SKKN rèn kĩ năng một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS định tiến

TT

Nội dung

trang

1

Mục lục

1

2

2
2
2
2
2
2
3
3
3

5

1.
Mở đầu.
1.1.
Lí do chọn đề tài.
1.2.

Mục đích nghiên cứu.
1.3.
Đối tượng nghiên cứu.
1.4.
Phương pháp nghiên cứu.
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
2.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm.
2.3.
Các sáng kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1.Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2.3.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.3.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.4.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
Kết luận
Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

6

Danh mục

3

4

3
3
4
11
14
16
17
17
17
18
19

1


1.MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán ở THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số
được gặp nhiều lần từ lớp 6 đến lớp 9. Ở lớp 6 học sinh được bắt đầu làm quen
qua bài học “§3 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên” tiết 42,43. Học sinh hiểu
được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên. Sang lớp 7 là bài “§4 Giá trị
tuyệt đối của một số hữu tỉ” tiết 4. Lớp 8 là bài “§5 Phương trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối” tiết 64. Đến lớp 9 là ứng dụng : đưa thừa số ra ngoài (vào trong)

dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn…
Qua theo dõi các kỳ thi học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi lớp 7, luôn vận
dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối, phần lớn các em không làm được hoặc làm
không trọn vẹn bài tập liên quan.
Với thực tế đó, tôi được Nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán 7, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Rèn kĩ năng một số
dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS Định
Tiến”. Với mong muốn góp phần làm phong phú thêm nguồn tài liệu ôn thi học
sinh giỏi lớp 7.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trao đổi với đồng nghiệp một số dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối
của lớp 7. Giúp giáo viên có cái nhìn mới trong việc giải toánliên quan đến giá
trị tuyệt đối trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7.
Giúp cho học sinh có kiến thức, biết vận dụng kiến thức vào làm các bài
tập, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ
đó nâng cao hứng thú, kết quả học tập của học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi ứng dụng.
Đề tài này tôi nghiên cứu về một số phương pháp giải bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối, ở chương trình lớp 7. Trên cơ sở lý thuyết học sinh được
học về định nghĩa, các tính chất về giá trị tuyệt đối ở lớp 6, lớp 7. Từ đó đúc kết
lại một số kinh nghiệm, hướng dẫn học sinh giải được các bài tập có liên quan
đến dấu giá trị tuyệt đối, mà trước đó các em thường lúng túng chưa giải được,
hoặc giải bài chưa suy luận logic…
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu thập thông tin. Để
hoàn thành đề tài này tôi đã sử dụng nghiên cứu nhiều tài liệu như : Toán nâng
cao và phát triển Toán 7, của tác giả Vũ Hữu Bình, Toán nâng cao và một số
chuyên đề Toán 7, của tác giả Bùi Văn Tuyên, các đề thi học sinh giỏi Toán 7
của huyện Yên Định…
Phương pháp thống kê để xử lý thông tin, đánh giá kết quả thực nghiệm

các đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp trường trong nhiều năm. So sánh kết quả đạt
được trước và sau khi áp dụng đề tài.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Với tinh thần luôn nghiên cứu, học hỏi. Tôi thấy đề tài viết trong năm học 20162017 cần phải được chỉnh sửa hoàn thiện hơn. Đó là cần phải thêm một dạng toán:
“Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối”, vào
phần đầu của giải quyết vấn đề. Vì học sinh có nắm được dạng toán
2


ny thỡ mi lm tt cỏc dng toỏn liờn quan phn sau. Bờn cnh ú cỏc dng
toỏn, cỏc bi toỏn trong mt dng, ri cỏch gii trỡnh by hp lớ hn na,
hc sinh hc tp t kt qu cao hn. Vỡ vy nm hc ny tụi mnh dn vit
sỏng kin kinh nghim ny.
2. NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM.
2.1 C s lớ lun sỏng kin kinh nghim.
a) nh ngha : Giỏ tr tuyt i ca s thc a, l khong cỏch t im 0
n im a trờn trc s.
ù a( vụựi a 0)
a =ớ

ùùợ a( vụựi a< 0)

b) Tớnh cht:ỡ

1)
2)
3)

a 0, " a ẻ R .
a = - a , " a ẻ R.

a+bÊa+b

, du ng thc xy ra khi ab 0.

2.2 Thc trng ca vn trc khi ỏp dng sỏng kin kinh nghim.
i vi chng trỡnh thi lng dnh cho giỏ tr tuyt i rt ớt, ú l mt
mc ca bi Đ4 Giỏ tr tuyt i ca mt s hu t. Cng,tr, nhõn, chia s thp
phõn tit 4.
i vi giỏo viờn: cỏc bi tp v phn ny kin thc khụng khú, nhng ụi
khi giỏo viờn ch quan tõm gii cỏc bi toỏn c th m cha chỳ trng n phõn
loi cỏc dng toỏn v phng phỏp gii cho tng dng ú.
i vi hc sinh: khi gp cỏc dng toỏn liờn quan n giỏ tr tuyt i
thng la khú v ngi khụng lm. c bit l bi tp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr
ln nht, tỡm x cú cha du giỏ tr tuyt i, thng hc sinh lỳng tỳng, khụng
bit phỏ giỏ tr tuyt i cha x nh th no, tỡm x xong khụng bit i chiu vi
khong ang xột.
T thc tin dy hc, c bit t khi nh trng giao nhim v bi dng
hc sinh gii toỏn lp 7, tụi nhn thy phnbi tp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr
ln nht, tỡm x cú cha du giỏ tr tuyt i l khú i vi hc sinh lp 7, m thi
hc sinh gii lp 7 cỏc nm thng hay cú trong thi.
2.3 Cỏc sỏng kin kinh nghim hoc cỏc gii phỏp ó s dng gii
quyt vn .
2.3.1. Tớnh giỏ tr ca biu thc v rỳt gn biu thc cú cha du giỏ tr
tuyt i.

