SKKN phân tích một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán trắc nghiệm và hướng khắc phục

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ
thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) . Trong đó môn toán được đổi từ
hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên
nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn
luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề
mới so với hình thức thi tự luận.
Kỳ thi quốc gia 2018 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT
và xét vào đại học, cao đẳng. Đề thi năm 2018, môn Toán thời gian làm bài 90
phút ( với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán lớp 11
chiếm 20%, lớp 12 chiếm 80%). Năm 2018 là năm thứ 2 môn Toán được thi
bằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, nên quá trình giảng dạy giáo
viên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc
nghiệm môn Toán. Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để
kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của
chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm
kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phân
tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc
nghiệm sao cho hợp lý.
Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không
đảm bảo chất lượng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những
những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự
mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán
nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả
của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu cho mình là: “ PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC
NGHIỆM VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương

pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó:
- Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Toán học.
- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán
và cách khắc phục.
- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo.
Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê

1


môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học
tập và nghiên cứu.
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên
sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của học
sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai
thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đề ra.

2

B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến
cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm
quá trình nhận thức của học sinh.
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu
sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp
thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về
mặt tư duy cho bản thân mỗi người.
Các kiến thức căn bản về Toán học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đã
được học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất
gốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức đọ nhận biết hay thông hiểu thì cũng
sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm
lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra
phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn,
đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân
tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy
ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người
khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá
trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy
logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát
hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề
khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng
chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng
thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi
ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
2. Thực trạng.

Năm học 2017-2018 Bộ giáo dục và đào tạo tiếp tục đổi mới thi THPT
Quốc gia. Để giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia
2018, giáo viên cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra
đánh giá theo định hướng phát triển năng lực của học sinh. Môn Toán thi trắc
nghiệm 100% (50 câu, thời gian 90 phút ) . Để làm được bài thi học sinh phải
nắm thật vững kiến thức cơ bản và các kỹ năng cơ bản qui định trong chương
trình. Giáo viên phải có ý thức dạy kỹ và sâu kiến thức từng bài học, rèn luyện
thật chắc những kỹ năng theo yêu cầu của bài học, bên cạnh đó phải giáo dục
cho học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và biết hệ thống hóa kiến
thức từng bài học.
3


Thực tế trong kì thi quốc gia 2017 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạt
điểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù các câu trong đề thi không quá khó, số câu
nhận biết và thông hiểu là 50%.
3. Các giải pháp.
Trong môi câu hỏi trăc nghiêm thương găp hiên nay, có 4phương án gôm
1 phương án đúng và 3phương án nhiêu. Phương án nhiêu thương đươc xây
dưng dưa trên các sai lâm của học sinh. Vìvây, học sinh phải năm chăc kiên thưc
mơi cóthê quyêt định chọn phương án nào trong môt thơi gian rât ngăn. Sau đây
tôi sẽ trình bày môt sô sai lâm màhọc sinh cóthê găp khi giải toán trăc nghiêm.
3.1. Nhầm lẫn các loại điêu kiện, các khái niệệ̣m:
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x
liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
x
0
4
y’
+

0
0+
y
5
3

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. x 3.
B. x 5.
C. x 4.
D. x 0.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số.
Phương án B: Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm số.
Phương án C: Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm số
Lời giải đúng: Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại
x 0, yCD 5; hàm số đạt cực tiểu tại x 4, yCT 3. Do đó phương án đúng là D.
Chú ý: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
của hàm số, kí hiệu là fCD (fCT), còn điểm M x0; f x0 được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
.
3 x 1 . C. y
y 2x 3 .
y
4x 2
D. y
x2
A.

B.
2

x 1

x

2x

2

x 3x 2

2x 3

1

.

2

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng
lim y lim
x

x

2x 3
x2 1

2và

lim y lim
x

x

2x 3
x2 1

lim y

lim y

x

x

2

2. Nhưng thực chất

nên đồ thị hàm số

y

2x 3

có

x2 1

hai đường tiệm cận ngang.

4


Phương án B: Sai do HS hiểu rằng lim

y

lim

x

lim y

3 ; lim y
1 2

x

3
1

x

3 . Nhưng thực chất

y
1

x

nên đồ thị hàm số

3x 1

y

lim y lim y.
x

lim y; lim y

có hai đường tiệm

x 2x2 1

2

cận ngang.
Phương án C: Sai do HS hiểu rằng
x

2

Nhưng thực chất

x

nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

x

Lời giải đúng: Ta có lim

4x 2

lim

x2 3x 2

4x 2

0 nên đường thẳng y = 0 là

x2 3x 2
đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
x

x

4x 2 . Chọn D

x2 3x 2

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng
a, , ;b hoặc ; ). Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau
được thỏa mãn
lim f x y0 , lim f
x

x y0.

x

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
1

A.
0
1

dx

1

2x 1

2

dx

C. 2

2x 1

ln

1

4

.

B.

0
1

x ln x

2

D.

.

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng 1

2x 1

4

dx

0

2x 1

1
'

4

dx

).

Nhưng

thực

2x 1

1
0.

1

2x 1

2x 1

4

dx

0

2x 1

HS hiểu rằng

tan x

cos2 x

đoạn 0;1 thì 2x 1 0 nên một nguyên hàm của
Phương án B: Sai do

2x 1

0

dx ln
0

4

dx

chất

0

4

0

.

.

Nhưng thực chất trên

1

là

2 ln(2x 1).
4

2 2x 1

(vì HS
0

hiểu rằng

2x 1 '

2x 1 '

1

nên

2 2x 1

2 2x 1 2x 1
4

0

2x 1

2x 1

0

.
4

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng 0

dx
cos2 x

cot x

0

4

.

Cũng có thể học sinh chọn do nghĩ đề bài yêu cầu chọn phương án Đúng.

5


Lời giải đúng: Ta có

2

1

nguyên hàm của
Chú ý:

dx ln

1

d ln x
x

1
2

. Hơn nữa trên đoạn 2; 1 thì x < 0 nên một

x

phải là ln( x) . Do vậy phương án sai là C.

x
xC

ln x C, x 0

x

.

ln( x) C, x 0

Ví dụ 4: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình log 3 x 2 3 x 5 2 là khoảng
a; b . Giá trị của biểu thức a 2 b2 bằng

A. 15.
B. 7.
C. 11.
D. 17.
2
2
2
Lời giải : Ta có log 3 x 3 x 5 2 x 3 x 5 9 x 3 x 4 01 x 4
b2 17 . Chọn D

a2

Suy ra a 1; b 4. Do đó
Phân tích phương án nhiễu.
a2

b2 15

Phương án A: Sai do HS giải đúng được a 1; b 4 nhưng lại tính sai
hoặc do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3 x 2 3 x 5 2 x 2
x2

3 21

3x 3 0

Suy ra a

3x 5 8
x

3 21 .
3

2
3 21 , b 3

21 . Do đó tính được a 2

2

3

b2

15

Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3 x 2 3 x 5 2 x 2 3 x 5 6
x2

3 5x

3x 1 0

Suy ra a

3 5 .

2
2
3 5 . Do đó tính được a 2 b2 7
2

35,b
2

Phương án C: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3 x 2 3 x 5 2 x 2
x2

3x 1 0

Suy ra a

3 13 , b
2

3x 5 6

3 13 x

3 13 .

2

2
3 13 . Do đó tính được a 2 b2
2

11 .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp có đỉnh S 2;3;5
và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng
bằng 12. Tính thể tích của khối chóp đó.
A. 4.
B. 24.
Phân tích phương án nhiễu.

C. 8.

P : 2 x y 2 z 3 0 , có diện tích

D. 72.

6


Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp. Cụ thể:
h d S,P

2.2 3 2.53 1
2

22122
1

Suy ra thể tích khối chóp bằng V

3 .12.1 4

1
Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu 3 trong công
thức tính thể tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu 13 trong
công thức tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:

h d S,P

2.2 3 2.5 3 6 và V S .h 72 .
22 12 22
Lời giải đúng: Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d S , P

2.

1 .12.2 8 . Chọn C

Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V

3

Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C nn 1 Cn3 0 . Tìm số hạng chứa
2

x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

1n
,x 0.

x

2

A.

5

35 x .

B.

16

Lời giải: Ta có 5C n

C. 35 x2 .

35 .
16

n 1

C

3
n

x

D. 35 x5 .
16

nn 1 n 2 2
0 n 7.

0 5n

6

Do đó ta có khai triển nhị thức Niu-tơn của

x2

17

2

x

Số hạng chứa x5 trong khai triển trên là C73 x2

.

13

35 x5. Chọn A

x

16

4

2

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS nhầm số hạng chứa x5 với hệ số của số hạng chứa x5 .
Phương án C: Sai do HS viết sai số hạng chứa x5 . Cụ thể là
3

x2

C7

4

35

x

2

2

13

5

.

x

Phương án D: Sai do HS viết sai số hạng chứa x5 . Cụ thể là
3 2

x

C

7

4

1

2 x

3

35
16

5

.

x

Ví dụ 7: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.

7


B. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng
kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với
nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với
nhau.
Phân tích phương án nhiễu
Phương án B: do không nhớ điều kiện 2 đường thẳng đó phải cắt nhau .
Phương án C: do quên điều kiện hai mặt phẳng phải phân biệt.
Phương án D: do nhớ “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với

đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” nên nghĩ nếu là hai mặt phẳng thì
cũng vậy.
Lời giải đúng: Hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: song song, trùng nhau,
cắt nhau nên nếu hai mặt phẳng đó phân biệt (không trùng nhau) và không cắt
nhau thì song song. Chọn A
Vídụ 8:Xét các khăng định sau:
i) Nêu hàm sô y f ( x ) xác định trên R thỏa mãn
f ( 1). f (0) 0 thì ôđ thị
của hàm sô y f ( x ) vàtrục hoành cóít nhât 1 điêm chung.
ii) Nêu hàm sô y f ( x ) xác định trên R thỏa
mãn f ( 1). f (0) 0 và
f (0). f (1) 0 thì ôđ thịcủa hàm sô y f ( x ) vàtrục hoành cóít nhât 2 điêm chung.
Phát biêu nào sau đây làđúng?
A. Khăng định i) đúng vàkhăng định ii) đúng.
B. Khăng định i) đúng vàkhăng định ii) sai.
C. Khăng định i) sai vàkhăng định ii) đúng.
D. Khăng định i) sai vàkhăng định ii) sai.
Đây làmôt câu hỏi khó,học sinh cóthê liên tương đên định lívê giátrịtrung
gian của hàm liên tục khi đọc các giảthiêt ơ hai khăng định này. Tuy nhiên, các
giảthiêt thiêu môt điêu kiên rât quan trọng làhàm sô liên tục. Ta cóthê chỉra
nhưng tình huông đê thây các khăng định i) vàii) đêu sai.
Xét hàm

f x

1 khi x R \ 0

1

khi x 0

. Hàm sô này không liên tục tại 0.

8


Ta có f ( 1). f (0) 0, f (0). f (1) 0 và ôđ thịcủa hàm sô không có iêmđ chung
vơi Ox. Chọn D.
3.2. Xét thiêu trường hơp hoặc quên điều kiệệ̣n
Vídụ 9:Tâp hơp cac sô thưc m đê ham sô y
A.R\ 1.

B. R

Lời giải: Ta có y ' mx 2

mx

3
2
3 (m 1)x 4x 1 co cưc tri la

C. R\ 0;1.

D.R\ 0.

2( m 1) x 4

Xét m 0, y ' 2 x 4

đổi dấu khi qua x=2 nên hàm số có cực trị

Xét m 0, ' ( m 1) 2

0 m 1

Chọn A
Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm ' 0 m
Phương án C: Học sinh quên không lấy kết quả m=0
Phương án D: Học sinh quên không lấy kết quả m=0 và nhầm ' 0 m
Vi du 10: Với giá trị của tham số

m thì phương trình 9 x 2 m 1 3 x 6 m 3 0

có hai nghiệm trái dấu?
A. m 1.
B. m 1 .

C. m

1 .

2

D. 1 m 1
2

2

.

Lời giải:
t2 2m 1 t 6m 3 0

*

Đặt 3 x t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 14444444424444444443
f t

Yêu cầu bài toán

*

có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0 t1 1

' 0
t t
1

0

1

2

t1 .t 2

(t 1)(t

2

0
2

m 1

Chọn D

1) 0

1

(hoặc có thể áp dụng

f (0). f (1) 0

1 m 1)


.

t2

Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh thiếu điều kiện phương
trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương.

9


Phương án B: Học sinh nhầm điều kiện 2 nghiệm ẩn x trái dấu thành 2

1
nghiệm ẩn t trái dấu- tức là chỉ giải: 6 m 3 0 m 2 , đây là sai lầm mà tương đối

nhiều học sinh mắc phải.
Phương án C: Tương tự phương án B, đồng thời nhớ sai điều kiện 2 nghiệm thành cùng dấu.

Ví dụ 11: Sô đương tiêm cân đưng cua đô thi ham sô y

A. 3.

B. 2.

x 3 2 sin x

la

x2 x
D. 1.

C. 0.

Mâu sô co hai nghiêm phân biêt la 0 va 1 nhưng đô thi không co đương tiêm
cân đưng vi:
lim x 3 2
sin x
sin
x 3 2
3 khac vô cưc;
x
lim

.
2
x 0
x2 x
x 0 x
x 1
lim x 3 2
sin x
sin
sin1
x 3 22
x
x 1
lim
khac vô cưc.
x 1x 3 2
4
x2 x
x 1x
Chọn C
Chú ý: Đối với hàm phân thức thì x=a là nghiệm của mẫu thức nhưng không
là nghiệm của tử thức, khi đó đường thẳng x=a mới là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vi du 12: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
y
x 3 3 x 2 3 m 2 1 x 3m2 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
khoảng cách giữa các điểm cực trị đó không vượt quá 30 13 . Số phần tử của tập
hợp S là
A. 7.
B. 4.
C. 6.

D. 5.
2
2
Lời giải: Ta có y ' 3 x
6x 3 m 1.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
m 0.

Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
A 1 m; 2

2 m 3 , B 1 m; 2

2m3 .

Từ giả thiết ta có AB 30 13 2 m 2 4 m 6 30 13 4 m 6 m2 2925 0 m 2 9 3 m 3 .
Kết hợp với điều kiện ta có S

3; 2; 1;1; 2;3 .

Do đó phương án đúng là C.
Phân tích phương án nhiễu.
10


Phương án A: Sai do HS không đối chiếu điều kiện m 0 .
Phương án B : Sai do HS giải sai bất phương trình m 2 9 0 m 3 và không đối chiếu
với điều kiện m 0 nên tìm ra được 4 phân tử. Hoặc sai do HS hiểu sai
điều kiện không vượt quá thành AB 30 13 và có đối chiếu với điều kiện m

0.
Phương án D: Sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành AB 30 13 và
không đối chiếu với điều kiện m 0 .
Ví dụ 13 : Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng ACB một số tiền
như nhau với lãi suất 0,45%/tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay
đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một
lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng ACB để sau 3 năm
gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?
A. T 10050000.
B. T 25523000.
C. T 9493000.
D. T 9492000.
Lời giải: Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng). Đặt r =
0,45%.
Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T1 T T.r T. 1 r .

Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T

T. 2 r

T. 2 r .r

T. r 1 2

r 1 .

2

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng
gửi tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
Tn T 1 r n

1 rn1

...

1 r

.

T
Dễ dàng tính được Tn r . 1 r . 1 r n 1 . Suy ra
số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là
Ln T n T n

T
r .1 r . 1 r

n

1

Tn.

Theo giả thiết, ta có n 36,L36 30 000 000. Suy ra T 9 493 000. Chọn C
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng.
Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề

bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu
đồng nên tìm được T = 25 523 000.
Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn T = 9 492 000.
Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m để hàm số y = 3- x - 3
3- x - m

nghịch biến trên ( - 1;1
A. m > 3.

).

B. m < 3.

1

C. m £

1

.
3

D. m <

.
3
11

Li gii: Xet ham sụ y = 3- x - 3
3- x - m
ổ

ử

1

t t = 3- x do x (0;1) nờn t ẻ

-m+3

ỗ3

;3ữ

ố

ứ

t- 3

yÂ
y= t-m ;
=( t - m 2
Ta cú ham s t = 3 nghich biờn trờn ( - 1;1
)

)

-x

3- x - 3

Do ú: Ham sụ
y=

t-

3

ù

ù

ùm

ù

3-

x-m

nghich

ụng biờn trờn khong

t- m
ỡ- m + 3 > 0
ổ

ử
ù
K:ớ

y=

1

ẽ

;3

ỗ3 ữ

ợù

biờn trờn khong

ố

ổ
ỗ
ố

ử

1

3

ứ

;3ữ

ứ

(

- 1;1

) khi hm s


ì
ï m<3

ï é
ï
Û

ï
í

1

ê

Û m £1

ïê

ï

êm ³

î

ë

ï
ï

ï

ê

3

3

3

m£

Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh nghĩ rằng chỉ cần y’ âm,
đây là sai lầm mà rất nhiều học sinh mắc phải.
Phương án B: Học sinh có suy nghĩ tốt hơn, xong lại quên điều kiện mẫu
số khác không
Phương án D: Học sinh lấy điều kiện chặt( dẫn đến sai)
Chú ý: Cho hàm số y f (u ( x )) xác định trên K, hàm số t u ( x ) xác định trên J, có

tập giá trị T. Nếu hàm số t u ( x ) đồng biến trên J, thì hàm số y f (u ( x )) đồng
biến(nghịch biến) trên K khi hàm số y f (t) đồng biến(nghịch biến) trên T. Nếu
hàm số t u ( x ) nghịch biến thì ngược lại.
Vi du 15: Sô nghiêm thưc cua phương trinh log2 (x2 3x) 2
0 la
log2 x
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Nêu hoc sinh chi chu y đên điêu kiên x > 0 va giai phương trinh

log ( x 2 3 x ) 2 0,

co 2 kêt qua la x 4 (không thoa man x > 0) va x = 1 thi chon
phương an B. Tuy nhiên, x = 1 không thoa man điêu kiên mâu sô khac 0. Vi vây
phai chon phương an A.
Ví dụ 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y 3 x 3 mx 2 ( m 2 4) x 3 đạt cực đại tại x 3 .
2

A. m 1;5 . B. m 1.
Phương án đúng là C:

C. m 5 .

D. m 7 .

12

1
Hàm số y 3 x 3 mx 2 ( m 2 4) x 3 có y ' x 2 2 mx m2 4 và y '' 2 x 2m . Điều kiện

cần để hàm số đạt cực đại tại x 3 là
2

m
1

y'3
0
m
6m
5
0

m

.

5

Thử lại: với m 1 thì y '' 3 2.3 2 4 0 nên hàm số không đạt cực đại tại x 3. Với m 5 thì
y '' 3 2.3 10 4 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 3. Vậy giá trị

cần tìm là m 5.
Phương án nhiễu A: Học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại
x0 là y ' x0 0 mà không dùng điều kiện đủ để kiểm tra lại.

Phương án nhiễu B, D: Học sinh không biết cách giải quyết nên chọn bừa.
Ví dụ 17: Tìm m để
phương trình 1 + 3sin 2 x cos 2 x - m cos 2 2 x = 0 có nghiệm
m

æ ö
thuộc khoảng ç0;

.

÷

è 4ø

A. m >1 .

B. m ³ 1 .
æ ö

Lời giải: Do x Î ç0;

D. m ³ - 5 .

C. 1 < m <5 .
æ ö

÷ nên 2 x

è 4ø

Î ç0;

4
÷, vì vậy

è 2ø

2

2

1 +3sin 2 x cos 2 x - m cos 2 x = 0 Û tan 2 x +3 tan 2 x = m - 1.

Yêu cầu bài toán đưa về tìm m để phương trình t 2 +3
t

Dùng bảng biến thiên ta được m >1 , chọn A.

1 m có nghiệm dương.
+=

Phân tích phương án nhiễu:
Phương án B: nhầm lẫn giữa chọn mút và không;
Phương án C: nhầm giữa
và x nên tìm điều kiện phương trình t +3t
2
2
có nghiệm t Î (0;1) ;
x

Phương án D: chỉ dùng điều kiện ³ 0 .
Ví dụ 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình
2
3 = 6 có hai nghiệm?
log 3 ( x +3) + m log
2

2

x +3

1 m


A. 3.
B. 4.
Lời giải đúng:
Phương trình đã cho tương đương với
2

log 3 ( x +3) +

C. 5.

m
2

log 3 ( x +3)

- 6=0.

D. 8.

(1)

Đặt t = log 3 ( x2 +3) , khi đó phương trình trở thành
2

- t +6t = m .

(2)

Nhận xét:

13


+ Ta có t = log 3 ( x2 + 3) ³ 1;
+ Với mỗi t >1 , ta giải ra được hai nghiệm x , riêng t =1, ta giải được một
nghiệm x = 0 .
Do đó, để (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm t >1 , nghiệm
còn lại nếu (nếu có) phải nhỏ hơn 1. Dùng bảng biến thiên ta giải được m <5 hoặc
m = 9 , suy ra có 5 giá trị m thỏa đề bài, chọn C.
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án D: HS chỉ hiểu đơn giản để (1) có hai nghiệm Û (2) có hai nghiệm
Û >0;
Phương án A: biết đến điều kiện t >1 nhưng chưa nắm được quan hệ giữa số
nghiệm t và số nghiệm x ;
Phương án B: giống phương án A nhưng điều kiện t ³ 1 .
Vi du 19: Sô nghiêm thưc cua phương trinh 2log 2 3 x 2 log2 x2 la

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Vi co hê sô 2 ơ vê trai nên hoc sinh co thê nghi ngay đên công thưc log 2 x 2
2log2 x khi x dương, hoc sinh biên đôi vê 3 x 2 x x 1. Gia tri nay không thoa man

điêu kiên đê co thê thưc hiên đươc công thưc log 2 x 2 2log 2 x, hoc sinh co thê
kêt luân phương trinh đa cho vô nghiêm.
Sai lâm ơ đây la hoc sinh đưa ra điêu kiên mơi x > 0 đê biên đôi va lam mât
nghiêm. Lơi giai đung như sau:
3x 2 0
log2 x2

2log2 3x 2

x2

log
2
3

x
x

3x

0
2

x2

8x

2

3x 2

2
3

x
2

0

x0
2
12x 4 0

2

log

2

x2

1
x .
2

Chon B. Hoc sinh cân phai canh giac vơi nhưng biên đôi dân đên phương
trinh mơi co tâp xac đinh khac tâp xac đinh cua phương trinh ban đâu.
2 b 200 . Hỏi có
Ví dụ 20: Cho a2018
là một số thực dương và b là một số nguyên, bao nhiêu cặp số a,b thỏa mãn
điều kiện logb a
logb a2018 ?

A. 198

B. 199

C. 398

D. 399


14


Lời giải sai: log b a 2018 2018 log b a

log b a 2017 2018 , tức là bỏ mất trường hợp

log b a 0

, từ đó dẫn đến chọn đáp án B.
Lời giải đúng : Ta có
log b a 2018 log b a 2018 log b a 2018

a 1

log b a

log b a 0
2018logb a log b a 2017 2018

a 1
2017

2018a b2017 2018

.

Do a là số thực dương nên với mỗi số nguyên b thỏa mãn điều kiện 2 b 200
thì sẽ tạo ra một cặp số a; b thỏa mãn yêu cầu đề bài
Do vậy có 2

200 2
1

1 398 cặp. Vậy ta chọn C

3.3. Biên đổi sai biêu thưc hoặc tinh toan sai

Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A 2;1; 3 ,B 1;0; 1 và đường thẳng d : x 1
y 2 z . Đường thẳng
1

2

vuông

1

góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong
các vectơ dưới đây?
A. u1 1; 5;3 .
B. u2 1;5;3 .
C. u3 4; 2;3 .
D. u4 3;11;5 .
Lời giải đúng: Ta có AB1; 1;2
và đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
u 2; 1;1 .

Ta có AB , u

1;5;3

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . Chọn B

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng d1
là u1 ;u2 . Lúc này đường thẳng có vtcp u u1 ;u2

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai AB , u

và d2 có vtcp lần lượt

.

1; 5;3 do sắp xếp sai thứ tự trong

công thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa
độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể : u
1; 2; 0 là một vectơ chỉ phương của d.
Suy ra nhận vectơ AB , u 4; 2;3 làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB
tọa độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể nhận vecto
vectơ chỉ phương.

3;1; 4 nên tính sai
AB , u

3;11;5 làm một


15


Ví dụ 22: Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số
y x 2 mx 6 3 2 xác định trên .

A. 9. B. 5. C. 10. Lời giải: Hàm số y x 2 mx 6 3 2

D. 6.
khi và chỉ khi

xác định trên
x 2 mx 6 0, x

m 2 4.1.6

0

2 6

m

2 6.

Suy ra các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu
bài toán là
4; 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 . Vậy số 9 có giá trị nguyên tham số m . Chọn A
Phân tích phương án nhiễu.
6 nên tìm
Phương án B: Sai do HS tính sai biệt thứcm 2 6 06 m
được 5 giá trị .
0;26,
Phương án C: Sai do HS đếm sai. Cụ thể là có 5 số nguyên thuộc
6 có 10 số

khoảng 2 6; 2 6 là khoảng đối xứng nên trong khoảng 2 6; 2

nguyên.
Phương án D: Sai do HS giải sai như phương án B nhưng đếm sai như phương
án C.

Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa y xa
-Với nguyên dương, tập xác định là
;

tùy thuộc vào giá trị . Cụ thể

- Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0
- với không nguyên, tập xác định là 0;.

;

. Gọi

là góc giữa đường thẳng

Ví dụ 23: Cho hình lập phương ABCD.A B C D

AC’ với mặt phẳng ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

2
.

B.

C.

3 .

4
4
6
Lời giải: Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC '
9

2
.
9

D. 96 .

trên mặt phẳng ABCD .
Lại do CC ' ABCD

nên tam giác C ' AC vuông tại

C.

Suy ra AC ', ABCD
Ta có tan

CC '
AC

AC ', AC

2
2

6

C ' AC

..

2
9

Phân tích phương án nhiễu
Phương án A: Sai do HS tính được tan

2 và cho rằng
2

4

.

16


Phương án B: Sai do HS tính sai tan

AC

2

Phương án D: Sai do HS tính sai tan

AC '
CC '

3 nên suy ra

AC '

3

nên suy ra

.
4

3
6

Ví dụ 24: Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 2 ; 2

của phương trình

cos 3 x sin 3x
5 sin x

cos 2 x 3 .

1 2sin 2x

Giả sử M , m là phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập hợp S. Tính H M m .
A.H 2.
B. H 10 .
C. H 11 .
D. H 7 .
3

3

3

Lờờ̀i giải: Điều kiện 1 2sin 2 x 0.
cos 3 x sin 3x

Với điều kiện trên, ta có 5 sin x

1 2 sin 2x

cos 2 x 3

5. sin x 1 2sin 2 x cos 3 x sin 3x cos 2 x 3 1

2sin 2x
5 cos x cos 2 x 3 2 cos 2 x 5cos x 3 0
cos x

Vì x

1

2 x3

k2,k

.

nên ta tìm được các nghiệm là

2;2

5

;
3

5; m

Suy ra M

5

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS xác định sai m

11;
6

; ; 11
6 6

nên H 2 .

3
cos x 1 x

Phương án C: Sai do HS giải sai
nghiệm

; 5 .
3 3 3

10 . Chọn B
3

. Do đó H

3

3

;

k 2 , knên tìm được các
6

2
11 .

.Suy ra H

6

3

Phương án D: Sai do HS giải sai cos x 1

k 2 hoặc x

2
3
4 ; ; 2 .Suy ra H
3 3 3

5;

Do đó tìm các nghiệm là

x

3

2 k2 ,k .
3

7 .
3

3.5. Sử dụng máy tính casio
Tinh trang học sinh qua tin tương vao may tinh va yên tâm dung kêt qua
đươc tim nhơ may tinh cũng là một trong những sai lầm, khiến các em mất

điểm, đặc biệt là đối với bài toán tính tích phân hoặc tính giới hạn .
100

Ví dụ 25: Tính tích phân

I

4 x -1

2x

dx.

1

0

17


A. I

2100

100.ln 2 1

B. I

ln 2

C. I

2101 1
2.ln 2

D. I

1625
ln 2
2100 1
ln 2

Với bài toán này, nếu học sinh dùng máy tính để bấm thì kết quả ở phương án nào cũng đúng(do máy
tính làm tròn)
100

Lời giải đúng: I
0

4 x -1
2 x 1 dx

100

x

(2 1)dx (
0

2x

ln 2 x)

100

2100 100.ln 2 1
.
ln 2

0

Chọn A
Một số học sinh còn quá tin vào các ”bí kíp’’ casio trên mạng dẫn đến
không hiểu bản chất toán học, ảnh hưởng không tốt đến tư duy toán học.
Trên đây là một số sai lầm phổ biến mà học sinh mắc phải. Những sai lầm
này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen
làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan,
nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí
khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân.
Đê han chê những sai lầm trong giai toan trắc nghiệm, hoc sinh và giáo
viên cần chu y
 Hoc cân thân cac khai niêm, cac đinh li toan hoc. Chu y cac điêu kiên
liên quan trong môi mênh đê đung đa biêt đê không bi lưa khi câu hoi co
nôi dung gân giông vơi cac mênh đê nhưng điêu kiên đa thay đôi.
 Hoc cân thân cac mênh đê đung vê phương trinh tương đương, hê
phương trinh tương đương va bât phương trinh tương đương.
 Không ngô nhân kêt qua tông quat thông qua môt sô trương hơp riêng.
 Biên đôi biêu thưc cân thân va tinh toan cân thân.
 Trong môt sô trương hơp, cân dung may tinh bỏ túi đê kiêm tra lai kêt
qua, chứ không quá phụ thuộc vào máy tính.
 Vơi loai câu hoi trăc nghiêm co 4 phương an gôm 1 phương an đung va

3 phương an nhiêu như hiên nay, cân kêt hơp ca viêc loai trư phương an
nhiêu đê tim ra phương an đung.
 Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người
giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn
thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi
làm bài. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự
phản biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai lầm mắc
phải.
4. Hiệệ̣u quả của sáng kiến kinh nghiệệ̣m.

18


Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A3, Lớp đối chứng là 12A10trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá
trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôi
thấy rằng:
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề
thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia.
Kết quả thu được như sau :
Điểm 1-3
3.2-4.8 5-6.4
6.4-7.8 8-8.8 9-9.8
10
Tổng
Lớp
số
12A10

6

10

14

9

6

0

0

45

12A3

0

6

18

12

8

1

0

45

C. KẾT LUẬN
1. Kết luận.
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải toán trắc
nghiệm có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy- học vì khi áp dụng sáng kiến này
sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật

19