Tự chọn nâng cao toán 8

Chủ đề 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Trên tập xác định của biểu thức f(x,y,..)

a. Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y,...)

nếu
( , ,...)f x y A≤
và có (x
0
; y
0
;....) sao cho
0 0
( , ,...)f x y A=
Ký hiệu Max
Af
=
b. Số B được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,...)

nếu
( , ,...)f x y B≥
và có (x
0
; y
0
;....) sao cho
0 0
( , ,...)f x y B=

Ký hiệu Min
Bf
=
2. Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số
- Tìm tập xác định của biểu thức
- Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng
( , ,...)f x y A≤
hoặc
( , ,...)f x y B≥
- Chỉ ra bộ số (x
0
; y
0
......) sao cho
0 0
( , ,...)f x y A=
hoặc
0 0
( , ,...)f x y B=
- Kết luận: Max
Af
=
khi x = x
0
; y = y
0
......
Min
Bf
=

khi x = x
0
; y = y
0
.......
3. Các kiến thức thường dùng
+
0
2
≥
x
, x ∈R. Tổng quát
[ ]
2
( ) 0
k
f x ≥
với  x
Từ đó xuy ra:
[ ]
2
( )
k
f x m m+ ≥
, x ∈R

[ ]
2
( )
k

M f x M− ≤
, x ∈R
+
0
≥
x
,x ∈R.
+
x x≥
, x ∈R. Dấu bằng khi x ≥ 0
+ |x| ≥ -x, x ∈R. Dấu bằng khi x ≤ 0
+
yxyx
+≤+

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
0
≥
xy
+
yxyx
−≥−
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
0
≥
xy
và |x| ≥ |y|
II. Các dạng bài tập thường gặp
§1. ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a.
57
−=
xA
1

b.
358
+−=
xB
Giải
a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số R
Ta có
057
≥−
x
Nên
.0
≥
A

0570
=−⇔=
xA

7
5
=⇔
x
Vậy min A = 0 khi

7
5
=
x
b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số R
Ta có:
058
≥−
x

3358
≥+−⇒
x
Nên min B = 3 khi
5
8
=
x
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
125
−−=
xD
Giải
Biểu thức D xác định với mọi
Rx
∈
Ta có
012
≥−
x

Nên
5125
≤−−
x
Vậy max D = 5, khi
2
1
=
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
20092008
−+−=
xxC
Giải
Biểu thức C xác định với mọi
Rx
∈
Áp dụng bất đẳng thức
yxyx
+≤+
Dấu bằng xảy ra khi
0
≥
xy
ta được

20092008
−+−=
xxC

xxxx
−+−≥−+−=
2009200820092008
Nên
1
≥
C
Vậy min C = 1 khi (x – 2008)(2009 – x)
≥
0
Tức
20092008
≤≤
x
Bài tập
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
1415
−−=
xM

b.
41
−+−=
xxN
c.
57
++−=
xxP
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a.
5312
−−=
xC
b.
32
1
+−
=
x
D
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a.
bxaxE
−+−=
với
a b
<
b.
5432
−+−+−+−=
xxxxF
c.
121
22
−++++=
xxxxM
§2. ĐA THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
263

2
−−=
xxA
2

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
343
2
++−=
xxB
Giải
a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số thực R
Ta có:
263
2
−−=
xxA

2)2(3
2
−−=
xx
55)1(3
2
−≥−−=
x
Do
0)1(
2
≥−

x
với mọi x, nên
5
−≥
A
1015
=⇔=−⇔−=
xxA
Vậy min A = -5 khi x = 1
b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số thực R
Ta có
343
2
++−=
xxB
2
2
2
)
3
2
(3
3
13
9
13
)
3
2
(3

)1
9
4
9
4
3
2
.2(3
−−=






−−=
−−+−=
x
x
xx
Do
0)
3
2
(
2
≥−
x
với mọi x nên
5

13
≤
B

3
2
3
13
=⇔=
xB
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây:
a.
449125
22
+−+−=
xyxyxC
đạt giá trị nhỏ nhất
b.
22
1624101015 yxyxxD
−+−−=
đạt giá trị lớn nhất
Giải
a. Biểu thức C xác định với mọi x thuộc tập số thực R
449125
22
+−+−=
xyxyxC

0)32()2(

)9124()44(
22
222
≥−+−=
+−++−=
yxx
yxyxxx
020
=−⇔=
xC
Và
032
=−
yx

2
=⇔
x
và
3
4
=
y
Vậy min C = 0
⇔
x = 2 và
3
4
=
y

b.
22
1624101015 yxyxxD
−+−−=

40)43()5(40
)16249()2510(40
22
222
≤−−+−=
+−−++−=
yxx
yxyxxx
Max D = 40 khi
4
15
;5
−=−=
yx
Ví dụ 3: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22222
22
++−++=
yxyxyxE
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
510242
22
+++−+−=
yxyxyxF
Giải

a. Biểu thức E xác định với mọi x thuộc tập số thực R
22222
22
++−++=
yxyxyxE
3)44()2221(
222
−+−++++++=
xxxyyxyxE