Caựch giaỷ:

*
Tựy vo giỏ tr ca bin bi cho, ta thay giỏ tr ca bin

vo biu thc tớnh giỏ tr hoc rỳt gn cỏc biu thc.
A, B ,C;
Thớ d 1: Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc
a) A = x + y vụựi x =- 1 ;y = 2 vaứz = 4.
z
b) B = x + x - 1 + x - 2
vụựi x=- 0,25.
c) C = 4x2 - 2x - 1

vụựi x

=0,5.

3


Lời giải
a) Thay x =- 1;y= 2 vàz = 4 vào biểu thức A ta cóA=- 1+ 2- 4 = - 3 = 3.
b) Thay x=- 0,25 vào biểu thức B ta cóB=- 0,25 + - 0,25- 1 + - 0,25- 2 =3,75.
c)

Vì x = 0,5 Þ x= ±0,5.

Nếu x = 0,5 thì C = 4.0,52 - 2.0,5- 1=- 1.

Nếu x = - 0,5 thì C= 4.(- 0,5)2 - 2.(- 0,5) - 1=1.
Vậy :C =- 1 nếu x= 0,5 ;
C =1 nếu x=- 0,5.

Thí dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = x + x .
b) B = 2.(3x - 1) - 5- x.
c) C = 2. 2x - 1- 32x+3.

Lời giải
a) Ta xét hai trường hợp :
Nếu x ³ 0 thì x = x, ta cóA = x + x = 2x.
(

)

Nếu x < 0 thì x =- x, ta cóA = x + - x = 0.
Vậy A = 2x nếu x ³ 0 vàA = 0 nếu x<0 .
b) Ta xét hai trường hợp : (
)
Nếu x ³ 5 thì 5- x

=-

(

)(

5- x = x - 5, ta cóB = 2 3x - 1 (

)

(

Nếu x <5 thì 5- x = 5- x, ta cóB = 2 3x - 1 -

)
x - 5 = 5x+3.

)

5- x = 7x- 7.

Vậy B = 5x +3 nếu x ³ 5 vàB = 7x - 7 nếu x<5 .
c) Ta xét ba trường hợp :
Nếu x ³ 0,5 thì 2x - 1 =2x - 1 và2x +3 = 2x+3, ta cóC =- 2x- 11.
Nếu - 1,5
= 2x+3, ta cóC =- 10x- 7.
(

Nếu x £ - 1,5 thì 2x - 1 =1- 2x và2x +3

=-

)

2x +3 , ta cóC = 2x+11.

ì- 2x - 11 nếu x³ 0,5
ï

ï

ï

Vậy C =í - 10x - 7 nếu - 1,5 ï
2x +1 nếu x£ - 1,5 .

ï

ỵï

2.3

.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
· Phương pháp chung để tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của khoảng giá trị của biến rồi khử dấu giá
trị tuyệt đối.
· Ngồi cách giải chung đã nêu ở trên ta còn có cách giải đơn giản hơn.
4


f ( x) = m

DẠNG 1 :

Cách giải:
Nếu

f ( x) = m(mlà một số cho trước).

m<0

f x ³ 0 với "x.

( )

thì khơng có giá trị nào của x thỏa mãn vì

Nếu m = 0 thì

f ( x)

= 0.
f ( x) = m

f ( x) = - m
m
>
0
Nếu
thì
hoặc
.
Tìm x, biết : 3 - 2x- 1 = 2 .

Thí dụ 3:

2

3

3 - 2x - 1 = 2
Û 2x - 1 =
2

3

é
2x - 1=

6

Ûê
ê

ê2x - 1=ê
ë

Vậy xỴ ï

11 é

ê

2x =

ê

ì 1 11
í

ỵï

12

;

6
ü

ê

ê

ê

êx=
ë

12

1

.

12

ï.
ý

x+3 - 8 =20.

x+3

é

x+3

ê

=20Û ê
é

Lời giải= 28

- 8=20

ê

é
x +3=- 8

ê

12
þï

êx +3

Ûê

6ê

ë

é

x +3= 8

1

ê2x =

Thí dụ 4: Tìm x, biết :
x +3 - 8

6

11

6 Û êê

Û ê
ê

3
x=

ê

5

Û 2x- 1 =
2

é

5

ê

Lời giải 5

3- 2

Ûê

- 8=- 20

ë

(

êx+3

)

Û x+3 = 28

=- 12 loại

ë

x= 5

ê

Û ê

ë

ë

x=- 11.

Vậy xỴ {- 11; 5}.

