Vành Euclide Các Số Nguyên Đại Số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO

VÀNH EUCLIDE
CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO

VÀNH EUCLIDE
CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

THÁI NGUYÊN - 2017


1

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu “ Vành Euclide
các số nguyên đại số ” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ.
Đến nay, luận văn đã được hoàn thành. Có được kết quả này là do sự
dạy bảo và hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy. Tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy và gia đình!
Tôi cũng xin gửi lờn cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng
Đào tạo sau đại học và Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập tại trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành
luận văn này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thầy,
cô giáo, các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin đã đã để
lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng tốt đẹp. Không biết nói gì
hơn, một lần nữa tôi xin trân trọng cảm ơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học Toán K9N (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạo
điều kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của
mình.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2017
Tác giả


Mục lục

MỞ ĐẦU

3

1 Vành Euclide và bao đóng nguyên
√
√ √
1.1 Vành Z[ d] và Z[ p, q] . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.2

Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Vành các số nguyên đại số. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Chuẩn và vết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2 Một số vận dụng

28

2.1

Chứng minh tồn tại nghiệm trong Z[α] . . . . . . . . . .

28

2.2

Số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

KẾT LUẬN

42

2


MỞ ĐẦU
Vành Euclide là khái niệm quen thuộc nhưng khá trừu tượng trong
lý thuyết vành. Lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng
được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ
thi học sinh giỏi trong và ngoài nước. Hiện nay đã xuất hiện nhiều bài
toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi mà nếu giải theo kiến thức phổ

thông thì ta phải cần nhiều kết quả phụ và những mẹo mực. Nhưng xét
bài toán ấy theo con mắt của toán cao cấp thì ta có những cách giải hệ
thống hơn. Do vậy vấn đề nhìn bài toán sơ cấp dưới con mắt toán cao
cấp cũng rất đáng được quan tâm. Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu
về vành Euclid, mở rộng vành, bao đóng nguyên, phần tử nguyên đại số,
chuẩn và vết, để từ đó có thể truyền tải một số kết quả của toán cao
cấp vào toán sơ cấp.
Cấu trúc luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau.
Chương 1 trình bày về vành Euclide và bao đóng nguyên. Trong
√
chương này, Tiết 1.1 quan tâm đến hai loại vành đặc biệt là vành Z[ d]
√ √
và Z[ p, q] với d, p, q là các số nguyên không có ước chính phương.
Tiết 1.2 nghiên cứu khái niệm vành Euclide và đưa ra một số ví dụ
√
về vành Euclide như vành Z[ d] với d = −1, 2, 3 (xem Mệnh đề 1.2.8)
và vành đa thức một biến với hệ số trên một trường (Định lí 1.2.11).
Tiết 1.3 quan tâm đến khái niệm số nguyên đại số, bao đóng nguyên
√
đại số, và chỉ ra rằng vành các số nguyên đại số của trường Q( d) với
3


4

d = −11, −7, −3, −2 là vành Euclide (Định lí 1.3.8), đồng thời xác định
√
vành các số nguyên đại số của trường Q( d) (Định lí 1.3.26). Phần cuối
Chương 1 nghiên cứu về chuẩn và vết của các số đại số.
Chương 2 trình bày việc vận dụng kiến thức lí thuyết trong Chương

1 để giải một số dạng toán sơ cấp. Trong phần đầu Chương 2, chúng tôi
khai thác các tính chất về chuẩn, vết của các phần tử trong các vành
√
√
√
√
√
Euclid Z[i], Z[ 2], Z[ 3], Z[ −2] cũng như các vành Z[ −11], Z[ −7],
√
√
√
Z[ 5], Z[ 6], Z[ −6] để giải quyết các bài toán đại số sơ cấp, nhiều
√
trong số đó có thể quy về bài toán về sự tồn tại nghiệm trong Z[ d].
Tiết cuối Chương 2 là hệ thống những bài toán sơ cấp mà lời giải của
chúng sử dụng các kết quả về vành các số nguyên đại số, đặc biệt là tính
đóng của các phép cộng, trừ, nhân trong tập các số nguyên đại số.
Do thời gian và kiến thức hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có
những thiếu sót nhât định, kính mong quý thày cô và các bạn đóng góp
ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này.


Chương 1
Vành Euclide và bao đóng nguyên
Mục đích của chương 1 là trình bày các kết quả về vành Euclide, trong
đó quan tâm đến 3 lớp vành Euclide đặc biệt sau đây:
√
√
- Vành Z
d = a + b d |a, b ∈ Z với d ∈ {−1, 2, 3}.

- Một số vành các số nguyên đại số.
- Vành đa thức một biến trên một trường.

1.1

√

√ √
Vành Z[ d] và Z[ p, q]

Nhiều khi để giải một bài toán ta phải sử dụng một vành nào đó.
√
Trong mục này chúng tôi sử dụng vành Z[ d] với d là một số nguyên
không chứa nhân tử chính phương.
Mệnh đề 1.1.1. Cho số nguyên d > 1 không là số chính phương. Khi
đó
√
√
(1) Tập Z[ d] = {a+b d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lập thành
√
√
một vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f : Z[ d] → Z[ d] cho bởi
√
√
f (a + b d) = a − b d, là một tự đẳng cấu.
√
√
(2) Tập Z[ −d] = {a + ib d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lập
√
thành một vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f từ vành Z[ −d]

√
√
√
đến vành Z[ −d] cho bởi f (a + ib d) = a − ib d là một tự đẳng
cấu.