33)2()1(
22
−≥−−+++=
xyx
013
=++⇔−=
yxE
và
02
=−
x
3

Min E = -3
2=⇔ x
và
3
−=
y
b. Biểu thức F xác định với mọi x thuộc tập số thực R

)44(3)2221(18
222
+−−+−−++−=
yyyxxyyxF

18)2()1(18
22
≤−−−−−=
yyx

0118
=−−⇔=
yxF
và
02
=−
y
Max F = 18
3=⇔ x
v à
2
=
y
Bài tập
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a.
xxA
−=
2
b.

1144
2
++=
xxB
c.
53202
2
+−
xx
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a.
2
85 xxD
−−=
b.
145
2
+−−=
xxE
c.
2
1 xxF
−−−
3. Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
a.
7641210
22
++++=
xyxyxG
b.

20098
43234
++−+−−=
xxyyxyxxyxM
c.
yxyxyxC 33
22
−−++=
4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a.
152222
22
−−+−−−=
yxxyyxA
b. B =
22
912561 xxyyy
−−−+
§3. BIỂU THỨC CÓ DẠNG PHÂN THỨC
1. Phân thức có tử số là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
2 5
A
x x
=
− −
Giải
2 2

1 1
2 5 ( 1) 4
A
x x x
= = −
− − − +
Ta có
2 2
( 1) 0 ( 1) 4 4x x− ≥ ⇒ − + ≥

4
1
4)1(
1
2
≤
+−
⇒
x

4
1
4)1(
1
2
−≥
+−
−⇒
x
Vậy min

4
1
−=
A
khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
944
7
2
+−
=
xx
B
Giải
8)12(
7
944
7
22
+−
=
+−
=
xxx
B
Ta có
88)12(0)12(
22
≥+−⇒≥−
xx

4

8
7
8)12(
7
2
≤
+−
⇒
x

Vậy max
8
7
=
B
khi
2
1
=
x
2. Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa một nhị thức
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
)1(
1
+
++

=
x
xx
C
Giải
Biểu thức C có giá trị xác định với mọi
1
−≠
x
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
)1(4
)1(
4
3
)1(4
)1()1(3
)1(4
444
)1(4
)1(4
)1(

1
+
−
+=
+
−++
=
+
++
=
+
++
=
+
++
=
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
C
Vì
4
3

0
)1(4
)1(
2
2
≥⇒≥
+
−
C
x
x
vậy min
4
3
=
C
khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
2
)1(
+
=
x
x
D
Giải
Biểu thức D có giá trị xác định với mọi
1
−≠
x

222
)1(
1
1
1
)1(
11
)1(
+
−
+
=
+
−+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
D
Đặt
y
x
=
+
1

1
4
1
)
2
1
(
4
1
)
4
1
4
1
2
1
.2()(
2222
≤−−=−+−−=−−=−=
yyyyyyyD
4
1
=
D
khi
1
2
1
1
1

2
1
=⇔=
+
⇔= x
x
y
Vậy max
4
1
=
D
khi x = 1
3. Các phân thức khác
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
1
1
2
2
+−
+
=
xx
x
M
Ta có
2
1 3
1 ( ) 0
2 4

x x x− + = − + >
nên biểu thức M có giá trị xác định với
x
∀
∈ R
• Tìm giá trị lớn nhất của M
1
)1(
2
1
)12()1(2
1
1
2
2
2
22
2
2
+−
−
−=
+−
+−−+−
=
+−
+
=
xx
x

xx
xxxx
xx
x
M
Vì
2
2
1 0
( 1) 0
x x
x
− + >
− ≥
nên
2
1
)1(
2
2
2
≤
+−
−
−=
xx
x
M
Vậy max M = 2 khi x = 1
• Tìm giá trị nhỏ nhất của M

)1(3
)12()1(2
)1(3
)1(3
1
1
2
22
2
2
2
2
+−
++++−
=
+−
+
=
+−
+
=
xx
xxxx
xx
x
xx
x
M

3

2
)1(3
)1(
3
2
2
2
≥
+−
+
+=
xx
x

5

Min
3
2
=
M
khi x = -1
Bài tập
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a.
2
956
2
xx
P

−−
=
b.
12
683
2
2
+−
+−
=
xx
xx
Q
c.
12
1
2
2
++
++
=
xx
xx
S
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a.
544
3
2
+−

=
xx
K
b.
126
146
2
2
+−
+−
=
xx
xx
E
c.
22
4
)1(
1
+
+
=
x
x
F
§4. BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC
Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 1
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yxA
−=

2
2
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
+=
xyB
Giải
Do
xyyx 3113
−=⇒=+
ta có
a.






