Đề thi HSG Casio 9

phòng gd&đt lục nam đề thi hsg giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9
năm học: 2010 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 23-10-2010
Quy định:
1) Thí sinh đợc dùng máy tính: Casio fx-500MS; Casio fx-570MS; Casio fx-500ES;
Casio fx-570ES.
2) Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể đợc qui định là
chính xác đến 10 chữ số.
3) Từ bài 1 đến bài 3 phần a, chỉ ghi kết quả cuối cùng.
4) Từ bài 3 phần b trở đi, trình bày lời giải.
Bi 1 (5 im ) :
a) Tớnh giỏ tr ca biu thc ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn :

N= 521973+ 491965+ 1371954+ 6041975+ 1122007
b) Tớnh kt qu ỳng (khụng sai s) ca tớch sau : P = 11232006 x 11232007
c) Tính: Q =
2 0 2 0 4
3 0 3 0
sin 35 tg 50 -cos 40
3
sin 35 :0,15cotg 55
4
o
Bài 2 (5 điểm):
1) Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743.
a) Tìm ớc số chung lớn nhất của ba số A, B, C.
b) Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C .
2) Tỡm thng v s d ca phộp chia: 56789987654321: 3579
Bài 3 (5 điểm):
a)Cho

20082009 1
= a +
1
241
b +
1
c+
1
d +
1
e+
1
f +
g
Tìm a, b, c, d, e, f, g
b) Tớnh
2 2 2
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
A = + +
Bài 4 (5 điểm): Lói sut ca tin gi tit kim ca mt s ngõn hng thi gian va qua liờn
tc thay i. Bn Chõu gi s tin ban u l 5 triu ng vi lói sut 0,7% thỏng cha y
mt nm, thỡ lói sut tng lờn 1,15% thỏng trong na nm tip theo v bn Chõu tip tc
gi; sau na nm ú lói sut gim xung cũn 0,9% thỏng, bn Chõu tip tc gi thờm mt
s thỏng trũn na, khi rỳt tin bn Chõu c c vn ln lói l 5 747 478,359 ng (cha
1
đề chính thức
làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy
trình bấm phím trên máy tính để giải.
Bµi 5 (5 ®iÓm):
a) Cho đa thức P(x)= 5x

4
+4x
3
-3x
2
+2x+1). Tính P(1,234)
b) Cho đa thức P(x) =
5 4 3 2
.x a x bx cx dx e+ + + + +
.
Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P( 4) = 33, P(5) = 51. Tính giá trị P(6), P(7), P(8),
P(9), P(10).
B µi 6 ( 5 ®iÓm) : Tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α =
37
o
25’. Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM.
a) Tính độ dài của AH, AD, AM.
b) Tính diện tích tam giác ADM.
Bµi 7 ( 5 ®iÓm):
a) Tìm các ch÷ số a, b, c, d để có:
a5 × bcd = 7850

.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n
2
là một số có 12 chữ số và có dạng
2
2525******89n
=
. Các dấu * ở vị trí khác nhau chữ số có thể khác nhau

Bµi 8 ( 5 ®iÓm): Cho
ΔABC
vuông tại A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC tại
D. Biết DA = 2cm; DC = 3cm.
a) Tính số đo góc C và góc B của
ΔABC
.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC.
Bµi 9 ( 5 ®iÓm): Giải phương trình:

x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1=
Bµi 10( 5 ®iÓm):Cho dãy hai số
n
u
và
n
v
có số hạng tổng quát là:
( ) ( )
5 2 3 5 2 3
4 3
n n
n
u
+ − −
=
và
( ) ( )
7 2 5 7 2 5
4 5

n n
n
v
+ − −
=
(
n∈ N
và
1n ≥
)
Xét dãy số
2 3
n n n
z u v= +
(
n∈ N
và
1n ≥
).
a) Tính các giá trị chính xác của
1 2 3 4 1 2 3 4
, , , ; , , ,u u u u v v v v
.
b) Lập các công thức truy hồi tính
2n
u
+
theo
1n
u

+
và
n
u
; tính
2n
v
+
theo
1n
v
+
và
n
v
.
c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính
2 2
,
n n
u v
+ +
và
2n
z
+
theo
1 1
, , ,
n n n n

u u v v
+ +
(
1, 2, 3, ...n =
). Ghi lại giá trị chính xác của:
3 5 8 9 10
, , , ,z z z z z

Hä vµ tªn: …………………………………….SBD:…..
2
Bài 1 (5 điểm ) :
a) N = 722,96
b) P = 126157970016042
c) Q =
2 0 2 0 4
3 0 3 0
sin 35 tg 50 -cos 40
3
sin 35 :0,15cotg 55
4

≈
0,379408548
≈
0,379409
Bµi 2 (5 ®iÓm):
1) Cho ba sè: A = 1193984; B = 157993 vµ C = 38743.
a) T×m íc sè chung lín nhÊt cña ba sè A, B, C.
b)T×m béi sè chung nhá nhÊt cña ba sè A, B, C víi kÕt qu¶ ®óng chÝnh x¸c.
2) Tìm thương và số dư của phép chia 56789987654321 : 3579

