SKKN rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh, thông qua tổng hợp các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC
TẬP CHO HỌC SINH, THÔNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI
TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Đình Lợi
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc bộ môn: Toán

THANH HOÁ, THÁNG 5 NĂM 2019


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Giải pháp áp dụng tổng hợp các dạng toán chủ đề Tiếp tuyến, giúp
học sinh rèn luyện kỹ năng tự học, tự tổng hợp và phát triển tư duy
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
1
2
2
2
2
2
2
3
16
16
16
17


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Như chúng ta đã biết nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay không chỉ
là đổi mới chương trình giáo dục, mà điều quan trọng là đổi mới phương pháp dạy
và học. Với mục tiêu đào tạo nguồn nhân lực Việt Nam đáp ứng yêu cầu của thời
đại, đó là: Nguồn lao động năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có khả
năng thích ứng, biết đoàn kết và hợp tác trong lao động sản xuất. Vì thế trong
Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2020 ban hành kèm theo Quyết
định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của thủ tướng chính phủ đã chỉ rõ: "Tiếp tục đổi
mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát triển tích cực,

tự giác chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học".
Hiện nay một trong những PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động của
người học đó là '' Dạy học theo dự án''. Dạy học theo dự án đáp ứng quan điểm
dạy học lấy học sinh làm trung tâm, các hoạt động học tập được thiết kế mang
tính thiết thực, có liên quan đến kiến thức thực tiễn, giúp học sinh rèn luyện
được một số năng lực quan trọng như: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng công nghệ thông tin
và truyền thông, năng lực tính toán … Tuy nhiên, dạy và học theo dự án đòi hỏi
giáo viên phải mất nhiều thời gian công sức để thiết kế dự án khả thi và không
phải nội dung nào cũng áp dụng được phương pháp này, không phải đối tượng
học sinh nào cũng có thể tự nghiên cứu và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn
để học theo dự án.
Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán liên quan đến hàm số,
đồ thị hàm số là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng.
Là một giáo viên toán THPT, qua những năm tham gia giảng dạy môn toán
ở trường THPT, tôi nhận thấy về mặt tâm lí học sinh THPT đã bộc lộ rõ thiên
hướng, sở trường và hứng thú với từng lĩnh vực. Tuy nhiên đối với đa số học
sinh thì khả năng tự học chưa cao và các em thấy rất khó khăn trong giải Toán,
thậm chí có nhiều học sinh còn đặt câu hỏi “Học để làm gì”. Nên một lượng
kiến thức cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên
quan đến hàm số, đồ thị hàm số như: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, Giá
trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, Cực trị, Sự tương giao của các đường, Tiếp tuyến,
Phép suy đồ thị... là những kiến thức thực sự cần thiết hàng đầu để học sinh
trung học phổ thông tiếp thu và lĩnh hội.
Với thực tế như trên và qua kinh nghiệm giảng dạy tôi mạnh dạn viết sáng
kiến kinh nghiệm với chủ đề: “ Rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học
tập cho học sinh, thông qua tổng hợp các bài toán liên quan đến Tiếp tuyến
của đồ thị hàm số ”
1

+ Tổng hợp một các khái quát nhất về phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số và các vấn đề liên quan đến Tiếp tuyến.
+ Nội dung bài viết dành cho tất cả các đối tượng học sinh, đặc biệt học
sinh khối 12 trường THPT Sầm Sơn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Rèn luyện kỹ năng tổng hợp các dạng toán, kỹ năng làm toán trắc nghiệm
cho học sinh.
- Phát triển tư duy và sự tìm tòi trong học tập của học sinh.
- Tạo sự hứng thú trong học tập qua các kết quả học tập của học sinh.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Chủ đề Tiếp tuyến
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan.
- Hệ thống các bài toán giúp học sinh phân tích tổng hợp.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số giáo trình, sách tham khảo về
phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi ĐH – CĐ, và các đề thi học sinh
giỏi.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua các năm
trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây
dựng được một hệ thống phương pháp, bài tập về tiếp tuyến.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho
đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông và các lớp
ôn thi ĐH – CĐ các năm gần đây.
2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11, phần ý nghĩa hình học của
đạo hàm, giải tích 12 phần các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số viết khá
ngắn gọn và sơ sài về Tiếp tuyến. Với mục đích để giáo viên và học sinh khai
thác sâu hơn chủ đề này thông qua phương trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm. Và một thực tế đã nêu ở mục lí do chọn đề tài. Đặc biệt khi giải các bài
toán Tiếp tuyến qua điểm học sinh có thể nhầm lẫn với bài toán Tiếp tuyến tại
điểm, và giải một số bài toán liên quan đến diện tích, chu vi tam giác.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM:
a. Thực trạng
Trong sách giáo khoa: Đại số và giải tích 11 (Chương trình nâng cao), ở
chủ đề V ''Đạo hàm'': chỉ dừng đến ý nghĩa hình học của đạo hàm là Tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại điểm.
2


Mặt khác nội dung Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan
tương đối quan trọng trong thi học sinh giỏi và thi THPTQG.
Và sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp các dạng toán trong từng chủ đề của
học sinh còn hạn chế.
b. Kết quả của thực trạng
Từ thực trạng trên dẫn đến:
Đối với giáo viên:
- Giáo viên không tổ chức tổng hợp được từng chủ đề, đa dạng về hình
thức, đổi mới về phương pháp làm cho không khí học tập nhàm chán, đơn điệu
mà chỉ dạy mang tính chất đảm bảo phân phối chương trình.
- Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ thực tiễn rất gần
gũi giữa các dạng toán của từng chủ đề.
Đối với học sinh:
- Ngại học vì nhiều công thức, nhiều dạng toán.
- Thiếu khả năng liên hệ giữa các nội dung, không biết vận dụng nội dung
này để áp dụng vào nội dung khác.
Vì vậy với sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp hạn chế của học sinh. Nên
tôi mạnh dạn tổng hợp các bài toán về chủ đề Tiếp tuyến qua SKKN này để học

sinh nắm vững và vận dụng. Đồng thời vận dụng sự tổng hợp này để hình thành
kỹ năng phân tích, tổng hợp các dạng toán khác, phù hợp với vận dụng đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THPT Sầm Sơn.
2.3. GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ
TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ
TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY:
Qua cơ sở và thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm tôi mạnh dạn tổng
hợp một cách khái quát về chủ đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số với những nội
dung sau:
NỘI DUNG I: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT) CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ.
Học sinh cần tổng hợp và nắm vững được ba bài toán sau:
Bài toán 1 : Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M 0 (x0 ; y0 ) ( M 0 thuộc đồ
thị hàm số ).
Phương pháp
y y f '( x )(x x )

x ; y ; f '( x )

Pttt có dạng: 0
0
0
. Xác định 0 0
0
rồi thay vào
phương trình trên và biến đổi về dạng y ax b ta được pttt cần tìm.
Bài toán 2: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm
M1 (x1 ; y1 ) ( M 1 thuộc hoặc không thuộc đồ thị hàm số ).
Phương pháp
3

Giải bài toán này học sinh sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 1 (x1 ; y1 ) và có hệ số góc k là:
y

y1

k(x

x1 )

y

k(x

x1 )

y1

+ Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
f ( x)k ( xx1 )y1
f ' ( x)k

giải hệ tìm k thay vào tiếp tuyến d ta được pttt cần tìm.
Cách 2:
+
M (x ; y )
y y

f '(x )(x x )
Pttt của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0 là:
0
0
0
+
y y
f '(x )(x x )
Cho tiếp tuyến trên đi qua M 1 (x1 ; y1 ) nên ta có: 1 0
0
1
0
Biểu thị y0 ; f ' (x0 ) qua x0 và thay vào phương trình trên ta được phương trình ẩn x0
giải tìm x0 suy ra y0 bài toán quy về viết pttt tại điểm.
Ví dụ 1 : Viết pttt của đồ thị hàm số

y

(2

x 2 )2 biết

tiếp tuyến đi qua điểm

M (0;4)

Hướng dẫn giải
Lưu ý: Có nhiều học sinh kiểm tra thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số, và sử dụng
bài toán ở dạng 1 để giải là nhầm lẩn. Vì đây là bài toán pttt đi qua điểm và tiếp
tuyến đi qua điểm thì có ít nhất một tiếp tuyến còn tại một điểm chỉ có duy nhất

một tiếp tuyến
Cụ thể áp dụng dạng 2 và trình bày cho học sinh cả hai cách:
Cách 1:
y kx 4
+ Phương trình
đường
thẳng
d
đi
qua
điểm
M (0;4) có hệ số góc k:
+ Đường thẳng
d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
(2x 2 ) 2

kx4
3

4x

8x
x2

k

4

x

2

4x

x4

kx

3

4x

4x 2x(4x 38x)
3

8xk

8x

k4x

(3x 24)0
3

8x

k4 x
x0k0
2

x

16

k
3

3

x

2

3

16

k

3

3

3

Vậy có ba pttt: y

4; y

Cách 2:

+ Pttt của đồ thị hàm
y (4x03

16 x 4; y

16 x 4

33

33

số

tại điểm

thỏa mãn yêu cầu bài toán

M 0 (x0 ; y0 ) là: y y0

f '(x0 )(x x0 )

8x0 )(x x0 ) x04 4x02 4

+ Cho tiếp tuyến trên đi qua M (0;4) ta được:
4

(4 x038 x0 )(x0 )x044 x0243x044 x020
x

0

0y 04, y ' (0)0
2

x0

4
3

x0

y0

9

2

16
3
2

3
16

,y'

y0

y 4; y

2
3

4

3

Vậy có ba pttt:

,y'

9

16 x 4; y
33

3

16 x 4 thỏa
33

3 3

mãn yêu cầu bài toán
4


Bài toán 3: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho
trước.
Phương pháp

+
M (x ; y )
y y
f '(x )(x x )
Pttt của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0 là:
0
0
0
+

Theo giả thiết ta có

f '(x ) k
0

giải tìm

x y
0

0

bài toán quay về viết pttt tại điểm

Chú ý 1 : Ở bài toán này hệ số góc của tiếp tuyến thường được cho gián tiếp
thông qua biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
Cụ thể:
* Tiếp tuyến song song đường thẳng y ax b f '(x0 ) a
1

* Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y ax b f '(x0 )
a

Chú ý 2: Từ ba bài toán viết pttt của đồ thị hàm ở trên, học sinh cần tổng hợp
được: viết pttt của đồ thị hàm số đều quy về áp dụng bài toán viết pttt của đồ thị
hàm số tại điểm.
y x3

Ví dụ 2 : Cho hàm số:

có đồ thị là (C).

a. Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b. Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.
c. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình:
y=3x+1.
Hướng dẫn giải
2
Ta có: y' 3x
a. Theo đề bài: x0
1
y0
1 và y' ( 1)
3
Vậy pttt: y=3x+2.
b. Theo đề bài: y0 8 x0 2 y'(2) 12
Vậy pttt: y-8=12(x-2) y=12x-16.
M (x ; y )

Tiếp tuyến tại 0 0 0 có hệ số góc y'(x0 ) 3x02 Theo đề

bài tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x+1,
x 1
suy ra: 3x02 3 x0 1 + Với 0
y 1
0
pttt y=3x-2
x
1 y
1
+ Với 0
0
pttt y=3x+2
Vậy có hai pttt thỏa mãn yêu cầu bài toán: y=3x-2,
y=3x+2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2009).
x 2 biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục
Viết pttt của đồ thị hàm số y
c.

2x 3

tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân ở O.
Hướng dẫn giải


5


+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cùng với gốc tọa
độ O tạo thành tam giác cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 .
M (x

0 ; y0 ) là

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
1

y'(x0 )1

1
2

x

(2x0 3)
1
1; y0

1
(2x0

1
3)

x0

2

x

0

1
2

y' (x

0),

suy ra:

y0 1
y0 0

Với 0
pttt y=-x (loại)
x 2; y0
0 pttt y=-x-2 (thỏa mãn)
Với 0
Vậy pttt cần tìm: y=-x-2.
Bài tập
1. Cho hàm số: y

x 1
x
1 , có đồ thị là (C).

a. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình:
y=

1

2 x+5.

