Đại số 10 – các phép toán trên tập hợp

1. Tổng của hai vectơ:

ur
F


1. Tổng của hai vectơ:
Định nghĩa: (Xem SGK)
B

r
a

r
a
r
b
A

r
b
r r
ab

r r uuu
r uuur uuur
a  b  AB  BC  AC
uuu
r uuur uuur
� AB  BC  AC

C


2. Quy tắc hình bình hành:
uuur uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC.

B

A

C

D

r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
AB  AD  AB  BC  AC


3. Tính chất của phép cộng các vectơ:

r
b

B

r
a

A

r r
ab
r r
ba
r
b

C

r
a
E

r r uuu
r uuur uuur
a  b  AB  BC  AC
r r uuur uuur uuur
b  a  AE  EC  AC


3. Tính chất của phép cộng các vectơ:

r
b

B

r
a

A

r r
ab
r r
ba
r
b

r r
bc
r
a

C

r
c
D

E

r r r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
a  b  c  ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD
r r r uuu
uuu

r uuur uuur
r uuur uuur
a  b  c  AB  ( BC  CD )  AB  BD  AD










3. Tính chất của phép cộng các vectơ:

r r r
Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có
r r r r
a  b  b  a ( tính chất giao hoán)
r r r r r r
a  b  c  a  b  c ( tính chất kết hợp)
r r r r r
a  0  0  a  a ( tính chất của vectơ - không)










4. Hiệu của hai vectơ:


4. Hiệu của hai vectơ:
a) Vectơ đối:
Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng
độ dài và ngược hướng.

B

A

r
r
r
r
a và b đối nhau, ta viết: a =  b
uuu
r
uuu
r
Ví dụ 1: AB   BA
uuur
uuur
MP   NB
uuur
uuuu

r
NP   AM
uuu
r
uuur
PA   PC

D

C

A

M

P

B
N

C


uuu
r uuur r
uuu
r
uuur
Bài tập a: Chứng minh rằng AB  BC  0 � AB   BC

Giải:
uuu
r uuur r
uuur r
uuu
r
uuur
AB  BC  0 � AC  0  A C � AB   BC
uuur uuu
r
uuur
uuur
AB   BC � AB  CB
uuu
r uuur uuu
r uuur
� AB  BC  CB  BC
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur r
� AB  BC  CC � AB  BC  0

r
Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng 0 và ngược lại.


4. Hiệu của hai vectơ:
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK)
B

r
a

r
b

r r
a b

A

r
a

r
b
O

r r r
r
r
uuu
r uuu
r uuu
a  b  a  b  OA  AB  OB

 

uuu

r uuu
r uuu
r
� OB  OA  AB


Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có:

uuu
r uuur uuur
AB  BC  AC
uuu
r uuur uuu
r
AB  AC  CB

(quy tắc ba điểm)
(quy tắc trừ)

uuu
r uuur uuur uuu
r
Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB  CD  AD  CB
Giải: Lấy O tùy ý
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur
VT  AB  CD  OB  OA  OD  OC

r
uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuu
 OD  OA  OB  OC  AD  CB  VP
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur
Cách 2: VT  AB  CD  AD  DB  CB  BD
uuur uuu
r
uuur uuur
 AD  CB  DB  BD
uuur uuu
r r
 AD  CB  0  VP







 
 

 
 








5. Áp dụng:
uu
r uur r
a) I là trung điểm của AB � IA  IB  0
uuu
r uuu
r uuur r
b) G là trọng tâm của ΔABC � GA  GB  GC  0
Chứng minh:
uu
r
uur
uu
r uur r
a) I là trung điểm của AB � IA   IB � IA  IB  0
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm
ΔABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với
G qua I. Khi đó, GADC là hình bình hành
và G là trung điểm AD.
uuu
r uuur uuur
uuu

r uuur r
� GB
GD
uuu
r  GC
uuu
r u
uur vàr GA  GD  0
� GA  GB  GC
uuu
r  0uuu
r uuur r
Ngược lai, nếu GA  GB  GC  0 thì ta
cũng dựng được hình như bên và suy ra
G là trọng tâm ΔABC.

I

A

B

A

G
B

C

I

D


Bài 1/12: uCho
uuurvà M
uuurnằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ
uur đoạn
uuur AB
các vectơ MA  MBvà MA  MB.
Giải:
uuur uuur
Lấy N trên AB sao cho AN  MB.
N
M
A
B
Vì MA>MB nên N nằm giữa AM.
Ta có:
uuur uuur uuur uuur uuuu
r
MA  MB  MA  AN  MN
M
uuur uuur uuu
r
A
B
MA  MB  BA


Bài 2/12: Cho hìnhuubình

ur uhành
uuu
r ABCD
uuur uuvà
uu
r một điểm M tùy ý.
Chứng minh rằng: MA  MC  MB  MD.
Giải:
uuu
r
uuur
Cách 1: ABCD là hbh nên BA   DC
B
uuur uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r uuur
VT  MA  MC  MB  BA  MD  DC
uuur uuuu
r
uuu
r uuur
 MB  MD  BA  DC
A
uuur uuuu
r r
D
 MB  MD uu0ur VPuuur
Cách 2: ABCD là hbh nên BC   DA

uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA  MC  MB  MD
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
 MA  MD  MC  MB
r
uuur uuur
 DA  BC  0
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
� MA  MC  MB  MD.




