SKKN phân dạng bài tập viét phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ OXYZ nhằm giúp học sinh ôn thi THPT quốc

Mục lục
Nội dung
Mục lục
1.Mở đầu
1. 1. Lí do chọn đề tài
1. 2. Mục đích nghiên cứu
1. 3. Đối tượng nghiên cứu
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
1. 5. Những điểm mới của SKKN
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2. 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 4 nghiệm

Trang
1
2
2
2-3
3
3
3
3
3-4

2. 3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử 4-18 dụng để
giải quyết vấn đề
2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt 18 động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
18
3.1. Kết luận

18-19
3.2. Kiến nghị
19
Tài liệu tham khảo
20

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, đòi hỏi người
học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ và kiên nhẫn mới có thể nắm
được. Nó là môn học khó, trừu tượng với thời lượng và nội dung chương trình
sâu gây khó khăn cho người học và người dạy. Thực tế cho thấy nhiều học sinh
đam mê, yêu thích môn toán nhưng kết quả thi đại học các năm về trước và thi
trung học phổ thông (THPT) quốc gia các năm gần đây không cao so với các
môn khác.
Chúng ta biết rằng trong các kì thi trung học phổ thông quốc gia những
năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán liên qua đến mặt cầu. Đó là
những dạng toán vừa dễ mà cũng vừa khó đối với học sinh khi làm bài. Đặc biệt
là các bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu chứa tham số học sinh thường
lúng túng hay mắc sai lầm trong việc nhận dạng nên chưa có phương pháp giải
phù hợp.
Bên cạnh đó, mặt cầu là một nội dung quan trọng của chương trình toán THPT.
Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ hữu hiệu để giải quyết
nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT.
Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)
viết. Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống và phân dạng bài toán không
nhiều. Vì thế học sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài tập liên quan đến

viết phương trình mặt cầu.
Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đề
trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, nâng cao chất lượng giáo dục, thể hiện
tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ giáo viên. Chính vì vậy tôi chọn
đề tài SKKN là:
“Phân dạng bài tập viết phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ
Oxyz nhằm giúp học sinh ôn thi trung học phổ thông quốc gia tốt hơn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh
trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về việc giải một số dạng bài toán
về phương trình mặt cầu.
- Giúp học sinh nhận dạng được bài tập về phương trình mặt cầu để từ đó có
cách giải phù hợp.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong
kỳ thi THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều đồ vật có dạng hình cầu
như: Quả bóng, quả địa cầu…nhưng rất ít người biết
2


về tính chất và phương trình của nó ra sao. Học sinh được học mặt cầu và
phương trình mặt cầu ở chương III sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao của bộ
giáo dục và đào tạo phát hành. Trong chương III này có ba đối tượng được
nghiên cứu đó là: đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Khi dạy về phương trình
mặt cầu tôi nhận thấy rằng học sinh tiếp thu tốt nhưng khi vận dụng vào bài tập
vẫn còn học sinh không làm được, không nhận dạng được bài tập để có phương
pháp giải thích hợp.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về mặt cầu và phương
trình mặt cầu. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên
nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương
pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham
khảo và các đề thi đại học, THPT quốc gia các năm gần đây và sắp xếp từ dễ
đến khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới
nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương pháp trên.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã
sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế (công việc dạy - học của giáo viên và
HS).
- Phương pháp thu thập thông tin (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,
…).
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông
qua trao đổi trực tiếp).
1.5. Những điểm mới của SKKN
- Đưa ra tập tài liệu chính thống và cụ thể giúp học sinh hiểu và giải được các
bài toán liên qua đến mặt cầu và phương trình mặt cầu.
- Hệ thống và phân dạng được một số bài tập về phương trình mặt cầu đưa ra
cách giải cụ thể.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng
học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học,
khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.

3


Đối với bài sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng nguồn tài liệu chính là:
- Sách giáo khoa hình học 12 cơ bản và nâng cao ( bộ giáo dục và đào tạo) phát
hành.
- Giải toán hình học 12 ( Bài giảng chuyên sâu toán THPT) của Lê Hồng Đức
và nhóm Cự Môn.
- Tài liệu chuyên toán ( bài tập hình học 12) của Đoàn Quỳnh (chủ biên).
- Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục của Bộ giáo dục đào tạo- Hội toán
học Việt Nam (1996- 2007).
Ngoài ra còn sử dụng tài liệu khai thác trên mạng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực
tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy bài toán phương trình mặt cầu
trong các bài thi cấp THPT là rất đa dạng,
đặc biệt là trong bài toán phương trình mặt cầu chứa tham số. Nhưng học sinh
thường không mạnh dạn, tự tin khi giải các toán dạng này vì:
- Mặt cầu là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại,
học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 12.
- Tài liệu viết và phân dạng bài tập phương trình mặt cầu không nhiều, học sinh
không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ
thống phương pháp để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.
- Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi
THPT quốc gia những năm gần đây.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
a.Phương pháp giải
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạng
bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếp
theo một trình tự logic.

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại bài tập viết phương trình mặt
cầu như: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước, viết phương trình mặt
cầu khi biết một số yếu tố cho trước, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu, xác
định tâm và bán kính của đường tròn là giao của mặt phẳng và mặt cầu, ứng
dụng của mặt cầu để giải một số bài toán đại số.
b. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1:
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2

y b2

z c2

R2 (1)
4


Dạng 2: x 2

y2

z2

2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2

b2

c2

Khi đó mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a 2 b 2

c. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

(2).

d 0

d.

c2

Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng
Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng : d I,
S
Nếu d I ,R thì
;
S
Nếu d I ,R thì
tại 2 điểm phân biệt;
Nếu d I ,R thì , S tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

d. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm

I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng

P : Ax + By + Cz + D = 0 .

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): d I , P

Aa +Bb +Cc+D

A2 B 2

Nếu:
1) d I , P R thì
PS;
2) d I , P R thì PS là đường tròn H ; rR 2 d 2 I ;

.

C2

P

với H là

hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:
2
x a

2
y bz c

2

2
R

Ax + By + Cz + D = 0

3) d I , P R thì mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc nhau tại điểm H là hình
chiếu của I trên mặt phẳng (P). Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt
cầu (S).
e. Các dạng toán:
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước
(Dạng phương trình (2)):
Cách 1: Đưa về dạng 1
Cách 2: Kiểm tra điều kiện a 2 b 2 c 2 d 0
tâm và bán kính.
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a. x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1= 0 .
b. x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4= 0 .
Bài giải
a. Từ x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1= 0 ta có x 4 2 y 1 2 z 2 16 . Vậy mặt cầu
(S) có tâm I 4; 1; 0 và bán kính R 4 .
5


b. Từ x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4= 0

ta có: x 2

2

y 4

2

z 1 2 25 .

Vậy mặt cầu (S) có tâm I 2; 4;1 và bán kính R 5 .
Ví dụ 2: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho họ Sm : x 2 y 2 z 2 4 mx 2 my 6 z + m 2 4 m = 0
a . Tìm điều kiện để Sm trên là phương trình mặt cầu.
b. Chứng minh rằng tâm của Sm nằm trên một đường thẳng cố định. Viết
phương trình đường thẳng cố định đó.
Bài giải
a. Phương trình đã chox 2 m 2 y m 2 z 3 2 4 m 2 4 m 9
Ta thấy 4 m

2

1 2 8 0, m .
4m 9 4m

2

Vậy Sm trên là phương trình mặt cầu với mọi m.
b. Mặt cầu Sm có tâm I m 2 m; m;3 .
x 2m

1
y

Ta có: y m

z 3

2

x

z 3

Vậy trong mặt phẳng z = 3 tâm I m 2 m; m;3 luôn nằm trên đường thẳng y
.
Ví dụ 3:
Cho phương trình: x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4 my + 8 m2 4 = 0
a. Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu.
b. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó.
Bài giải
a. Phương trình đã cho
x m2 2 y 2m2 z2
m 4 4m2 4

1x
2

là phương trình mặt cầu m 4 4 m 2 4 m 2 2 2 0m2 .
b. Khi đó tâm
x I yI 2 .

I ( m 2 ; 2 m; 0) . Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và

4

tâm I là parabol x
M (2; 2 2; 0) và N (2; 2

Vậy tập hợp

y2 nằm trong mp

Oxy bỏ đi 2 điểm:

4

2;0).

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước
a. Biết tâm và bán kính
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
6


a. Biết tâm I 2; 4;1 và bán kính R 4 .
b. Có đường kính AB với A 1;3;1 , B 2; 0;1 .
Bài giải
a. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I
x 22

2; 4;1

b. Ta có: AB

3; 3; 0

AB 3 2 .

Gọi I là trung điểm của AB nên

I

1 3
;

2 2
1 3

Mặt cầu tâm
I

1
x

2

3
y

4 có dạng:

z 1 2 16 .

y 42

2

và bán kính R

2

;

2 2
z

bán kính R
;1

1

A
B

2

.
3 2 có phương trình:

2
2

;1

2

9 .
2

b. Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Biết tâm: tìm bán kính;
- Biết bán kính: tìm tâm;
- Chưa biết tâm và bán kính: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp
xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán
kính.
Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với:
A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).
Bài giải
Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 x y z 2 0 .
2

Bán kính mặt cầu: R d I , ABC

2

2
4 Phương trình mặt cầu:
3

16
3.
Ví dụ 2: : Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A 2, 0,1 , B 1, 0, 0 ,
C 1,1,1 và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x y z 2 0 .
Bài giải
Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
2
d 0.
x y 2 z 2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2 b 2 c 2

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I a , b , c .
x 12

x 22

x 32

7


Theo đề bài phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A 2, 0,1 , B 1, 0, 0 , C 1,1,1
và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên khi đó ta có hệ:
4a 2c d 5

a 1

2c d 1

b 0

2 a 2b 2c d 3

c 1

a b c 2

d 1

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm:
x 2 y 2 z 2 2x - 2z +1= 0 hay x 1 2 y 2

2

x 1

1.

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường
thẳng d có phương trình: 5x 4 y + 3z 20 = 0
tại 2 điểm A, B sao cho AB =
+z 8=0

3x 4 y

16.

Bài giải
Đường thẳng d đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương u 2;1; 2
.
Gọi H là hình chiếu của I trên d. Ta có: IH d I , AB

MI , u

15 .

u
2
Khi đó bán kính mặt cầu:

R

AB

IH

2
17 .

2
2

Vậy phương trình mặt cầu: x 2
y 32
z 1 2 289 .
Ví dụ 4:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình:
x 1

2
P1

y

2

z

3

và hai mặt phẳng

1
2
: x + 2y + 2z 2= 0; P2 : 2x + y + 2z 1= 0 .

Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt
phẳng trên. Bài giải
Điểm I d I 2t 1;t 2;2t 3 .
Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng d I , P1 d I ,
P2 .
8t 99t 9
8t 9

t 0

9t 9

18
8t 9 9t 9

t

17
Với t = 0 ta có tâm và bán kính là: I1 1;2;3 ; R1 3 .

Nên phương trình mặt cầu S1 : x 1 2
Với t

18
17

ta có tâm và bán kính là: I 2

y 22

z 32

9.

19 ;16 ; 15 ; R2

3

17 17 17

17
8


Nên phương trình mặt cầu S 2

: x

19 2
17

y

16 2
17

z

15 2
17

9
289

.

Ví dụ 5:
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2),
C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).
Bài giải
Cách 1: Gọi I(x; y; z) tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Khi đó ta có
2

IA

IB

2

IB 2 IC2tâm và bán kính là I 1;1;1 , R IA 2
2
ID 2
IC

Cách 2:

Gọi phương trình mặt cầu là:
x 2 y 2 z 2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2 b 2 c 2 d

0.

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2 a 2b d 2 0

a 1

6 a 2b 4c d 14 0

2 a 2b 4c d
2 a 2b 4c d 6 0

b 1

6

0

c 2
d 2

Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 2

y 12

z 22

4.

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
Bài toán 1:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A
Cách giải:
Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):
x 2 y 2 z 2 2x - 4y - 6z = 0 tại điểm M 4;3;1 .
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;3 và có bán kính R
14 .
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M 4;3;1 . Khi đó mặt
phẳng (P) đi qua M và nhận IM (3;1; 2) làm véc tơ pháp tuyến nên đó mặt phẳng
(P) có phương trình:
3x 4 1y 3 2z 1 0
3x y 2z 13 0 .
Bài toán 2:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết
n A; B; C
véctơ pháp tuyến của (P) là

.

9


Cách giải
P : Ax + By + Cz + D = 0 .

Có: d I , PR

Aa +Bb +Cc+D R
A2

B2

tìm được D suy ra phương trình mặt

C2

phẳng (P).
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):
x 2 y 2 z 2 4x - 2y - 6z 5= 0 biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
n 1;2;2 .
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I 2;1;3

và có bán kính R 3 .

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) có dạng:
x + 2y + 2z + D = 0 . Khi đó ta có:
226D

dI,P R

10 D 3

3

12 22

D 1

10 D 9

22

3
Với D = -1 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -1= 0 .
Với D = -19 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -19 = 0 .

D 19

Ví dụ 2: ( Đề thi chính thức kì thi THPT quốc gia năm 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
x 2
y z 1
S:x
12
y 1 2 z 2 2 2 và hai đường thẳng d : 1
2
1 ,
x y z 1
:1 1
1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu (S), song song với d và ?
A. x y 1 0
B. y z 3 0
C. x z 1 0

D. x z 1 0 .
Bài giải
Mặt cầu

2

S

: x

R

2 . Đường thẳng

u

1;1; 1 .

1

d và

2

y 1

2

z 2

2

có tâm I 1;1; 2

có các vectơ chỉ phương

ud

và bán kính
1;2; 1

và

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng (P) song song với d và nên véc tơ
pháp tuyến n u ,u 2 1;0; 1
. Khi đó mặt phẳng có dạng: x z d 0 .
1

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
dI,P R

3 d
2

2

3 d 2

d 1
d 5

Vậy đáp án cần tìm là D.
Chú ý:
Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:
10


- Biết P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho
trước.
- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
Ví dụ 3: ( Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 của Đoàn Quỳnh):
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:
P : 2x - 3y 2z 3= 0
S: x 82

y 82

z 72

68

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I 8; 8;7 và có bán kính R
2 17 .
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Do P / / Q
nên mặt phẳng (Q) có dạng:
2x - 3y 2z D= 0

Mặt khác mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
dI,P

R

2.8 3. 8 2.7 D

2 17

223 222

54 D 34

D 20

2x - 3y 2z 20= 0 . D 88

Với D = -20 thì mặt phẳng (P) có dạng:
Với D = -88 thì mặt phẳng (P) có dạng:
2x - 3y 2z 88= 0 .
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
x 3 2t
d : y 3 2t

2

và S : x

,

y 4

2

z 3

2

18 .

t R
1

z

1 t

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I 1;4;3 và có bán kính R
3 2.
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 2;2;1 và đi qua điểm M 3;3;1 .
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d
nên mặt phẳng (P) nhận véctơ chỉ phương

u

của đường thẳng d làm

2;2;1
2x 2y z D= 0 .

véctơ pháp tuyến nên mặt phẳng (P) có dạng:
Mặt khác mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
d

I,P

R

Với D 13 9
Với D 13 9

283D
22 22 12

3 2

13 D

2 thì mặt phẳng (P) có dạng:
2 thì mặt phẳng (P) có dạng:

D 1392

9 2

D 13

2x 2y z 13 9
2x 2y z 13 9

9 2

.

2=0.
2=0 .

Bài toán 3:
11


Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P)
chứa đường thẳng d cho trước.
Cách giải:
- Xét đường thẳng d dưới dạng phương trình tổng quát;
- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua d;
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mặt phẳng (P).
Ví dụ 1: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
d: x 3
y 1
z 2 và S : x 2 y 1 2 z 2 2 3
2

1

1

a. Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A. Tìm
tọa độ tiếp điểm A.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
Bài giải
a. Mặt cầu (S) có tâm I 0;1; 2 và có bán kính R
3.
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 2;1;1 và đi qua điểm M 3;1; 2
x 3 2t
Chuyển đường thẳng d về dạng tham số: d : y 1 t , t R .
t
z 2

Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được:
3 2t 2 t 2 t 2 3 6t 2 12t 6 0 t 1. Khi đó tiếp điểm A 1; 0;1 .
b. Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc
với mặt cầu (S) nên mặt phẳng (P) đi qua A và có véctơ chỉ phương
IA 1; 1; 1 nên mặt phẳng (P) có dạng:
x y z 0.
Ví dụ 2: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
d: x 3
y 2
z 1 và S : x 2 y 1 2 z 2 2 14 .
9

3

5

a. Chứng minh rằng đường thẳng d không cắt mặt cầu (S).
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
Bài giải
a. Mặt cầu (S) có tâm I 0;1; 2 và có bán kính R
14 .
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 9;3;5 và đi qua điểm M 3; 2; 1

12


x 3 9t

Chuyển đường thẳng d về dạng tham số:

,t R

d : y 2 3t

z 1 5t

Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được:
3 9t 2 1 3t 2 3 5t 2 14 115t 2 30t 5 0 . Phương trình vô nghiệm. Vậy đường thẳng
d không cắt mặt cầu (S).
b. Lấy thêm điểm N 6; 1; 6 d và giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có phương trình:
P : Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 B 2 C2

0.

Vì M, N thuộc (P) nên:
3A2BCD0

5C 9A 3B
0

6AB6CD

5D 24A

(I)

13B

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
dI,P R

B2CD

14

A2 B2 C2
14 A2 B2 C2

B2CD2

(II)

A
Thay (I) vào (II) ta được: A 2 3 AB 2 B2 0

2B

1

A B
2

+ Với A = -2B thì chọn A = 1 suy ra B = 2, C = -3, D = -10. Khi đó phương trình
mặt phẳng (P) cần tìm: x 2 y 3 z 10 0 .
1
+ Với A = 2 B thì chọn B = -1 suy ra A = 2, C = -3, D = -7. Khi đó phương
trình mặt phẳng (P) cần tìm: 2 x y 3 z 7 0 .
Dạng 4: Đường tròn trong không gian
Bài toán 1:
Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao của mặt phẳng với mặt cầu cho
trước:
Cách giải:
Khi d I , P
R thì P
S là đường tròn H ; r
R2 d2 I;P
với H là
hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:
x

a

2

y b

2

z c

2

R2

Ax + By + Cz + D = 0

Ví dụ 1 ( Đề thi đại học khối A-2009): Cho mặt phẳng (P):
và mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 2x - 4y - 6z - 11= 0 .

2x 2y z 4

0

13


Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác
định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 và bán kính R = 5. Do
dI,

P R

2.1 2.2 1.3 4

93 5 R

2 2 2

nên mặt phẳng (P) cắt mặt

9

221

R 2 d 2 I ; P4 và có tâm

cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r

H là hình chiếu của I trên (P). Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
x 1

y 2
z 3
2
2
2x -2y -z -4 = 0

1H 3;0;2 .

Ví dụ 2 ( Đề minh họa kì thi THPT quốc gia 2017):
Trong không gian vơi hê toa đô Oxyz , cho măt câu S co tâm I 2;1;1 va măt

phăng P : 2x y 2z 2 0. Biêt măt phăng P căt măt câu S theo giao tuyên la môt
đương tron co ban kinh băng 1. Viêt phương trinh cua măt câu S
A. S : x

22

y

12

z

12

8

B. S : x

22

y

12

z

12

10

C. S : x

22

y

12

z

12

8

D. S : x

22

y

12

z

12

10

Bài giải
Goi R, r lân lươt la ban kinh cua măt câu S va đương tron giao tuyên

Ta co R

2

2

dI,P

2

1

2.2 1.1 2.1 2 2 10.

r

2

2

21 2

Măt câu S tâm I 2;1;1 ban kinh R

10 la x 2 2

y 12

z 12

10.

Đáp án D
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua một điểm M (x0, y0, z0) và chứa
x a 2 y b 2 z c 2 R2 đường tròn:
Ax + By +Cz + D = 0

Cách giải:
Tìm dạng phương trình mặt cầu (S):
x a2

y b2

z c 2 R2 k Ax + By + Cz + D 0 .

Thay tọa độ điểm M (x0, y0, z0) vào mặt cầu để tìm k .
Ví dụ 1 ( Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 của Đoàn Quỳnh):
14


Viết phương trình mặt cầu
2

C : x 3

2

y 4

z

S đi qua một điểm M (7, 3,1) và chứa đường tròn
2

36

.

4x + y - z - 9 = 0

Bài giải
Mặt cầu S

2

y 4 2z
4x + y - z - 9 = 0

chứa đường tròn C : x 3

nên có dạng : x 3 2 y 4 2
Do M (7, 3,1) S nên

z2

2

36

0.

36 k 4x + y - z - 9

7 3 23 4 2 12 36 k 4.7 - 3- 1- 9 0 k 2 .

Vậy phương trình mặt cầu S : x 3 2

y 42

z2

36 2 4x + y - z - 9 0

x2 y2 z 2 14x 10 y 2z 7 0 .

Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài toán đại số
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:

x

2

2

2

y z
2 x y 2z m

1

(1)

Tìm m để hệ phương trình có đúng một nghiệm và hãy tìm nghiệm đó.
Bài giải
Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:
mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 1 và mặt phẳng
:2 x y 2 z m 0
Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1.
Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và ( ) tiếp xúc nhau

d O, ( )

m
2

1

( 1)

2

m

2

2

3

1m 3

2

m 3

Trường hợp 1: Với m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên
1
: 2 x y 2 z 3 0 và đường thẳng
qua O và vuông góc với ( 1) có phương
x 2t

trình: y
z

tt
2t

R.

Giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của ( 1) và

là

t 1 H2,1,2

3333

Trường hợp 2: Với m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên

15


2

: 2 x y 2 z 3 0 và đường thẳng qua O và vuông góc với ( 2) có phương
x 2t

trình:

y t

t R.

z 2t

Giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của ( 2) và là
1
3

t

Vậy khi m

= 3 thì hệ có mghiệm duy

nhất là
2

và khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là x

3

;y

3

H

2

x

1

'

;z

3
2
3

2 1 2
;
; .
3 3 3
;y 1 ;z 2
3

3

.

Ví dụ 2:
Cho ba số thực x, y, z thỏa: x 2 y 2 z2 1. Tìm GTLN và GTNN của:
F

2x 2y z 9

Bài giải:
Xét mặt cầu (S): x 2
2 x 2 y z 9 = 0.

y 2 z2 1 tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (

):

x 2t

Đường thẳng qua O và vuông góc với ( ) có phương trình

y 2t t R ,

z t

giá trị tham số t tương ứng
và

Khi

đó

(S)

cắt

nhau

4
3

d A, ( )

với giao
tại

2

1
3

9

2

2 2

4

3

điểm của và
điểm: A

2

2 21

và

2 ;2 ; 1
3 3 3
d B, ( )

(S) là t
và

1
3

=

2 ;2;1
.
3 3 3
4 4 19
3 3
3 4.
2 2 2

2 21
B

Lấy M(x; y; z) (S),
dM,( )

2x 2y z 9
2 2

1
2

221

3

F.
1

Luôn có
d A, ( ) d M , ( ) d B, ( )

2

F46F12.

3

Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y = 2 ; z = 1 và Fmax = 12 đạt khi x = y = 2 ; z = 1 .
3

3

3

3

f. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
S:

x 32

y 22

z 12

25
16


và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3z - 17 = 0.
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng (P):
2x + 2y + z - 7 = 0 và chứa đường tròn C :

2
x 3
y
4 2z
4x + y - z - 9= 0

Bài tập
3:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):

2

36 .

2x 2 y z 1= 0
x 2y

2z

và mặt
4= 0

cầu (S) có phương trình: x 2 y 2 z 2 4x 6y + m = 0 .
Tìm m để d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 9.
Bài tập 4:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và I(1; 2; -2):
a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu (C) và
mặt phẳng (P) là đường tròn có chu vi bằng 8
b) Chứng minh rằng mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - 2 = y + 3 = z.
c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C).
Bài tập 5:
x2

Cho điểm M(0; 2; 0) và đường tròn (C):

y

22

z 12

9 S

x+y+z=2

a) Chứng minh rằng M nằm ngoài (C). Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M
tới (C).
b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S). Tìm tập hợp các tiếp điểm.
Bài tập 6:
Cho mặt cầu (S): x 2 2
y 32
z 3 2 5 và mặt phẳng (P):
x - 2y + 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn. Lập
phương trình đường tròn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường
tròn đó.
b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q):
x + y + z + 3=0.
Bài tập 7:
Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
S:

x 12

y 22

z

32

9

P :x - 4y - 3z + 5 = 0.

Lập phương trình tiếp diện của (S) đi qua A(0; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng
(P).

17


xy

z

3

Bài tập 8: Giải hệ phương trình: x 2 y 2 z 2 3 .
2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Khi dạy trước hết tôi đưa ra các bài toán để học sinh tìm lời giải, sau đó
tổng hợp cách làm và các dạng để học sinh nắm được phương pháp, có cái nhìn
tổng quát hơn khi giải toán. Các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm
tra , đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt đảm bảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm
thời gian khi làm bài.
Mặt khác đây cũng là tài liệu mà các thành viên trong tổ, nhóm chuyên

môn học hỏi, bổ sung kiến thức cho bản thân nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học trong nhà trường.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiểu bài và vận dụng được:

Lớp
2012

- 2013

Sĩ số
12C8

2014

- 2015

12C3

2016

- 2017

12C4

Năm học Kết quả
42
50% học sinh hiểu và vận
dụng được
43
65% học sinh hiểu và vận

dụng được
45
80% học sinh hiểu và vận
dụng được

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi
nhận thấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh.
Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh,
gọn và chính xác. Đồng thời các em đã có được cái nhìn tổng thể về cách giải
quyết bài toán này. Điều này phần nào tạo cho các em học sinh có được tâm thế
tốt khi sắp bước vào các kỳ thi quan trọng.
Khi ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là một
chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp
với mọi đối tượng học sinh. Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn
nữa. Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là:
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp. Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho các em thấy được
tinh thần nghiêm túc và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học
sinh mới noi gương Thầy quyết tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không
cảm thấy áp lực trong học tập.
18


Tiếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòi học
tập ở học sinh.
3.2. Kiến nghị
Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải thường xuyên và
liên tục. Bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự bồi dưỡng, học hỏi, trau dồi kiến

thức và không ngừng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Vì vậy nhà
trường, các tổ, nhóm chuyên môn nên phân công cụ thể từng người viết báo cáo,
sáng kiến kinh nghiệm, nghiên cứu khoa học phù hợp với thực tại giảng dạy của
môn học. Đồng thời cũng tạo điều kiện cho họ có thời gian trình bày hàng tháng,
hàng quý hoặc sau một kì để các thành viên trong tổ, nhóm chuyên môn góp ý
chỉnh sữa những vấn đề chưa được và những vấn đề làm tốt cần phát huy. Có
như vậy các thành viên trong nhà trường, các tổ, nhóm chuyên môn học hỏi
được của nhau và hoàn thiện bộ tài liệu giảng dạy chung khi cần.
Mặt khác các tài liệu có chất lượng được hỗ trợ kinh phí hoặc thưởng hoặc là
căn cứ đánh giá thi đua cho người viết. Đó cũng một phần khích lệ, động viên
cho mỗi giáo viên.
Các báo cáo mang tính đặc thù bộ môn nên trình bày trong tổ, nhóm; các báo
cáo về phương pháp có thể trình bày trước cả hội đồng giáo dục nhà trường.
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận được những góp ý quý báu của
các đồng nghiệp, song do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài, nên đề tài
của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong tiếp tục nhận được sự
đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Thị Lan

19

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 12 (Chuẩn và Nâng cao) của bộ giáo
dục và đào tạo phát hành.
2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998 đến năm
học 2004-2005. NXB Đại học Quốc gia HN của tác giả Doãn Minh Cường.
3. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng toàn quốc, từ năm
học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 . NXB Hà Nội của nhóm tác giả Trần
Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường.
4. Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006.
5. Tạp chí toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo dục. của Bộ giáo dục đào tạoHội toán học Việt Nam (1996- 2007).
6. Tài liệu khai thác trên mạng.
7. Giải toán hình học 12 ( Bài giảng chuyên sâu toán THPT) của Lê Hồng
Đức và nhóm Cự Môn.
8. Tài liệu chuyên toán ( bài tập hình học 12) của Đoàn Quỳnh (chủ biên).

20