bài giảng toán 11 giới hạn của dãy số

TIEÁT 50
TIEÁT 50
GIAÙO VIEÂN: ÑAËNG THÒ THE
GIAÙO VIEÂN: ÑAËNG THÒ THE




KiĨm tra bµi cò
KiĨm tra bµi cò
B i s 1à ố
B i s 1à ố
SAI ĐÚNG
Dãy số q, q
2
, q
3
,…….q
n
… có giới hạn 0 nếu < 1
8
Dãy số ( an) = {1, ,………… } có giới hạn bằng 0
7

Lim = 0
6
Dãy số (U
n
) với U
n
= m có giới hạn bằng 0
5
Lim = 9
4
lim
3
Dãy số (Un)có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số ( trò tuyệt
đối của (Un) có giới hạn 0
2
Ta nói dãy số ( Un) có giới hạn là 0 nếu m số hạng của dãy số
đều có giá trò tuyệt đối nhỏ hơn một số dư ng nhỏ tuỳ ý cho ơ
trước kể từ một số hạng nào đó trở đi .
1
ĐÁP ÁN NỘI DUNG CÂU HỎISTT
2
0
n
=
1
n
q
1
2
1

n
q
3
1
n
Đ
Đ
Đ
S
S
S
Đ
Đ




BÀI SỐ 2
BÀI SỐ 2
Xét câu sau:
Xét câu sau:

(1) lim( )
(1) lim( )
n
n
=
=
0
0


(2) lim = 0
(2) lim = 0


Trong hai câu trên :
Trong hai câu trên :
(
(
A). chỉ có câu 1 đúng (B). cả 2 câu đều đúng
A). chỉ có câu 1 đúng (B). cả 2 câu đều đúng
( C). chỉ có câu 2 đúng ( D). cả 2 câu đều sai
( C). chỉ có câu 2 đúng ( D). cả 2 câu đều sai
1
3
3
1
Đáp án
1
k
n
A
A




ĐỊNH NGHĨA
ĐỊNH NGHĨA

1:GIỚI HẠN 0
1:GIỚI HẠN 0
Ta nói dãy số ( u
Ta nói dãy số ( u
n
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô
cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ
cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim u
Kí hiệu: lim u
n
n
= 0 hay U
= 0 hay U
n
n
0 khi n +
0 khi n +


n
U
∞
n → +∞

ĐỊNH NGHĨA 2:
ĐỊNH NGHĨA 2:


GIỚI HẠN a
GIỚI HẠN a
Ta nói dãy số ( V
Ta nói dãy số ( V
n
n
) có giới hạn là số a (hay V
) có giới hạn là số a (hay V
n
n
dần tới a)
dần tới a)
khi n +
khi n +
Nếu
Nếu
lim (V
lim (V
n
n
- a)=
- a)=

0 kí hiệu lim V
0 kí hiệu lim V
n
n
= a hay V
= a hay V
n
n
dần tới
dần tới


a khi n +
a khi n +
n +
n +
∞
∞
∞




GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT


a.lim = 0 ; lim = 0 ; với k nguyên dương
a.lim = 0 ; lim = 0 ; với k nguyên dương

b. lim q
b. lim q
n
n
= 0 nếu < 1
= 0 nếu < 1
c. Nếu U
c. Nếu U
n
n
= C thì
= C thì


lim U
lim U
n
n
= lim C = C
= lim C = C


1
n
1
k
n
q

NỘI DUNG BÀI HỌC
NỘI DUNG BÀI HỌC




Phần 1:Đònh lý về giới hạn hữu hạn
Phần 1:Đònh lý về giới hạn hữu hạn
Phần 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phần 3: Củng cố bài học,Luyện tập



Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số






II,ĐỊNH LÝ v gi i h n h u ề ớ ạ ữ
II,ĐỊNH LÝ v gi i h n h u ề ớ ạ ữ
h nạ
h nạ
Đ
Đ

ị
ị
nh lí 1
nh lí 1
a) nếu lim U
a) nếu lim U
n
n
= a và lim V
= a và lim V
n
n
= b thì :
= b thì :
+ lim ( U
+ lim ( U
n
n
+ V
+ V
n
n
) = a + b
) = a + b
+ lim ( U
+ lim ( U
n
n
- V
- V

n
n
) = a - b
) = a - b
+ lim(U
+ lim(U
n
n
.V
.V
n
n
) = a.b
) = a.b
+ lim ( nếu )
+ lim ( nếu )
b) nếu U
b) nếu U
n
n
với mọi n và lim U
với mọi n và lim U
n
n
= a thì a
= a thì a
và lim
và lim
n
n

