SKKN THPT: Dạy và học chương Số phức theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan

1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Kể từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thức thi
tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia ở bộ môn Toán là chuyển từ hình thức thi
tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Thực tế cho thấy việc thi theo
hình thức nào thì việc dạy và học không có gì thay đổi về chuẩn kiến thức kĩ năng.
Tuy nhiên, với hình thức thi trắc nghiệm cần lượng kiến thức bao quát hơn thay vì
tập trung sâu về một vấn đề. Để đáp ứng yêu cầu của hình thức thi trắc nghiệm, bên
cạnh việc dạy và học bao quát kiến thức, học sinh phải hiểu rõ bản chất vấn đề,
cũng như cần có kỹ năng làm bài nhanh. Mà công cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh đó
là máy tính cầm tay. Vì vậy trong khi giảng dạy, sau khi cung cấp kiến thức,
phương pháp giải bài tập thì đã hướng dẫn các em cách sử dụng máy tính cầm tay
với mục đích là giúp các em hoặc là kiểm tra kết quả tính toán hoặc là hỗ trợ tính
toán ở các bước trung gian. Đặc biệt là ở chương Số phức của chương trình Giải
tích 12, nhờ máy tính các em dễ dàng cho kết quả bài toán mà không cần tính toán
nhiều. Vì vậy, đối với một bộ phận không nhỏ học sinh đã xem việc biết sử dụng
máy tính là đủ mà không cần phải học lý thuyết cũng như các phương pháp giải mà
thầy cô đã cung cấp. Từ đó dẫn đến tình trạng các em sẽ không làm được ở các bài
tập vận dụng. Từ thực tế trên, tôi viết đề tài: “Dạy và học chương Số phức theo hình
thức thi trắc nghiệm khách quan”.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
1.2.1 Mục đích nghiên cứu:
- Giúp giáo viên định hướng tốt những phương pháp cũng như việc ra các
câu hỏi kiểm tra cuối chương hợp lý.
- Giúp học sinh nhận ra muốn làm tốt bài toán ở chương Số phức dưới hình
thức thi trắc nghiệm khách quan thì phải nắm vững kiến thức lý thuyết cũng như
vận dụng thành thạo phương pháp giải bài tập kết hợp với sử dụng MTCT. Đặc biệt
là không lạm dụng việc sử dụng máy tính.
1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Cung cấp kiến thức, phương pháp, kỹ năng giải bài tập chương Số phức kết

hợp sử dụng máy tính cầm tay.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


2
- Các dạng bài tập chương Số phức của chương trình Giải tích 12 ban cơ bản.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích, tổng hợp.
1.5 Tính mới của đề tài
- Điểm mới của đề tài là giảng dạy theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan
và đổi mới việc ra đề kiểm tra đánh giá.


3
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
●Trong tập số thực, phương trình bậc hai chỉ có nghiệm khi   0 . Để mọi
phương trình bậc hai đều có nghiệm, người ta quy ước i 2  1 . Với việc quy ước
này đã cho ta một tập hợp số mới đó là tập số phức và được kí hiệu là C.
●Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b (a, b  R; i 2  1).
a  c
.
b  d

● a  bi  c  di  

●Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  a; b  trên mặt phẳng tọa độ.
●Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức z, tức là: z  OM  a 2  b2 .
●Số phức liên hợp của z  a  bi là z  a  bi.
● Các phép toán trên tập số phức:

+ Phép cộng:  a  bi    c  di    a  c   b  d  i.
+ Phép trừ:  a  bi    c  di    a  c   b  d  i.
+ Phép nhân:  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i.
+ Phép chia:

a  bi  a  bi  c  di 

.
c  di
c2  d 2

●Các căn bậc hai của số thực a  0 là i a .
●Xét phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 với a, b, c  R; a  0. Đặt
  b2  4ac.

+ Nếu   0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) x  
+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 
+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 

b
.
2a

b  
.
2a
b  i 
2a

.