5


6

√
√
√
√
Với z = a + b d ∈ Z[ d], u = a + ib d ∈ Z[ −d], ta ký hiệu
N (z) = a2 − db2 , N (u) = a2 + db2 . Ta gọi N (z) là chuẩn của z và N (u)
là chuẩn của u. Khi đó ta có tính chất sau đối với chuẩn.
√
√
Hệ quả 1.1.2. Với z1 , z2 , . . . , zn ∈ Z[ d] và u1 , u2 , . . . , un ∈ Z[ −d] ta
luôn có hệ thức
N (z1 z2 . . . zn ) = N (z1 )N (z2 ) . . . N (zn )
N (u1 u2 . . . un ) = N (u1 )N (u2 ) . . . N (un ).
√
√
Chứng minh. Giả sử zk = ak + bk d ∈ Z[ d] với k = 1, . . . , n, và viết
n
√
√

tích
(ak + bk d) = a + b d. Qua tự đẳng cấu liên hợp ta có ngay
n

k=1

√
√
(ak − bk d) = a − b d. Vì

k=1
n
2

2

a −b d=

√

n

n

(a2k − b2k d)

(ak − bk d) =

(ak + bk d)
k=1

√

k=1

k=1

Nên ta suy ra
N (z1 z2 . . . zn ) = N (z1 )N (z2 ) . . . N (zn ).
Tương tự, ta cũng có N (u1 u2 . . . un ) = N (u1 )N (u2 ) . . . N (un ).
Sử dụng định nghĩa của đẳng cấu vành, ta có thể kiểm tra được tính
chất sau đây.
Mệnh đề 1.1.3. Giả thiết p, q là hai số nguyên dương không có nhân
tử chính phương sao cho (p, q) = 1. Khi đó tập
√ √
√
√
√
Z[ p, q] = {a + b p + c q + d pq | a, b, c, d ∈ Z}
cùng phép cộng và nhân thông thường lập thành một vành giao hoán
√ √
√ √
có đơn vị và các ánh xạ φi : Z[ p, q] → Z[ p, q] cho ứng phần tử


7

√
√
√

z = a + b p + c q + d pq với phần tử

√
√
√

φ
(z)
=
a
+
b
p
+
c
q
+
d
pq
1



√
√
√
φ (z) = a − b p + c q − d pq
2
√
√

√

φ3 (z) = a + b p − c q − d pq



φ (z) = a − b√p − c√q + d√pq
4
là những tự đẳng cấu, với i=1,2,3,4.
√ √
Với z ∈ Z[ p, q], đặt N (z) = φ1 (z)φ2 (z)φ3 (z)φ4 (z). Ta gọi N (z) là
chuẩn của z. Khi đó, sử dụng các đẳng cấu trong mệnh đề trên ta có
tính chất sau của chuẩn.
√ √
Hệ quả 1.1.4. Nếu z1 , z2 ∈ Z[ p, q] thì N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2 ).
√ √
√ √
Chứng minh. Với z1 , z2 ∈ Z[ p, q], ta có z1 z2 ∈ Z[ p, q]. Hơn nữa,
φi (z1 z2 ) = φi (z1 )φi (z2 ). Vậy
4

N (z1 z2 ) =

4

φi (z1 )
i=1

φi (z2 ) = N (z1 )N (z2 ).
i=1

Cho α ∈ C. Ký hiệu
Q[α] = {f (α) | f (x) ∈ Q[x]};
Q(α) =

f (α)
| f (x), g(x) ∈ Q[x], g(α) = 0 .
g(α)

Khi đó Q [α] là vành con nhỏ nhất của C chứa Q và α. Hơn nữa, Q (α)
là trường con nhỏ nhất của C chứa Q và α. Rõ ràng Q (α) chứa Q [α].
Nếu α là số đại số (tức α là nghiệm của một đa thức khác không với hệ
số trong Q) thì Q (α) = Q [α] (xem Định lý 1.3.15).
Với α, β ∈ C, đặt Q (α, β) = (Q (α)) (β). Khi đó Q (α, β) là trường
con nhỏ nhất của C chứa Q, α, β.


8

Mệnh đề 1.1.5. Cho p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử chính
√ √
√
√
phương sao cho (p, q) = 1. Khi đó Q p, q = Q p + q .Hơn nữa
√ √
√ √
p, q = Q p, q .

Q

√ √
√ √
√ √
√ √
Chứng minh. Vì p+ q ∈ Q p, q nên Q p+ q ⊆ Q p, q .
√
√
Đặt u = p + q. Khi đó ta có hệ
√

√
p+ q =u
√
√
(p + 3q) p + (q + 3p) q = u3 .
Suy ra

√ √
p, q ∈ Q(u). Như vậy
√
Q

Tóm lại Q

√

q ⊇Q

√ √
p, q .

√
√
√ √
p, q = Q p + q . Dễ dàng chỉ ra
Q

1.2

p+

√ √
√ √
p, q = Q p, q .

Vành Euclide

Trước tiên ta nhắc lại một vài khái niệm. Phần tử p = 0 và không khả
nghịch thuộc miền nguyên R được gọi là phần tử bất khả quy nếu nó
không có ước thực sự. Phần tử p = 0 không khả nghịch được gọi là phần
tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p|ab thì p|a hoặc p|b. Chú ý rằng
trong mọi miền nguyên, mỗi phần tử nguyên tố đều là một phần tử bất
khả quy. Miền nguyên R được gọi là một vành chính nếu mỗi iđêan của
nó là iđêan chính.
Định nghĩa 1.2.1. Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếu
tồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều
kiện dưới đây:
(i) Với a, b ∈ R∗ , a = 0 và b|a, có δ(b)

δ(a).