§S: 15867557321 và 2462
Bµi 3 (5®iÓm):
a) Dùng máy ấn tìm số dư và viết được :
20082009 1
= 83327 +
1
241
1+
1
5+
1
5+
1
1+
1
1+
3
Do đó : a = 83327; b = 1; c = 5; d = 5; e = 1; f = 1; g = 3
b) Đặt 0,0019981998... = a.
Ta có:
1 1 1
2.
100 10
2.111
100
A
a a a
A
a
 

= + +
 ÷
 
=
Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 =
1998
9999
Vậy A =
2.111.9999
1111
1998
=
Bµi 4 (5 ®iÓm):
Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì
số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là:
6
5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359
a x
× × × =
Quy trình bấm phím:
5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X −
5747478.359 ALPHA = 0
SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT
SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên.
3
Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, ...đến khi nhận được giá trị nguyên
của X = 4 khi A = 5.
Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng
Bµi 5 (5 ®iÓm):
a) Cho đa thức P(x)= 5x

4
+4x
3
-3x
2
+2x+1). Tính P(1,234)
§S; P(1,234)=18,00998479
b) Đặt Q(x) =
2
2 1x +
. Khi đ ó Q(1) =3, Q(2) = 9 ; Q(3) = 19;
Q( 4) = 33; Q( 5) = 51.
Vậy R(x) = P(x) – Q(x) c ó 5 nghi ệm 1; 2; 3; 4; 5.
V ậy P(x) = Q(x) + ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5)
=
2
2 1x +
+ ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5)
P(6) = 193 ; P(7)= 819; P(8) = 2649; P(9)= 6883 ; P(10)= 15321
B µi 6 ( 5 ®iÓm) :
Dễ thấy
·
BAH
= α ;
·
AMB
= 2α ;
·
ADB
= 45

o
+ α
Ta có :
AH = ABcosα = acosα = 2,75cos37
o
25’ = 2,184154248 ≈ 2,18 (cm)
o
o
os 2,75 os37 25'
2,203425437 2,20( )
sin(45 ) sin(45 ) sin82 25'
o o
AH ac c
AD cm
α
α α
= = = = ≈
+ +
o
o
os 2,75 os37 25'
2,26976277 2,26( )
sin 2 ) sin 2 sin 74 50'
AH ac c
AM cm
α
α α
= = = = ≈
b)
( )

1
.
2
ADM
S HM HD AH= −
HM=AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45
o
+ α)
Vậy :
( )
2 2 o
1
os cotg2 cotg(45 + )
2
ADM
S a c
α α α
= −
( )
2 2 o o
1
2,75 os 37 25' cotg74 50' cotg82 25'
2
o
ADM
S c= −
= 0,32901612 ≈ 0,33cm
2
Bµi 7 ( 5 ®iÓm):
a) Ta có

5 7850a bcd
× =
Suy ra
7850
5
bcd
a
=
. Lần lượt thay các giá trị a từ 1 → 9 ta được
7850
314
25
=
.
Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4
b) Ta có
2
2525******89n
=
Do đó : 2525 x 10
8
< n
2
< 2526 x 10
8

Để n
2
tận cùng là 9 thì n chỉ có thể tận cùng là 3 hoặc 7
Thử trên máy ta có n tận cùng là 67, 33, 83, 17 thì n

2
tận cùng là 89.
Vậy n nhận các giá trị : 502567; 502533; 502517; 502583
4
A
B
C
H D M
Bµi 8 ( 5 ®iÓm): Cho
ΔABC
vuông tại A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC tại
D. Biết DA = 2cm; DC = 3cm.
a) Tính số đo góc C và góc B của
ΔABC
.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC.

Ta có BD là phân giác của góc B suy ra
DA BA 2
= = = sinC
DC BC 3
từ đó tính được

µ
0
C 41 48'37,13''
≈

µ
0

B 48 11'22,87''
≈
AH=AC.sinC 3,33333( )≈ cm
HB=AH.cotgB 2,98142( )≈ cm
HC=AH.tgB 3,72678( )≈ cm
Bµi 9 ( 5 ®iÓm): Giải phương trình:

x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1=
X
1
= 175744242
X
2
= 175717629
VËy: 175717629 < x <175744242
Bµi 10( 5 ®iÓm):
a)
1 2 3 4
1, 10, 87; 740.u u u u= = = =
1 2 3 4
1, 14, 167, 1932v v v v= = = =
.
b) Công thức truy hồi của u
n+2
có dạng:
2 1 2n n n
u au bu
+ + +
= +
. Ta có hệ phương trình:

3 2 1
4 3 2
10 87
10; 13
87 10 740
u au bu
a b
a b
u au bu
a b
= +
+ =


⇔ ⇔ = = −
 
= +
+ =


Do đó:
2 1
10 13
n n n
u u u
+ +
= −
Tương tự:
2 1
14 29

n n n
v v v
+ +
= −
c) Quy trình bấm phím:
1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT
STO X (Biến đếm)
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA
B − 13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B
ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D − 29 ALPHA
C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA =
ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = ...
(giá trị của E ứng với u
n+2
, của F ứng với v
n+2
, của Y ứng với z
n+2
). Ghi lại các giá trị như
sau:
3 5 8
9 10
675, 79153, =108234392,
z 1218810909, z 13788770710
z z z= =
= =
5
A
B
C

H
D