TIỂU LUẬN CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ
MINH
Khoa Giáo dục Tiểu học

Tiểu luận môn học:

CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU
HỌC 3
BÀI THI KẾT THÚC HỌC
PHẦN

1


2


Contents

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:

“Toán học là ngành khoa học nghiên cứu trừu tượng về những
chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay
đổi”. Toán học có sự góp mặt tích cực vào các lĩnh vực khoa học
khác và trong đời sống thực tiễn. Do đó, việc dạy học toán ở phổ
thống nói chung và ở tiểu học nói riêng đóng một vai trò rất
quan trọng. Nó cung cấp nền tảng kiến thức cơ bản để học sinh
từng bước phát triển cao hơn, đi sâu vào toán học hay đơn giản
dừng lại ở mức độ xử lý những vấn đề giản dị trong đời sống
liên quan đến toán học.
Với những nhận thức cơ bản về toán học như trên, nhóm tác

giả chọn hướng tiếp cận toán học dưới các giác độ cơ bản, chú
trọng khai thác các phạm trù của toán học trong giới hạn chương
trình Toán tiểu học hiện hành. Các vấn đề cơ bản ấy bao gồm:
thế nào là giải quyết một bài toán? Quá trình bốn bước để giải
một bài toán theo Polya; các chiến lược, phương pháp chung để
giải quyết một bài toán; bài toán không giải được và phỏng
đoán; biến số và phương trình, các phương pháp đếm số tam
giác trong một hình cho trước và một số bài toán hay.
Trong phạm vi bài luận của mình, nhóm tác giả đã cố gắng
khai thác sâu nhất các vấn đề nêu trên trong giới hạn khả năng
của bản thân. Ngoài những kiến thức cơ bản có trong tài liệu
3


tiếng Anh “Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual
Approach” của Bennett. A. B, Burto. J, Nelson. L. T, chúng tôi
còn mở rộng mỗi vấn đề nói trên theo nhiều chiều. Đặc biệt ở
mục ba, chúng tôi đã cố gắng bám sát, nêu được tên gọi tương
ứng và phân tích sâu các phương pháp giải toán ở tiểu học phổ
biến hiện hành, sưu tầm thêm một số phương pháp được các
chuyên gia toán học, các thầy, cô giáo tiểu học hiện nay sử dụng
để giúp học sinh giải được bài toán phù hợp với đặc điểm tâm
sinh lý, ở mỗi phương pháp đều có các ví dụ cụ thể được trình
bày một cách khoa học, rõ ràng và dễ hiểu. Ở một số phương
pháp còn có sự gắn kết với thực tiễn đời sống, định hướng nghệ
thuật dạy học cho giáo viên.
II. NỘI DUNG:
CÂU I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN TOÁN
TIỂU HỌC
1. THẾ NÀO LÀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN?

1.1. KHÁI NIỆM VỀ MỘT BÀI TOÁN, MỘT BÀI TOÁN Ở TIỂU
HỌC

Trong toán học, một bài toán thường bao gồm hai bộ phận:
một là, các dữ kiện đã biết như số liệu, biến số, phép toán, các kí
hiệu toán học, mối quan hệ giữa các thành tố ấy; hai là vấn đề
cần được giải quyết. Vấn đề này đòi hỏi tính vừa sức đối với
người tiếp nhận, không quá khó nhưng cũng không quá dễ, tạo
nên tình huống mà người học chưa biết, đang quan tâm, đang
thắc mắc và thực sự có nhu cầu giải quyết, nghĩa là bài toán phải
dựa trên những đặc điểm tâm lý của lứa tuổi, kích thích được tư
duy của học sinh, người học có thể nhận diện và giải quyết được
bài toán đó dựa trên những kinh nghiệm về toán học mà họ đã
tích lũy.
Để kích thích được tư duy của học sinh, đặc biệt là học sinh
tiểu học, vấn đề của bài toán đặt ra cần phải phù hợp với đặc
điểm tâm lý của trẻ, trước hết là đặc điểm về tư duy. Tư duy của
4


học sinh tiểu học có sự thay đổi và phát triển dần theo từng độ
tuổi, từ tư duy trực quan, cụ thể chuyển dần sang tư duy mang
tính trừu tượng, khái quát. Với những đặc điểm ấy, các bài học
trong sách giáo khoa Toán lớp 1 cũng phải thống nhất theo một
nguyên tắc nhất định. Cụ thể, sách giáo khoa môn Toán lớp 1
nói riêng và sách giáo khoa môn khác của lớp 1 nói chung
thường sử dụng rất nhiều hình ảnh mang màu sắc sinh động để
lôi cuốn trẻ học tập. Bài học để trẻ làm quen và nhận diện “phép
cộng trong phạm vi 3” dưới đây là một ví dụ điển hình:
Ở phần ví dụ, sách đã sử dụng bốn hình ảnh về sự vật để miêu