DẠNG 2 :

f ( x) = g(x)

Vận dụng tính chất a = b Û a =±b.
f ( x) = g(x) Û

Cách giải: Tìm x thỏa mãn

ê
f

ë

x

x

=gx

=-gx

()
()

Lời giải
é

é + 3 = 5- 2x

ê

x

ë

(

5- 2x

Ûê
x

x

ê

Û ê +3=ê

)
ê( )
ê
f

x + 3 = 5- 2x .

Thí dụ 5 : Tìm x, biết

x + 3 = 5- 2x

é(

)

ê
ë
ê

x

=

2
3

=8

5


2

Vậy x = 3; x = 8.
Nhận xét Do kiến thức ở lớp 7 nên tơi khơng đưa ra cách giải:
f x = g x Û f 2 x = g2 x .
(

)

(

)

(

)

DẠ NG 3: f ( x ) =g(x)

(

)

(*)

Cách giải
Cách 1: Ta có hai trường hợp sau:

x ³ 0 thì từ * ta cóf (

Nếu f (

)

(

Nếu f

(

)

(

)

x=gx.
(

)

)

)

()

Ngồi cách giải trên còn cách nào giải khác hay khơng?

(

()

x < 0 thì từ * ta có- f x = g x .
)

()

(

)

Vì f x ³ 0 với "x nê từ * ta cóg x ³ 0 do đóta cócách giảsau:

Cách 2:
Điều kiện g x ³ 0.
()

( )

()

Ta cóhai trường hợp: f x

()

= g x hoặc f x

()

=- g x

Nhận xét:
Đối với học sinh lớp trên ta còn cách giải khác:
ï
f ( x) = g(x) Û g( x) ³
ì

í 2
ỵïï f

( x) = g (x)

Thí dụ 6 : Tìm x, biết : 3x (

0
2

2x- 1 = 2

Đềthi học sinh giỏcấp cụm lớp 7 Yên Đònh năm học 2013 - 2014
)
Lời giải
.

3x - 2x- 1 = 2
2

(

*
)

( )

(

)

Với x ³ - 1 , từ * ta có3x - 2x +1 = 2Û

(

x= 3 thỏa mãn

)

.

)
(
2
)
( )
5(
Với x <- 1 , từ * ta có3x + 2x +1 = 2Û x= 1 không thỏa mãn .

Vậy x= 3.
Chúý: Bài toán thí dụ trên đãgiảtheo cách 1 ngoài ra còn

giảtheo cách 2, nhưng hai cách giảlànhư nhau.

Thí dụ 7 : Tìm x, biết : 2019- x - 2019 =

x Lời giải
2019- x - 2019 = x Þ x - 2019 = 2019- x Û x - 2019£ 0Û x£ 2019.

Chú ý:
6


a)

)=f

(

f x
(

( ) Û ( ) ³ 0;
x

)

f x

(

)

(

)

b) f x = - f x Û f x £ 0.
Điều được đưa ra tranh cãi là có cho phép học sinh thực hiện cách giải 2 hay khơng, một cách giải khơng được
nêu trong sách giáo khoa ? Để giải đáp thắc mắc tơi đưa ra hai thí dụ:

ư
ỉ2 - 5 = x.

Tìm x, biết :
xx

Thí dụ 8 :

ç
è

÷

4ø

(Trích bài tập 25b trang 14”Bài tập nâng cao và một số chun đề Tốn 7”của
tác giả Bùi Văn Tun)
Lời giải
Rõ ràng nếu giải thí dụ 8 theo cách 1 thì thật là khó đối với học sinh lớp 7,
5ư

ỉ2

xx

vì khi đó phải tìm x sao cho

-

ç

è

4÷
ø

5ư

ỉ2

³0

xx

hoặc

-

ç

è

£ 0.

4÷
ø

Ngược lại nếu giảithí dụ 8theo cách 2 thì thật dễ dàng.
Điều kiện x³ 0.Ta giảhai trường hợp sau:
ỉ
ư
éỉ 5ư
ù
2 - 5
ê 2 ú

Trường hợp 1: xçx

çè

4ø

÷

ê
è

* x= 0 ( thỏa mãn .
) ỉư2
9
* x2 = 0Û x =ç 3

4
è2ø
2

ỉ
çè

-

÷ Û x =±

4ø

çx

ê

ç

è

1 3ü x

ư
-5
4ø

ë
÷ Û x =±

çè

ú

-

9ư
4ø

÷

=0

3
, kết hợp với x ³ 0, ta cóx= .
2
2
ê 2

2

- 1 = 0Û xçx

û

éỉ
=- x Û x

÷

÷

2

3

5

* x= 0 ( thỏa mãn .
) ỉư2
1
* x2 = 0Û x =ç 1
4
è2ø
ì

4ø

ë

ư
2

Trường hợp 2: xçx

= x Û x çx

ç

ỉ

ù

ỉ

ú

÷

ú

û

ư
2

+1 = 0Û xçx

çè

-1
4ø

÷

=0

1

1

, kết hợp với x ³ 0, ta cóx= .
2
2

ï 0; ; ï
ý
ïï 2 2 ïï

í

Ỵ

Vậþ.
Tìm x, biết x

Thí dụ 9 :

ư

ỉ - 5 .
2

=xx

ç

÷

4ø (1)
è

Lời giải
Ngược lại với thí dụ 8, giải theo cách 2 thì khá khó, nhưng theo cách 1 thì lại dễ.