9

(ii) Với a, b ∈ R, b = 0, luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r
và δ(r) < δ(b) khi r = 0.
Ví dụ 1.2.2. Z là vành Euclide với ánh xạ g : Z∗ → N cho tương ứng
g (n) = |n|, trong đó Z∗ = Z\ {0}.
Ví dụ 1.2.3. Nếu K là một trường thì K là vành Euclide với ánh xạ
g : K ∗ → N cho bởi g (a) = 1, với mọi a ∈ K ∗ = K \ {0}. Thật vậy, ta
có g (ab) = 1 = g (a) với mọi a, b ∈ K ∗ . Với b ∈ K ∗ , a ∈ K ta luôn có
a = b b−1 a + 0. Thực tế với một số nguyên dương n tùy ý, ánh xạ cho
ứng mỗi phần tử của K ∗ với n cũng là ánh xạ Euclide.
Mệnh đề 1.2.4. Mỗi vành Euclide đều là một vành chính.
Chứng minh. Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh
xạ Euclide δ : R∗ = R \ {0} → N. Giả sử I là một iđêan của R. Nếu
I = (0) thì I là iđêan chính sinh bởi 0. Nếu I = (0) thì có a ∈ I, a = 0,
sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I ∗ ), trong đó I ∗ = I \ {0}. Giả
sử x ∈ I. Vì R là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao cho x = aq + r.
Vì a, x ∈ I nên r ∈ I. Nếu r = 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫn
với giả thiết về cách chọn phần tử a. Vậy r = 0 và do đó I = (a).
Vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} được gọi là vành các số nguyên Gauss.
Chuẩn của phần tử z = a + bi là N (z) = a2 + b2 .
Mệnh đề 1.2.5. Vành Z[i] là vành Euclide.
Chứng minh. Giả sử z = a + bi và z1 = a1 + b1 i = 0. Ta chỉ ra có
z2 = a2 + b2 i ∈ Z[i] sao cho N (z − z1 z2 ) < N (z1 ). Thật vậy, từ biến đổi
sau
z
a + bi
(a + bi)(a1 − b1 i) (aa1 + bb1 ) − (ab1 − a1 b)i

=
=
=
z1
a1 + b 1 i
a21 + b21
a21 + b21
và chọn a2 , b2 ∈ Z với
aa1 + bb1
− a2
a21 + b21

1 a1 b − ab1
,
− b2
2 a21 + b21

1
.
2


10

Suy ra
N

a1 b − ab1
z
aa1 + bb1

− z2 = N
−
a
+
i − b2 i
2
z1
a21 + b21
a21 + b21

1 1 1
+ = .
4 4 2

Như vậy
N (z − z1 z2 ) = N z1

z
− z2
z1

= N (z1 )N

z
− z2 < N (z1 )
z1

và suy ra Z[i] là một vành Euclide.
Bổ đề 1.2.6. Nếu N (α) = p là số nguyên tố thì α là phần tử nguyên tố.
Chứng minh. Nếu α không là phần tử nguyên tố thì α = ab với a, b

không là nhân tử tầm thường. Khi đó p = N (α) = N (ab) = N (a)N (b)
với N (a), N (b) > 1. Điều này là mâu thuẫn.
Ví dụ 1.2.7. Nếu N (α) = 2 thì 1 + i là phần tử nguyên tố và ta có
1 − i = (−i)(1 + i) không là phần tử nguyên tố.
Lời giải. Vì N (1 + i) = 2 nên 1 + i là phần tử nguyên tố theo Bổ đề
1.2.6. Hiển nhiên 1 − i = (−i)(1 + i) với N (−i) = 1.
Mệnh đề 1.2.5 chỉ ra rằng vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} là vành
Euclide. Mệnh đề tiếp theo cho thêm một số ví dụ về vành Euclide.
Mệnh đề 1.2.8. Vành Z[α] = {a + bα | a, b ∈ Z}, trong đó α2 thuộc
{ − 1, 2, 3} là vành Euclide.
Chứng minh. Ánh xạ N : Z[α] → N, a + bα → |a2 − γb2 |, là chuẩn
trong Z[α]. Hiển nhiên N (a + bα) = 0 khi và chỉ khi a = b = 0. Giả sử
u = a + bα và v = c + dα thuộc vành Z[α] với N (u) > N (v) > 0. Ta chỉ
ra z, t ∈ Z[α] thỏa mãn u = zv + t với N (v) > N (t). Biến đổi thương
uv
(a + bα)(c − dα) ac − γbd bc − ad
u
=
=
=
+
α
v
vv
vv
vv
vv
r + sα
= m + nγ +
với m.n.r.s ∈ Z.

vv


11

Như vậy

ac − γbd = mvv + r

1
N (v). Bây giờ ta chọn
2

với |r|, |s|

bc − ad = nvv + s
r + sα
z = m + nα và t =
= u − vz ∈ Z[α]. Hiển nhiên
v
|r2 − γs2 |
|1 − γ|
N (t) =
N (v) < N (v)
N (v)
4
với γ = −1, 2, 3. Vậy vành Z[α] là vành Euclide.

Mệnh đề 1.2.9. Cho vành Z[α]như trong Mệnh đề 1.2.8. Nếu u ∈ Z[α]
có chuẩn N (u) = 1 thì u là phần tử khả nghịch trong Z[α].