tả bốn phép toán cộng trong phạm vi 3: hai con gà đại diện cho
hai đơn vị được chia cắt bởi một dấu gạch xiên và chúng cùng
nằm trong một ô lớn. Ô lớn đại diện cho tổng. Tương tự, ba hình
còn lại cũng như vậy.
Qua các hình ảnh này, chúng ta cũng có thể nhận thấy được
các bộ phận của một bài toán. Xét về mô hình bao gồm các yếu
tố đã biết như số lượng con gà, xe ô tô, con rùa, dấu chấm tròn
thuộc về hai bên của mỗi hình, mối quan hệ giữa chúng (cùng
nằm trong một ô lớn) và vấn đề đặt ra. Xét về mặt đại số bao
gồm các dữ kiện đã biết như con số, phép toán, kí hiệu như dấu
“=” và vấn đề cần được giải quyết (kết quả của tổng). Đây là
hình thức ban đầu của đại số song chúng chỉ dừng lại ở mức độ
làm quen với trẻ chứ chưa đi vào nhận diện và hình thành khái
niệm về nó.
Tuy nhiên, các bài toán của học
sinh lớp 2 trở lên đã bắt đầu giảm
dần hình ảnh trực quan và để miêu tả
một bài toán, người ta thay thế chúng
bằng lời văn và các kí hiệu. Bài toán
có lời văn xuất hiện từ khoảng giữa
chương trình Toán lớp 1. Chúng tăng
dần tần số xuất hiện từ Toán lớp 2 trở
đi với tính chất ngày càng khó hơn.
Cùng với đó, trong chương trình
Toán lớp 2, trẻ bắt đầu tiếp cận với
phép toán cộng trừ trong phạm vi
5


100 có nhớ; bảng nhân và bảng chia của 2, 3, 4, 5; chu vi hình

tam giác, hình tứ giác…Lên Toán lớp 3, trẻ sẽ tiếp tục học các
bảng nhân, bảng chia còn lại từ 6 đến 9; thực hành các phép toán
nhân chia có dư; làm việc với khái niệm về biểu thức đại số.
Hình học ở Toán lớp 3 cũng trở nên phong phú hơn, học sinh đã
bắt đầu làm việc với chu vi của các hình quen thuộc như hình
chữ nhật, hình vuông, hình tròn (xác định tâm, bán kính), các
khái niệm cơ bản của hình học như điểm, đoạn thẳng…Đặc biệt,
đối với học sinh lớp 4, 5 thuộc giai đoạn cuối cấp tiểu học, các
em đã phát triển mạnh về tư duy trừu tượng sẽ được học và thực
hành nhiều các bài toán về hình học, các phép toán nhân, chia,
cộng trừ ở dạng phức tạp; bắt đầu được học về số thập phân và
các phép toán trên số thập phân ở Toán lớp 5…
1.2. KHÁI NIỆM VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN

Giải một một bài toán hay giải quyết một vấn đề (trong toán
học) là quá trình mà trong đó tình huống không quen thuộc
được giải quyết. Một bài toán cần phải hàm chứa tính có vấn đề
từ các dữ liệu như đã được trình bày ở phần 1.1. Giải quyết các
vấn đề đó là bài toán đã được giải quyết. Một bài toán có thể có
một hay nhiều vấn đề, có thể vấn đề này là cơ sở để tìm ra vấn
đề khác. Quá trình ấy được diễn ra cho đến vấn đề cuối cùng
được tháo gỡ. Ví dụ về một bài toán lớp 5 như sau:
“Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120m, đáy bé bằng
2/3 đáy lớn. Đáy bé hơn chiều cao 5m. Trung bình cứ 100m 2 thu
hoạch được 64,5 kg thóc. Tính số ki – lô- gam thóc thu hoạch
được trên thửa ruộng đó”
Bài toán trên với các dữ kiện đã cho như độ dài của đáy lớn,
tỷ số độ dài giữa đáy lớn và đáy bé, hiệu giữa đáy bé và chiều
cao, số ki - lô - gam thóc thu hoạch được trên trung bình 100m 2
thửa ruộng. Bài toán đưa ra vấn đề cần giải quyết là tìm số ki lô - gam thóc thu hoạch được trên toàn thửa ruộng đó. Trong bài

toán này, vấn đề cần giải quyết không chỉ có một và để giải
quyết được vấn đề cuối cùng cần phải giải quyết các vấn đề thứ
yếu đặt ra trong bài toán. Các vấn đề thứ yếu ở đây chính là độ
dài của đáy bé và độ dài của chiều cao. Bài toán có thể được giải
theo các bước như sau:
6


Một là, tóm tắt bài toán:
Độ dài đáy lớn: 120 m
Độ dài đáy bé: bằng 2/3 độ dài đáy lớn
Độ dài chiều cao: ngắn hơn chiều cao 5 m
Trung bình 100m2: 64,5 kg thóc
Hỏi cả thửa ruộng:…kg thóc
Hai là, tiến hành giải bài toán trên:
Bài giải
Độ dài của đáy bé là:
120 2 : 3 = 80 (m)
Độ dài của chiều cao là:
80 – 5 = 75 (m)
Hai lần diện tích thửa ruộng hình thang là:
(120 + 80) 75 = 15000 (m2)
Diện tích thửa ruộng hình thang là:
15000 : 2 = 7500 (m2)
Số ki - lô - gam thóc thu hoạch được là:
7500 64,5 : 100 = 4837,5 (kg)
Đáp số: 4837,5 ki - lô - gam thóc
Một tình huống là vấn đề đối với người này nhưng có thể
không là vấn đề đối với người khác. Ví dụ, xác định số người
trong 3 chiếc xe ô tô khi mỗi xe ô tô chứa đựng 5 người có lẽ là

một vấn đề của học sinh tiểu học. Họ có thể giải quyết vấn đề
này bằng việc thay thế những viên bi tròn trong các hộp hoặc vẽ
trên giấy để đại diện cho số xe và người và sau đó đếm để xác
định tổng số người trong xe:

Trong toán học, mọi bài toán không phải đều được giải quyết.
Những bài toán không thể giải thích, chứng minh hay tìm ra đáp
án được không có nghĩa là chúng sai. Vấn đề này sẽ được bàn
luận nhiều hơn ở phần sau.