−+=−+=+−=−−=
16
17
)
4
3
(2)
2
1
2
3
(2312)31(2

2222
xxxxxxxA

8
17
)
4
3
(2
2
−+=
x
nên
8
17
−≥
A
Vậy min
8
17
−=
A
khi
4
3
−=
x
;
4
13

=
y
b.
)
3
1
3
(3131)31(
22
−−−=+−=+−=
x
xxxxxB

22
)
6
1
(3
12
13
36
13
)
6
1
(3
−−=







−−−=
xx
Nên
12
13
≤
B
vậy max
12
13
=
B
khi
6
1
=
x
và
2
1
=
y
Bài tập
1. Cho x, y là hai số thoả mãn điều kiện:
4
4
1

2
2
2
2
=++
y
x
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của x.y
6

2. Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện
1
22
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của x + y.
3. Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
33
yxP
+=
Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I. Phương trình bậc cao là phương trình có dạng: f(x) = 0 trong đó f(x) là một đa
thức bậc n
)2(
≥
n
đối với x
II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao.

1. Phương pháp đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
065
234
=−+−+
xxxx
Giải
[ ]
0)3)(1)(2(
0)1(3)1()2(
0)33)(2(
065
2
22
23
234
=++−⇔
=+++−⇔
=+++−⇔
=−+−+
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
*
202
=⇔=−
xx
*
303

−=⇔=+
xx
*
2 2
0 1 0x x≥ ⇒ + >
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
0120106194
234
=−+−−
xxxx
Giải
7

[ ]
[ ]
0)5)(4)(3)(2(
0)20)(3)(2(
0)3(20)3()3()2(
0)6020()3()3()2(
0)60232)(2(
0)2(60)2(23)2(2)2(
0)12060()4623()42()2(
0120106194
2
2
223
23
23
22334

234
=+−−−⇔
=−+−−⇔
=−−−+−−⇔
=−−−+−−⇔
=+−−−⇔
=−+−−−−−⇔
=−+−−−−−⇔
=−+−−
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxx
505*
404*
303*
202*
−=⇔=+
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−
xx
xx
xx
xx
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5

Ví dụ 3: Giải phương trình:
01565124
234
=−−++
xxxx
Giải
[ ]
[ ]
0)332)(52)(1(
0)52(3)5(3)52(2)1(
0)156()156()104()1(
0)1521164)(1(
0)1(15)1(21)1(16)1(4(
015152121161644
01565124
2
2
223
23
23
22334
234
=+++−⇔
=+++++−⇔
=+++++−⇔
=+++−⇔
=−+−+−+−⇔
=−+−+−+−⇔
=−−++
xxxx

xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxx
Vì
)
2
3
2
3
(2332
22
++=++
xxxx
2
3 3
2( ) 0
2 4
x= + + >
với mọi x
Nên:
101
=⇔=−
xx
Hoặc:
5,2052
−=⇔=+
xx

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5
Ví dụ 4: Giải phương trình:
08422
234
=−++−
xxxx
Giải
0)42)(2)(2(
0)222)(2(
0)2(2)2(2)2)(2(
0)42()42()4(
08422
2
22
2222
234
234
=+−+−⇔
=+−+−⇔
=−+−−+−⇔
=−+−−−⇔
=−++−
xxxx
xxx
xxxxx
xxxx
xxxx
8

202*

202*
−=⇔=+
=⇔=−
xx
xx
*
042
2
=+− xx
(vô nghiệm)
Vì
2 2
2 4 ( 1) 3 0x x x− + = − + >
Vậy phương trình có hai nghiệm:
2
=
x
;
2
−=
x
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
40)5)(4)(2)(1(
=++++
xxxx
Giải
[ ] [ ]
2 2
( 1)( 2)( 4)( 5) 40

( 1)( 5) . ( 2)( 4) 40
( 6 5)( 6 8) 40 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + − =
Đặt:
txx
=++
56
2
ta có
0)8)(5(
0403
040)3(
2
=+−⇔
=−+⇔
=−+
tt
tt
tt
+ Nếu t = 5 thì
556
2
=++
xx
2

6 0 ( 6) 0x x x x⇔ + = ⇔ + =

0
=⇔
x
hoặc x = -6
+ Nếu t = -8 thì
856
2
−=++ xx

0136
2
=++⇔
xx
Phương trình này vô nghiệm vì
2 2
6 13 ( 3) 4 0x x x+ + = + + >
với mọi x
Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6
Ví dụ 2: Giải phương trình:
16)8()6(
44
=−+−
xx
Giải
16)8()6(
44
=−+−
xx

Đặt: x – 7 = y, phương trình chở thành:
076
16)1()1(
24
44
=−+⇔
=−++
yy
yy
Đặt:
0
2
≥= zy
ta có:
0)7)(1(
076
2
=+−⇔
=−+
zz
zz
• Nếu
101
=⇔=−
zz
thoả mãn điều kiện
0
≥
z
•

707
−=⇔=+
zz
(loại)
9