2.2 . Cơ sở thực tiễn
- Theo Quy chế Thi trung học phổ thông quốc gia và xét công nhận tốt
nghiệp trung học phổ thông (Ban hành kèm theo Thông tư số 04/2017/TT-BGDĐT
ngày 25 tháng 01 năm 2017 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) thì năm 2017


4
môn Toán thi với hình thức trắc nghiệm khách quan với 50 câu hỏi thời gian làm
bài 90 phút nội dung chủ yếu ở chương trình lớp 12.
- Với lượng câu hỏi và thời gian làm bài như trên đòi hỏi học sinh phải nắm
thật vững lý thuyết và vận dụng thành thạo kiến thức, phương pháp, kĩ năng vào
giải bài tập với thời gian ngắn nhất có thể. Để làm được điều đó đòi hỏi các em phải
thật sự cố gắng, chăm chỉ làm bài tập về nhà cũng như tự học qua sách, bạn bè,
mạng internet,…
- Chương Số phức thuộc chương thứ tư của chương trình Giải tích 12. Kiến
thức mới và ít liên quan đến những kiến thức cũ hơn so với các chương khác trong
chương trình đồng thời lượng kiến thức tương đối ít và dễ nên các em sẽ dễ dàng
đạt được trọn điểm số ở chương này. Đồng thời với hình thức thi trắc nghiệm với sự
hỗ trợ của MTCT việc tính toán sẽ nhanh và chính xác. Vì hầu hết các phép toán ở
chương Số phức đều thực hiện được trên MTCT. Tuy nhiên, ở một số dạng bài tập
đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng chúng mới giải
quyết được yêu cầu bài toán.
- Vì vậy khi dạy chương này, trước tiên tôi cung cấp các kiến thức cơ bản và
cho bài tập dưới hình thức tự luận để các em vận dụng thành thạo các phép toán trên
tập số phức. Đến phần ôn chương, tôi mới bổ sung bài tập trắc nghiệm và hướng
dẫn các em sử dụng MTCT. Vì nếu chỉ các em sử dụng máy tính trước thì các em sẽ
không học lý thuyết và sẽ không giải quyết được các bài toán vận dụng. Để giúp các
em nhận ra điều này thì phần bài tập trắc nghiệm nên đưa nhiều dạng toán vận dụng
cho các em làm.

2.3. Một số dạng bài tập và cách giải
2.3.1 Tìm các số thực x, y thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu
học sinh phải xác định được phần thực, phần ảo của số phức, vận dụng định nghĩa
hai số phức bằng nhau. Đồng thời kết hợp máy tính cầm tay.
●Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y biết: 2 x 1  1  2 y i  2  x  3 y  2 i.
1
3

3
5

A. x  ; y  .
Giải

B. x  1; y  1.

C. x  3; y  1.

1
3

3
5

D. x   ; y  .


5

1


 2 x  1  2  x
 x  3
Ta có: 

.
1  2 y  3 y  2
y  3


5

Chọn đáp án A.
Nhận xét: Giáo viên cần cho học sinh nhận dạng phương trình thu được có
bao nhiêu ẩn. Đối với bài toán trên để giải pt 2 x  1  2  x không cần thu gọn mà
nhập pt vào máy và bấm SHIFT CALC “=”, nếu muốn kết quả ở dạng phân số
phấm “=” và “sd”. Tương tự cho pt 1  2 y  3 y  2 , tuy nhiên ta không nhập biến
y mà nhập biến x, chú ý kết quả đổi x thành y.
●Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y biết: 4 x  3   3 y  2 i  y  1   x  3 i.
A. x 

7
6
;y .
11
11

B. x 

17

24
; y   . C. x  1; y  2.
11
11

D. x  

7
6
;y .
11
11

Giải
7

x



 4 x  3  y  1  4 x  y  2
11
Ta có: 


.
3
y

2


x

3

x

3
y


1
6


y  

11

Chọn đáp án D.
Nhận xét: Cả hai phương trình thu được là phương trình bậc nhất hai ẩn, để
 a1 x  b1 y  c1
rồi sử dụng máy tính bấm
a2 x  b2 y  c2

giải hệ trên ta thu gọn đưa về đúng dạng 

MODE51 rồi nhập các hệ số vào sau đó bấm “=” máy hiện nghiệm của hpt.
2.3.2 Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức
thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu học sinh ôn lại dạng của phương

trình đường tròn, cách tìm tâm, bán kính của đường tròn, dạng của phương trình
đường thẳng, pt đường elip,… Kết hợp với các kiến thức về số phức như phần thực,
phần ảo, môđun, số phức liên hợp.
●Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn điều kiện phần thực của z bằng phần ảo của nó là:
A. đường tròn tâm O, bán kính 1.
B. hình tròn tâm O, bán kính 1.
C. đường thẳng có phương trình y  x.
D. đường thẳng có phương trình y   x.