7


2. QUÁ TRÌNH BỐN BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỦA
POLYA?
2.1. LÝ LUẬN VỀ BỐN BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỦA POLYA

George Polya là một nhà Toán học - nhà sư phạm nổi tiếng
người Mỹ, là một bậc thầy về phương pháp giải quyết vấn đề.
Ông có tầm ảnh hưởng lớn đối với nhiều giáo viên dạy toán. Khi
nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy học sinh biết tự phát hiện, tìm
tòi cách giải quyết bài toán, G. Polya đã viết: “Cách giải này
thật đúng, nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự
kiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện
ra các sự kiện như vậy? Và làm thế nào để tự mình phát hiện ra
được?”.
Theo tư tưởng sư phạm của G.Polya, chúng ta cần phải giúp
học sinh biết tiến hành hoạt động giải toán thông qua những
thao tác trí tuệ, ông đã đưa ra phương pháp chung để giải bài
toán theo quy trình bốn bước: tìm hiểu bài toán; xây dựng

chương trình giải toán; trình bày lời giải (giải quyết bài toán dựa
trên kế hoạch đã định); và nghiên cứu sâu lời giải.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tiến hành cụ thể hóa việc vận
dụng lí luận về quy trình giải bài toán của G. Polya, đặc biệt
trong dạy học Toán cho học sinh Tiểu học.
Quy trình giải một bài Toán của G.Polya gồm bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
Để tìm hiểu nội dung của bài toán, cần chú ý các yếu tố cơ
bản: Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm và cái phải chứng minh;
Cần nắm rõ những gì thuộc về bản chất, những gì không thuộc
về bản chất của đề bài để hướng sự chú ý vào những chỗ cần
thiết; có thể tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, hình vẽ,
ngôn ngữ hay ký hiệu ngắn gọn... Ở bước này, giáo viên có thể
nêu các câu hỏi để dẫn dắt học sinh như: bài toán đã cho biết gì?
Bài toán hỏi cái gì?...
Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán.
Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xây
dựng chương trình giải cho bài toán đó. Vì vậy, khi thực hiện,
cần chú ý: lập kế hoạch giải bài toán (có thể phân tích bài toán
8


đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc, sau đó sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán). Ví dụ:
Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có nhiều hơn bể 1 là 3 con cá. Hỏi cả hai
bể có bao nhiêu con cá? Bài toán này dựa vào hai bài toán:
Bài toán 1: Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có nhiều hơn bể 1 là 3 con.
Hỏi bề 2 có bao nhiêu con cá? (toán lớp 1).
Bài toán 2: Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có 7 con cá. Hỏi cả hai bể
có bao nhiêu con cá? (bài toán gộp – lớp 1).

Thiết lập trình tự giải bài toán. Ở bước này, giáo viên có thể
dẫn dắt học sinh bằng các câu hỏi: Để trả lời được câu hỏi của
bài toán thì cần phải biết gì, cần phải làm những phép tính nào?
Trong những điều ấy, cái gì đã biết, cái gì chưa biết? Muốn tìm
cái chưa biết thì chứng ta phải biết những cái gì, phải làm tiếp
phép tính gì?...
Ví dụ: Lấy ví dụ về bài toán vừa nêu trên, ta có thể thiết lập
trình tự giải bài toán này như sau: Tìm số cá ở bể 2 (lấy 4+3), có
được số cá ở bể 2 và số cá ở bể 1 (đề bài cho trước) ta sẽ giải
quyết được yêu cầu của bài toán là tìm số cá ở cả 2 bể (lấy 4+7).
Bước 3: Trình bày lời giải và thực hiện các phép tính.
Ví dụ: Lấy ví dụ đã nêu ở bước 2, lời giải và phép tính sẽ
được trình bày như sau:
Bài giải:
Số cá có ở bể 2 là:
4+3 =7 (con cá)
Số cá có ở cả hai bể là:
4+7= 11 (con cá)
Đáp số: 11 con cá.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Việc giúp cho học sinh có thói quen tự kiểm tra lại kết quả
của bài toán là một việc rất quan trọng vì nó giáo dục các em
đức tính cẩn thận, chu đáo, ý thức trách nhiệm với công việc
mình làm. Do đó, sau khi trình bày lời giải, giáo viên cần yêu
cầu học sinh thực hiện: kiểm tra lại kết quả của phép tính, xem
lại các câu lời giải trong quá trình giải có hợp lí chưa? Nhìn lại
toàn bộ các bước giải, rút ra phương pháp để giải một bài toán
9

nào đó; tìm thêm cách giải khác; có thể phát triển, đặt ra các bài
toán mới.
2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC VÀ BỐN BƯỚC GIẢI TOÁN
CỦA POLYA

Bài toán 1: Lớp 4A có 35 học sinh và lớp 4B có 33 học sinh
cùng tham gia trồng cây. Lớp 4A trồng nhiều hơn lớp 4B là 10
cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây, biết rằng mỗi học
sinh đều trồng số cây như nhau?
Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán và trả lời: Bài toán cho biết
gì? Bài toán yêu cầu tìm gì? Yêu cầu học sinh tóm tắt bài toán.
Có thể tóm tắt như sau:
Lớp 4A: 35 học sinh.
Lớp 4B: 33 học sinh.
Lớp 4A trồng hơn lớp 4B: 10 cây.
Lớp 4A trồng:... ? cây.
Lớp 4B trồng:…? cây.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh phân tích bài toán để tìm cách giải. Có thể
hướng dẫn học sinh suy luận như sau: muốn biết mỗi lớp trồng
được bao nhiêu cây ta phải biết gì? (mỗi học sinh trồng được
bao nhiêu cây); để biết mỗi học sinh trồng được bao nhiêu cây ta
phải biết gì? (Lớp 4A hơn lớp 4B bao nhiêu học sinh); ta tìm số
học sinh của lớp 4A hơn lớp 4B như thế nào? (lấy 35 – 33).
Yêu cầu học sinh thiết lập trình tự giải toán, có thể thiết lập
theo sơ đồ sau:
Số học sinh lớp 4A hơn số học sinh lớp 4B
Số cây mỗi học sinh trồng