U
V
a
b
=
0b ≠
0≥
0≥
n
U a=


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số






VÍ DỤ 3
VÍ DỤ 3
Câu a:
Tìm lim
Câu b:
Tìm lim
2
3
1 1
3

1 1
2
n n
n
n
− −
+ −
2
2
3
1
n n
n
−
+


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số






Lời giải câu a
Lời giải câu a


vậy lim = 3/2

vậy lim = 3/2


2 2
1 1 1 1
lim(3 ) lim3 lim lim 3
n n n n
− − = − − =
3 3
1 1 1 1
lim(2 ) lim 2 lim lim 2
n n
n n
+ − = + − =
2 2
3 3
1 1 1 1
3 lim(3 )
1 1 1 1
2 lim(2 )
n n n n
n n
n n
− − − −
=
+ − + −


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Đáp án câu b
Đáp án câu b


2
2
2
2
2 2
2
1
3
3
1
1
1
1
3
1 3
lim( 1) 1 lim lim 3
1
1
1
n n

n
n
n
n n
n
n n
n
−
−
=
+
+
−
−
+ = ⇒ = =
+
+
Vì
1
lim(3 ) 3
n
− =


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Vớ
Vớ
duù 4
duù 4


2
1 4
lim
1 2
n
n
+



Giụựi haùn daừy soỏ
Giụựi haùn daừy soỏ






Lời giải
Lời giải

2
1 4
lim
1 2
n
n
+
−
2
1
4
1
1
2
n
n
+
= −
−
= lim


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


A. 3 B. 1/2 C. 3/2 D. 1
A. 1 B.3 C. 0 D. 2

1. lim
2. lim
2
2
3 5
2 5
n n
n n
+ −
+ −
2
3
2
3 1
n n
n n
+
+ −
C
C


Giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số




Chọn đáp án đúng
Chọn đáp án đúng








A. 2 B. 1/2 C.3 D. -2
A. 2 B. 1/2 C.3 D. -2

A.2 B. 1 C. 3 D. 0
2
3.lim( )n n n+ −
2
2
4.lim
2
n
n n n+ +
B
B

Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá








A. 2 B. 1/2 C. 1/3 D 1
A. 2 B. 1/2 C. 1/3 D 1
A.0 B. 1 C. 2 D. đáp án khác
1 2
5.lim
1 2
n
n
−
+
1 1 1
6.lim( )
1.2 2.3 ( 1)n n
+ + +
+
D
B

Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá






Cho dãy s vơ h nố ạ
Cho dãy s vơ h nố ạ
1. Dãy số có là cấp số nhân không? vì sao?
Tính q và so sánh với 1
2. Tính S
n
và tìm lim S
n


1 1 1 1
; ; ; ; ;
2 4 8 2
n
q


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Ta có
Ta có


= U
= U
1
1
+ U
+ U
2
2
+ …… + U
+ …… + U
n
n
=
=
lim S
lim S
n
n
= lim vì
= lim vì
1
1 ( )
2

1
1
n
−
=
1
1 1
(1 ( ) )
(1 )
1 1 1
2 2

1
2 4 2 1
1
2
n
n
n
U q
q
−
−
+ + + = =
−
−
n
S
1
lim( ) 0

2
n
=
Lời giải


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số






S = U1 + U2 + …… + Un +…
S = U1 + U2 + …… + Un +…


=
=
½ + ¼
½ + ¼
+ ………+ 1/2
+ ………+ 1/2
n + ……
n + ……

V
V
yậ
yậ
S= limS
S= limS
n
n
= 1
= 1
1lim

2
1

4
1
2
1
==
++++=
n
n
Ss


Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá

III,Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
III,Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn ( Un)có q với gọi là cấp số nhân
Cấp số nhân vô hạn ( Un)có q với gọi là cấp số nhân
lùi vô hạn khi đó
lùi vô hạn khi đó


Sn = U1 + U2 + …+Un = vì
Sn = U1 + U2 + …+Un = vì
nên:
nên:


limSn = lim
limSn = lim
giới hạn đó được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
giới hạn đó được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Kí hiệu: S = U1 + U2 + … +Un + ….
Kí hiệu: S = U1 + U2 + … +Un + ….
vậy S=
vậy S=
1
(1 )

1
n
u q
q
−
−
1q <
1 1
(1 )
1 1
n
u q u
q q
−
=
− −
1
1
U
q−
1q <


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Ví dụ 5
Ví dụ 5
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( U
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( U
n
n
):
):


U
U
n
n
=
=
1
3
n


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Lời giải
Lời giải
Vì Un = nên U
Vì Un = nên U
1
1
= , q=
= , q=
Vậy S=
Vậy S=
1
3
n
1
3
1
3
1
1
1 1 1 1
3

1
3 9 3 1 2
1
3
n
U
q
+ + + + = = =

−
−


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số






VÍ DỤ 6
VÍ DỤ 6
Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu
Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu
cho một bức tường hình vuông có cạnh là 1 m. các bức tô như
cho một bức tường hình vuông có cạnh là 1 m. các bức tô như
sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là tô tiếp hình vuông có
sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là tô tiếp hình vuông có
cạnh bằng cạnh hình vuông vừa tô…. cứ tô tiếp mãi.
cạnh bằng cạnh hình vuông vừa tô…. cứ tô tiếp mãi.
1
2
m
1
2


Giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số


Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?
Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?






Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá