SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ

Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

0


THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Mục
1. Mở đầu.
1.1.Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1Cơ sở lí luận
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3.Nội dung SKKN
2.3.1.Các giải pháp chung

2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện

Trang
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5

2.3.3. Nội dung thực hiện
2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ

5
5

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về khoảng cách

6

và góc
*BÀI TOÁN 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
*BÀI TOÁN 2 .Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng
chéo nhau
2.4. Hiệu quả của SKKN

3. Kết luận-Kiến nghị
3.1.Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ
loại C trở lên

6
10
16
17
17
17
19
20

1


1- MỞ ĐẦU:
1.1.Lí do chọn đề tài:
-Trong chương trình toán THPT, “ Hình học không gian” là một bộ môn tương
đối khó , bởi nó đòi hỏi phải vận dụng rất nhiều kiến thức tổng hợp cả trong mặt
phẳng - không gian và cả kĩ năng tính toán. Hơn nữa để có thể học tốt môn học
này thì học sinh phải vẽ được hình. Tuy nhiên đối với một số bài toán hình học
không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách
trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh, Khoảng
cách - góc là một trong những bài toán như vậy
- Trong những năm gần đây, câu hình học không gian trong đề thi Đại học, cao
đẳng tuy không được đánh giá ở mức độ khó nhưng vẫn là thử thách đối với học

sinh nên các em thường có tâm lí hơi sợ câu hỏi này, đặc biệt là một số em bị
hổng kiến thức hình học ở lớp dưới. Lí do vì các em này không có kỹ năng tốt
trong việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính.
- Thông thường các bài toán về khoảng cách -góc giải bằng phương pháp hình
học thuần túy đều đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ trên hình
để tìm ra khoảng cách -góc cần tính. Nhưng đây lại là điểm yếu của một bộ phận
không nhỏ học sinh
-Phương pháp véctơ có thể giải một số bài toán về khoảng cách - góc mà
không cần vẽ thêm đường phụ nào, không phải xác định khoảng cách-g óc
trên hình nên có thể giải quyết vấn đề này cho học sinh.
Vì vậy tôi đã chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ”.
1.2.Mục đích nghiên cứu:
-Giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho
học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian ,không còn "sợ
hình" đặc biệt là các bài tâp về góc và khoảng cách .
-Giúp học sinh giải được tốt hơn bài tập về khoảng cách - góc mà không cần vẽ
thêm đường phụ.
-Cung cấp thêm cho học sinh khá giỏi một ứng dụng mới của phương pháp
véctơ vì biết một vài phương pháp giải vẫn là chưa đủ. Từ đó tạo hứng thú
tìm tòi khám phá thêm các cách giải mới cho những học sinh có khả năng
học tốt hơn nhằm phát triển tư duy cho các em.

2


1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng phương pháp véctơ và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập .

1.4.Phương pháp nghiên cứu:
-Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi
tìm tòi đúc rút kinh nghiêm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm.
-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình
hiệu quả áp dụng cúa SKKN.
2.NỘI DUNG SKKN:
2.1.Cơ sở lí luận
a- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
ĐN:Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng(P) là khoảng cách từ điểm đó đến
hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng(P).
Từ đó:
+Nếu M có hình chiếu vuông góc trên mp(ABC) là N thì
+Khoảng cách từ M đến mp(ABC) là

MN

MNAB

MNAC

MN.AB

0

MN.AC0

b-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ĐN: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
+Nếu P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) thì

P P u1
P P .u1 =0
1

2

1

2

<=>
P P u2
1

=0
P1 P2 .u2

2

với u , u
1

lần lượt là véctơ chỉ phương của d1 , d2
, d2

2

+ Khoảng cách giữa d1

là

PP

1

2

c- Công thức tính góc giữa d 1 và d 2
Cos

u1. u2
.
u1 u2

3


2.2. Thực trạng của vấn đề:
-Trong những năm gần đây,bài toán khoảng cách -góc có mặt trong đề thi đại
học
,cao
đẳng
tương
đối
nhiều
,chẳng
hạn
đề
khối
B2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 …
-Thời lượng 2 tiết đối với bài "khoảng cách " được quy định trong phân phối

chương trình là hơi hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên cũng không có
nhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải bài tập về khoảng cách .
-Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình không gian lại càng sợ. Thêm vào đó
do nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi các bài toán phải vẽ
thêm đường phụ như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau là rất lúng túng và thường đầu hàng vô điều kiện.
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học về góc - khoảng cách ,trong
một lớp chỉ có khoảng 10% số học sinh có thể giải được bài tập, 20% -> 25%
giải được sau khi có hướng dẫn, gợi ý, còn lại đa số học sinh rất lúng túng,
không xác định được phương hướng giải.
-Phương pháp véctơ có thể tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phảng
mà không cần dựng được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng; khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần vẽ chính xác đoạn
vuông góc chung, cũng không cần xác định thêm các khoảng cách trung
gian khác như khoảng cách giưã đường thẳng và mặt phẳng song song hay
giữa hai mặt phẳng song song…ngoài ra cũng tính luôn được góc giưã
chúng mà không phải vẽ thêm đường phụ nào.
Do đó để giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ
hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian về
góc và khoảng cách, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học sinh
giải một số bài toánhình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương
pháp véctơ”.
2.3. Nội dung SKKN và các giải pháp
2.3.1-Các giải pháp thực hiện:
Khi giảng dạy trên lớp, ngoài những phương pháp tính khoảng cách và góc
bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp
véctơ để phần nào giải quyết khó khăn về vấn đề xác định khoảng cách và góc
cần tính bằng hình vẽ trực quan cho các em.Vì vậy tôi đưa ra giải pháp như sau:
*Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức về véctơ đặc biệt là :
+ Công thức tính độ dài véctơ, góc giữa 2 véctơ.

+ Biểu diễn một véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng.

4


+ Các phép toán véctơ, đặc biệt là tích vô hướng.
*Tổ chức rèn luyện kỹ năng định hướng giải các bài toán liên quan đến khoảng
cách -góc:
+Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Bài toán 1: Tính khoảng cách -góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện:
Nội dung SKKN được triển khai thông qua 3 tiết:
Tiết 1:Ôn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết .

+quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ.
Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt phẳng và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
+ Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách-góc
giữa hai đường thẳng chéo nhau và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
Tiết 3:+Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập.
+Nhận dạng bài toán tính khoảng cách-góc có thể giải được bằng phương
pháp véc tơ. (hình đa diện có các góc phẳng ở đỉnh nào đó đã xác định và biết độ
dài các cạnh của các góc đó)
2.3.3-Nội dung thực hiện:
2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ
Bước 1: Chọn hệ véctơ cơ sở, biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo
ngôn ngữ véctơ.
Bước 2 : Thực hiện yêu cầu bài tập thông qua việc biểu diễn các véctơ cần xét
theo hệ véctơ cơ sở, biến đổi các hệ thức theo yêu cầu bài toán.
Bước 3: Từ kết quả bằng véctơ suy ra kết quả hình học tương ứng.

Lưu ý:
+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ
chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài) Từ đó tính tích
vô hướng của các véctơ cơ sở dễ dàng.
2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánvề khoảng cáchvà góc
*BÀI TOÁN 1. . Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho mp (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) .
Phương pháp giải:
+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung
gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài)

5


Chẳng hạn :Đặt AB a , AC b ,
AM

c

Gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó : MN

AN AM ka lb c

. Do

nên

MN (ABC)

(ka

lb

c )b

0

(ka

Khi tìm được k,l ta có khoảng cách từ M đến (ABC) là

MN

=

lb

c )a0

(ka lb c )2

.

Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).
ASB SAC 90

Cho khối chóp S.ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a,

,

0

BSC 1200 . Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a.

a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a.
b,Chứng minh tam giác AMN vuông.
Hướng dẫn,phân tíchcâu a:
+Các góc phẳng ở đỉnh S đều biết và tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trước
nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: SA a , SB b, SC c thì tích vô hướng và độ dài các
véctơ này đều tính được dễ dàng.
+Muốn giải bằng phương pháp véc tơ chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết,
kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:
Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB)
Vì H là điểm thuộc mp(SAB) nên
SH k SA l SB ka lb
CH SH SC k a lb c

Mặt khác H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) nên ta có:
SACH

SA.CH0

SBCH

SB.CH0

S

Từ đó tính được k,l và suy ra độ dài CH.
Bài giải:
Trong tam giác vuông SAC ta có:

c
b

0

SA 1
cos ASC SC 2 ASC
Đặt SA a , SB b, SC c

. N

a

60

M .
2

16a

2

Ta có: a 4a 2 ,b 2 9a 2 , c 2
và a.b 0,b.c 6 a 2 , a.c 4a2
a,Gọi H là hình chiếu của C trên mp (SAB) thì

C

B

SH k SA l SB ka lbCH SH SC k a lb c
A

k 1

và
0

k .4a 2

l .0 4a2

0

SA.CH

SB.CH

k .0l .9a

0

2

2

6a

0

2

l

3

2
CH

a

2

2

CH

3

4a

bc
4

2

16a
9.
9a

2

2

2.

3 .0 2.4a

2

2
2. 3

. 6a

2

2

8a

CH 2a

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là CH 2a 2 .

2

6


2

b, Ta có SM

3

1
b, SN

SA a
1
SN SA a
c
2

2c .
2

Suy ra AM SM
AN

Từ đó: AM . AN 4 a 2
Vậy AM

b,

3

1
1 2
2
0 .4 a 2 . . 6a
2 3
2

0

AN , tức là tam giác AMN vuông tại A.

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Góc ABC BAD 900 , BA=BC=a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn,phân tích:
Các góc phẳng ở A đều biết và bằng 90o ,AB,AD, SA có độ dài cho trước nên
nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: AB a , AD b, AS c
thì tích vô hướng và độ dài các
S
véctơ này đều tính được dễ dàng.
Bài giải:
c

Đặt AB a , AD b, AS c
Ta có: a.b b.c c.a 0

b

1

SB a c , SC a

b c , SD b c

2

H

Gọi K là hình chiếu của H trên mp (SCD)

A

d ( H ;( SCD )) HK

a
SH
SB

Dễ dàng tính được
HK

2

HS SK

D

S
3B

2

2

k SC l SD k

C

B

3 Khi đó :

3

k

a

2

l b

2
3

k

l c
56

2

k

Ta có:

HK

SC 0

HK SD

0

3

HN

6

a

1
12

b

1
6

c HK

1k
a 2
l b
2

2

2

2

k
2

1

2

2

l b

1
6

1
a

2

2

b c

2

0

k

0

1

3

2

k l c

3

3k l c

l

a
3

.

a

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là 3
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh
bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).


7


S

Bài giải:
a) Đặt AS a , AB b, AD c
a2

2

và a.b b.c c.a 0

Ta có: a 3a 2 ,b 2 c 2

Khi đó: AC AB AD b c ,

a b , BC c ,

SB AB AS
SO AO

AS

a

1

1

2b

2c

c
D

G.

H thuộc mặt phẳng (SBC) thì
SH k SB l BC

ka kb lc
k

1

OHSHSO

a

1
2b

k

b

1
c
2

l

C

O

A

Nếu H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC) ta có:
2

OH.SB 0

OH.BC

OH

1

0

a

8

k
1 k .3a
1 2
l
. 0
a
2
2
3
3
2
b OH
a
8
16

1 . 20
2 a

k

7
8
1

l

OH

a 3

2

.

4
1

b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB AG

3

Suy ra: GK

AK

AG m

n

1
b
3

1

AS AB

K thuộc mặt phẳng (SAC) AK m AS n AC m AS n
1
3a

B

a

3

a

1b

3

AB AD ma nb nc

nc

Nếu K là hình chiếu của G trên mặt phẳng (SAC) ta có:
m

AS.GK 0

AC.GK 0

Khi đó GK

n

1

b

6

1
3
1

.3a 2

0

m 1
3

2

1

3 .a na 0

n6

1

6

2

c GK

2

2
1 a 2 1 a 2 2. 1 . 1
.0 2 a
36
36
3 6
36

GK

a 2
6

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) là

a
GK
7.
6

Ví dụ 4 :Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh
SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính khoảng
cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp.
Bài giải:


8


Chọn

hệ

véc

tơ

cơ

S

sở

SA a; SB b; SD c

D

Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp. N
là hình chiếu vuông góc của điểm A trên
đường thẳng BD.
AN

DN

DA xDB DA

a

xb ) (1

C

A

N

x)c

Do AN DB

B

AN .DB 0a xb (1 x ) c ( b c) 0
(17x 1) 8(x 1)cos 0
2

4 17x 2 2x 13
Mặt khác: AN 2
AN
Từ (1) và (2) ta được x 7 .Vì vậy : cos

8(x

1)2 cos

0 (2)

55
64

9

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) .Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên
1
3

SO

SO

SA SB SC
1
3

2

AB

a b 4c
2

b a

1
a
3
2
1
3

b 4c
48 96cos

1 58 (Nếu muốn tính cạnh đáy thì ta có
2

9
2

Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp là

58

2

Bài tập tương tự:

Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB 2a 3 và
SBC 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC) theo a.
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
0

BAD 60 . Các cạnh bên SA SC , SB SD a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (SBC).
* BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Đường thẳng d1 đi qua A1, có véctơ chỉ
phương u1 . Cho đường thẳng d2 đi qua A2, có véctơ chỉ phương u2 .Tính khoảng
cách và góc giữa d1, d2.
Phương pháp giải:
*

Tính khoảng cách giữa d1 và d2


9


Gọi P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2)
P1P2 P1 A1

A1 A2 A2 P2

PP

1 2

x u1

A1 A2 yu2

(

u

1

x u1A1 A2 yu2

<=>

(

P 1P 2 u 2
Giải hệ tìm x, y → P1P2=

x u1 A1 A2

=0

)u

)u

yu2

1

=0

2

( x u A A yu )2
1

1

2

2

* Tính góc giữa d1 và d2 : chỉ cần dựa vào biểu diễn u1 , u2 theo hệ véctơ cơ sở
ta tính được u1

,

.u2

,

u1

u2

. Từ đó:

Cos

u

1

u1

. u2
.

u2

Bình luận:
+Nếu bài toán yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung của d1 và d2 thì với
x,y ở trên ta cũng tìm được P1, P2 dựa vào hệ thức :
PA
1

1

AP
2

2

xu

1

y u2

+Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách này ngắn gọn
hơn cách xác định góc trên hình rồi tính bằng hệ thức lượng trong tam
giác nhất là với các bài toán cho nhiều đại lượng độ dài như a, b,h …
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BD BC, AB (BCD). AB=1, BC=BD, CD= 2 2
.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính khoảng cách và góc giữa
AM và BN.
Hướng dẫn,phân tích:
*Các góc phẳng ở đỉnh B đều biết và bằng 90o , BA,BC,BD có độ dài cho trước
nên nếu chọn hệ véc tơ cơ sở là: BC a , BD b , BA c thì tích vô hướng
và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng.
a.b b.c

a.c 0 ,

a.a b.b 4

,c

2

A

1
E

Muốn giải bằng phương pháp véc tơ

chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết
kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:
Gọi EF là đường vuông góc chung
của AM và BN(E AM, F BN)

B

D
M

F

N

C

10


+ M là trung điểm của BC

=>

BM

+ N là trung điểm của CD

=>

BN

+E AM

=> x để AE

+F BN
+EF AM
+EF BN

y

=>

x AM

để BF

y BN

=>EF.AM

0

=> EF .BN

0

+ Độ dài EF:

1

BC
2
1
(BC BD)
2

EF
EF 2

+ Góc giữa AM và BN :

Cos(AM,BN)=

AM .BN
AM .BN

Bài giải
*Chọn hệ véc tơ cơ sở { BC; BD; BA }

Đặt:

BC a

, BD

b

,

BA c

+Tính tích vô hướng của các véc tơ cơ sở
a.b b

0,

.c a.c

a.a b.b 4 , c 2 1

*Ta có:
1
AM BM BA

là véc tơ chỉ phương của AM

2ac

1

1 1
(BC BD)

BN 2

2a

2

là véc tơ chỉ phương của BN

b

(E AM, F BN)

Gọi EF là đường vuông góc chung của AM và BN
1
AE x AM

2 xa x c
1

BF y BN

2 ya y b
1

EF EA AB BF

EF.AM

0

1

2 ( y x)a
1
[2

<=>

1

EF .BN 0

[2

y 2x 1 0

=>

2y x 0

=>

2 y b (x 1)c
1

( y x)a 2
1
( y x)a 2
x 2
3
y 1

1

y b (x 1)c][ 2 a c ] 0
1
1
y b (x 1)c ][ 2 a 2 b

] 0

3
1 1

=>

EF

6 a

6b

1
3c

11


Từ đó ta có:
1

*

1

1

AM .BN ( 2 a c)( 2 a

mà

AM

2

Kết luận:

, BN

1

3

Cos( AM , BN )

3
3

1

1
2

là khoảng cách giữa AM và BN.

3

1

2

2

1

2

2. 2

=> EF

3

1
1
b
6
3c)

2 b) 4 a
4 .4 1
Cos( AM , BN )

2

3

EF

1
( 6a

EF 2

EF

=> (AM,BN)

600

Nhận xét: nếu BT yêu cầu dựng đường vuông góc chung ta xác định được ngay
2

1

E,F vì AE 3 AM và BF 3 BN
Ví dụ 2 :Đáy của hình chóp SABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh
bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
cạnh BC và AB. Tính khoảng cách và góc giữa SM và CN.
Bài giải:
* Chọn hệ véc tơ cơ sở { CA; CB; CS }
CS c
Đặt: CA a , CB b ,

S

(Tính tích vô hướng-Xem bảng bên)

Ta có :

P

1
SM

CM CS

2

A

1
CN

2

(b 2c)

(a

b)

C
N

Q

M

B

* Tính khoảng cách giữa SM và CN
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của SM và
CN (P SM, Q NC)
PQ PS SC CQ=

x

=

2

xSM SC y CN

y
(b 2 c) c

2

1
((a b) =

PQ SM
PQ CN

2

[ ya (x y) b (2x 2)c

]

PQ.SM 0

<=>

PQ .CN

0

12


1

1
(x y) b (2x 2)c ]. 2 (b 2 c)

2 [y
a
1

<=>

2

1

[y
a

x 2y 0

<=>

(x y) b (2x 2)c ]. (a b ) 0
2

x= 2
<=> y=

3x 3 y1

0

1

3

1

=>

PQ

6 (a b

2c ).

3
2

1

2 3
3

(a b 2c )

PQ 6

* Tính góc giữa SM và CN
Cos(SM,SN)= SM .CN
SM .CN

12

2 3.2 6

=> (SM,CN)=450

2
2

2 3

Kết luận:Khoảng cách giữa SM và CN bằng 3 .
Góc giữa SM và CN bằng 450
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD và SABE có chung cạnh AB nằm trong 2 mặt
phẳng vuông góc với nhau. Biết AB=a. Tính khoảng cách và góc giữa AC và
S

E
SD.
Bài giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở { AB; AD; AS }

Đặt:

AB a

, AD

b

,

AS c

A

Ta có:
a

b

c

a

B

J

a.b b.c c.a 0

I

* Gọi IJ là đường vuông góc chung của AC và SD

C

(I AC, J SD)
IJ IA
Mặt khác:

AS SJ

D

x CA AS y SD

CA CB BAa b

SDAS AD c b
IJx(a b ) c y( c

IJ

AC

IJ

SD

<=>

b )xa

(y

x)b

( y 1)c

IJ.AC 0
IJ

. SD

0

Thay vào ta được hệ phương trình:

xa2

( y x)a2

(y

x)a2

(y

0
1)a2

0


13


y 2x 0

x

=>

=>

y

2y x 1 0

1

1

1
3

2

3

2

1

1

1

=> IJ 9 a2
→ Khoảng cách giữa AC và SD là:
IJ

3a

3b

3c

1

9a
IJ

2

9a

a

AC a

b )(b

2

3a

2

3

* Tính góc (AC,SD)
AC . SD (a

1

c) b2

a2

2 SD
AC.SD

Cos( AC, SD) =

AC.SD

a 2.a

(AC, SD) 600

1

a2
2

2

a

Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD bằng

.

3

Góc giữa AC và SD bằng 600
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA=a, CB=b,
SA=h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của AB.
a, Tính góc φ giữa AC và SD.
b, Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài giải

* Chọn hệ véc tơ cơ sở { AS; CA; CB }

Ta có:

h

h

.Đặt:

aa,

,

, CA

AS h

a

,

CB b

S

bb

M

h.a a.b b.h 0

1
DS

DA

AS AD h
1

1

2 BA

2

1

a, Ta có:

DS .CA a

DS.CA
Cos

=

2

A

(b a)

B

D

N

1
(CA CB)

2 (a b )
1
12
( 2 a 2 b h)
2a
2
1a

C

a

2
DS.CA

1

1

a 2 b h)2

a (2

a2 b

2

4h

2

b, Gọi MN là đường vuông góc chung của SD và AC
=> MN (

MN MD DA AN x DS DA y CA
Theo giả thiết =>

MN

MN .SD 0

SD

1

1

2x

2

y)a (

1

1

2x

2 )b

xh

<=>

14


MN

AC

MN.AC 0
2

b (x 1) 4xh2
x 2y 1 0

Từ đó ta có hệ phương trình:

1

=> MN

MN

4h

2

( 2
2 b 4h

b

2

1
4h2

b2

x

Giải hệ ta được:

2

4h4b2

0

b 2 4h 2
y

2h2
b2 4h2
b 2
)b 2
2 h
b 4h
b4h2

bh 4h
b2

2

b

2

4h2

Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD là:

bh 4h2 b2
b2 4h2

Góc φ giữa AC và SD thỏa mãn: Cos =

a
a 2 b 2 4h

2

Nhận xét: Do bài toán cho ba đại lượng a,b,h nên tính góc giữa SD và AC theo
cách này đỡ phải tính toán hơn khi xác định góc bằng hình vẽ rồi dùng hệ thức
lượng trong tam giác.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách và góc giữa BC’ và CD’
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có BC=a, AC=b, AA’=h. Tính khoảng
cách và góc giữa AB1 và BC1.
Bài 3: Cho lăng trụ đều ABC.A1B1C1, cạnh đáy bằng a. Các đỉnh M và N của tứ
diện đều MNPQ nằm trên BC1 còn các đỉnh P và Q nằm trên A1C
a, Tìm đường cao của lăng trụ.
b, Tính khoảng cách giữa BC1 và A1C.
Bài 4: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm tam
giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.
2.4.Hiệu quả của SKKN:
Trong các năm học từ 2013-2014 đến 2014-2015 ,tôi đã tiến hành thực
nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệp
đánh giá tương đối tốt .
Liên tục trong các năm học từ 2015-2016 đến 2018-2019 tôi thực nghiệm
với học sinh trong các tiết dạy tự chọn .Sau khi áp dụng phương pháp véctơ vào

15


giảng dạy ở một số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan. Với một số
bài toán mà các em không xác định được khoảng cách và góc giữa hai đường
thẳng chéo nhau, áp dụng phương pháp véctơ các em đã có thể giải được. Thậm
chí một số em còn cảm thấy thích thú với phương pháp này hơn.Cụ thể:

Lớp 11A5 và 11A4 năm học 2015-2016.
Lớp 11A3và 11A9 năm học 2016-2017.
Lớp12A2;và 11A2 năm học 2017-2018.
Lớp11A8và 11A2 năm học 2018-2019.
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như
sau:
Bài 1:
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
0

BAD 60 . Các cạnh bên SA SC , SB SD a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (SBC).
Bài 2: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm
tam giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.

Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài
12-15%

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1 bài
được bài
50-62%
23-38%

*Sau khi đã rèn luyện cho học sinh phương pháp véctơ thì vẫn 2 bài tập
đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài

72-76%

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1bài .
được bài
90-96%
3-5%

3.KẾT LUẬN -KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận:
- Do thời lượng của bài: “Khoảng cách” trong phân phối chương trình hạn
hẹp( 2 tiết), vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ
yếu là bố trí vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được
bố trí dạy vào các buổi ôn tập.
-Sau khi áp dụng nội dung SKKN trên lớp có thể định hướng cho học sinh giải
một số bài toán khác bằng phương pháp véctơ.

16


3.2.Kiến nghị-đề xuất:
-Phương pháp véctơ trong thực tế còn có nhiều ứng dụng rất lớn và có thể giải
được nhiều dạng toán khác nên tôi cũng mong muốn sau khi học thêm nội dung
này học sinh thấy hứng thú hơn với phương pháp véctơ trong quá trình giải toán.
-Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Tuy nhiên để đề tài được hoàn chỉnh hơn chắc chắn vẫn còn phải
tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân
tình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.

XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Người viết

Hà Thị Nguyệt

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.SGK,SBT,SGV hình học nâng cao 11.
2.SGK,SBT ,SGVhình học cơ bản 11.
3."Các bài toán hình không gian giải bằng phương pháp véc tơ"-Đặng Khắc
Nhân-Lê Đỗ Lập,NXBGD 1994
4."Quy trình giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc
tơ"-Nguyễn Văn Lộc NXBGD 1994.
5."Hình học 11-Ban KHTN-KT"-Văn Như Cương,Phạm Gia Đức, Vũ Dương
Thụy-NXBGD 1995
6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học của các
trường THPT,của các sở GD-ĐT trên cả nước.
7. Các đề thi Đại học của Bộ giáo dục và đào tạo.

18


DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC
HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT,
CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ
C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn
Kết quả
đánh giá
giá xếp loại xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
SỞ
GD&ĐT
C
Thanh hóa
Cấp đánh

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Phương pháp thể tích giải
một số bài toán hình học
không gian

2.

3.
4.
5.
...
------------------------------------

Năm học
đánh giá xếp
loại
2009-2010