2. Viết pttt của đồ thị hàm số y

1

x

1

a. Tại điểm ( 2 ;2 )
b. Tại điểm có hoành độ bằng 1.
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

1

4

.

3. Cho hàm số: y x3 3x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
2

c. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 3 ; 1 ).
d. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2
4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y

hàm số với trục tung là:
A.-2
B.2
5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

C. 1
y

x3 3 x2 2

x 1
x
1 tại giao điểm của đồ thị

D. -1
có hệ số góc k = -9 có phương

3

trình:
A. y = -9x-43 B. y = -9x+43 C. y = - 9x+11 D. y = -9x-27 NỘI DUNG
II : NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN Vấn đề 1 :
Tiếp tuyến với định lý Viet
Là vấn đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó, và
SKKN này tôi tổng hợp một số bài toán như:
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến vuông góc
6


+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến, tống hệ số góc hai Tiêp tuyến đạt giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất...
Phương pháp:
Để giải những bài toán thuộc vấn đề này ta áp dụng trực tiếp một trong các
bài toán về phương trình tiếp tuyến kết hợp với sử dụng định lý Viet cho phương
trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba.
Cụ thể: Phương trình bậc hai: ax2+bx + c=0
x1
x x
1

b

x2
c
a

2

S

a

P

Phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
x

2

x

3

x

b
a

1

x2 x3

x1 x 2

2

xx

c

x1 x 3

a

d

3

x

1

a

Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x3+ 3x2+mx+1
a.
Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số khi
m=3 Học sinh tự làm
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số đã
cho tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C, đồng thời tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại B và C vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=1 là nghiệm của
phương trình:
3x2

x3

1

mx

1

x(x2

3x

m)

x

0

0

f (x)

x2

3x

m

0,(1)

Để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1)
có hai nghiệm phân biệt x 0
0

9 4m 0

m

f (0) 0

m 0

m 0

9
4,(2)

+

Tiếp

y'(xB ) y'(xC )1 (3xB2

tuyến
6xB

tại

m)(3xC2 6xC

B

và

C

vuông

góc

m) 1

9(xB xC )2 18xB xC (xB xC ) 3m (xB xC )2 2xB xC

36xB xC 6m(xB

xC ) m2 1 0

Trong đó xB , xC là nghiệm của phương trình (1) và theo định lí Viet ta có:
x B xC 3 x B xC m

Ta được:
9m2

18m( 3)

3m(9

2m)

36m
m9

4m2

9m 1 0
m

9

6m( 3)

m2

1

0

65
8
65
8

7


Kết hợp (2) vậy

m
m

9

65
8

9

65

thì yêu cầu bài toán thỏa mãn.

8

Ví dụ 5: Đề thi đại học khối A năm 2011.
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số
y x 1
tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các
2x 1

tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B. Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m và đồ thị hàm số là nghiệm của
x 1 , (x 1 )2x2+2mx-m-1=0,(*)
phương trình: x m
2x 1

2

Ta có : ' = m2+2m+2 > 0 m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại 2
điểm phân biệt với mọi m
+ Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) ta có:
1
k1 k2

(2x 1)2
1

1
(2
x

2

4(x x

1)2

2 2

) 8x x

1

2

4x x 2 2(x x
1

4(x x

1

2

) 2

1

2

) 12

1

Theo định lý Viet, suy ra: k1+k2 =-4m2 – 8m – 6 = -4(m+1)2 -2 ≤ -2
Vậy Max(k1+k2 ) = -2 khi m= -1
Vấn đề 2: Những bài toán cần phải viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm.
Là những bài toán yêu cầu xác định vị trí của điểm M thuộc đồ thị hàm số
để:
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích
không đổi.
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích cho
trước.
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi đạt
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…
Phương pháp:
Để giải quyết được những bài toán trên, ta phải tìm được tọa độ của điểm
M. Muốn vậy ta phải viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sô tại điểm M.
Khi đó điểm M là giao điểm của tiếp tuyến tại M và hai đường tiệm cận ( hoặc
hai trục tọa độ ), từ đó ta có tọa độ của điểm M phụ thuộc vào một giá trị tham
số. Dựa vào yêu cầu bài toán ta xác định được điểm M.
Ví dụ 6: Cho hàm số: y

