Luận Văn Xấp xỉ hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA:TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ THẢO

XẤP XỈ HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều
kiện, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho chúng em trong suốt bốn năm qua. Đặc
biệt, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và góp ý cho em trong quá trình
thực hiện khóa luận này.
Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên,
giúp đỡ em trong suốt bốn năm học qua.
Kính mong nhận được sự góp ý chân thành từ phía thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn
Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu và
thực hiện khóa luận. Ngoài ra, em có tham khảo thêm một số tài liệu khác của
một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác. Nếu
sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Không gian tuyến tính ......................................................................... 5
1.2. Không gian định chuẩn........................................................................ 6
1.3. Không gian Hilbert .............................................................................. 8
Chương 2: PHÉP NỘI SUY
2.1. Đa thức nội suy Lagrange.................................................................. 10
2.3. Sai phân............................................................................................. 26
2.4. Tỷ sai phân ........................................................................................ 34
Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU
3.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn..................... 49
3.2. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn Ca ;b ..... 49
3.3. Một số trường hợp đặc biệt................................................................ 51
3.4. Ví dụ ................................................................................................. 53
Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG
4.1. Bất đẳng thức Bessel và bất đẳng thức Parseval ................................ 57
4.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert............................................ 58

4.3. Xấp xỉ tốt nhất trong L2  a, b  ............................................................ 60
4.4. Ví dụ ................................................................................................. 67
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai
lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng. Nói đến toán ứng dụng, ta
không thể không nói đến Giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra đời và
phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bài
toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán,
nhận dạng…
Ngày nay, với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của Giải tích số
càng trở nên cần thiết. Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóa
đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải tích số. Để tiết kiệm bộ nhớ
máy tính, người ta đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa
như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…
Vì những ứng dụng rộng rãi của Giải tích số cùng với niềm yêu thích bộ
môn Giải tích số, em đã chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là: “Xấp
xỉ hàm”.
Khóa luận gồm bốn chương:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản.
Chương 2: Phép nội suy.
Chương 3: Xấp xỉ đều.
Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương.

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1
Trên tập X   , xác định một cấu trúc tuyến tính  nếu với mọi
x, y  X với mọi t  R (hoặc t  C ) xác định phép cộng x  y  X và phép

nhân tx  X thỏa mãn các tính chất sau:
a) x  y  y  x
b) ( x  y)  z  x  ( y  z)
s(tx)  ( st ) x

c) ( s  t ) x  sx  tx
t ( x  y )  tx  ty

d)    X : x    x, x  X
e)  ( x)  X : x  ( x)  0, x  X
f) 1x  x
Trong đó x, y, z  X ; s, t  R (hoặc s, t  C )
Khi đó ( X ,  ) là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.2
Cho hệ n véctơ x1 , x2 ,..., xn trong không gian tuyến tính X . Xét đẳng
thức véctơ: 1 x1   2 x2  ...   n xn  0 . Đẳng thức trên xảy ra nếu

1   2  ...   n  0 thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc tồn tại bộ

n

1 , 2 ,..., n với



2
i 1

 0 để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n véctơ đó phụ

i 1

thuộc tuyến tính.
Tập hợp K trong X gọi là lồi nếu x, y  K thì đoạn thẳng nối x, y
nằm trong K .

Nguyễn Thị Thảo

-5-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Một vài định nghĩa

Định nghĩa 1.3
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R . Ánh xạ . : X  R xác
định trên X . lấy giá trị trên tập số thực: x  R, x  X thỏa mãn các điều
kiện:
a) x  0, x  X
x 0 x0

b) x  y  x  y , x, y  X
c)  x   x ,   R, x  X
được gọi là một chuẩn trên X .
Không gian tuyến tính X cùng với . được gọi là một không gian tuyến
tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.4
Hai chuẩn . 1 , . 2 cùng xác định trên không gian tuyến tính X gọi là
tương đương nếu tồn tại hai hằng số c1 , c2  0 sao cho:
c1 x 1  x 2  c2 x 1 , x  X

Định nghĩa 1.5
Cho X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Ánh xạ A : X  Y
gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho:
Ax

Y

M x

X

, x  X

1.2.2. Một vài định lý và ví dụ
Định lý 1.1
Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên
X tương đương.

Nguyễn Thị Thảo

-6-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Chứng minh
Thật vậy, giả sử trên X có . 1 và . 2 là hai chuẩn cho trước.
Gọi S   x  X : x 1  1 . Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên . 2 đạt
max và min trên S , kí hiệu là M và m tương ứng.
Xét x  0 là phần tử bất kỳ trong X , khi đó:
x 2  x 1.