7


* Với x ³ 0thì (1) trở thành
é

ỉ

ưé

5ê

2

x=xx

-

ç

5

2

Û

xx-

4ø

4ø

ç

ê

è

ú
÷

ù

ú

x

ê

ê

=

ê2
x

ê

5

ê2
xê

ê

û

Û

ê

x

=±

4

4ê
ë

3
2

3

x³ 0

Kết hợp với điều kiện

, ta được

x = 0, x =
ỉ

5ê

* Với

x<0

è

é =0

ư é

x=-xx

ç

.
2

2
ê

- 1=0

ê

9ê

ë

=0

ê

ú

é = 0ë

=0

x

x

- 1=0Û

ë

é
Û

÷

è

ê

ư

ỉ

4

ư

Ûxx

÷
ê

-

ç

è

ø

ù

4

ú

÷

+1=0Û

ú
û

ì

1
x=- .
x<0
2 Vậy
Kết hợp với điều kiện
, ta được
Thí dụ 10 : Tìm x, biết: 3 - 1- x = 2

ê

ê

x

ø

ë

thì (1) trở thành

x

ê

5ú

ỉ

2

ü

13

ê

1
=±

ë

ï

ï

í 0; -

xỴ

ï

ỵï

;

22

ý

ï

þï.

Lời giải
a) Theo chú ý a) ta có 3 - 1- x = 2
é

1- x

ê

=2

x

ê

3-

Û ê

1- x
ê3 -

ë

1 -

é

=1I

Û ê

()
( )

=x
- = 5 II

ë

2

ê
1

-

é
1-

(

)
I

1- x

= 1Û

é
x

ê

=1

Ûê

ê
=-1

x

1-

ê

=0

ê
x

1-

ë

Vậy x Ỵ

ê

{- 6;- 2;0;2;6 .
}

Thí dụ 11 : Tìm x, biết

1- x = - 5

ë

x

=5

ê
ê

ë

é

x

x =5Û

±2

ê

é
( II )

ê=
x

=
2

ë

1
-

x =0

Ûê

ê

Giải

Giải

é

x

Û

ê

=-4

ê
ê

x =6

Û x = 6 Û x = ±6.

ë

x2 + x - 1 = x2 +2.

( Đềthi học sinh giỏcấp cụm lớp 7 Yên Đònh năm học 2012 - 2013)
Lời giải
2
2
Vì x ³ 0, "x Ỵ R nê x +2>0 " Ỵ R. nên

x2 + x - 1 = x2 + 2 Û x2 +

é
é =3
ê
ê
Û ê
Ûê =-1
x-1=2

x-1=-2

ê
ë

x

x

ê
ë

x - 1 = x2 + 2 Û

x-1 =2

2


Vaäy x Î

{

-1;3.

}
8


-x-5 =1 1
x+5

Thí dụ 12 : Tìm x, biết

()

(Violypic Tốn 7 vòng 16 năm học 2014-2015)
Lời giải
Mới nhìn bài tốn có vẻ khó, nhưng nếu học sinh nắm vững kiến thức thì lại dễ.

Điều kiện x ¹ - 5.
Với x ¹ - 5 thì (

Vậy ta có

1Û -x-5

= x + 5 Û x + 5 = x + 5 Û x + 5 > 0 Û x > - 5.

)

x>-5

.

f x
(

DẠNG 4:

()

= 0.
ì

ì

( x)

+ g x ) = 0 Û ïí f

)
f

+g x
)

x

= 0Û

(

(

ïï

( x) = 0
f

í

g( x) = 0 ïïỵ g( x) = 0
Thí dụ 13 : Tìm x, biết x + x + 2
= 0.
Lời giải
Vì x ³ 0, x + 2 ³ 0, " x Ỵ R.
ï

Cách giải:

ỵï

ìx
x

ï
=0Û

+ x+2

í

ï x
ỵï

Nên

=0

ïì x = 0

ï

ïì x = 0
ï
Ûí

Ûí

ïx+2=0

+2 =0

ïx=-2

ïỵ

ïỵ

(loại)

Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn bài tốn.

Chú ýDạng tốn còn được mở rộng cho các bài tốn:
f ( x) ,g(x) còn cóthểchứa thêm cábiến khác.
2
2
Thí dụ 14 : Tìm x, biết : x +2x + y - 9 = 0

( Đềthi học sinh giỏcấp cụm lớp 7 Yên Đònh năm học 2010 - 2011)
Lời giải
2

Ta có x +2x ³ 0,"x Ỵ

2

R; y - 9 ³ 0,"y Ỵ R do đó x2 +2x + y2 - 9 ³ 0,"x, y Ỵ R .
ì
ï

Để

2

x +2x

(

+y

)

{(

Vậy x, y Ỵ

2

ï

-9

= 0Û í
ï

)(

)(

ï

ỵï

x

2

2
y

x

+2

-9=0

)(

3

ì

ïxx

)

í
ï

ỵï

)}

0;3,0;- 3,- 2;3,- 2;- 3
2

ï (

Û

y

2

=9

+2 =0

ï x =- 2,x= 0

Ûí
ï

ỵï

y=±3.

.
2

Tìm x, biết : x - 1 + y + 2 +

Thí dụ 15 :

ì

=0

+ xz = 0

x

( Đềthi học sinh giỏcấp cụm lớp 7 Yên Đònh năm học 2009 - 2010)
Lời giải

9


1

2

Vì x - 2 ³ 0,"x Ỵ R; y + 3 ³ 0,"y Ỵ R; x2 + xz ³ 0,"x, z Ỵ R;
do đóx - 1 + y + 2 +
2

3

2

+
x xz

³ 0,"x, z Ỵ R;
ì

1
ì

ï

ï
ï

ï

x-

2

ï
ï

Để x -

1

+y+

2

ï

2

+x

3

2

ï

+ xz

= 0 thìí y +
ï

ï
ï

ï

ï x
ï

=0

ï

ï xï

ï

2

=0

3
2

+ xz = 0

Ûx=

2

2

,y =-

3

1

,z=-

ï

Û í y+
ï

2
Vậy ( x, y, z = 1 ; - ; ) ç
3
è2

=0

3

ï
ï

ï x x +z = 0
ï
ï

ï

ï

ï

ỵ

(

)

ï

ỵ

.

2

ỉ

=0

2
2

ï

ï

1

1

ï

ư
1

÷

.

2ø

Thí dụ 16 : Tìm x, biết : x - 8

2015

+(5y+1)2016 £ 0.

( Đềthi học sinh giỏcấp cụm lớp 7 Yên Đònh năm học 2015 - 2016)

Lời giải

x - 8 ³ 0 "x Ỵ R, do đó x - 8 2015 ³ 0 "x Ỵ R, 5y +1 2016 ³ 0 "y Ỵ
(
)
(
) 2016
2015
³
0
"x,
y
Ỵ
R.
nê x - 8
+ 5y +1
(

)

Màtheo đềbài x - 8 2015 + 5y+1 2016 £ 0. Suy ra
x- 8

ï

x-8

+

2016

5y+1

(

)

= 0Û í
ï

ï

ï

ï
ï

(

)

ỉ

1ư

ç
Vậy

x, y

ì

2015

ì
2015

R

(

5y+1 = 0

=0

2016
)

ì

Û í
ï

ï

ï

ỵ
ï

x

-8

=0

ï x= 8

ï

Ûí
ï

5y+1= 0

ỵ

1

ï

ï
ï y=-

ỵ

5

÷

=8;-

.

è

5ø

DẠNG 5 : Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách giải:
· Tìm nghiệm của mỗi đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối.
· Lập bảng xét dấu trên mỗi khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối .
· Tìm nghiệm trên mỗi khoảng đó.
Ngồi ra, tùy theo đặc điểm của bài tốn ta có thể vận dụng các tính chất đã nêu.

Thí dụ 17 : Tìm x, biết x - 1 + x - 3 = 6.(1)
Lời giải
Sử dụng phân chia khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
· Với x < 1 thì

( 1)

có dạng : 1- x + 3 - x = 6 Û x = - 1(thỏa mãn).
10


( 1)

· Với 1 £ x £ 3 thì
có dạng : x - 1 + 3 - x = 6 Û 0x = 4, không có giá trị nào

thỏa mãn.
(1)
· Với x > 3 thì
có dạng : x - 1 + x - 3 = 6 Û 2x = 10 Û x = 5(thỏa mãn). Vậy
x = - 1, x = 5.

Thí dụ 18 : Tìm x, biết:
x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 = 2017.

Lời giải
Vận dụng tính chất 3, ta có:

· x - 12 + x + 1000 =12 x
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

· x - 14 + x + 991 =14 x
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+x + 1000 ³

(12 - x) + (x + 1000) = 1012,

- 1000 £ x £ 12.

+x + 991` ³ (14 - x) + (x + 991) = 1005,
- 991 £ x £ 14.

x + 101 ³ 0, " x Î R

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - 101.

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có
·

x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 ³ 2017,đẳng

thức xảy ra khi

ïì - 1000 £ x £ 12
ï
ï
í

ï

- 991 £ x £ 14 Û x = - 101.

ï
ï x = - 101

Vậy x = - 101.

ï

và chỉ khi î

Thí dụ 19 : Tìm x, biết:

x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x. (1)

Lời giải

Vì x + 1 ³ 0, x + 1 ³ 0,x + 3 ³ 0,...,x + 2015
2016x ³ 0 Û x ³ 0.
x³
1 có dạng :
()

³ 0, " x Î R, nên

Với
0
x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x
thì

Û x + x + ... + x + 1 + 2 + 3 + .... + 2015 = 2016x
1444442444443

2015

Û 2015x +

2015 1+2015
(

)

2

= 2016x

Û x = 2015.1008

Û x = 2031120
Vậy x = 2031120.

2.3.3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải:
- Phân chia khoảng, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất từng khoảng đó rồi
chọn ra kết quả.
11


- Sử dụng các tính chất đã nêu.
Thí dụ 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
B = 3x + 8,4
a) A = 3,7+ 4,3- x
b)
C = 4x - 3 +5y + 7,5

+17,5.

- 14,2

c)

Lời giải

a) A = 3,7+ 4,3- x

Vì 4,3 - x ³ 0, " x Î R Þ A = 3,7 + 4,3 - x ³ 3,7, " x Î R .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3,7 khi và chỉ khi
b) B = 3x + 8,4 - 14,2

x = 4,3.