Số cây lớp 4A trồng Số cây lớp 4B trồng
Bước 3: Trình bày lời giải:
Giáo viên yêu cầu học sinh nhìn sơ đồ trình bày lời giải bài
toán.
10


Bài giải:
Số học sinh lớp 4A hơn số học sinh lớp 4B là:
35 – 33 = 2 (học sinh)
Số cây mỗi học sinh trồng là:
10 : 2 = 5 (cây).
Số cây lớp 4A trồng được là:

35 x 5 = 175 (cây).
Số cây lớp 4B trồng được là:
33 x 5 = 165 (cây).
Đáp số: Lớp 4A trồng được 175 cây;
Lớp 4B trồng được 165 cây.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Yêu cầu học sinh: Kiểm tra kết quả của mỗi phép tính; xem
xét lời giải có hợp lí chưa? Lời giải đã nêu được câu trả lời cho
yêu cầu của bài toán chưa? Chẳng hạn: mỗi học sinh trồng được
5 cây, lớp 4A trồng được 175 cây nên số học sinh của lớp 4A là:
175 : 5 = 35 (học sinh); Lớp 4B trồng được 165 cây nên số học
sinh của lớp 4B là 165 : 5 = 33 (học sinh). Vậy kết quả bài toán
đúng.
Khuyến khích học sinh khá giỏi đặt ra các bài toán mới từ bài
toán đã cho.
Bài toán 2 (Sách giáo khoa Toán lớp 5): Một người thợ dệt

ngày thứ nhất dệt được 28,4 m vải, ngày thứ hai dệt nhiều hơn
ngày thứ nhất 2,2 vải, ngày thứ ba dệt nhiều hơn ngày thứ hai
1,5m vải. Hỏi cả 3 ngày người đó dệt được bao nhiêu mét vải?
11


Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán và trả lời: Bài toán cho biết
gì? Bài toán yêu cầu tìm gì?
Yêu cầu học sinh tóm tắt bài toán. Có thể tóm tắt như sau:

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh phân tích bài toán để tìm cách giải. Có thể
hướng dẫn học sinh suy luận như sau: muốn biết người đó dệt
được bao nhiêu mét vải ta phải biết gì? (mỗi ngày dệt được bao
nhiêu mét); để biết mỗi học sinh trồng được bao nhiêu cây ta
phải biết gì? (ngày thứ hai dệt nhiều hơn ngày thứ nhất 2,2m
vải, ngày thứ ba dệt nhiều hơn ngày thứ hai 1,5m vải.); ta tìm số
mét vải người đó dệt ngày thứ hai và thứ ba như thế nào? (ngày
thứ 2: 28,4 + 2,2= 30,6; ngày thứ 3: 30,6 + 1,5 = 32,1).
Yêu cầu học sinh thiết lập trình tự giải toán, có thể thiết lập
theo sơ đồ sau:
Số mét vải người đó dệt trong ngày thứ 2
Số mét vải người đó dệt trong ngày thứ 3
Số mét vải người đó dệt được trong cả 3 ngày
Bước 3: Trình bày lời giải:
12


Giáo viên yêu cầu học sinh nhìn sơ đồ trình bày lời giải bài

toán.
Bài giải:
Ngày thứ hai, người thợ dệt được số mét vải là:
28,4 + 2,2 = 30,6 (mét vải)
Ngày thứ ba, người thợ dệt được số mét vải là:
30,6 + 1,5 = 32,1 (mét vải)
Cả ba ngày, người thợ dệt được số mét vải là:
28,4 + 30,6 + 32,1 = 91,1 (mét vải)
Đáp số: 91,1 mét vải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Yêu cầu học sinh: kiểm tra kết quả của mỗi phép tính; xem
xét lời giải có hợp lí chưa? Lời giải đã nêu được câu trả lời cho
yêu cầu của bài toán chưa?
Khuyến khích học sinh khá giỏi đặt ra các bài toán mới từ bài
toán đã cho.
Tóm lại, để giúp học sinh giải toán một cách có hiệu quả,
giáo viên cần làm cho các em nắm được các bước của quy trình
giải toán, có thói quen khi giải toán cần thực thực hiện theo một
quy trình nhất định. Quy trình giải bài tấp của G. Polya có thể
giúp học sinh giải bài tập toán một cách nhanh chóng và khoa
học. Đặc biệt, sử dụng quy trình giải bài tập của G. Polya theo
một cách thích hợp sẽ góp phần tích cực hóa hoạt động nhận
thức, rèn luyện các kỹ năng tư duy như: phân tích, tổng hợp, suy
luận... của học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học cũng
như khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn môt
cách có hiệu quả.
13


3. CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI

MỘT BÀI TOÁN?
3.1. KHÁI NIỆM CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ

Chiến lược là tập hợp các quyết định về các mục tiêu dài hạn
và các biện pháp, các cách thức, con đường đạt đến các mục tiêu
đó. Chiến lược là khái niệm có nguồn gốc từ quân sự. Trong
quân sự, chiến lược khác với chiến thuật, chiến thuật đề cập đến
việc tiến hành một trận đánh, trong khi chiến lược đề cập đến
việc làm thế nào để liên kết các trận đánh với nhau. Nghĩa là cần
phải phối hợp các trận đánh để đi đến mục tiêu quân sự cuối
cùng.
Phương pháp là con đường, cách thức hoạt động nhằm đạt
được mục đích đã định. Phương pháp có cấu trúc phức tạp bao
gồm mục đích cần đạt đến, hệ thống hành động, những phương
tiện cần thiết, chủ thể và kết quả sử dụng phương pháp.
Trong phần này, chúng ta sẽ tiến hành tìm hiểu một số chiến
lược, phương pháp để giải quyết một vấn đề như: phương pháp
lập bảng vẽ, đoán và kiểm tra, tạo bảng, sử dụng mô hình, tính
ngược từ cuối, tìm kiếm quy luật của dãy, đơn giản hóa vấn đề,
sử dụng đại số và một số phương pháp giải toán phổ biến khác ở
tiểu học hiện nay.
3.2. CÁC CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT BÀI TOÁN