Vì rằng:

x
x
 1 nên m 
x1
x1

1

x
x1

 x 1.
2

x
x1

2

 M , do đó m x 1  x 2  M x 1 .
2

Vậy hai chuẩn là tương đương.
Định lý 1.2
Toán tử tuyến tính A : X  Y là bị chặn khi và chỉ khi A là toán tử liên
tục.
Ví dụ 1.1
Xét C0,1 là các hàm số liên tục trên  0,1 .Với x  x(t )  C0,1 ,

y  y (t )  C0,1 , k  R ta định nghĩa:
( x  y )(t )  x(t )  y (t ), t   0,1
( kx)(t )  kx(t ), t   0,1

Không gian C0,1 cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
Với x  C0,1 , đặt: x  max x(t ) thì có thể thấy . là một chuẩn trên C0,1 .
t 0,1

Ví dụ 1.2
Với p  1 , xét L p  0,1 với x  x (t )  Lp  0,1 , y  y (t )  Lp  0,1 , k  R ta
định nghĩa:
( x  y )(t )  x (t )  y (t ), t   0,1
( kx)(t )  kx(t ), t   0,1

Nguyễn Thị Thảo

-7-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Không gian L p  0,1 với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
1
p

1



p
Với x  L p  0,1 , xét x    x(t ) dt  . Khi đó . là một chuẩn trên L p  0,1 .
0


1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.6
Hàm số , đưa mọi cặp x, y trong không gian tuyến tính H vào R gọi
là tích vô hướng của x, y , kí hiệu là x, y nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
a)

x, x  0, x  H
x, x  0  x  

b) x, y  y, x
c)  x   y, z   x, z   y, z ;
x, y, z  H ;  ,   R .

Cặp  H , ,

 gọi là không gian có tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert.

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.
Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn với chuẩn:
x 

x, x

Định nghĩa 1.7
Cho H là không gian Hilbert. Hệ các phần tử ei iI của H gọi là:
Trực giao nếu: en , em  0, ( n  m)
Trực chuẩn nếu: en , em   n,m
với n, m  N .









Hệ en n 1 đầy đủ nếu Span en n1  H , nghĩa là:
n

  0, x  H , Sn   ci ei  ci  R; n  n     : Sn  x   .
i 1

Nguyễn Thị Thảo

-8-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm



Giả sử en n 1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert. Với mỗi x  H
n

ta lập tổng Fourier Sn   ci ei với ci  x, ei . Ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến
i 1

x nếu:

Sn  x  0,(n  ) .
1.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1.3
Xét X  R n , với x   x1 , x2 ,..., xn   R n , y   y1 , y2 ,..., yn   R n .
n

Đặt x, y   xi yi .
i 1

Ta thấy R n cùng với tích vô hướng xác định như trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.4
Xét X  L2  a, b là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn

 a, b bao gồm các hàm thực

x(t ) xác định, bình phương khả tích trên  a, b 

sao cho:
b
2

 p(t ) x (t )dt  
a

Trong đó p(t ) là hàm trọng ( p(t ) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện
xác định và khả tích trên  a, b , p(t )  0 trên  a, b  và p(t )  0 chỉ trên một tập
có độ đo 0). Ta trang bị trên L2  a, b  một tích vô hướng:
b

x, y   p(t ) x(t ) y (t )dt , với x (t ), y (t )  L2  a, b  .
a

Không gian L2  a, b  với tích vô hướng xác định như trên là không gian
Hilbert.

Nguyễn Thị Thảo

-9-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Chương 2
PHÉP NỘI SUY
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y  f  x  khi biết giá trị yi tại
các điểm xi   a; b , i  0, n .
Ta tìm hàm P  x  sao cho: P  xi   f  xi   yi , i  0, n và sai số:

P  x   f  x   min .

