∞ u
2014.2015
−
1
n +1
2
1
=
.
u1 1007

Vậy

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi
un+1 1
≤ , ∀n
un
2
un > 0
a. CMR:
và

1

u
=
1

2

u = un , ∀n ≥ 1
n +1
n +1


b. Tính limun
( BT ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007)
Lời giải.
un > 0, ∀n
a. Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được
un+1
1
1

=
≤ , ∀n ≥ 1
un
n +1 2
Từ hệ thức truy hồi ta có
n
un un −1
u2
1 1 1 1 1
0 < un =
.
....... .u1 ≤ . ..... . =  ÷ , ∀n ≥ 1
un−1 un −2
u1
2 2 2 2 2
b. Từ câu a) ta có
Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0
Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn.

Ví dụ 1: Cho dãy số (

un

) xác định bởi

u1 = 2

un+1 = 2 + un , ∀n ≥ 1

. Tính lim

Lời giải
un

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số ( ) tăng và bị chặn trên.
un
un+1 un , ∀n ≥ 1
Chứng minh dãy ( ) tăng bằng quy nạp, tức là
>
Khi n = 1 ta có

u2 = 2 + u1 = 2 + 2 > 2 = u1
14

un


uk +1 > uk

uk + 2 = 2 + uk +1 > 2 + uk = uk +1

un+1 un , ∀n ≥ 1
. Vậy
>
un
2
. Ta sẽ chứng minh dãy ( ) bị chặn trên bởi 2

Giả sử

, khi đó
un
Nên ( ) bị chặn dưới bởi
bằng quy nạp, thật vậy
u1 = 2 < 2
Khi n = 1 ta có
uk +1 = 2 + uk < 2 + 2 = 2
uk < 2, ∀k ≥ 1
Giả sử
, khi đó
.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử
a≥ 2
limun = a, thì
.
lim un+1 = lim 2 + un
Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
 a = −1
a = 2 + a ⇔ a2 = a + 2 ⇔ 
a = 2
Hay
lim un = 2
a≥ 2
Vì
nên a = 2. Vậy

Ví dụ 2: Cho dãy số thực

Tìm giới hạn của dãy số

(un )

( Sn )

xác định bởi
Sn =

biết :

u1 = 2019
 2
*
un + 2018un − 2020un +1 + 1 = 0, (n ∈ N )

.

1
1
1
+
+ ... +
u1 + 2019 u2 + 2019
un + 2019

( HSG – THPT Hà Trung 2020)
Ta có :

Lời giải
u + 2018un − 2020un+1 + 1 = 0
2

n

⇔ un+1 =

un2 + 2018un + 1
2020

un2 + 2018un − 2019
⇔ un+1 − 1 =
2020
⇔ 2020(un+1 − 1) = (un − 1)(un + 2019) ⇒

1
1
1
=
−
(*)
un + 2019 un − 1 un+1 − 1

15


Sn =
Từ (*) suy ra :

1
1
1
1

−
=
−
u1 − 1 un+1 − 1 2018 un+1 − 1
2020(un +1 − un ) = ( un − 1) ≥ 0, ∀n ∈ N * ⇒ (un )
2

Từ hệ thức truy hồi ta có
tăng.
*
un ≥ 2019, ∀n ∈ N
Do đó :
.
(u n )
Do dãy số
tăng nên có hai khả năng xảy ra :
(un )
lim un = x ⇒ x ≥ 2019
tăng và bị chặn trên : Giả sử
. Khi đó :
2
x + 2018 x − 2020 x + 1 = 0 ⇔ x = 1
(không thảo mãn)
 1 
lim un = +∞ ⇒ lim 
÷= 0
u
−
1
(un )

 n+1 
tăng và không bị chặn trên : Khi đó
 1
1 
1
lim Sn = lim 
−
÷=
 2018 un+1 − 1  2018
Do vậy :
( xn )
x1 = 2019, xn +1 = xn2 − xn + 1, n = 1, 2.
Ví dụ 3: Cho dãy số
được xác định bởi:

Với mỗi số nguyên dương

Ta có

n

, đặt

1 1
1
yn = 2019  + + ... + ÷.
xn 
 x1 x2

Lời giải

2
xn+1 − xn = xn2 − 2 xn + 1 = ( xn − 1) ≥ 0 ⇒ xn+1 ≥ xn , ∀n ≥ 1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng

xn > n + 1, ∀n ≥ 1

n =1

n (n > 1)

Thật vậy, (1) đúng với
.Giả sử (1) đúng với
xn+1 = xn ( xn − 1) + 1 > n( n + 1) + 1 = n 2 + n + 1 > n + 2
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ
xn+1 - 1 = xn ( xn - 1)
Ta có
.
Suy ra

Tính

( xn )

tăng ngặt và

1
1
1
1

=
=
.
xn+1 - 1 xn ( xn - 1) xn - 1 xn

Từ đó

16

lim yn .