6
Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .
Vì phần thực của z bằng phần ảo của nó nên ta có pt x  y .
Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba.
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh phải nhớ phương trình đường phân giác của mặt phẳng
tọa độ Oxy.
●Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn điều kiện: z  i  z  2 là:
A. đường tròn tâm I  2;1 , bán kính
B. hình tròn tâm I  2; 1 , bán kính

2.
2.

C. đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0.
D. đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0.

Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .
Ta có: z  i  z  2  x  yi  i  x  yi  2
 x   y  1 i  ( x  2)  yi  x 2   y  1 
2

 x  2

2

 y2

 4 x  2 y  3  0.

Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là đường thẳng có pt
4 x  2 y  3  0.

Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh phải có kĩ năng khai triển hằng đẳng thức, thu gọn pt.
●Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
thỏa mãn điều kiện z  i  1.
A. Đường tròn tâm I  0; 1 , bán kính 1 .
B. Hình tròn tâm I  0;1 , bán kính 1.
C. Đường thẳng có phương trình x  y  0.
D. Đường thẳng có phương trình x  y  2  0.


7
Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .

Ta có: z  i  1  x  yi  i  1
 x   y 1 i  1  x2   y 1  1
2

 x 2   y  1  1.
2

Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là hình tròn tâm I  0;1 và bán
kính R  1.
Chọn đáp án B.
2.3.3 Tìm số phức z thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu học
sinh nắm vững các kiến thức về phần thực, phần ảo, môđun của số phức.
●Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo
của nó.
10 3 5 3
10 3 5 3

iz 

i.
3
3
3
3

A. z  2 5  5i  z  2 5  5i.

B. z 

C. z  2  i  z  2  i.

D. z  5  2 5i  z   5  2 5i.

Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .
2
 x  yi  5 
 x2  y 2  5 
 2 y   y 2  25


x  2y


 x  2y

 x  2y

Ta có: 

 x  2 5  x  2 5


.
 y  5  y   5

 z  2 5  5i

Trả lời: Có hai số phức cần tìm là 

 z  2 5  5i

.

Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh phải đọc hiểu đề biết chuyển từ diễn đạt bằng lời sang kí
hiệu Toán học, có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết hợp sử dụng MTCT.
●Ví dụ 2: Tìm số phức z biết z  (2  i)  10 và z. z  5.
A. z  1  2i  z  1  2i.

B. z  1  2i  z  1  2i.

C. z  2  i  z  2  i.

D. z  2  i  z  2  i.


8
Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .

 z   2  i   10

Ta có: 




z.z  5


  x  yi    2  i   10

x2  y 2  5





  x  2    y  1 i  10



x2  y 2  5





 x  2    y  1
2

2

 10

x2  y 2  5

 x 2  y 2  5  x  1  x  1




.
y

2
y


2
y

2
x



 z  1  2i

.
Trả lời: Có hai số phức cần tìm là 
 z  1  2i

Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh phải có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết
hợp sử dụng máy tính cầm tay.
●Ví dụ 3: Tìm số phức z biết z  2 2 và z 2 là số thuần ảo.
A. z  2  2i  z  2  2i.

B. z  2  2i  z  2  2i.

C. z  2  2i  z  2  2i.

D. z  2  2i  z  2  2i  z  2  2i  z  2  2i.

Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .
Ta có: z 2   x  yi    x2  y 2   2 xyi.
2

Vì z 2 là số thuần ảo nên x2  y 2  0.
 x 2  y 2  2 2

 x2  y 2  8
 x  yi  2 2



 2
2
2
2
2
2


x  y  0
 x y 0
 x y 0

Ta có: 


 x  2  x  2  x  2  x  2




.
y

2
y


2
y


2
y

2






Trả lời: Có bốn số phức cần tìm là: z1  2  2i; z 2  2  2i; z 3  2  2 i; z 4  2  2 i.