Bài toán tìm hàm P  x  này được gọi là bài toán nội suy.
Thông thường ta tìm hàm P  x  là hàm đa thức vì các phép toán cộng,
trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng thực hiện trên đa thức.
2.1. Đa thức nội suy Lagrange
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kỳ
Giả sử hàm số f  x  được cho dưới dạng bảng:
x

x0

x1

...

xn

y

y0

y1

...

yn

Ta phải tìm đa thức bậc n sao cho: P  xi   f  xi   yi , i  0, n và sai số:

P  x   f  x   min .
Ký hiệu Pi  x j  là đa thức bậc n thoả mãn:

ui j
0 neá
với i, j  0, n
Pi  x j   
ui  j
1 neá

 2.1

Dễ thấy đa thức Pi  x  được định nghĩa như trên có n nghiệm là các x j  i  j 
nên nó có dạng: Pi  x   ai  x  x0   x  x1  ... x  xi 1  x  xi 1  ... x  xn  với
ai là hằng số.

Nguyễn Thị Thảo

-10-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Ta có: 1  Pi  xi   ai  xi  x0  xi  x1 ... xi  xi 1  xi  xi 1  ... xi  xn 
 Pi  x  

 x  x0   x  x1 ... x  xi1  x  xi1 ... x  xn 
 xi  x0  xi  x1 ... xi  xi1  xi  xi1 ... xi  xn 

i  0, n 

Tö sè khuyÕt nh©n tö  x  x  , mÉu sè khuyÕt nh©n tö  x  x .
i

i

i

n

 2.2 

P  x    yi Pi  x 

Đặt:

i 0

n

P ( x j )   yi Pi ( x j )  y j

Ta có:

 j  0, n  .

i 0

Vậy P  x  là đa thức nội suy cần tìm và được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

 Tính duy nhất của đa thức nội suy Lagrange
Giả sử đa thức P  x  cũng thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó gọi

  x   P  x   P  x  thì deg   x   n và   x  nhận ít nhất  n  1 nghiệm
phân biệt (Do   x j   P  x j   P  x j   y j  y j  0 j  0, n ). Suy ra   x 
phải là đa thức không. Do đó P  x   P  x  .
2.1.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều
Giả sử các mốc nội suy cách đều, tức xi 1  xi  h i  0, n  1 .
Đặt t :

x  x0
hay x  x0  th ta được:
h

Pi  x   Pi  x0  th 

n i

Cni t  t  1 ... t  n 

t i
n!

 1


n i

t  t  1 ... t  n  n  1 Cni
yi

Suy ra P  x0  th  

n!
t i
i 0

Chú ý: Các hệ số  1

n i

 2.3

Cni không phụ thuộc vào f  x  , mốc nội suy và

bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán.

Nguyễn Thị Thảo

-11-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

 Nhận xét
- Khi n  1 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất (hay đa thức nội suy
tuyến tính); n  2 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai. Tổng quát: Nếu

f  x  có n  1 mốc nội suy x0 , x1 ,..., xn thì đa thức nội suy Lagrange của

f  x  là đa thức bậc n .
- Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán nhưng
lại có nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.
- Nếu f  x  là đa thức có deg f  x   n thì P  x   f  x  .
2.1.3. Ví dụ
Ví dụ 2.1
Tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  1  sin

x
2

với

1
x0  0; x1  ; x2  1 trên đoạn  0;1 .
3

Giải
Ta có y0  1  sin 0  1; y1  1  sin



3

 ; y2  1  sin  2 .
6 2
2

Áp dụng công thức  2.2  ta có:
1
1

 x  0   x  
 x    x  1 3  x  0  x  1
3
3

P  x   1 
 
 2
1
1

2 1
 1 
1  0  1  
 0    0  1
  0   1
3

3
 3 
 3
1
27
1



 3  x    x  1 
x  x  1  3 x  x  
3
4
3



  0,75 x 2  1,75 x  1
Ví dụ 2.2
Tìm đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị cho bởi bảng sau:
x
y

2

1

2

5

4

3

5

7

Nguyễn Thị Thảo

-12-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Giải
Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là P  x  . Ta có:
P  x  4 

 x  1 x  2  x  5  3   x  2  x  2  x  5 
 2  1 2  2  2  5
 1  2  1  2  1  5
 x  2  x  1 x  5  7   x  2  x  1 x  2 
5
 2  2  2  1 2  5
 5  2  5  1 5  2 