3.2.1. Lập bản vẽ (Making a drawing)

Một trong những phương pháp hữu ích nhất để hiểu và giải
quyết một bài toán là vẽ bản phác thảo và sơ đồ. Phương pháp
này có một ưu điểm rất lớn là bám sát với đặc điểm tư duy trực

quan hình ảnh của học sinh tiểu học, do đó giáo viên chúng ta
thường xuyên vận dụng phương pháp này để giúp các em học
sinh tiểu học giải các bài tập toán, nhất là các bài tập toán có lời
văn. Trong ví dụ sau đây, các bản vẽ có thể sẽ là kim chỉ nam để
dẫn đường cho chúng ta tìm đến những giải pháp, thông qua đó
14


ta sẽ từng bước tìm hiểu khái niệm về phương pháp lập bản vẽ
gắn liền với bốn bước giải toán của Polya.
a. Vấn đề
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một
thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài
toán. Ví dụ:
Để tổ chức sinh nhật cho vợ mình, ông Jones đã lên kế hoạch
về một bữa tiệc tối trong một căn phòng lớn. Buổi tiệc sẽ có 22
người, và để đảm bảo đủ chỗ ngồi cho khách, ông ta cần mượn
một số bàn, mỗi bên của chiếc bàn chỉ đảm bảo cho một vị
khách. Jones muốn sắp xếp những chiếc bàn ấy theo hình chữ
nhật để chúng trông giống như một cái bàn lớn. Vậy số bàn tối
thiểu mà ông Jones cần mượn là bao nhiêu?
Bước 1: Hiểu vấn đề
Thế nào là “hiểu vấn đề”? Thông thường chúng ta cho rằng
đọc đề bài, hiểu đề bài, tìm ra phương trình cần giải, tìm ra
mệnh đề cần chứng minh là ta đã hiểu vấn đề. Thế nhưng theo
Polya, hiểu vấn đề cần phải đảm bảo một số quy tắc.
Điều đầu tiên, trong một bài toán bao giờ cũng có những tham
số, vậy tham số trong bài toán đặt ra là gì? Và ẩn số, tức là điều
cần tìm trong một bài toán nữa, đó là gì? Polya phân loại các bài
toán thành hai dạng: dạng thứ nhất là tìm ra đáp số, khi đó ta có

tham số và ẩn số; dạng thứ hai là chứng minh, ta có giả thiết và
kết luận.
Quy tắc quan trọng thứ hai là tìm cách loại trừ hoàn toàn
những gì không rõ ràng trong phát biểu bài toán. Theo đó, ta sẽ
tiến hành phân tích ví dụ trên.
Trong bài toán trên, tham số là số lượng người, quy tắc chỗ
ngồi và yêu cầu sắp xếp các bàn liền kề; ẩn số là cách sắp xếp
bàn hợp lý. Bài toán nêu ra một yêu cầu: những chiếc bàn phải
được đặt cạnh nhau để chúng tạo thành một bàn hình chữ nhật
lớn. Thử đặt ra một câu hỏi để chúng ta bắt đầu hình dung: nếu
hai chiếc bàn được đặt liền kề nhau, có bao nhiêu người có thể
ngồi?

15


Một cái bàn lớn
Sau khi hiểu kĩ càng vấn đề thì việc tiếp theo là chúng ta cần
phải lên một phương án để giải quyết chúng. Chúng ta cần một
bản kế hoạch hoàn chỉnh từ điểm bắt đầu cho đến kết luận của
một bài toán. Một bài toán được lập ra khi có sự tham gia của ẩn
số, tham số, mối quan hệ lẫn nhau và những định lí, hiện tượng,
ví dụ để giải quyết chúng.
Bước 2: Tạo một kế hoạch
Vẽ sơ đồ về cách sắp xếp các ô hình chữ nhật là một cách tiếp
cận tự nhiên để giải quyết vấn đề này. Các hình chữ nhật có thể
được đặt trong một hàng dài; chúng có thể được đặt cạnh nhau
tạo thành hai dãy bàn song song.
Bước 3: Thực hiện kế hoạch
Quan sát sơ đồ sau ta thấy nếu 9 cái bàn đơn đặt cạnh nhau

theo một hàng ngang, ngoài 9 người tương ứng được ngồi, ta sẽ
có thêm 2 người ngồi ở hai đầu dãy bàn. Tổng cộng số người
cho một cách sắp xếp như trên là 11 người.
X X X X X X X X X
X
X
Như vậy, số bàn tối thiểu để đáp ứng cho 22 người sẽ gấp đôi
số bàn trên, nghĩa là 18 cái bàn xếp thành 2 dãy, mỗi dãy 9 cái
bàn.
X X X X X X X X X
X
X
X

X

X X X X X X X X X
Bước 4: Nhìn lại vấn đề
Bước thứ 4, cũng là bước cuối cùng trong sơ đồ của Polya là
“nhìn lại vấn đề”. Nếu như ở ba bước đầu tiên, có thể chúng ta
16


đã chịu nhiều ức chế, nhiều áp lực về tư duy thì đến bước này,
bài toán đã được giải quyết và ta có thể viết lời giải và lời bình
của mình theo những cách hay nhất có thể.
Ngoài ra, ta có thể mở rộng bài toán bằng việc thiết lập một
bài tập tương tự như: số lượng bàn tối thiểu cần thiết cho 30
người là bao nhiêu? Và đáp án sẽ là 24 cái bàn, chia làm 3 dãy,
mỗi dãy 8 cái bàn.