Chọn đáp án D.
Nhận xét: Học sinh phải biết khái niệm số thuần ảo.
2.3.4 Tính giá trị của biểu thức: Đối với dạng này yêu cầu học sinh biết sử
dụng máy tính cầm tay cùng với các kiến thức về phần thực, phần ảo, số phức liên
hợp.


9
●Ví dụ 1: Cho số phức z  i  3i  1 . Số phức liên hợp của z là:
B. z  3  i

A. z  3  i

D. z  3  i

C. z  3  i

Giải
z  i  3i  1  3  i  z  3  i.

Chọn đáp án D.
●Ví dụ 2: Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số
phức z1  z2 ?
B. z1  z2  5

A. z1  z2  13

C. z1  z2  1

D. z1  z2  5

Giải
z1  z2  1  i    2  3i   13.

Chọn đáp án A.
●Ví dụ 3: Cho số phức z biết: z  4  3i 

5  4i
phần thực và phần ảo của z
3  6i

là :
A.

73
17
và  i.
15
5

B.

73
17
và  .
15
5

C. 

73
17
i.
và
15
5

D. 

73
17
.
và
15
5

Giải
z  4  3i 

5  4i 73 17
  i.
3  6i 15 5

Chọn đáp án B.

●Ví dụ 4: Biểu diễn về dạng z  a  bi của số phức z 

i 2017

1  2i 

2

là số phức

nào?
A.

4
3
 i.
25 25

B. 

4
3
 i.
25 25

C.

3
4
 i.
25 25

D.

4

3
 i.
25 25

Giải
z

i 2017

1  2i 

2



4
3
 i.
25 25

Chọn đáp án D.
●Ví dụ 5: Số phức nào sau đây là số thực?
A. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i

B. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i


10
C. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i

D. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i

Giải
z

1  2i 1  2i 6
8


 i  A sai.

3  4i 3  4i 25 25

z

1  2i 1  2i
2

   B đúng.
3  4i 3  4i
5

z

1  2i 1  2i
4

  i  C sai.
3  4i 3  4i
25

z

1  2i 1  2i 4

 i  D sai.
3  4i 3  4i 5

Chọn đáp án B.
●Ví dụ 6: Tìm số phức z, biết z   2  3i  .
2

B. z  7  6 2i.

A. z  7  6 2i.

C. z  7  6 2i.

D. z  6 2i.

Giải
z



2  3i



2

 7  6 2i  z  7  6 2i.

Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh phải sử dụng thành thạo MTCT kết hợp với các kiến
thức về số phức như phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Chế độ số phức: MODE2, nhập cả biểu thức vào máy và bấm “=”, máy cho
kết quả của z rất nhanh và chính xác.
Tìm môđun của số phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm
“=”.
2.3.5 Giải phương trình trên tập số phức:

2.3.5.1 Phương trình bậc nhất chứa một biến z hoặc z : Giải tương tự như
giải pt bậc nhất trong tập số thực.
●Ví dụ 1:Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:  4  5i z  2 i là:
A. z  2  6i.

B. z 

3 14
 i.
41 41

C. z  2  4i.

Giải

 4  5i  z  2  i  z 
Chọn đáp án B.

2i
3 14
  i.
4  5i 41 41

D. z  

3 14
 i.
41 41

11
Nhận xét: Máy tính ở chế độ MODE 2 ta không bấm SHIFT CALC được.
●Ví dụ 2: Trên tập số phức, nghiệm cuả phương trình:  3  2i 2  z  i   3i là:
A. z  

36 15

i.
169 169

B. z 

15 36

i.
169 169

D. z  

C. z  5  14i.

36 154

i.
169 169

Giải

 3  2i 2  z  i   3i  z  i 
 z i  

z

3i

 3  2i 2
36 15

i
169 169

36 15
36 154

i i  

i.
169 169
169 169

Chọn đáp án D.
●Ví dụ 3:Trên tập số phức, nghiệm của phương trình:
A. z  

7 11
 i.
10 10

B. z  

7 11

 i.
17 17

C. z  1  9i.

3  5i
 2  4i là:
z

D. z  1  i.

Giải
3  5i
3  5i
7 11
 2  4i  z 
   i.
z
2  4i
10 10

Chọn đáp án A.
●Ví dụ 4: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình:

 5  2i  z   2  i   4 z  3i là:
A. z 

2 8
 i.
17 17

6 8
5 5

B. z    i.

C. z 

22 32
 i.
29 29

6
5

Giải

5  2i  z   2  i   4z  3i  5  2i  z  4z  3i   2  i 
 1  2i  z  2  4i
z

Chọn đáp án B.