1
1
 x  1 x  2  x  5   x  2  x  2  x  5
28
18
1
1

  x  2  x  1 x  5  
 x  2  x  1 x  2 
36
126
5
5
41
43
  x3  x 2  x  .
84
14
84
14


Ví dụ 2.3
Tìm hàm nội suy cho hàm f  x  và tính gần đúng f  2,15  ?
xi

2

1

0

1

f  xi 

1

3

2

2

Giải
 Tìm hàm nội suy: Áp dụng công thức  2.3 ta có:
t  t  1 t  2  t  3  1.C30 3C31  2  C32  2  C33 
P  2  t  





3!
t

0
t

1
t

2
t 3 



t  t  1 t  2  t  3  1
9
6
2 


 

6
 t t 1 t  2 t  3 



1
12t 3  57t 2  57t  6   2t 3  9,5t 2  9,5t  1

6

 Tính gần đúng f  2,15  :
Ta có x  2,15  2,15  2  t  t  4,15
 f  2.15   2  4.153  9,5  4.152  9,5  4.15  1  19,785 .

Nguyễn Thị Thảo

-13-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Ví dụ 2.4
Cho bảng các giá trị của hàm số y  f  x  :
x

3

2

1

3

y

58

19

4

 11

Tính gần đúng f  1,005  ?
Giải
Gọi P  x  là đa thức nội suy của f  x  . Áp dụng công thức  2.2  ta có:
P  x   58 

 x  2  x  1 x  3  19   x  3 x  1 x  3
 3  2  3  1 3  3
 2  3 2  1 2  3

4

 f  1,005 

 x  3 x  2  x  3  11   x  3 x  2  x  1
1  31  2 1  3
 3  3 3  2  3  1
 1,005  2  1,005  1 1,005  3
 3  2  3  1 3  3
 1,005  3 1,005  1 1,005  3
 19 
 2  3 2  1 2  3

P  1,005   58 

4

 1,005  3 1,005  2  1,005  3
1  31  2 1  3

 11 

 1,005  3 1,005  2  1,005  1
 3  3 3  2  3  1

3,037675188.

Ví dụ 2.5
Cho bảng các giá trị của hàm số y  f  x  :
x

2

1

1

2

y

5

1

4

7

Nguyễn Thị Thảo

-14-

K34A SP Toán

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Tính gần đúng f  1,225  ; f   0,104  ; f  0,306  ; f 1,241 ?
Giải
Gọi P  x  là đa thức nội suy của f  x  . Áp dụng công thức  2.2  ta có:

 x  1 x  1 x  2   1   x  2  x  1 x  2 
 2  1 2  1 2  2   1  2  1  1 1  2 
 x  2  x  1 x  2   7   x  2  x  1 x  1
 4
1  2 1  11  2 
 2  2  2  1 2  1

P  x   5 

5 3
1
x  2 x 2  x  2    x3  x 2  4 x  4 

12
6
2
7
  x3  x 2  4 x  4    x3  2 x 2  x  2 
3
12
3
2

 0,5 x  0,5 x  x  3.


Ta có:
f  1,225 

3

2

P  1, 225   0,5  1, 225   0,5  1,225    1, 225   3
0,105554687

f   0,104 

3

2

P   0,104   0,5   0,104   0,5   0,104     0,104   3
2,890029568

f  0,306 

3

2

P  0,306   0,5  0,306   0,5  0,306   0,306  3
3,273508308

f 1,241

3

2

P 1,241  0,5 1,241  0,5 1,241  1, 241  3
4,426579761.

Ví dụ 2.6
Tìm đa thức nội suy hàm y  3x trên đoạn  1;1 với các điểm nút
x0  1; x1  0; x2  1. Sử dụng đa thức này để tính gần đúng

5

9?

Giải
Ta có bảng giá trị của hàm y  3x tương ứng với các điểm nút:

Nguyễn Thị Thảo

-15-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

x

1

0

1

y

13

1

3

Áp dụng công thức  2.2   hoÆc áp dụng công thức  2.3  ta có:

 x  1 x  1  3   x  1 x  0 
1  x  0  x  1
P  x  
 1
3  1  0  1  1
 0  1 0  1
1  11  0 
1
3
x  x  1   x  1 x  1  x  x  1