Do đó

( xn )

tăng.

(1).

thì

xn > n + 1, ∀n ≥ 1

suy ra

1
1
1
=
.

xn xn - 1 xn+1 - 1

lim xn = +∞.


Do đó

1 1
 1
 1
1
1 
1 
yn = 2016  + + ... + ÷ = 2019 
−
−
÷ = 2019 
÷
xn 
 x1 x2
 x1 − 1 xn +1 − 1 
 2018 xn +1 − 1 

lim xn = +∞ ⇒ lim

Từ

1
=0
xn

Ví dụ 4: Cho dãy số (
un+1
un
Tính lim

Nhận xét rằng

un

lim yn =

. Vậy

) xác định bởi

un > 0, ∀n

2019
.
2018

u1 = 30

2
un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ 1

( Đề thi HSG- 11 Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Lời giải

( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)
un+1 = 30un 2 + 3un + 2011 > 30un 2 > un 2 = un , ∀n ≥ 1

Hơn nữa, ta có
un
un
un
Nên dãy số ( ) là dãy tăng. Giả sử dãy ( ) bị chặn trên, khi đó ( ) có giới
un
hạn hữu hạn và ta đặt lim = a ( a > 0)
lim un +1 = lim 30un 2 + 3un + 2011 ⇒ a = 30a 2 + 3a + 2011
Ta có
⇒ a 2 = 30a 2 + 3a + 2011 ⇒ 29a 2 + 3a + 2011 = 0
. Phương trình này vô nghiệm
lim un = +∞
nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (un) không bị chặn hay

Mặt khác
lim

Do đó

un+1
30un 2 + 3un + 2011
3 2011
=
=
30
+
+ 2

un
un 2
un
un
un+1
3
2011
= 30 + lim + lim 2 = 30
un
un
un

17


un

u1 = 1


un 2
+ un , ∀n ≥ 1
un+1 =
2010


Ví dụ 5: Cho dãy số ( ) xác định bởi
u u
u
( 1 + 2 + ..... + n )

u 2 u3
un +1
Tính lim
( HSG -12 Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Lời giải
un 2
un+1 − un =
> 0, ∀n ≥ 1(*) ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ 1
2010
Từ hệ thức truy hồi ta có
,
⇒ un > u1 = 1 > 0, ∀n ≥ 1
do đó dãy (un) là dãy số tăng
un +1 − un
un 2
un
1
1
2010.
=
= 2010( −
)
un+1.un
un+1.un
un+1
un un+1
Từ (*) suy ra
hay
u u
u

1
1
1
⇒ 1 + 2 + ..... + n = 2010( −
) = 2010(1 −
)
u2 u3
un +1
u1 un +1
un+1
(

u1 u2
u
1
+ + ..... + n ) = lim 2010.(1 −
)
u 2 u3
un+1
un+1

Do đó lim
Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a
un > 1, ∀n ≥ 1 ⇒ a ≥ 1
(Vì
).
un 2
lim un+1 = lim(
+ un )
2010

Từ hệ thức truy hồi suy ra
a2
a=
+a⇒a=0
2010
Hay
(vô lý).
lim un = +∞ ⇒ lim un+1 = +∞
Vậy (un) không bị chặn, tức là
.
u u
u
( 1 + 2 + ..... + n ) = 2010
u2 u3
un+1
Vây lim

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) thỏa mãn:

5

u1 = 2

u = 1 u 2 − u + 2
n
 n+1 2 n
(n ∈ N *)
18

. Tìm

 n 1
lim ∑
 k =1 u k






( HSG – Hải Dương 12- năm 2014)
Lời giải
u n +1 − u n =

Ta có:
Nếu có số M: un

1 2
(u n − 4u n + 4) ≥ 0, ∀n
⇒
2

≤

Khi đó ta có: L =
Ta có:
⇔

Dãy không giảm.