2  4i
6 8
   i.
1  2i
5 5

2

5

D. z    i.


12
Nhận xét: Đối với pt chứa nhiều ẩn z, ta chuyển z về một vế, số về một vế
rồi đặt z làm nhân tử chung.
●Ví dụ 5: Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:  2  i  z  1  2i  i3 là:
1 3
5 5

B. z   i.

A. z  1  i

C. z  1  i

1 3
5 5

D. z   i.

Giải

 2  i  z 1  2i  i3   2  i  z  i3  1  2i
  2  i  z  1  3i

z

1  3i
 1 i
2i

 z  1  i.

Chọn đáp án C.
Nhận xét: Đối với pt chứa ẩn z giải tương tự như giải pt chứa ẩn z, tuy
nhiên chú ý khi tìm được z thì suy ra z.
2.3.5.2 Phương trình bậc nhất chứa cả z và z : Ta thay z  x  yi, z  x  yi
vào pt, biến đổi để sử dụng được tính chất hai số phức bằng nhau để tìm x, y.
●Ví dụ 6: Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:

1  3i  z  1  2i  z  2  9i  0 là:
B. z  1  2i.

A. z  3  3i.

C. z  2  i.

D. z  1  2i.

Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1  z  x  yi.
Ta có: 1  3i  x  yi   1  2i  x  yi   2  9i
  y   5x  2 y  i  2  9i
  y  2
 x 1



.
5 x  2 y  9
y  2

Vậy z  1  2i.
Chọn đáp án D.
2.3.5.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Sử dụng MTCT cùng với các
kiến thức về phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: z 2  z  7  0 là:


13

1 3 3
i
z   
2
2
A. 
.

1 3 3
i
z   
2
2



1 3 3

i
z  
2
2
B. 
.

1 3 3
i
z  
2
2



1
z   
2
C. 

1
z   
2



1
z  
D.  2


1
z  
2


3
i
2 .
3
i
2

3
i
2 .
3
i
2

Giải

1 3 3
i
z   
2
2
2

z  z7 0
.


1 3 3
i
z   
2
2


Chọn đáp án A.
Nhận xét: Vì đề thi là trắc nghiệm nên ta sử dụng MTCT để cho kết quả là
nghiệm của pt. Cách bấm: MODE53, nhập các hệ số của pt và bấm “=”.
●Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình: z 2  4 z  5  0. Tính
z1  z2 .

A. z1  z2  0.

B. z1  z2  2.

C. z1  z2  5.

D. z1  z2  2 2.

Giải
z  2i
z2  4z  5  0   1
 z2  2  i

 z1  z2   2  i    2  i   2.

Chọn đáp án B.

●Ví dụ 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z 2  3z  5  0. Tìm mô
đun của số phức: w  2 z  3  14i.
A. w  14  11.

B. w  5.

C. w  14  11.

Giải
z 2  3z  5  0  z 

3
11

i
2
2

3
11 
w  2 z  3  14i  2  
i   3  14i  14  11.
2
2



D. w  14.

14
Chọn đáp án C.
●Ví dụ 4: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
4 z 2  16 z  17  0. Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào biểu diễn số phức w  iz0 ?

1

 1





B. M   ; 2  .
 2 

A. M  ; 2  .
2 






1

1

D. M  2;   .
2

C. M  2;  .
 2



Giải
1
4 z 2  16 z  17  0  z0  2  i
2
1 
1

w  iz0  i  2  i     2i.
2 
2


 1



Vậy điểm biểu diễn số phức w là điểm M   ; 2  .
 2 
Chọn đáp án B.
●Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 2  3z  5  0. Gọi M,
N là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Tìm độ dài của đoạn
MN.
A. MN  5.