 
 



 






C


Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la ln có:
uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuur uuu
r uuur
a) AB  BC  CD  DA  0
b) AB  AD  CB  CD
Giải:
uuu
r uuur
uuur uuur
a) VT= AB  BC  CD  DA
uuur uuu
r r
= AC  CA =0  VP
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
b) VT= AB  AD  DB
b) AB  AD  CB  CD
uuu

r uuur uuur
uuur uuur
VP=CB  CD  DB



 





� VP=VT

 



r
= DB  DB  0

uuu
r uuur uuu
r uuur
� AB  AD  CB  CD


Bài 4/12: Cho ΔABC. Bên ngồi tam giác
uuu
rvẽ các

uur hình
uuu
r bình
r hành
ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RJ  IQ  PS  0.
Giải:
uuu
r uuu
r uuu
r
Ta có: RJ  RA  AJ
uur uur uuur
IQ  IB  BQ
uuu
r uuur uuu
r
PS  PC  CS

R

J
A

S

I
B

C

mà ABIJ, BCPQ, CARS là
các hình bình hành nên
Q
uuur
uuu
r
uuu
r uuu
r
uur uuur
RA  CS ; AJ   IB; BQ   PC
r uuu
r uur uuur uuur uuu
r
uuu
r uur uuu
r uuu
� RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uur
uuur uuur
 RA  CS  AJ  IB  BQ  PC =0



 

 



P


Bài 5/12: Cho ΔABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ
uuu
r uuur
uuur uuur
AB  BC và AB  BC
Giải:

uuu
r uuur uuur
*) Ta có: AB  BC  AC
uuur uuur uuur
AB  BC = AC
nên

A

I
a

 AC  a
E

B

**) Lấy E đối xứng với C qua
B, I là trung điểm AE.
a 3
� AE  a 3
ΔABI là nửa tam giác đều cạnh a nên AI 
uuur uuur uuu
r uuu
r
2
 CB
Ta có: AB  BC  AB
uuu
r uuu
r uuur
 AB  BE  AE
uuu
r uuur uuur
AB  BC = AE  AE  a 3
nên

C


Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuu

r
b) AB  BC  DB
a ) CO  OB  BA
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
c) DA  DB  OD  OC
d ) DA  DB  DC  0.
Giải:
uuur uuu
r
B
a) Ta có: CO  OA
r uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
O
urOA  OB  BA
urOBuu
nên COuu
b) Ta có: BC  AD
A
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
D
nên AB  BC  AB  AD  DB
uuu
r uuur
c) Ta có: BA  CD

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
và DA  DB  BA; OD  OC  CD nên DA  DB  OD  OC.
uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuur r
d) Ta có: BA   DC nên DA  DB  DC  BA  DC  0.

C


r r
Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a, b nếu:
r r
ab  0

Giải:
r r
r r r
ab  0 � ab  0

r
r
� a  b

r r
� a, b cùng độ dài và ngược hướng.

r r
r
Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0 . Khi nào có đẳng thức:
r r r r
r r r r
b) a  b  a  b
a) a  b  a  b

Giải:
uuu
r r
uuur r
Dựng AB  a và BC  b
a) Ta có:
r r
r r uuu
r uuur uuur
a  b  AB  BC  AC � a  b  AC
r r
và a  b  AB  BC
r r r r
a  b  a  b � AB  BC  AC

B

r
a

r
a
r
b

r r
ab

A

A

Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C.
r r
Suy ra a, b cùng phương.

r
a

r
b

B

C

r
b

C

r r
r
Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0 . Khi nào có đẳng thức:
r r r r
r r r r
b) a  b  a  b
a) a  b  a  b

Giải:
uuu
r r
uuu
r r
Dựng OA  a và OB  b , lấy C để
OACB là hbh
b) Ta có:
r r
r r uuu
r uuu
r uuur
a  b  OA  OB  OC � a  b  OC
r r
r r uuu
r uuu
r uuu
r
và a  b  OA  OB  BA � a  b  AB
r r r r

a  b  a  b � AB  OC

A

r
a

r
a

r r
a b

O

r
b

r r
ab

C

r
b
B

r r
Suy ra OABC là hình chữ nhật. Suy ra giá của a, bvng góc với nhau.
r r

*) Nếu a, b cùng phương thì đẳng thức trên khơng xảy ra.