x
1
x 1 , có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
8


b. M bất kì thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần
lượt tại A và B. Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi (I là

giao điểm của hai đường tiệm cận), và M là trung điểm của đoạn AB.
c. Tiếp tuyến của (C) tại N cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại P và Q. Tìm tọa
độ điểm N sao cho tam giác OPQ có diện tích bằng 1.
d. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
Hướng dẫn giải
a. Chỉ minh họa đồ thị

M

Phân tích : Ở ý b và ý c đều liên quan đến tiếp tuyến tại điểm nên ta làm ý
chung của cả hai ý là viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 (x0 ; y0 ) :
y y0

y

x0 1
x0 1

2

(x x0 )
2

2

y

f '(x0 )(x x0 )

(x0 1)2

(x0 1)
2
x x 2x
0

0

1

(x0 1)2

M (x ; y )

Chú ý: Điểm M và điểm N trong bài toán là điểm 0
b. * Chứng minh tam giác IAB có diện tích không đổi.
Ta có: S IAB

1

2 IB.IA

1

2 xB

xI y A

0

0

yI

+ I là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên ta có I(1; 1).
9


+ A là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận đứng, suy ra tọa độ điểm A
là nghiệm của hệ:
x1

x1
2

2

x0
y

(x0 1)

2x

2

2x0 1

(x0 1)

x0
y

2

2x0 3

(x0 1)

(x0 1)(x0 3)

2

(x0 1)

2

x0 3
x
0

1

A(1;

x3
0

)

x0 1

+ B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận ngang, suy ra tọa độ điểm
B là nghiệm của hệ:
y1

y1
2

2

x0
y

(x0 1)

2x

2x0 1

(x0 1)

2

y1
2

2

x0
1

(x0 1)

2x

2x0 1

(x0 1)

2

x 2x0

1

B(2x0 1;1)

Suy ra:

S
IAB

1 2x0 1 1

x0

31

1 2(x0 1)

2

x0

1

2

4
x0

4

(đpcm)

1

* Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
Ta có: xA xB 1 2x0 1 x0 xM . Vậy M là trung điểm của đoạn
2

2

AB (đpcm)
c.

1

Ta có : S OPQ

2 OP.OQ

1

2 x P yQ

+ P là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục hoành, nên:
0

xP x2 2x

1

0

2

+ Q là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục tung, nên:
0
yQ x2 2x 1
0

(x0 1)2

Suy ra: S OPQ
2

1

1 x02 2x0 1 x02 2x0 1
2
2
2
(x0 1)
2x0 1
2 x02
1(VN)
2
1)
x
1
0
4
2
1)2
x 2x 0 1
2 x0
2 7 y0
x0 1
x0

2

(x0 2x0
(x0

1

0

Vậy điểm cần tìm là:

N( 2

7;

1
3

7 ),N( 2
7

7

;

7

3 7
1

7)
7

3

d. Giả sử tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất, và đặt V là chu vi tam giác IAB.
Ta
có:

V=IA+IB+AB=IA+IA+ AB 2 IA+IB+
IA2 IB 2

2

IA.IB

2IA.IB

=4
Suy ra: V Min

4 4 2

IA IB

4
x0 1

2x0

1 x0

1

4

2

2

10


Vậy có hai điểm M 1 (1
Ví dụ 7: Cho hàm số: y

x

2;1

2x

2 có

2), M 2 (1

2) thỏa

2;1

mãn yêu cầu bài toán.

đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B
sao cho AB= 2 OA.
Hướng dẫn giải
a. Học sinh tự làm.