6
2
1
  2 x 2  4 x  3 .
3


Ta có

5

2
2  41
2 1 2
9  3  P     2    4   3 
 1,64 
5  25
 5  3   5 
2
5

Ví dụ 2.7
Hãy biểu diễn phân thức sau dưới dạng tổng của các phân thức tối giản:
f  x 

x 2  3x  5
 x  1 x  2  x  2  x  4 

Giải
Đặt g  x   x 2  3x  5 . Ta có bảng giá trị của g  x  tại x  2;1;2;4 :

x

2

1

2

4

g  x

3

9

15

33

Khi đó: g  x   3 

 x  1 x  2  x  4   9   x  2  x  2  x  4 
 2  1 2  2  2  4 
1  2 1  2 1  4 

 15 




Nguyễn Thị Thảo

 x  2  x  1 x  4   33   x  2  x  1 x  2 
 2  2  2  1 2  4 
 4  2  4  1 4  2 

1
 x  1 x  2  x  4    x  2  x  2  x  4 
24
15
11
 x  2  x  1 x  4    x  2  x  1 x  2 
8
12

-16-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

 f  x  

Xấp xỉ hàm

1
1
15

11



24  x  2   x  1 8  x  2  12  x  4 

Ví dụ 2.8
Sử dụng công thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu tỉ
f  x 

x3  x 2  2 x  4
thành tổng của các phân thức tối giản.
x 4  x3  7 x 2  x  6

Giải
x3  x 2  2 x  4
x3  x 2  2 x  4
Ta có f  x   4

x  x3  7 x 2  x  6  x  1 x  1 x  2  x  3

Đặt g  x   x 3  x 2  2 x  4 . Ta lập bảng giá trị của g  x  tại x  2; 1;1;3
x

2

1

1

3

g  x

20

8

2

20

Khi đó: g  x   20 

2 



 x  2  x  1 x  3  20   x  2  x  1 x  1
1  2 1  11  3
 3  2  3  1 3  1

4
 x  1 x  1 x  3   x  2  x  1 x  3 
3


 f  x 

 x  1 x  1 x  3  8   x  2  x  1 x  3

 2  1 2  1 2  3
 1  2  1  1 1  3

1
1
 x  2  x  1 x  3   x  2  x  1 x  1
6
2

4
1
1
1



3 x  2  x  1 6  x  1 2  x  3

Ví dụ 2.9
a2
b2
c2


Rút gọn biểu thức: A 
 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Giải

Nguyễn Thị Thảo

-17-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Áp dụng công thức Lagrange cho hàm số f  x   x 2 với x0  a; x1  b;
x2  c ; f  x0   a 2 ; f  x1   b 2 ; f  x2   c 2 ta có:

f  x 

a 2  x  b  x  c  b 2  x  a  x  c  c 2  x  a  x  b 


 a  b  a  c 
 b  a  b  c 
 c  a  c  b 

So sánh hệ số của x 2 ở hai vế ta được A  1.
Ví dụ 2.10
Chứng minh rằng:

a2  1
b2  1

 a  b  a  c  a  d   b  a  b  c  b  d 

c2  1
d 2 1


0
 c  a  c  b  c  d   d  a  d  b  d  c 

Giải
Áp dụng công thức Lagrange cho hàm số f  x   x 2  1 với:
x0  a; x1  b; x2  c; x3  d ;
f  x0   a 2  1; f  x1   b 2  1; f  x2   c 2  1; f  x3   d 2  1, ta có:

f  x    a 2  1

 x  b  x  c  x  d   b2  1  x  a  x  c  x  d 
   b  a  b  c  b  d 
 a  b  a  c  a  d 

  c 2  1

 x  a  x  b  x  d   d 2  1  x  a  x  b  x  c 

  d  a  d  b  d  c 
 c  a  c  b  c  d 

Dễ thấy 0 chính là hệ số của x 3 trong cách viết chính tắc của đa thức f  x  .
Từ đó đồng nhất các hệ số đồng bậc ta có điều phải chứng minh.
Tổng quát:
Giả sử f  x  là đa thức có bậc nhỏ thua hoặc bằng

 m  2

và

x0 , x1 ,..., xm1 là m giá trị đôi một khác nhau cho trước tùy ý. Khi đó ta có

đồng nhất thức:
0

f  x0 
f  x1 


 x0  x1  x0  x2 ... x0  xm1   x1  x0   x1  x2 ... x1  xm1 

Nguyễn Thị Thảo

-18-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

... 

f  xm1 

 xm1  x0  xm1  x1 ... xm1  xm2 

Ví dụ 2.11
Cho đa thức P  x  có bậc nhỏ thua hoặc bằng 2n , thỏa mãn điều kiện:
P  k   1, k  n,   n  1 ,...,0,1,..., n

Chứng minh rằng:

P  x   2n , x   n; n .