Tóm lại, việc sử dụng sơ đồ (bản vẽ) là một phương pháp hay
để giải các bài toán cần có sự hình dung cụ thể, phương pháp
này có thể ứng dụng ở hầu hết các bài toán khác nhau, nhất là
các bài toán ở tiểu học.
b. Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp lập
bản vẽ (sơ đồ)
Phương pháp lập bản vẽ nêu trên tương ứng với phương pháp
vẽ sơ đồ đoạn thẳng được dùng nhiều trong các bài toán ở tiểu
học. Dưới đây là một số bài toán và dạng toán quen thuộc dùng
đến phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng.
Bài toán 1: Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét
vải xanh là 540m. Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng
số mét vải xanh bằng số mét vải hoa?
Hi
ểu

vấn đề: Ta có thể vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 1:
Qua sơ đồ, chúng ta dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài
toán: số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540 và số mét
vải hoa nhiều gấp 4 lần số mét vải xanh (biểu thị quan hệ so
sánh số này gấp số kia một số lần).
Lập kế hoạch: Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải
xanh: lấy 540 chia cho 3 (vì số mét vải xanh bằng số mét vải
hoa). Cũng nhờ sơ đồ, ta có thể tìm số mét vải hoa bằng cách lấy
17


số mét vải xanh vừa tìm được cộng với 540m (hoặc gấp 4 lần số
mét vải xanh).
Thực hiện kế hoạch: Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán như

sau: Vì số mét vải xanh bằng số mét vải hoa và số mét vải xanh
ít hơn số mét vải hoa là 540m nên số mét vải xanh là : 540 : 3 =
180 (m). Số mét vải hoa là : 180 + 540 = 720 (m) (hoặc 180 x 4
= 720 (m)). Cũng có thể giải bài toán theo cách sau đây:
Số mét vải hoa là : 540 : 3 x 4 = 720 (m); số mét vải xanh là :
720 – 540 = 180 (m). Chúng ta có thể trình bày bài giải như sau:
Bài giải
Số mét vải xanh là:
540 : 3 = 180 (m)
Số mét vải hoa là:
180 + 540 = 720 (m)
Đáp số: 180 mét vải xanh
720 mét vải hoa
Nhìn lại vấn đề: Kiểm tra kết quả của bài toán, ta thấy số mét vải
hoa đúng bằng 4 lần số mét vải xanh: 720 : 180 = 4 (lần) và hiệu giữa
chúng là: 720 – 180 = 540 (mét vải).
Bài toán 2: Một đội công nhân sửa chữa đường sắt, ngày thứ nhất
sửa chữa được 15m đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m, ngày
thứ ba hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân
ấy sửa chữa được bao nhiêu mét đường sắt?

18


Hiểu vấn đề: Phân tích bài toán, ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2
Lập kế hoạch: Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ
hai, số mét của ngày thứ ba. Từ đó ta tìm được đáp số của bài toán.
Thực hiện kế hoạch: tương tự như bài toán 1, ta sẽ thiết lập được
bài giải như sau:

Bài giải:
Ngày thứ hai sửa chữa được là:
15 + 1 = 16 (m)
Ngày thứ ba sửa chữa được là:
15 + 2 = 17 (m)
Cả ba ngày sửa chữa được là:
15 + 16 + 17 = 48 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là:
48 : 3 = 16 (m)
Đáp số: 16 ngày.
Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây:
19


Cả ba ngày sửa chữa được là:
15 x 3 + 1 + 2 = 48 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là:
48 : 3 = 16 (m).
Nhìn lại vấn đề: Bước này chúng ta cũng sẽ kiểm tra tính chính
xác của các kết quả vừa nhận được như các bài toán trên.
3.2.2. Dự đoán và kiểm tra (Guessing and checking)

Dự đoán là đoán trước tình hình, sự việc có thể diễn ra trong
tương lai. Dự đoán trong toán học là khả năng đoán được phương
pháp thực hiện, kết quả mà một bài toán có thể xảy ra. Giống như
Polya đã từng nói, "Toán học trong việc thực hiện bao gồm những dự
đoán." Nếu lần đoán đầu tiên của bạn là sai, nó có thể dẫn đến một dự
đoán tốt hơn. Ngay cả khi dự đoán không đưa ra câu trả lời đúng, bạn
có thể tăng hiểu biết của mình về vấn đề và có ý tưởng để giải quyết
nó. Cách tiếp cận đoán và kiểm tra đặc biệt thích hợp cho học sinh

tiểu học vì nó đặt nhiều vấn đề trong tầm tay của họ.
a. Vấn đề
Bài toán: Tổng khoảng cách từ thị trấn A đến thị trấn D là 390
dặm. Dự đoán khoảng cách từ A đến B sao cho khoảng cách từ A đến
B lớn hơn 10 dặm so với từ B đến C và khoảng cách từ B đến C cũng
lớn hơn 10 dặm so với từ C đến D. (giả sử A, B, C, D cùng nằm trên
một đường thẳng)
Bước 1: Hiểu vấn đề
20