C. MN  3.

B. MN  5.

D. MN  11.

Giải

3
 z1  
2

z 2  3z  5  0  
z  3 
 2 2




 3 11 
11
i  M  ;

2
2 2 
3
11
11 
i  N  ; 


2
2 
2



MN  0;  11  MN  11.

Chọn đáp án D.
Nhận xét: Yêu cầu học sinh sử dụng thành thạo MTCT, tìm môđun của số
phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm “=”. Chú ý giả thiết số phức z
có phần ảo âm hoặc z0 là nghiệm phức có phần ảo dương để tìm z hoặc z0 cho
đúng.
●Ví dụ 6: Tìm b, c sao cho phương trình: z 2  bz  c  0 có một nghiệm là
z1  1  3i.

A. b  2 và c  10.

B. b  5 và c  2.


15
D. b  2 và c  5.

C. b  10 và c  5.
Giải

Vì z1  1  3i là một nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 nên ta có:

1  3i 

2

 b 1  3i   c  0

 8  6i  b  3bi  c  0

  b  c   3bi  8  6i
b  c  8 b  2



3
b

6
 c  10


Chọn đáp án A.
Nhận xét: Nếu phần trắc nghiệm có 4 kết quả b, c thì ngoài cách làm trên ta
có thể thế b, c ở từng đáp án vào pt z 2  bz  c  0 rồi bấm MODE53 để tìm nghiệm,
đáp án nào cho pt có nghiệm z1  1  3i là đáp án đúng.
●Ví dụ 7: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là z  1  i 2 và z  1  i 2.
A. z 2  2 z  3  0.

B. z 2  2 z  3  0.

C. z 2  z  3  0.

D. z 2  z  3  0.

Giải
 1 i 2 1 i 2  2

 1  i 2 1  i 2  3

Ta có: 







Suy ra 1  i 2 và 1  i 2 là hai nghiệm của pt: z 2  2 z  3  0.
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh cần nắm hệ quả của định lí Vi-et. Ngoài ra, ta có thể sử
dụng MTCT lần lượt kiểm tra nghiệm của các pt ở 4 đáp án, pt nào có 2 nghiệm là
z  1  i 2 và z  1  i 2 thì chọn.

2.3.5.4 Phương trình bậc ba với hệ số thực: Dùng MTCT để tìm các
nghiệm của pt.
●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: z 3  8  0 là:
A. z  2.

B. z  2.

C. z  2i  z  2i.

D. z  2  z  1  3i  z  1  3i.

Giải


16
 z  2

z 3  8  0   z  1  3i
 z  1  3i


Chọn đáp án D.
Nhận xét: Vì đề thi là trắc nghiệm nên ta sử dụng MTCT để cho kết quả là
nghiệm của pt. Cách bấm: MODE54, nhập các hệ số của pt và bấm “=”.
●Ví dụ 2: Biết z1  1  2i là nghiệm phức của pt az 3  az 2  bz  5  0. Tìm
các nghiệm còn lại.
A. z2  1 và z3  1  2i.

B. z2  2 và z3  1  2i.

C. z2  2 và z3  1  2i.

D. z2  1 và z3  1  2i.

Giải
Vì z1  1  2i là một nghiệm của phương trình az 3  az 2  bz  5  0 nên ta có:
a  1  2i   a  1  2i   b  1  2i   5  0
3

2

 a 11  2i   a  3  4i   b  1  2i   5  0
 a 8  6i   b  1  2i   5

 8a  b   6a  2b  i  5
 8a  b  5
a  1


6a  2b  0
b  3

 pt : z 3  z 2  3z  5  0.

Vậy các nghiệm còn lại là: 1 và 1  2i.
Chọn đáp án A.
2.3.5.5 Phương trình trùng phương với hệ số thực: Đặt ẩn phụ t đưa pt đã
cho về pt bậc hai ẩn t, bấm máy tìm nghiệm t rồi tìm z.
●Ví dụ: Ký hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình: z 4  z 2  12  0 .
Tính tổng: T  z1  z2  z3  z4 .
A. T  4.
B. T  2 3.
C. T  4  2 3.
Giải
Đặt t  z 2 , ta được pt: t 2  t  12  0
 z2  4
t4