Chứng minh. Giả sử u = a + bα với a2 − b2 α2 = 1. Xét x + yα ∈ Z[α]
thỏa mãn (a + bα)(x + yα) = 1. Khi đó ax + bα2 y = 1, bx + ay = 0. Giải
hệ phương trình tuyến tính hai ẩn x, y. Vì N (u) = 1 nên dễ dàng suy ra
x, y ∈ Z. Vậy u là phần tử khả nghịch trong Z[α].
Mệnh đề 1.2.10. Với vành Z[α] như trong Mệnh đề 1.2.8, nếu u ∈ Z[α]
có chuẩn N (u) là số nguyên tố thì u là phần tử bất khả qui trong Z[α].
Chứng minh. Giả sử u là phần tử khả qui trong Z[α]. Khi đó ta có
phân tích thành tích u = u1 u2 trong Z[α]. Vì
N (u1 )N (u2 ) = N (u1 u2 ) = N (u)
là số nguyên tố nên N (u1 ) = 1 hoặc N (u2 ) = 1. Vậy điều giả sử là
sai.
Ngoài các vành Euclide Z [i] ,Z

√

2 ,Z

√

3 trong Mệnh đề 1.2.8,

chúng ta còn có một vành rất quan trọng, đó là vành đa thức một biến
với hệ số trên một trường.
Định lý 1.2.11. Nếu K là một trường thì vành đa thức một biến K [x]
là vành Euclide và là vành Gauss.
Chứng minh. Xét ánh xạ ϕ : K[x]∗ → N cho bởi ϕ(g) = deg (g), trong
đó K[x]∗ = K[x] \ {0}. Với g, f ∈ K[x] ta luôn có
ϕ(gf ) = deg (gf ) = deg g + deg f ≥ deg g = ϕ (g) .

12

Cho g ∈ K[x], f ∈ K[x]∗ . Khi đó theo tính chất chia với dư, tồn tại 2 đa
thức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho g = f q + r với r = 0 hoặc
ϕ(r) = deg r < deg f = ϕ(f ).
Do đó K[x] là vành Euclide. Vì thế K[x] là vành Gauss.

1.3

Vành các số nguyên đại số.

Một trong những lớp vành Euclide quan trọng trong lý thuyết số đại số
là vành các số nguyên đại số. Trong tiết này, chúng tôi trình bày khái
niệm bao đóng nguyên và một số kêt quả về bao đóng nguyên, từ đó
đưa ra một số tiêu chuẩn cho vành các số nguyên đại số là vành Euclide
(xem Định lý 1.3.8).
Trong mục này S được ký hiệu là một vành giao hoán với phần tử
đơn vị 1 và R là một vành con của S cũng chứa phần tử 1.
Định nghĩa 1.3.1. Phần tử α ∈ S được gọi là phần tử đại số trên R
nếu α là nghiệm của một đa thức khác 0 với hệ số trên R. Phần tử α ∈ S
được gọi là phần tử nguyên trên R nếu tồn tại các phần tử a1 , . . . , an ∈ R
sao cho
αn + a1 αn−1 + · · · + an−1 α + an = 0.
Đặt f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0. Phương trình f (x) = 0
được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của α trên R. Vành S được
gọi là mở rộng nguyên của R nếu mỗi α ∈ S đều là nguyên trên R.
Hiển nhiên, mọi phần tử s ∈ R đều là nguyên trên R vì s là nghiệm
của đa thức x − s ∈ R[x]. Hơn nữa, nếu α là phần tử nguyên trên R
thì α là phần tử đại số trên R. Điều ngược lại không đúng, chẳng hạn
1

phần tử ∈ Q là đại số trên Z vì nó là nghiệm của đa thức khác không
2
f (x) = 2x − 1 nhưng nó không là nghiệm của đa thức khác 0 với hệ
1
số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. Vì thế là phần tử đại số trên Z
2
nhưng không là phần tử nguyên trên Z.


13

Định lý 1.3.2. Giả sử α, β ∈ S. Nếu α là nguyên trên R và β là nguyên
trên R[α] thì β là nguyên trên R.
Chứng minh. Vì α là phần tử nguyên trên R nên tồn tại đa thức
f (x) ∈ R[x] nhận α làm nghiệm và f (x) có hệ số cao nhất bằng 1. Trong
số các đa thức nhận α làm nghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp nhất
với hệ tử cao nhất bằng 1. Giả sử f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an .
Vì β là phần tử nguyên trên R[α] nên có đa thức g(x) ∈ R[α][x] nhận β
làm nghiệm và có hệ số cao nhất bằng 1. Giả sử
g(x) = xm + b1 (α)xm−1 + · · · + bm−1 (α)x + bm (α), bi (α) ∈ R[α].
Do α là nghiệm của f (x) nên ta có
αn = −a1 αn−1 − · · · − an−1 α − an .
Thay vào mỗi bi (α), nếu cần thiết, ta có thể giả thiết các lũy thừa của
α trong mỗi bi (α) có bậc không vượt quá n − 1. Sắp xếp theo lũy thừa
tăng dần của α trong g(x), có thể viết lại đa thức g(x) thành dạng sau
g(x) = p11 (x) + p12 (x)α + · · · + p1n (x)αn−1 , p1i (x) ∈ R[x]
với p11 (x) là đa thức bậc n của x với hệ số cao nhất bằng 1, trong khi
các đa thức còn lại có bậc thấp hơn n. Nhân hai vế của đa thức
g(x) = p11 (x) + p12 (x)α + · · · + p1n (x)αn−1
và thế αn bằng −a1 αn−1 − · · · − an−1 α − an ta lại có

g(x)α = p21 (x) + p22 (x)α + · · · + p2n (x)αn−1 , p2i (x) ∈ R[x].
Cứ thế lặp lại, ta có
g(x)αs = ps1 (x) + ps2 (x)α + · · · + psn (x)αn−1 , psi (x) ∈ R[x].
Chú ý rằng, mỗi đa thức pss (x) đều là đa thức bậc m của x với hệ tử cao
nhất bằng 1; các đa thức psi (x) còn lại có bậc nhỏ hơn m. Vì g(β) = 0
nên ta nhận được hệ phương trình
ps1 (β) + ps2 (β)α + · · · + psn (β)αn−1 = 0
s = 1, 2, . . . , n.