Có một vài thông tin trong bài toán này. Chúng ta hãy vẽ một
sơ đồ để hiểu vấn đề này rõ hơn. Đầu tiên, các thị trấn này nằm
trên cùng một đường thẳng và chúng được minh họa bằng các
điểm A, B, C và D như được thể hiện trong (a). Tiếp theo,
khoảng cách từ A đến B lớn hơn 10 dặm so với từ B đến C, vì vậy
chúng ta có thể di chuyển điểm B đến gần hơn điểm C; khoảng
cách từ B đến C cũng lớn hơn 10 dặm so với từ C đến D, vì vậy
điểm C có thể được di chuyển đến gần hơn điểm D, như trong
hình (b). Cuối cùng, khoảng cách từ A đến D được cho là 390
dặm. Vấn đề của bài toán là khoảng cách từ A đến B dài bao
nhiêu dặm?
A

B

C

D

(a)
A

B

C

D

390 dặm
(b)
Bước 2: Tạo một kế hoạch
Phương pháp giải quyết vấn đề này là thực hiện một dự đoán
hợp lý và sau đó sử dụng kết quả để thực hiện dự đoán tốt hơn.
Nếu bốn thị trấn được đặt cách nhau không kém, như trong hình
(a), khoảng cách giữa mỗi thị trấn sẽ là 130 dặm (390: 3). Tuy
nhiên, khoảng cách từ thị trấn A đến thị trấn B là lớn nhất. Vì
vậy, chúng ta hãy bắt đầu với một đoán 150 dặm cho khoảng
cách từ A đến B. Câu hỏi đặt ra: trong trường hợp này, khoảng
cách từ B đến C và C đến D là bao nhiêu? (với dự đoán này,
khoảng cách tương ứng từ B đến C sẽ là 140 và từ C đến D sẽ là
130, tổng khoảng cách từ A đến D sẽ lên tới 420 dặm)
Bước 3: Thực hiện kế hoạch
Sử dụng dự đoán là 150 dặm cho khoảng cách từ A đến B tạo
ra tổng khoảng cách từ A đến D lớn hơn 390. Nếu khoảng cách
từ A đến B giảm xuống còn 145 dặm thì khoảng cách B đến C là
135 dặm và khoảng cách C đến D là 125 dặm. Tổng các khoảng
21

cách này là 405, vẫn còn quá lớn. Một câu hỏi tiếp theo: điều gì
sẽ xảy ra nếu chúng ta sử dụng dự đoán 140 cho khoảng cách từ
A đến B? (trong dự đoán này, khoảng cách tương ứng từ B đến
C là 130 dặm và từ C đến D là 120 dặm, tổng khoảng cách từ A
đến D sẽ đúng là 390 dặm)
Bước 4: Nhìn lại vấn đề
Một trong những lý do để xem xét lại vấn đề là tìm hiểu các
giải pháp hoặc các cách tiếp cận khác nhau. Ví dụ, có thể bạn đã
nhận thấy rằng ở lần đoán đầu tiên (150 dặm từ A đến B) tạo ra
một khoảng cách 420 dặm, hơn 30 dặm so với dữ kiện đề bài.
Câu hỏi cuối cùng: cách thức quan sát và dự đoán đã được thể
hiện như thế nào trong bài toán trên? (Bài toán sử dụng kỹ thuật
thử - sai, ta cứ giảm hoặc tăng 10 dặm qua các lần đoán để tìm
ra kết quả chính xác nhất. Nếu khoảng cách giữa A và B, B và
C, C và D được giảm 10 dặm so với lần đoán đầu tiên thì
khoảng cách không chính xác 420 dặm sẽ được giảm về đúng
với khoảng cách 390 dặm. Từ đó ta tìm được khoảng cách giữa
thị trấn A và thị trấn B là 140 dặm.)
b. Phương pháp dự đoán, kiểm tra và nghệ thuật dạy
học của giáo viên Nhật Bản.
Ở Nhật Bản, ngay từ ngày đầu tiên, giáo viên phải nhấn mạnh
điều họ muốn ở học sinh không phải là trả lời đúng mà là thể
hiện suy nghĩ của mình. Yukiko Asami-Johansson, nhà nghiên
cứu Nhật Bản tại Đại học Gavle (Thụy Điển) chia sẻ trên
website trường về cách người Nhật cải thiện khả năng của học
sinh ở môn Toán. Đó là, tôn trọng cách nghĩ của học sinh
Người Nhật quan niệm kết quả học tập sẽ thay đổi tích cực
nhờ kỹ năng giải quyết vấn đề. Giáo viên lựa chọn các bài toán
phù hợp với nội dung bài học và đoán cách học sinh sẽ giải
chúng. Khi bài toán được đưa ra, thầy cô không giải mẫu từ đầu

mà để học sinh tự mày mò. Từng em tìm cách giải theo ý mình,
sau đó làm việc theo nhóm. Học sinh sẽ nhận ra việc dự đoán
dẫn lối suy nghĩ đi theo hướng hợp lý. Bên cạnh đó, khi đoán
câu trả lời, các em sẽ tò mò muốn biết mình làm đúng hay sai.
Điều quan trọng là mỗi giáo viên ở Nhật Bản lên kế hoạch cụ
thể cho các bài học và chuẩn bị bài toán thích hợp ngay từ ngày
22