M với mọi n, thì tồn tại limun = L. Vì un
1
2

L2 – L + 2

u − 2u n + 4 = 2u n +1
2
n

⇔

L = 2. (Vô lý)

⇒

limun =

(

 n 1
1
1
1
 ∑
lim
=
−
∑
u1 − 2 u n +1 − 2 ⇒

k =1 u k
 k =1 u k
n

Ví dụ 7: Cho dãy số

( un )

u1

⇒

L

≥

u1

+∞

1
1
=
⇔ u n (u n − 2) = 2(u n +1 − 2) ⇔ u n (u n − 2) 2(u n +1 − 2)

1
1
1
1
1

1
−
=
⇔
=
−
u n − 2 u n u n +1 − 2
u n u n − 2 u n +1 − 2 ∀n ∈ N *

Do đó:

≥

( un )

xác định bởi





=

)

1
=2
u1 − 2

u1 = 1


1

un = − u + 3 , ∀n ≥ 2
n−1


. Chứng minh dãy số

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó?
Lời giải
un >

−3 + 5
, ∀n ≥ 1
2

+ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
∀n ≥ 1: un+1 − un = −

+ Ta có
+ Dãy số

( un )

lim un = a

Đặt

u 2 + 3un + 1

1
− un = − n
<0
3 + un
3 + un

, vậy

( un )

là dãy số giảm

giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn hữu hạn.
a≥

với

−3 + 5
2

19


a=−

+ Khi đó ta phải có
lim un =

1
−3 + 5

⇒a=
3+ a
2

.

−3 + 5
.
2

Vậy
Như vậy với việc đánh giá được dãy số bị chặn và chứng minh dãy số tăng
(hoặc giảm) giúp cho việc tìm giới hạn dãy số trở nên dễ dàng hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Thực trạng đứng trước một bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức
truy hồi học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: Phải định hướng tìm lời
giải bài toán từ đâu ? Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa
kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu
suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định
hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen
xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành
cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết.
Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng
định hướng và giải toán.
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông
thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn
giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ
ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả
giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tôi
thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán tìm giới

hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách hiểu bản chất, biết phân dạng
bài toán. Vì vậy, song song với các lời giải, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản
chất và bài tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải. Trong
sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng
có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh nhận thức, phân tích bản chất của bài toán để
bổ trợ cho việc giải bài tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi là một suy
nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng
như phân loại một cách tương đối các bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công
thức truy hồi.
2.3. Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong
đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán tìm
giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi tương ứng.
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
20


4. Trong mỗi bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi đều
yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất bài toán cũng như đưa ra các
hướng khai thác mở rộng cho bài toán.
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã
cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài tìm giới hạn dãy số
cho bởi công thức truy hồi cho bài học. Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời
giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu
hỏi: bản chất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được
không? Bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi xuất hiện thường

xuyên trong các đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Vì vậy, để giải
được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương
pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan:
- Việc tiếp cận các bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi của
các em học sinh đã nhanh nhạy hơn, các em đã tự tin khi tiếp cận dạng toán này.
- Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề
mới.
- Chất lượng ôn thi mũi nhọn môn Toán của nhà trường được nâng lên rõ rệt,
làm tiền đề cho việc nâng cao chất lượng dạy và học.
- Trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường môn toán năm học 2019 - 2020 thì
90% học sinh lớp 11 giải được bài toán tính giới hạn dãy số cho bởi công thức
truy hồi.

21


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trước một bài toán, giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh tự giải, biết
tìm ra hướng đi đúng đắn. Bởi một số bài toán đòi hỏi phải sáng tạo, phải có tư
duy nhất định mới có thể giải được.
Biết trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các nhà khoa học, giúp
học sinh hứng thú học tập bộ môn nhằm nâng cao chất lượng bộ môn toán và
chất lượng giáo dục hiện nay.
Hiện nay, đa số các thầy cô giáo cũng biết phương pháp này. Tuy nhiên
ứng dụng của nó hiện nay chưa được nghiên cứu một cách tổng thể. Do vậy tôi
mong rằng những kinh nghiệm nhỏ mình có thể giúp ích phần nào cho công tác
giảng dạy tại các trườngtrung học phổ thông.

3.2. Kiến nghị
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ
bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau:
Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu
tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm.
Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn
nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức
học sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy.
Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết
bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung
giúp học sinh dể hiểu bài học.
Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũng như các nội dung khác nói
chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt
nội dung mới.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân để phần nào giúp học sinh
có cái nhìn dễ dàng hơn về bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy
hồi. Tôi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian hẹp nên
sáng kiến này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp
của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cám ơn!
Xác nhận
của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 06 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Lê Bá Tuân

Trịnh Ngọc Vĩ

22