14

Do hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường là (1, α, . . . , αn−1 )
nên định thức phải bằng 0 hay det(psi (β)) = 0. Như vậy, β là nghiệm
của đa thức det(psi (x)) ∈ R[x] \ {0}. Do đó β là nguyên trên R.
Bổ đề 1.3.3. Giả sử α, β ∈ S. Nếu α và β là nguyên trên R thì γ = α+β
và δ = αβ cũng là nguyên trên R.
Chứng minh. Giả sử phương trình phụ thuộc nguyên của α trên R là
f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0.
Gọi γ và δ là nghiệm của
h(x) = (x − β)n + a1 (x − β)n−1 + · · · + an−1 (x − β) + an = 0
k(x) = xn + a1 βxn−1 + · · · + an−1 β n−1 x + an β n = 0
tương ứng. Vì h(x), k(x) thuộc R[α][x] nên γ, β là những phần tử nguyên
trên vành R[α]. Vậy, γ, δ nguyên trên vành R theo Định lý 1.3.2.
Định lý 1.3.4. Giả sử R là một vành con của vành S. Khi đó, tập tất
cả các phần tử thuộc S nguyên trên R lập thành một vành con của S
chứa R.
Chứng minh. Ký hiệu R là tập tất cả các phần tử thuộc S nguyên
trên R. Vì mỗi phần tử r ∈ R đều thỏa mãn phương trình x − r = 0 nên
R ⊆ R. Nếu α và β thuộc S là nguyên trên R thì α + β và αβ cũng là

nguyên trên R theo Bổ đề 1.3.3. Như vậy, α + β và αβ thuộc R khi α và
β thuộc R. Suy ra R là một vành con của vành S chứa vành R.
Định nghĩa 1.3.5. Vành con R gồm các phần tử của S nguyên trên R
được gọi là bao đóng nguyên của R trong S. Nếu R = R thì R được gọi
là vành đóng nguyên trong S. Nếu S = R thì S được gọi là vành nguyên
trên R hay mở rộng nguyên của R.
Mệnh đề 1.3.6. Z là vành đóng nguyên trong trường Q.


15

a
Chứng minh. Ta có Z = { ∈ Q | a, b ∈ Z}. Rõ ràng Z ⊆ Z.
a b
a
Ngược lại, cho ∈ Z với tối giản, b > 0. Khi đó tồn tại các số nguyên
b
b
a1 , ..., an ∈ Z sao cho
a
b

n

+ a1

a
b

n−1

+ ... + an−1

a
+ an = 0.
b

Quy đồng mẫu số ta có
an = a1 ban−1 + ... + an−1 bn−1 a + an bn .
a
Vì vế phải của đẳng thức trên là bội của b nên an là bội của b. Do tối
b
a
giản nên b=1. Suy ra ∈ Z.
b
Định lý 1.3.7. Giả sử R là một vành con của miền nguyên S và S = R.
Khi đó, S là một trường khi và chỉ khi R là một trường.
Chứng minh. Giả thiết R là một trường. Giả sử y ∈ S, y = 0. Vì y là
nguyên trên R nên có đa thức
f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ R[x], an = 0
để f (y) = 0. Vì R là một trường và an = 0 nên có
n−1
y −1 = a−1
+ a1 y n−2 + · · · + an−1 ) ∈ S.
n (y

Vậy S là một trường. Ngược lại, giả thiết S là một trường. Giả sử
r ∈ R, r = 0. Vì S là một trường và r = 0, r ∈ R ⊆ S nên có r−1 ∈ S.
Vì S = R nên r−1 nguyên trên R. Khi đó ta có phương tình đa thức
(r−1 )m + b1 (r−1 )m−1 + · · · + bm−1 (r−1 ) + bm = 0.

Từ đây suy ra
r−1 = −(b1 + b2 r + · · · + bm rm−1 ) ∈ R.
Vậy R là một trường.


16

Số phức α được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nguyên trên Q. Đặt
√
√
Q[ d] = {a + b d | a, b ∈ Q}.
√
Khi đó chú ý rằng Q[ d] là một trường chứa Q.
√
Định lý 1.3.8. Vành R các số nguyên đại số của Q[ d] với d thuộc
{−11, −7, −3, −2} là vành Euclide với ánh xạ ϕ : R → N, α → αα.
Chứng minh. Cho các phần tử khác không α và β, ta có thể viết
√
√
αβ −1 = x + iy −d thuộc Q[ d]. Giả sử x, y thuộc các đoạn [u1 , u2 ] và
[v1 , v2 ], trong đó ui , vj là những số nguyên. Ta xét hai trường hợp.
√
1
Trường hợp d = −2. Ta có thể chọn a+ib 2 thuộc R sao cho |x−a|
2
√
1
và |y − b|
. Khi đó α = (x + iy 2)β có thể viết được thành dạng
2