Vì 3x + 8,4 ³ 0, " x Î R Þ B = 3x + 8,4 - 14,2 ³ - 14,2 " x Î R .
x = - 14 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = 4x - 3 +5y + 7,5

c)

B 14, 2

+17,5

4x - 3 ³ 0, " x Î R ; 5y + 7,5

³ 0, " y Î R . Þ 4x - 3 +5y + 7,5
x=

y giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C

17,5

=x+

1

c)

-x23

2

3

+17,5³ 17,5Vậ
3

,y=- .

4

khi và chỉ khi

Thí dụ 21:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
A = 5,5- 2x - 1,5
a)
C

5

khi và chỉ khi

b)B = 4 -

2

5x - 2 - 3y +12

(Đề thi học sinh giỏi lớp 7 Yên Định năm học 2011-2012)
Lời giải
a) A = 5,5 - 2x - 1,5

2x - 1,5 ³ 0, x Î R Û - 2x - 1,5 £ 0, x Î R Û 5,5 - 2x - 1,5 £ 5,5; x Î R.

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức

b) B = 4 -

A 5,5

khi và chỉ khi

x= 3 .
4

5x - 2 - 3y +12

5x - 2 ³ 0, x Î R ; 3y + 12 ³ 0, " y Î R
Þ - 5x - 2 - 3y + 12 £ 0, " x, y Î R.

Þ 4 - 5x - 2 - 3y + 12 £ 4, " x, y Î R.

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức B = 4 khivà chỉ khi

x = 2 , y = - 4.
5

12


C

1

2

-xc)
23
C = x + 1 - x - 2 = x + 1 + x - 2 <7
x< 2
Với
2
3
2
3 6
3 thì

Với

=x+

x³ 2

Như vậy

3 thì

C£

C = x + 1 - x - 2 = x + 1 - x + 2 =7
2
7
6 mà

C=

3

2

7

3
x³

6 khi và chỉ khi
C= 7

6

2
3.
x³ 2

Tóm lại giá trị lớn nhất của biểu thức
6 khi
Thí dụ 22:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

3.

a) A = x - 2014 + x - 2015
b) B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017

c)C = x - a1 + x - a2 + ...+ x - an trong đó a1 < a2 < ... < an.
a) A = x - 2014 + x - 2015

Lời giải

Cách 1 :Xét từng khoảng giá trị của x

Nếux < 2014, thì x - 2014 + x - 2015 = - x + 2014 - x + 2015 = - 2x + 4029.
Vì x < 2014nên- 2x + 4029 > 1.

Do đó :. A = x - 2014 + x - 2015 > 1.
Nếu 2014 £ x £ 2015,ta có :

x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 - x + 2015 = 1

.

Nếux > 2015,thì x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + x - 2015 = 2x - 4029.
Vì x > 2015 Û 2x > 4030 Û 2x - 4029 > 1.

Do đó :. A = x - 2014 + x - 2015 > 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi
Cách 2 : Áp dụng tính chất 2 và 3, ta có
A = x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + 2015- x ³ x

2014 £ x £ 2015.

- 2014 + 2015 - x = 1.

Từ đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi

(x - 2014)( 2015 - x) ³ 0 hay 2014 £ x £ 2015.

13


Lưu ý: *Không sử dụng được x - 2014 ³ 0, x - 2015 ³ 0,
vì dấu đẳng thức
ì x - 2014 = 0
ï
í

ïx

không xảy ra đồng thời :îï

- 2015 = 0

* Điểm hay của cách này là sử dụng
đánh giá A.

ïì x = 2014
Û ïí

ï x = 2015

ïî

,nhưng 2014 ¹ 2015.

x - 2015 = 2015- x

để triệt tiêu x khi

b) B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = ( x + 2015 + x - 2017 ) + x - 2013 .
Áp dụng tính chất 2 và 3 ta có:
* x + 2015 +x - 2017
Dấu bằng xảy ra khi

(

=x + 2015 + 2017- x
x + 2015 2017 - x ³
)(
)

* x - 2013 ³ 0, " x Î R.

³

x + 2015 + 2017 - = 4032.
x
0 Û - 2015 £ x £ 2017.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2013.

ì - 2015 £ x £ 2017
ïíï

x = 2013

Û x = 2013.

Do đóB ³ 4032. Mà B = 4032khi và chi khi ïî
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4032 khi và chỉ khi x = 2013.
Lưu ý: Không thực hiện được cách ghép khác, chẳng hạn
B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = ( 2013 - x + x + 2015 ) + x - 2017 ³ 4028.
ì
ì
ï í ( 2013 - x)(x + 2015) ³ 0 Û ï í - 2015 £ x £ 2013

ï x = 2017 ï x = 2017

Mà B = 4028khi và chỉ khi ïî

îï

không có

giá trị nào của x thỏa mãn.
B ³ 4028
Vậy
nhưng dấu đẳng thức không xảy ra, do đó không tìm được giá trị
nhỏ nhất của B.

c) C = x - a1 + x - a2 + ...+ x - an

trong đó a1 < a2 < ... < an.

Vận dụng kết quả của các biểu thức A và B ta có
· Nếu n = 2k thì giá trị nhỏ nhất của

C = an + an- 1 + ... + ak+1 + ak - ...- a1 khi ak £ x £ ak+1.
· Nếu

n = 2k +1

thì giá trị nhỏ nhất của

C = an + an- 1 + ... + ak+2 - ak - ...- a1 khi x = ak+1.