đầu tiên của năm học. Với một bài toán, họ đánh giá, cung cấp
một số phương pháp giải khả thi, lôi kéo được sự tham gia của
cả lớp và có thể nêu một số ví dụ về lỗi dễ mắc phải. Giáo viên
phải liên tục nhấn mạnh: “Điều tôi muốn các em làm khi giải
toán là thể hiện cách nghĩ của mình”.
Trở lại với phương pháp dự đoán và kiểm tra, đây là một
phương pháp giải Toán hay. Phương pháp này còn có tên gọi khác là
phương pháp thử - sai. Nhiều người nghĩ rằng việc dự đoán kết quả
của bài toán thường là hành vi mò mẫn, phản logic đối với Toán học.
Tuy nhiên, nếu hiểu một cách chính xác, dự đoán phải bắt nguồn từ
những căn cứ nhất định của nó chứ không hoàn toàn là những hành
động mò mẫn số liệu. Điều này sẽ được chứng minh rõ hơn qua một
số bài tập ở phần tiếp theo. Bản chất của phương pháp thử - sai là dựa
trên cơ sở “hiểu” bài toán, người ta xử lý các dữ kiện, đi tìm các mối
liên hệ có thể có và đưa ra ý tưởng tiếp cận bài toán. Tiếp theo, các ý
tưởng này được thử và người giải cố gắng phát triển thành các phương
án (các phép thử) có khả năng để đi đến lời giải. Nếu phép thử này sai,
người giải phải quay trở lại bài toán để thêm một lần nữa và lặp lại quá
trình vừa nêu. Có thể phân tích phương pháp này thành các bước sau:
Bước 1- Thử (Trial): Triển khai thử một giả thuyết được xem là có
triển vọng.

Bước 2- Sai (Error): Sau khi thử triển khai giả thuyết đã chọn mà
kết quả thu được không như ý, hay không đạt mục tiêu đề ra, chuyển
qua bước tiếp theo.
Bước 3- Phân tích: Phân tích tìm hiểu ngọn ngành nguyên nhân
dẫn đến cái sai.
Bước 4- Sửa sai: Xây dựng một giả thuyết mới có khả năng đạt
được mục tiêu mà không vấp phải những cái sai của giả thuyết trước.
Bước 5- Lặp lại bước thử (Trial) và các bước tiếp theo lần nữa
nhưng với giả thuyết mới như một chu kỳ mới cho đến khi đạt được
mục tiêu.
Phương pháp thử - sai trở nên cần thiết khi người ta không thể tìm
được cách giải quyết nào khác có hiệu quả, minh bạch và logic hơn.
Điều đó đúng không chỉ trong Toán học mà còn đối với nhiều trường
hợp khác trong đời sống thực tiễn của học sinh. Thực chất của
phương pháp thử và sai là cơ chế của sự tiến hóa và phát triển cả
23


trong tự nhiên và xã hội loài người cho đến nay, trên cơ sở chọn lọc
tự nhiên hay có ý thức để giữ lại cái tốt nhất, thích nghi nhất từ sự đa
dạng. Do đó, dạy Toán bằng cách cho học sinh thử - sai của các giáo
viên Nhật Bản nêu trên là một gợi ý hay về phương pháp dạy học cho
giáo viên Việt Nam. Nó có tính ứng dụng cao nên cần được áp dụng
rộng rãi trong dạy học Toán phát triển tư duy ở nước ta, nhất là đối
với học sinh tiểu học.
c. Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp dự
đoán và kiểm tra.
Bài toán 1: Tham gia hội khỏe Phù Đổng huyện có tất cả 222 cầu
thủ thi đấu hai môn: bóng đá và bóng chuyền. Mỗi đội bóng đá có 11
người. Mỗi đội bóng chuyền có 6 người. Biết rằng có cả thảy 27 đội.

Hãy tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền.
Bước 1: Hiểu vấn đề
Bài toán cho ta các tham số sau: tổng số người tham gia thi đấu là
222 người, một đội bóng đá có 11 người, một đội bóng chuyền có 6
người, tổng số đội là 27 đội. Ẩn số của bài toán cần tìm là số đội bóng
đá và số đội bóng chuyền.
Bước 2: Lập kế hoạch
Với bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đại số,
nghĩa là gọi x là số đội bóng đá, y là số đội bóng chuyền, từ đó ta
hoàn toàn có thể thiết lập một hệ phương trình hai ẩn như sau:
11x + 6y = 222
x + y = 27
Giải hệ phương trình trên

bằng

phương pháp thế, ta dễ dàng tìm được số đội bóng đã là 12, số đội
24


bóng chuyền là 15. Tuy nhiên, ta cần đến một phương pháp phù hợp
với học sinh tiểu học hơn để giải bài toán này và phương pháp dự
đoán và kiểm tra là một trong những lựa chọn có hiệu quả.
Bước 3: Thực hiện kế hoạch
Giả sử có 7 đội bóng đá, số đội bóng chuyền sẽ là:
27 – 7 = 20 (đội)
Nhưng nếu như thế thì tổng số người tham gia thi đấu sẽ chỉ là:
7 11 + 20 6 = 197 (người)
Số người tham gia thi đấu nhỏ hơn so với dữ kiện đề bài đã cho.
Nghĩa là con số 7 đội bóng đá mà ta dự đoán ban đầu là chưa chính

xác nên cần phải có sự tăng hoặc giảm con số ấy. Lấy 7 đội bóng đá
và 20 đội bóng chuyền trong dự đoán ban đầu làm cơ sở. Việc tìm ra
số đội bóng đá và bóng chuyền phải tuân thủ nguyên tắc bảo toàn
tổng số lượng người tham gia thi đấu và tổng số đội. Ta tiến hành
phân tích:
Sự chênh lệch giữa số người trong một đội bóng đá và bóng
chuyền là: 11 – 6 = 5 (người). Nghĩa là nếu ta tăng số đội bóng đá lên
1 đội và giảm số đội bóng chuyền xuống 1 đội thì tổng số người tham
gia thi đấu sẽ tăng lên 5 người. Nếu cứ thay đổi như thế thì bài toán
có khả năng dẫn đến số người tham gia thi đấu sẽ được tăng từ mức
197 người lên đến 222 người.

25