Giải
Theo công thức nội suy Lagrange ta có:
n

P  x 

xi

 P  k  k  i

k  n

i k

Vì P  k   1 với k   n,   n  1 ,...,0,1,..., n nên
n

P  x 



k  n

Nhận xét rằng với x   n; n  thì

Pk  
i k

n
xi
xi
 
k  i k  n i k k  i

 x  i   2 n !
ik

 2 n !

x i

 k  i   k  n ! n  k !

Vì vậy:

ik

n

P  x 

Do đó:

 2n !

  k  n ! n  k !  2 , x   n; n.
n

k  n

Ví dụ 2.12
Hãy tìm P  n  1 biết P  x  là đa thức bậc n thỏa mãn:
Pk  

k
, k  0, n .
k 1

Giải
Theo công thức nội suy Lagrange thì
k x  x  1 ... x  k  1 x  k  1 ... x  n 

k  k  1 ...1. 1 ... k  n 
k 0 k  1
n

P  x  

Nguyễn Thị Thảo

-19-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

k  n  1 ... n  k  2  n  k  ...1

k  k  1 ...1. 1 ... k  n 
k 0 k  1
n

Từ đó P  n  1  

k  n  1 ... n  k  2  n  k  1 n  k  ...1

k  k  1 ...1. 1 ... k  n  n  k  1
k 0 k  1
n


n

   1

n k

k

k 0

 n  1!
 k  1! n  k  1!

1 n
nk

 1 k .Cnk21

n  2 k 0

2.2. Sai số của phép nội suy. Chọn mốc nội suy tối ưu
2.2.1. Sai số phương pháp
Giả sử P  x  là đa thức nội suy bậc n của hàm số f  x  .
Ta cố định giá trị x   a; b  tùy ý và tìm cách ước lượng sai số





R  x   f  x   P  x  với mọi x  xi i  0, n .( Vì R  xi   0, i  0, n ).
n

Xét F  x   f  x   P  x   C.  x  với   x     x  xi ; C là hằng số
i 0



được chọn từ điều kiện F x  0 với x là điểm cần đánh giá sai số.



 



f  x  P  x
C
  x

Từ F x  f x  P x  C. x nên với F x  0 ta suy ra

 2.4 

Vì F  xi   f  xi   P  xi   C.  xi   0  C.0  0 i  0, n



 

F x  f x P x 

    0
  x

f x P x

Do đó F  x   0 có ít nhất  n  2  nghiệm phân biệt trên đoạn  a; b .

Nguyễn Thị Thảo

-20-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Theo định lý Rolle thì F   x   0 có ít nhất  n  1 nghiệm phân biệt trên
khoảng

 a; b 

và F

( n 1)

 x  0

có ít nhất một nghiệm    a; b  nghĩa là

F ( n 1)    0 hay f ( n1)    P ( n 1)    C  n  1!  0

C 

f  n 1  
n 1
(Do P  x  là đa thức bậc n nên P    x   0 x   a; b  ).
 n  1!

Từ  2.4  ta suy ra:
f  n 1  
f  x   P x  
x.
 n  1!

Suy ra f  x   P  x  
Gọi M  max f 

n 1

a  x b

 x

n 1
max f    x 
 
  x   a  x b
x
 n  1!
 n  1!

f

n 1

thì f  x   P  x  

 2.5

M
x .
 n  1!

Khi đó ước lượng sai số tại x là:
R  x  P  x  f  x 

M
  x
 n  1!

 2.6 

Hệ thức trên cho ta ước lượng sai số của hàm y  f  x  cho trước và đa thức
nội suy Lagrange của nó tại mỗi điểm.
Ví dụ 2.13
Tính gần đúng cos



1
 P   ở đó P  x  là đa thức nội suy của hàm
9
9

1
y  f  x   cos  x trên  0;1 với x0  0; x1  ; x2  1 trên  0;1 . Hãy ước
3

lượng sai số?
Giải
 Ta có y0  1; y1  cos

Nguyễn Thị Thảo



1
 ; y2  cos   1
3 2

-21-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

1
1

 x  0   x  

 x    x  1 1  x  0  x  1
3
3

 P  x   1 
 
  1 
1
1

2 1
 1 
1  0  1  
 0    0  1
  0   1
3

3
 3 
 3

3
5
  x 2  x  1.
4
4

 cos

2



31 5 1
23
1
P        1 
49 4 9
27
9

9

0,851851851.