Thí dụ23:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết
A = 7x - 5y + 2z - 3x + xy + yz + zx - 2000 .

Lời giải
Ta có
7x - 5y ³ 0, " x, y Î R ; 2z - 3x ³ 0, " x, z Î R ; xy + + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Î R.
yz
A = 7x - 5y + 2z - 3x +xy + yz + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Î R.

Suy ra

Mà A = 0khi và chỉ khi 7x - 5y = 2z - 3x = xy + yz + zx - 2000 = 0.
14

x

y

x

y

* 7x - 5y = 0 Û 7x = 5y Û 5 = 7 Û 10 = 14 ; *

x

z

x

z

2z - 3x = 0 Û 2z = 3x Û 2 = 3 Û 10 = 15 ; *
xy + yz + zx - 2000 = 0 Û xy + yz + zx = 2000.

x

y

=

Từ đó ta có dãy tỉ số bằng nhau 10

=

z

=k

14

15

.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

= 2000 = 4.
k2 = x ×y = y ×z = z ×x = xy + yz + zx
140+210+150
10 14
14 15
15 10
500

Ta có k = ±2 nên x = 20, y = 28, z = 30hoặc x = - 20, y = - 28, z = - 30.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 0 khi

( x, y, z ) = (20;28;30) hoặc (x, y, z) = ( - 20; - 28; - 30) .

2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Khi tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ở lớp 7, ta cần chú ý

những dạng sau:
DẠNG 1 : a)

f (x) £ a a > 0
(
)

Cách giải : f ( x) £ a ( a > 0) Û - a £ f ( x ) £ a.

b) f ( x) £ g ( x)
Cách giải : f ( x ) £ g ( x ) Û - g ( x ) £ f ( x ) £ g ( x).
Thí dụ 24 : Tìm x, biết:
a 2x + 3 £ 7

b) 2x - 3 < x
Lời giải

a) 2x + 3 £ 7 Û - 7 £ 2x + 3 £ 7 Û - 10 £ 2x £ 4 Û - 5 £ x £ 2.
- 5 £ x £ 2.
Vậy giá trị cần tìm của x là

2x - 3

< x Û - x £ 2x - 3 £ x Û

b)

ïì

í

f (x) ³

a

(

a>0Û

)

)

f

f

ë

Cách giải :

ì
ï x³1

í

ïx£3

î

î

é
ê
ê
ê (

Û

ï 2x - 3 £ x
ï

1 £ x £ 3.

Vậy giá trị cần tìm của x là
f (x) ³ a a > 0
(
DẠNG 2 : a)

2x - 3 ³ - x

Û 1 £ x £ 3.

ï

£-a
x

()
)

x

³a

b) f ( x ) ³ g ( x)

Cách giải : Với f ( x) ³ 0 thì f ( x) ³ g ( x) Û f ( x ) ³ g ( x).
15


Với f ( x) £ 0 thì f ( x) ³ g ( x) Û - f ( x) ³ g ( x).

1

x £ 4.

Thí dụ 25 : Tìm x, biết:
2x - 3 > 5
a)

b) 2 - x

é

Lời giải

ê

ê

>5Û ê

Ûê

2x - 3 > 5

a)

é

é

2x - 3 < - 5 2x < - 2

2x - 3

³ 3x +1

x<-1

ê

Ûê

2x > 8

ê

x>4

ê

ë

ê

ë

ë

Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài toán là: x < - 1, x >

b)

4.

1

Với 2 - x ³ 0 Û x £ 2 thì

2 - x ³ 3x + 1 Û 2 - x ³ 3x + 1 Û 4x £ 1Û x £

Với

4 (thỏa mãn

2 - x < 0 Û x > 2 thì
2 - x ³ 3x + 1 Û - (2 - x) ³ 3x + 1 Û 2x £ - 3 Û

x£

x£2

-3
2 (loại vì

Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài toán là:
DẠNG 3 :Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách 1: Phân chia khoảng.
Cách 2: Sử dụng các tính chất.
Thí dụ 26 : Tìm x, biết:

x - 3 > x +2 (1)

Lời giải

· Với x < - 2 thì (1) có dạng:- x + 3 > - x - 2 Û 0x > - 5,đúng mọi x .

Kết hợp với khoảng đang xét ta được ,
1
· Với - 2 £ x £ 3thì

()

có dạng:

x<-2

.

- x + 3 > x + 2 Û x <1
1

2

2
()

)

x>2

).


-2£x<

Kết hợp với khoảng đang xét ta được,

. 3
)
2(

· Với x > 3thì (1) có dạng :,x - 3 > x + 2 Û 0x > 5, vô lí.
2 ( 3
x<1 .
Từ

()

và

)

2
x - 1 +x - 2 > x + 3 1

ta có các giá trị cần tìm là,

Thí dụ 27: Tìm x, biết:

( 1)

()

Lời giải

· Với x < 1thì
có dạng: 1- x + 2 - x > x + 3 Û 3x < 0 Û x < 0, thỏa mãn
khoảng đang xét .
· Với 1 £ x £ 2thì

( 1)

có dạng :x - 1 + 2 - x > x + 3 Û x < - 2, không thuộc khoảng

đang xét.

16

· Với x > 2thì
đang xét .