4 (x x0 )
M (x ; 2x0 ) là: y
2x0
b. + Tiếp tuyến tại 0 0
2
x0 2

x0 2

y

(x0 2)2

4

x

(x0 2)

(x0

2x2

0

2)2

+ Tiếp tuyến của (C) tại M 0 cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho: AB=
OA ABO vuông cân tại O nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 .
4

1
x0 0
Ta có:
(x0

2)

2

x

2

4

0

x
Với 0 0 pttt y=-x (loại)
x
4 pttt y=-x+8
Với 0
Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y=-x+8.
Bài tập

1. Cho hàm số: y x

x 1

1 có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều lập với hai đường tiệm cận một
tam giác có diện tích không đổi.
c. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
2. Cho hàm số: y

1

x có đồ thị là (C).

a. a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với (C).
b. Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn, khi đó d cắt Ox, Oy tai A, B. Chứng
minh rằng:
+ Tam giác OAB có diện tích không đổi.
+ Tiếp điểm của d và (C) là trung điểm của đoạn AB.
2 sao cho
x3
3. Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị hàm số:
y

tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng: y
A. M(-2; 0)

B. M(-2; 3)

1

3 x

3

2
3 x 3 .

C. M(-3; 1/2)

D. M(-1; 4/3)
11


Vấn đề 3: Tìm trên mặt phẳng tọa độ Oxy những điểm mà từ đó kẻ được tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số y = f(x).

Phương pháp
+ Gọi điểm cần tìm M(a; b). Pttt
y y0

M (x ; y )

của đồ thị

hàm số tại

f '(x0 )(a x0 )

đưa phương trình về ẩn

0

0

0

:

f '(x0 )(x x0 )

+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có: b

y0

x

0

+ Số tiếp tuyến xuất phát từ điểm M quy về biện luận số nghiệm của phương
trình ẩn x0 từ đó suy ra tọa độ điểm M
Ví dụ 8: Tìm trên đồ thị hàm số y x 3x 1 những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất
một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
+ Gọi M là điểm cần tìm, M thuộc đồ thị hàm số M (m; m3 3m2 1) Pttt của đồ thị
hàm số tại M 0 (x0 ; y0 ) : y y0 f , (x0 )(x x0 )
Trong đó: y0 x03 3x02 1 và f , (x0 ) 3x02 6x0
+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có: m3 3m2 1 x03 3x02 1 (3x02 6x0 )(m x0 )
Biến đổi và đưa phương trình về ẩn x0 : 2x03 3(m 1)x02 6mx0 m3 3m2 0
Do M thuộc đồ thị hàm số nên x0 = m chính là hoành độ của một tiếp điểm,
nghĩa là phương trình ẩn x0 phải có một nghiệm kép x0 = m.
3

Pt ẩn

x
0

( x0

2

3m

m ) ( x0
2

2

x m
) 0 0 3 m
x

2

0

Để qua M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình ẩn
3m
x0 phải có duy nhất một nghiệm suy ra: m
m1
2

Vậy điểm cần tìm là M(1; -1) và chính là điểm uốn.
Ví dụ 9: Cho hàm số: y x3 3x 2 3x 5
a. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp
tuyến tại hai điểm đó của đồ thị vuông góc với nhau.
b. Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc
với đường thẳng y=kx.
Hướng dẫn giải
a. Giả sử trên đồ thị hàm số tồn tại hai điểm M(x 1 ; y 1 ) và N(x 2 ; y 2 ) thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
Ta có: Tiếp tuyến tại M có hệ số góc: y, (x1 ) 3x12 6x1 3 = 3(x1 1)2
Tiếp tuyến tại N có hệ số góc: y, (x2 ) 3x22 6x2 3 = 3(x2 1)2
Hai tiếp tuyến tại M và N vuông góc y, (x1 ) y, (x2 ) 1
12


9(x1 1)2 (x2

1)2

1 vô lý

Vậy điều giả sử sai nên trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
b. Gọi M 0 (x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M 0 có hệ số góc:
y, (x0 )

3x02 6x0

3

Tiếp tuyến tại M 0 vuông góc với đường thẳng y=kx
(3x0

2

3kx02

y , (x0 )k

1

6x0 3)k 1
6kx0

3k 1 0

Để trên đồ thị hàm số tồn tại ít nhất một điểm, mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thẳng y=kx thì phương trình ẩn x0 trên phải có ít nhất một
nghiệm.
+ Với k=0 suy ra 1=0 vô lý
+ Với k 0 suy ra phương trình ẩn x0 trên có ít nhất một nghiệm,0
9k 2

3k (3k 1) 0
3k 0 k
0k0

Vậy k<0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 10: Cho hàm số: y x 3x 2 có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
3

2

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(

23

9 ; 2) .

c. Tìm trên đường thẳng y=-2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C) hai
tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
a. Chỉ minh họa đồ thị.
y

b. Học sinh tự làm.
c. + M thuộc đường thẳng y=-2 suy ra M(m; -2)
3
2
+ Tiếp tuyến của đồ thị tại N (x0 ; y0 ) : y (x0
3x0

2

2) (3x0

6x0 )(x x0 )

13


+

Tiếp tuyến đi qua M(m; -2) nên ta có :

2 x03

3x02

2 (3x02

6x0 )(m x0 )

2 x03 (3 3m) x02 6mx0 4 0 ( x0 2) 2 x02 (1 3m) x0 2 0
x2
0

f ( x0 )2 x02(13m) x020

Ta nhận thấy tại x0 2 có tiếp tuyến y=-2 và khi đó không tồn tại tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=-2
+ Để yêu cầu bài toán thỏa mãn thì phương trình f (x0 ) 0 có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 thỏa mãn y'(x1 ) y'(x2 ) 1
(13m) 2

160
2

(3 x1

2

1

6 x 2 )1

6 x1 )(3 x 2

3m
x

x2

9m

1

x1 x 2
m1

6m150
18x 1 x 2

( x1

x 2 )36 x 1 x 2

1

1
15

m

m

9

918.

2

2
9( x 1 x 2 )

2

3m1

361

55
27

2

Vậy M(

55
27 ; 2 ) thuộc đường thẳng y=-2 thỏa mãn yêu cầu bài

toán. Bài tâp
1.Cho điểm A(0 ; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến
x

2

tới đồ thị hàm số y= x 1 sao cho hai tiếp điểm tương ứng thỏa mãn:
a. Nằm về hai phía của trục hoành.(ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH
2015)
b. Nằm về hai phía của trục tung.
2. Cho hàm số: y x 3x 2 có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
b. Tìm trên đường thẳng y=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C)
hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
3. Cho hàm số: y x 3x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm những điểm trên đường thẳng y=2 từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ
thị hàm số.
4. Cho hàm số: y x 4 2x 2 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới
đồ thị hàm số.
3

2

3

5. Cho hàm số: y

x 1

x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến
tới đồ thị hàm số.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG
GIÁO DỤC, BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG:
14


KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM

Năm
Học

Lớp

Tổng
Số

Điểm trên 8
Số
Tỉ lệ
lượng
%

6
13,33

Điểm từ 5 đến 8
Số
Tỉ lệ
lượng
%
30
66,67

Điểm dưới 5
Số
Tỉ lệ
lượng
%
9
20,00

2017- 12A3
45
2018
2017- 11B2
39
5
12,82
23
58,97
11
28,21

2018
Sau khi hoàn thành sáng kiến này tôi cũng nhận thấy kiến thức và nghiệp
vụ sư phạm của bản thân được vững vàng hơn, đó là nền tảng để tiếp tục đổi
mới cho những lần sau thực hiện hiệu quả bài giảng và là bước đầu để thầy và
trò áp dụng Phương pháp dạy học theo định hướng đổi mới, đặc biệt là vận dụng
đổi mới phương pháp dạy học mà vẫn phù hợp với đặc thù năng lực của học
sinh.
Áp dụng dạy học theo chủ đề vào bài học thì hiệu quả của liên hệ thực
tiễn đã được phát huy tích cực. Về phía học sinh, các em được tiếp xúc với một
phương pháp học tập mới mang tính chất tích cực, làm cho các em nhận thấy
mình được giao trách nhiệm, tự nhận trách nhiệm và tự giác hoàn thành nhiệm
vụ. Những tư liệu, công việc được giao, trao đổi thu thập, phân tích, xử lí số liệu
đã tạo cơ hội cho các em nắm bắt thực tế và liên hệ nội dung bài học dễ dàng
hơn rất nhiều, đặc biệt là đa số các em thấy hứng thú, hài lòng vì được thay đổi
không khí học tập môn Toán vốn " căng thẳng tư duy, khô khan và khó hiểu"
theo suy nghĩ của các em.
Giờ dạy ngoài việc đạt được kết quả tri thức còn mang tính chất giáo dục:
Giáo dục ý thức làm việc tập trung, tinh thần phối kết hợp giữa thầy và trò, trò
và trò, đặc biệt là sự gần gũi quan tâm giữa giáo viên và học sinh để giúp các em
tự tin, có niềm vui được quan tâm; giáo dục ý thức trách nhiệm của bản thân
trứơc một bài toán thực tiễn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN:
Sau một thời gian nghiên cứu, để vận dụng đổi mới phương pháp dạy học
và tiến hành thực nghiệm cụ thể áp dụng phương pháp “Dạy học theo chủ đề”
vào chủ đề Tiếp Tuyến, tôi thấy:
Đổi mới phương pháp dạy học là rất cần thiết, có nhiều phương pháp dạy
học đem lại hiệu quả cho môn học. Do đó cần lựa chọn một hoặc một số phương
pháp, kỹ thuật dạy học tích cực phù hợp với nội dung bài học, môn học. Đối với
bộ môn Toán, tôi nhận thấy việc áp dụng phương pháp dạy học theo chủ đề là

cần thiết và phù hợp với đặc trưng bộ môn.
15


Khi đưa phương pháp này vào bài học thì hiệu quả của liên hệ thực tiễn
đã được phát huy tích cực.
3.2. KIẾN NGHỊ:
Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng đổi mới phương pháp dạy học tôi
nhận thấy, phương pháp dạy học theo dự chủ đè có thể áp dụng hiệu quả cho tất
cả các đối tượng học sinh và phù hợp với các tiết dạy bài tập cũng như ôn tập
chủ đề. Trong đó qua thực tế kiểm nghiệm phương pháp mang lại kết quả cao
cho dạy học chủ đề Tiếp tuyến.
Để nâng cao được chất lượng giờ học có sử dụng phương pháp dạy học
theo chủ đề thì học sinh cần được trang bị các phương tiện hỗ trợ học tập, như
máy tính nối mạng internet, phòng học bộ môn.
Phương pháp dạy học theo chủ đề cũng cần được giáo viên nghiên cứu và
áp dụng nhằm đổi mới phương pháp dạy học góp phần tích cực vào việc đổi mới
giáo dục, đào tạo con người phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại
hóa đất nước.
Trên đây là SKKN mà tôi đã thực hiện là những tổng hợp các bài toán về
pttt của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan, trên cơ sở đúc kết kinh nghiệm
giảng dạy, tham khảo qua sách vở và qua học hỏi. xin chân thành cảm ơn những
lời khuyên bổ ích của bạn đọc. Tôi rất mong nhận được nhiều sự góp ý hơn nữa
của các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Tôi xin cam đoan SKKN này là do bản thân tự nghiên cứu, viết ra
và thực hiện, không sao chép của người khác.
XÁC NHẬN CỦA
Sầm sơn, ngày 15 tháng 5 năm 2019
THỦ THƯỞNG ĐƠN VỊ

Người viết sáng kiến
HIỆU TRƯỞNG

Lê Ngọc Nội

Lê Đình Lợi

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
Tên tài liệu
[1] Phương pháp giải toán Tiếp tuyến
Lê Hồng Đức- Lê Hữu Trí
[2] Tài liệu tập huấn: Dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định
hướng phát triển năng lực học sinh cấp THPT môn Toán
[3]

Sách giáo khoa: Đại số, giải tích 11 nâng cao.
Giải tích 12 nâng cao
Nhà xuất bản giáo
dục

[4]

Tổng hợp các đề thi HSG, đề thi THPTQG các năm