 Gọi ước lượng sai số của phép tính gần đúng cos


9

1
1
P   là R   .
9
9

Ta có:
f  x   cos  x  f   x    sin x  f   x    2 cos  x  f   x    3sin x
 M  max f   x   max  3 sin  x   3 .
0 x 1

1

1

0 x 1

 1

1  1



16

      0     1 
9 9
 9 3  9  729
3
M
1
 1   16
Suy ra: R   
  
 0,113420307.
 9   2  1!  9  3! 729

Ví dụ 2.14
Cho giá trị của hàm y  f  x   sin x tại 3 điểm như sau:
x

0

 4

 2

y

0

0,7071

1

Tính gần đúng sin


3

nhờ đa thức nội suy và đánh giá sai số?
Giải

 Đa thức nội suy của hàm y  sin x xây dựng theo các điểm đã cho là:





x x  

x x  
2
4
P  x   0,7071  
 1 
   
   
  
  
4 4 2
2 2 4

Nguyễn Thị Thảo

-22-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

 


   
 

  


 
33 2
33 4
Ta có: sin  P    0,7071.
 1
   
   
3
3
  
  
44 2
22 4
8 2
 0,7071    0,8508.
9 9

 Ta có: y  f  x   sin x  f   x   cos x  f   x    sin x  f   x    cos x.
 M  max f   x   max  cos x  1.
0 x 



2

0 x 



2

3
  
       
      0      
3 3
 3 4  3 2  216

1
3
 
Do đó R   

 0,0239.
 3   2  1! 216

Chú ý: Công thức  2.6  được thiết lập với giả thiết f  x   C 

n 1

 a; b .

Nếu điều kiện trên không thỏa mãn thì chưa thể nói gì về sai số nội suy.
Trong trường hợp này cần xem xét bài toán cụ thể, chẳng hạn:
Cho

f  x   x . Khi đó đa thức nội suy của nó tại các điểm

x0  1; x1  0; x2  1 là P  x   x 2 .

Vì hàm số f  x  không có đạo hàm tại x  0 nên để đánh giá sai số nội suy :

f  x   P  x  ta không thể áp dụng công thức  2.6  , nhưng ta có thể đánh giá
như sau:

1
max f  x   P  x   max x  x 2  .
1 x 1
1 x1
4
* Nhận xét:
– Sai số phương pháp R  x  rất lớn ngoài đoạn  x0 ; xn  , do đó khi dùng
công thức nội suy để thực hiện phép ngoại suy sẽ mắc phải sai số lớn.
– Phép nội suy có độ chính xác thấp đối với các công đoạn ngoài rìa.
2.2.2. Sai số tính toán

Nguyễn Thị Thảo

-23-

K34A SP Toán


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

Giả sử thay vì biết các giá trị đúng yi  f  xi 
giá trị gần đúng

n

P  x    y i
i 0



 i  0, n  ta chỉ biết các



yi i  o, n . Khi đó, thay vì đa thức nội suy

n
  x
  x
ta lại có: P  x    yi
 x  xi  '  xi 
 x  xi   '  xi  
i 0

Giả sử yi  yi  yi , khi đó sai số tính toán
n

P  P  P   yi
i 0

  x
 x  xi  ' xi 

 2.7 



Nếu các mốc nội suy cách đều nhau và yi   i  0, n
P  

t  t  1 ... t  n 
n!

n


i 0



Cni
t i

 2.8

2.2.3. Chọn mốc nội suy tối ưu
Nếu hàm f  x  đã cho thì M  max f  n1  x  hoàn toàn xác định. Từ
a  x b

công thức  2.5  suy ra sai số tuyệt đối của phép nội suy chỉ còn phụ thuộc
vào   x    x  x0   x  x1  x  xn  .
Vấn đề là chọn các mốc nội suy a  x0  x1  ...  xn  b thế nào để max   x 
a  x b

nhỏ nhất?
a) Đa thức Chebysev
Xét hàm số Tn  x   cos  n.arccos x 

 x  1 , n  N

*

 2.9 

Ta có Tn  x  là đa thức bậc n với hệ số đầu là 2n1 .
Đa thức Tn  x  được gọi là đa thức Chebysev.
 Tính chất của đa thức Chebysev:
 Tn1  x   2 xTn  x   Tn1  x  .

Nguyễn Thị Thảo

-24-

K34A SP Toán