√
√
α = (u + iv 2)β + ((x − u) + i(y − v) 2)β
√
với ϕ ((x − u) + i(y − v) 2)β < ϕ(β).
√
Trường hợp d = −11, −7, −3. Ta có thể chọn a + ib 2 thuộc R sao cho
1
1
và |y − b|
. Chia đoạn [u1 , u2 ] ra làm hai đoạn bằng nhau
|x − a|
2
4
và chia đoạn [v1 , v2 ] ra làm bốn đoạn bằng nhau. Nếu x thuộc nửa thứ
nhất (thứ hai), tương ứng y thuộc phần tư thứ nhất (thứ tư), thì ta chọn
u = u1 , (u = u2 ), tương ứng v = v1 , (v = v2 ), Nếu y thuộc đoạn phần tư
u1 + u2
v1 + v2
và v =
. Khi
thứ hai hay thứ ba thì ta có thể chọn u =
2
2
√
đó α = (x + iy −d)β. Do đó ta có thể biểu diễn
√
√
α = (u + iv −d)β + ((x − u) + i(y − v) −d)β
√

với ϕ ((x − u) + i(y − v) −d)β < (|x − u)2 − |y − v|2 )d)ϕ(β). Từ đó
suy ra
√
4−d
ϕ ((x − u) + i(y − v) −d)β =
ϕ(β) < ϕ(β).
16
Vậy, vành R là một vành Euclide.


17

Phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính chất của số đại số trên một
trường. Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mỗi đa thức bậc
dương với hệ số trên K đều có nghiệm trong K. Chẳng hạn C là trường
đóng đại số (theo Định lý cơ bản của đại số ), R không đóng đại số vì
đa thức x2 + 1 có bậc dương nhưng không có nghiệm trong R.
Cho K là một trường trung gian giữa C và Q. Ta nói K là một
trường số nếu K là một Q–không gian vec tơ hữu hạn chiều. Chẳng
√
√
hạn, Q[ d] = {a + b d | a, b ∈ Q} (với d là một số không chứa nhân tử
chính phương) là một trường số vì nó là một Q-không gian chiều 2.
Chú ý rằng trên một trường, phần tử đại số và phần tử nguyên là
như nhau. Thật vậy, nếu α đại số trên K thì α là nghiệm của một đa
thức
an xn + ... + a1 x + a0 ∈ K [x]
với an = 0. Do an khả nghịch trong K nên ta có thể nhân đa thức trên
với an −1 ∈ K, ta được một đa thức với hệ số cao nhất bằng 1 nhận α
làm nghiệm. Vì vậy phần tử α ∈ C là đại số trên K nếu và chỉ nếu nó

là nguyên trên K. Nếu α là đại số trên K thì có đa thức
ϕ (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
nhận α làm nghiệm và phương trình xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0
được gọi là phương trình đại số của α trên K.
√
√
Ví dụ 1.3.9. Số α = 2 + 3 là số đại số nguyên vì nó là một nghiệm
của đa thức f (x) = x4 − 10x2 + 1 ∈ Z[x].
Ví dụ 1.3.10. Số sin 100 là một số đại số trên Z vì nó là một nghiệm
của đa thức f (x) = 8x3 − 6x + 1 ∈ Z[x].
Định nghĩa 1.3.11. Phần tử α ∈ C được gọi là siêu việt trên K nếu
nó không đại số trên K.


18

Định lý 1.3.12. Nếu phần tử α ∈ C là đại số trên K thì nó là nghiệm
của một đa thức bất khả quy duy nhất f (x) ∈ K[x] với hệ số cao nhất
bằng 1. Hơn nữa, tất cả các đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm đều
là bội của f (x).
Chứng minh. Vì α là phần tử đại số trên K nên tồn tại f (x) ∈ K[x]
nhận α làm nghiệm và f (x) = 0. Trong số các đa thức khác 0 nhận α
làm nghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp nhất với hệ tử cao nhất bằng
1. Nếu f (x) là đa thức khả qui thì f (x) phân tích được thành tích của
hai đa thức g(x) và h(x) với bậc dương và hệ tử cao nhất cũng bằng 1.
Khi đó f (x) = g(x)h(x) với 0 < deg g, deg h < deg f. Vì f (α) = 0 nên
g(α)h(α) = 0. Vì C là một trường nên ta có thể giả thiết g(α) = 0. Như
thế có đa thức g(x) với deg g < deg f nhận α làm nghiệm, điều này mâu
thuẫn với việc chọn của f (x). Do đó f (x) là bất khả qui. Tiếp theo, giả
thiết đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm. Nếu p(x) bằng 0 thì p(x)

chia hết cho f (x). Nếu p(x) = 0 thì viết
p(x) = q(x)f (x) + r(x)
với q(x), r(x) ∈ K[x] và deg r < deg f. Vì f (α) = 0 và p(α) = 0 nên
r(α) = 0. Từ việc chọn f (x) suy ra r(x) = 0 hay p(x) chia hết cho
f (x).
Định nghĩa 1.3.13. Đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với hệ số cao
nhất bằng 1 nhận α làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của α trên
K. Các nghiệm α1 , . . . , αn của đa thức tối tiểu của α được gọi là các liên
hợp của α trên K.
Từ Định lý 1.3.7, ta có ngay kết quả sau đây.
Định lý 1.3.14. Với K là trường trung gian giữa Q và C, vành các số
đại số trên K là một trường chứa K.
Giả thiết α ∈ C là số đại số (trên Q) với đa thức tối tiểu
f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an .