 2

t  3  z  3

D. T  2  2 3.


17
 z1  2
 z  2
2
 
z i 3
 3
 z4  i 3

Vậy T  2  2  i 3   i 3  4  2 3.
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Chú ý trong tập số phức khi đặt ẩn phụ đối với pt trùng phương
thì không đặt điều kiện cho ẩn phụ.
2.4 Kết quả:
Với những phương pháp trên, tôi đã áp dụng để dạy lớp 12C1 trường THPT
Ngã Năm. Đối với lớp này mặc dù các em học theo chương trình cơ bản nhưng đa
số các em có học lực từ khá trở lên và đều có nguyện vọng thi đại học ở ban tự
nhiên. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy đa số các em hiểu và vận dụng tốt khi làm
bài tập trên lớp cũng như làm tốt bài kiểm tra cuối chương. Khi kiểm tra tôi ra 2 đề
khác nhau ở mức độ tương đương gọi là 2 đề gốc ( phụ lục 1) và từ 2 đề gốc đó mỗi
đề trộn thành 4 mã đề. Sau đây là kết quả thống kê điểm số bài kiểm tra 1 tiết
chương Số phức:
0  3.4

Điểm

3.5  4.9

5  6.4

6.5  7.9

8  10

TB

trở

lên
Số lượng

0

1

2

10

24

36

Qua kết quả trên cho thấy đa số các em đạt điểm từ 8 đến 10 điểm, trong đó 5 em
đạt 10 điểm ( phụ lục 2) và 1 em thấp nhất là 4.5 điểm ( phụ lục 3). Một số em chọn

đáp án sai là do không đọc kĩ đề từ đó dẫn đến nhầm lẫn.
Chẳng hạn như câu: Tìm số phức z biết rằng
z

A.

10 35
 i.
13 26

z

B.

8 14
 i.
25 25

1
1
1


.
z 1  2i (1  2i)2

z

C.

10 35
 i.
13 26

z

D.

10 14
 i.
13 25

Học sinh bấm máy tìm được z và chọn ngay đáp án A là sai vì đề bài yêu cầu tìm z
nên đáp án đúng là C.
Qua đó cho ta thấy việc thi trắc nghiệm đối với môn Toán đòi hỏi mức độ
nhanh và chính xác, cả hai yếu tố trên rất quan trọng khi làm bài. Vì vậy giáo viên
cần đưa ra những phương pháp cũng như hướng dẫn các em vận dụng thành thạo


18
vào giải các dạng bài tập kết hợp với việc hướng dẫn các em sử dụng thành thạo
MTCT để hỗ trợ tốt cho việc tính toán.


19
PHẦN 3: KẾT LUẬN
Để đáp ứng việc đổi mới kiểm tra đánh giá của Bộ giáo dục thì cả giáo viên
và học sinh đều phải đổi mới phương pháp dạy và cách học môn Toán cho phù hợp
với hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Ở chương Số phức thay vì chỉ thi một câu
theo hình thức tự luận như những năm trước thì bây giờ phải thi sáu câu theo hình

thức trắc nghiệm khách quan. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải có kiến thức bao quát
hơn. Vì vậy với những dạng bài tập ở trên góp phần giúp học sinh nắm vững những
kiến thức cơ bản cũng như những phương pháp để giải các dạng bài tập ở chương
này. Đồng thời đây cũng là những kinh nghiệm đúc kết trong quá trình giảng dạy
muốn được chia sẽ cho các thầy cô đồng nghiệp.
Việc làm bài thi môn Toán theo hình thức trắc nghiệm là một áp lực không
nhỏ đối với các em học sinh mà đặc biệt là những em có học lực từ trung bình trở
xuống. Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú ý nhắc đi nhắc lại những
kiến thức lý thuyết để các em khắc sâu kiến thức đồng thời nhắc các em đọc kỹ yêu
cầu đề bài từ đó phân tích đưa ra lời giải nhanh chóng và chính xác kết hợp với việc
sử dụng thành thạo MTCT.


20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2. Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản, nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
3. Thư viện đề thi và kiểm tra trên internet.
4. Đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo.


21
PHỤ LỤC 1


22
PHỤ LỤC 1


23

PHỤ LỤC 1


24
PHỤ LỤC 1


25
PHỤ LỤC 2