(1)

có dạng :

x - 1 + x - 2 > x + 3 Û x > 6,

Ta có các giá trị cần tìm là, x < 0, x >

Thí dụ 28: Tìm x, biết:

thỏa mãn khoảng

6.

x - 1 +2x - 6

> x - 7.

Lời giải
Cách 1: Phân chia khoảng
1- x + 6 - 2x > x - 7 Û x <
x < 1,
· Với
ta có
ta có

x<1

7
,
2 kết hợp với khoảng đang xét

.

1£
x - 1 + 6 - 2x > x - 7 Û x < 6,
· Với 1 £ x £ 3 ta có
kết hợp với khoảng đang xét ta có
x£3
.
x>3
x - 1 + 2x - 6 > x - 7 Û x > 0,
· Với x > 3ta có
kết hợp với khoảng đang xét ta có
.

x Î R.

Tóm lại giá trị cần tìm là,
Cách 2: Áp dụng tính chất 3, ta có
x - 1 + 2x - 6 = x - 1 + 6 - 2x ³ x - 1 + 6 - 2x = - x + 5 = x - 5 ³ x - 5 > x - 7
" x Î R.
x Î R.
Tóm lại giá trị cần tìm là

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Từ năm 2007 đến nay tôi được nhà trường tin tưởng giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi các khối khác nhau, năm nào tôi cũng có học sinh giỏi. Sau đây là
các năm học tôi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7.
Năm học 2008- 2009 cùng với nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học,
tôi lần đầu tiên được nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7.
Tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài của sáng kiến kinh nghiệm này vào công tác bồi
dưỡng đã mang lại nhiều chuyển biến tích cực, các em đã có phương pháp học
tốt hơn và hứng thú đối với môn học.
Năm học 2008- 2009 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Trịnh Văn Chiến đạt giải nhì,hai em Trịnh Thị Hồng và Nguyễn Thị Hải
đạt giải khuyến khích.
Năm học 2011- 2012 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Văn Dũng đạt giải nhất, em Lê Minh Tiến đạt giải nhì và Lê
Hồng Mai đạt giải ba.
Năm học 2015- 2016 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Thị Hồng May đạt giải nhì, em Lê Thị Thu Hằng đạt giải ba; các
em Vũ Đào Mai Tú, Nguyễn Thị Tuyền và Lê Minh Hồng đạt giải khuyến khích.
Đề tài của tôi cũng đã và đang được đồng nghiệp hướng dẫn cho học sinh
giỏi khối 7 các năm học khác và đạt được giải cao.
17


Chính vì áp dụng đề tài này mà học sinh có hứng thú học tập do đó thành
tích học sinh giỏi Toán khối 7 của nhà trường luôn xếp thứ nhất, thứ nhì trong
cụm bốn trường.
Cũng chính áp dụng các sáng kiến của bản thân và sự học hỏi nghiêm túc
từ các đồng nghiệp năm học 2017- 2018 đã đạt được kết quả khả quan: đạt hai
giải khuyến khích môn Toán lớp 9 cấp huyện, đồng đội đứng thứ 3 trên 29

trường trong huyện; môn Toán lớp 6, đạt một giải nhì và một giải khuyến khích
cấp cụm, đồng đội xếp thứ nhất.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1.Kết luận.
Trên đây là những dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối ở lớp 7 và chỉ
là kinh nghiệm của tôi trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7. Đề tài này
tôi vẫn còn tiếp tục nghiên cứu và cùng đồng nghiệp áp dụng trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân nên còn khiếm khuyết, tôi rất
mong các đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn. Tôi
xin chân thành cảm ơn.
3.2.Kiến nghị.
Nhà trường mua thêm tài liệu như: toán học tuổi thơ, toán học tuổi trẻ…để
giáo viên và học sinh tham khảo hiểu biết hơn nữa về phần giá trị tuyệt đối.
Phòng giáo dục cần phổ biến hơn nữa những sáng kiến đã được xếp loại
cấp huyện, cấp tỉnh cho giáo viên như tôi, cũng như các giáo viên các trường
học tập kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày 20tháng 3 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Mai Văn Toàn

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 7, nhà xuất bản giáo dục.

18


2. Các đề thi học sinh giỏi cấp trường huyện Yên Định.
3. Toán nâng cao và phát triển Toán 7, tác giả Vũ Hữu Bình.
4. Toán nâng cao và một số chuyên đề Toán 7, tác giả Bùi Văn Tuyên.

5. Các đề thi Violympic toán 7.

DANH MỤC
19


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC
HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT,
CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ
C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Văn Toàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Định Tiến
Cấp đánh

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một số dạng toán chia hết
toán 6.

Một số phương pháp giải toán
về số nguyên tố.
Các phương pháp và một số
dạng Toán xác định một đa
thức.
Một số tính chất và dạng toán
số chính phương.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
lớp 9.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán có
chứa dấu giá trị tuyệt đối ở
lớp 7.
Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán
chia hết trong tập hợp số
nguyên ở lớp 8

2.
3.
4.
5.
6.
7.

8.

Kết quả
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở, (A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
cấp Huyện
A

Năm học
đánh giá xếp
loại
2008-2009

cấp Huyện

B

2009-2010

cấp Huyện

C

2010-2011

cấp Huyện

C

2011-2012

cấp Huyện

B

2013-2014

cấp Huyện

C

2014-2015

cấp Huyện

B

2016-2017

cấp Huyện

B

2017-2018

20