19

Ký hiệu Q[α] = {g(α) | g(x) ∈ Q[x]}. Định lý sau đây chỉ ra rằng vành
đa thức Q[α] của α không những là một trường mà còn là một Q-không
gian véc tơ n chiều.
Định lý 1.3.15. Q[α] là một trường và là Q-không gian véc tơ n chiều.
Chứng minh. Vành Q[α] là một miền nguyên vì nó là vành con của
trường C. Lấy t ∈ Q[α] với t = 0. Khi đó có đa thức g(x) ∈ Q[x] thỏa
mãn t = g(α) = 0. Vì g(α) = 0 nên (g(x), f (x)) = 1 và như thế tồn tại
hai đa thức p(x), q(x) ∈ Q[x] để
g(x)p(x) + f (x)q(x) = 1.
Suy ra g(α)p(α) = 1. Do đó t có nghịch dảo t−1 = p(α) ∈ Q[α]. Vậy
Q[α] là một trường.
Vì đa thức tối tiểu f (x) của α có bậc n nên 1, α, . . . , αn−1 là hệ độc

lập tuyến tính trên Q. Từ
αn = −an − an−1 α − · · · − a1 αn−1
và trong mỗi phần tử t = g(α) ∈ Q[α], phần tử αn được thay qua
−an − an−1 α − · · · − a1 αn−1 ta suy ra 1, α, . . . , αn−1 là một hệ sinh của
Q[α]. Vậy Q[α] là Q-không gian véc tơ n chiều.
Chú ý rằng trường
Q(α) =

g(α)
| g(α), h(α) ∈ Q[α], h(α) = 0
hα)

là trường con nhỏ nhất của C chứa đồng thời cả Q và α. Nếu α là số đại
số thì theo Định lý 1.3.15, ta có Q(α) = Q[α].
ChoR là môt vành và I là idean của R. Ký hiệu R/I = {x + I |x ∈ R}.
Chú ý rằng x + I = y + I khi và chỉ khi x − y ∈ I. Khi đó R/I là một
vành với các phép toán
(x + I) + (y + I) = x + y + I; (x + I) (y + I) = xy + I.


20

Vành R/I được gọi là vành thương của R theo I. Nếu f : R → R là
một đồng cấu vành thì Kerf = {x ∈ R | f (x) = 0} là một idean của R
và R/Kerf = Imf .
Hệ quả 1.3.16. Ta có Q(α) = Q[α] ∼
= Q[x]/(f ).
Chứng minh. Hiển nhiên Q[α] ⊆ Q(α). Vì Q[α] là trường chứa Q và
α nên Q[α] ⊇ Q(α). Tóm lại Q[α] = Q(α). Vì
φ : Q[x] → Q[α], g(x) → g(α)

là toàn cấu với Ker(φ) = (f ) nên Q[α] ∼
= Q[x]/(f ).
Trường Q(α) xác định như trong Định lý 1.3.15 được gọi là một mở
rộng bậc n của Q.
Định nghĩa 1.3.17. Giả sử K là một trường mở rộng của trường Q.
Trường K được gọi là mở rộng bậc hai nếu K là Q-không gian véc tơ
chiều 2.
Mệnh đề 1.3.18. Giả sử d là số nguyên không chứa nhân tử chính
√
√
phương. Tập Q[ d] = {a + b d | a, b ∈ Q} là trường con nhỏ nhất của
√
√
trường C chứa Q và d. Hơn nữa dimQ Q[ d] = 2.
√
√
√
√
Chứng minh. Vì a = a + 0 d và d = 0 + 1 d đều thuộc Q[ d] với
√
√
mọi a ∈ Q, nên Q[ d] là trường con của trường C chứa Q và d. Giả
√
√
sử K là trường con của trường C chứa Q và d. Khi đó K chứa a + b d
√
với mọi a, b ∈ Q. Như vậy K chứa Q[ d] như một trường con. Từ đây
√
√
suy ra rằng, Q[ d] = {a + b d | a, b ∈ Q} là trường con nhỏ nhất của

√
√
trường C chứa Q và d. Vì 1 và d là độc lập tuyến tính trên Q nên
√
dimQ Q[ d] = 2.
Bây giờ ta chứng minh một tiêu chuẩn cho mở rộng bậc hai của Q.
Định lý 1.3.19. Nếu K là trường mở rộng bậc hai của Q thì có số
√
nguyên d không chứa nhân tử chính phương thỏa mãn K = Q[ d].


21

Chứng minh. Vì K là mở rộng bậc hai của Q nên có số α ∈ K, α ∈
/ Q.
Khi đó 1, α, α2 là phụ thuộc tuyến tính trên Q. Do đó, có đa thức bậc
hai bất khả quy f (x) = x2 + ax + b ∈ Q[x] thỏa mãn f (α) = 0. Vì
Q ⊂ Q(α) ⊆ K và Q(α) là Q-không gian véc tơ chiều 2 nên K = Q(α).
Vậy K = Q[α] theo Hệ quả 1.3.16. Từ biểu diễn
√
√
−a + a2 − 4b −a + c d
α=
=
2
2
√
với a, c ∈ Q và d không chứa nhân tử chính phương nên K = Q[ d)].
Định nghĩa 1.3.20. Trường K được gọi là một trường số nếu K là một
mở rộng bậc hữu hạn của Q.

Định nghĩa 1.3.21. Giả sử K là trường mở rộng của Q và K ⊆ C. Số
α ∈ K được gọi là số nguyên đại số nếu α là nghiệm của một đa thức
thuộc Z[x] với hệ tử cao nhất bằng 1.
Chú ý rằng đa thức với hệ số nguyên là bất khả quy trên Z khi và chỉ
khi nó là bất khả quy trên Q. Nếu đa thức f (x) ∈ Z[x], deg f

1, với hệ

tử cao nhất bằng 1 được biểu diễn thành tích hai đa thức f (x) = g(x)h(x)
với hệ tử cao nhất của g(x) và h(x) đều bằng 1 thì g(x), h(x) ∈ Z[x].
Vận dụng nhận xét này ta suy ra kết quả sau.
Bổ đề 1.3.22. Phần tử α thuộc một trường mở rộng K của Q là một
số nguyên đại số khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của α là đa thức với hệ
số nguyên.
Định lý 1.3.23. Giả sử α và β là hai số nguyên đại số và ϕ(x, y) là một
đa thức bất kỳ với hệ số nguyên. Khi đó ϕ(α, β) cũng là một số nguyên
đại số.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.3.22, có hai đa thức g(x), h(x) ∈ Z[x] với
hệ số cao nhất bằng 1 là đa thức tối tiểu của α và β, tương ứng. Gọi
α1 = α, α2 , . . . , αn là những liên hợp của α và gọi β1 = β, β2 , . . . , βm là


22

những liên hợp của β. Xét đa thức
n

m

(x − ϕ(αi , βj )).

F (x) =
i=1 j=1

Hiển nhiên, các hệ số của đa thức F (x) đều là những đa thức đối xứng
của các số αi và βj nên F (x) ∈ Z[x] có hệ số cao nhất bằng 1. Theo nhận
xét ở trên, có nhân từ bất khả quy của F (x) thuộc Z[x] nhận ϕ(α, β)
làm nghiệm. Do vậy, ϕ(α, β) cũng là một số đại số nguyên.
Từ định lý này ta suy ra ngay các hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.24. Nếu α và β là hai số nguyên đại số thì α ± β và α.β
cũng là những số nguyên đại số.
Hệ quả 1.3.25. Tập tất cả các số nguyên đại số thuộc K lập thành một
vành con OK của trường C.
Giả sử d ∈ Z không chứa nhân tử chính phương. Ta xác định vành
√
các số nguyên đại số OK với K = Q( d) qua định lý sau đây.
√
√
Định lý 1.3.26. Giả sử K = Q( d). Khi
√ đó OK = Z[α] với α = d
1+ d
khi d ≡ 2 hoặc d ≡ 3 (mod 4) và α =
khi d ≡ 1(mod 4).
2
Chứng minh. Vì α thỏa mãn α2 − d = 0 khi d ≡ 2(mod 4) hoặc khi
1−d
d ≡ 3(mod 4) và α2 − α +
= 0 khi d ≡ 1(mod 4) nên α là số
4
√

√
ngyên đại số. Do vậy Z[α] ⊆ OK . Giả sử γ = a + b d ∈ Q( d) và
γ là một số nguyên đại số. Nếu b = 0 thì γ = a ∈ Q và như vậy
γ = a ∈ Z ⊆ Z[α]. Nếu b = 0 thì phương trình đa thức bậc thấp nhất
nhận γ làm một nghiệm là x2 − 2ax + a2 − b2 d = 0. Theo Bổ đề 1.3.22,
ta có 2a, a2 − b2 d ∈ Z. Từ đây suy ra
4(a2 − b2 d) = (2a)2 − (2b)2 d ∈ Z.
Như vậy (2b)2 d ∈ Z. Vì d không chứa nhân tử chính phương nên 2b ∈ Z.
n
m
với m, n ∈ Z. Vì a2 − b2 d ∈ Z nên
Ta có thể biểu diễn a = và b =
2
2


23

n2 − m2 d ≡ 0(mod 4). Do chỉ có hai số 0 và 1 là bình phương của số
nguyên theo modulo 4 và d không chia hết cho 4 nên có hai khả năng:
(1) d ≡ 2(mod 4) hoặc d ≡ 3(mod 4) và m, n là hai số chẵn.
(2) d ≡ 1(mod 4) và m, n là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
√
Trong khả năng (1): Ta có a, b ∈ Z và γ ∈ Z[ d] = Z[α]. Trong khả
√
n−m
và s = m ∈ Z.
năng (2): Ta có γ = a + b d = r + sα với r =
2
Do vậy, γ cũng thuộc Z[α].

√
√
Ví dụ 1.3.27. Khi d = 7 ta có d ≡ 3(mod 4). Số α = 7 ∈ Q( 7) = K
là số nguyên đại số vì nó là nghiệm của đa thức x2 − 7. Tập tất cả các
√
√
số nguyên đại số thuộc trường K = Q( 7) là vành OK = Z 7 . Số
√
√
√ −1
√
7 ∈ Z 7 = OK , 7 = 0, nhưng
7
∈
/ OK . Như vậy, OK không
là một trường.
√

−3
Ví dụ 1.3.28. Khi d = −3 ta có d ≡ 1(mod 4). Số α =
thuộc
2
√
Q( −3) = K là số nguyên đại số vì nó là nghiệm của đa thức x2 − x + 1.
√
Tập tất cả các
số
nguyên
đại
số

thuộc
trường
K
=
Q(
−3) là vành
√
1 + −3
OK = Z
theo Định lý 1.3.26.
2
1+

1.4

Chuẩn và vết.

Bây giờ ta xét một số tính chất về chuẩn và vết của một phần tử. Cho
α là một số đại số. Gọi γ1 , . . . , γn là một cơ sở của Q-không gian véc tơ
Q[α]. Cho số y ∈ Q[α]. Vì Q[α] là một trường nên yγi ∈ Q[α]. Vì Q[α]
là một Q-không gian véc tơ nên mỗi tích yγi có thể biểu diễn thành một
tổ hợp tuyến tính


yγi =

n

aij γj
j=1


aij ∈ Q, i, j = 1, . . . , n.