Dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ XUÂN NAM

DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 THEO HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ XUÂN NAM

DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 THEO HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán học
Mã số: 8 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đào Thái Lai

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Vũ Xuân Nam

i


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, Em xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.
Đào Thái Lai. Thầy đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, tận tâm và trách nhiệm giúp đỡ
em hoàn thành luận văn này.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Lí luận và
Phương pháp dạy học môn toán, Phòng Đào tạo sau đại họcĐại học Thái NguyênTrường Đại học Sư phạm đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá
trình học tập vànghiên cứu đề tài.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Lương Thế Vinh, Vụ
Bản, Nam Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, công
tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các thầy cô giáo,
đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả

Vũ Xuân Nam

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................................... iii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ...................................................................................... iv
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu............................................................... 2
4.Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ............................................................................... 2
6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu .......................................................................... 2
7. Cấu trúc của luận văn................................................................................................ 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................................... 4
1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực lập luận toán học trong hình học lớp 11 ............ 4
1.1.1. Năng lực Toán học (theo Niss Mogens và theo CT GDPT mới) ....................... 4
1.1.2 Về năng lực lập luận toán học ............................................................................. 5
1.1.3. Lập luân toán học và NL lập luận toán học ........................................................ 7
1.1.4. Kĩ năng thành phần và các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học ........ 9
1.1.5. Các mức độ của NL lập luân toán học .............................................................. 18
1.2. Nội dung dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL toán học
cho học sinh THPT .......................................................................................... 19
1.3. Những yêu cầu đối với việc dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển
NN LL toán học cho học sinh THPT ............................................................... 20
1.4. Thực trạng vận dụng phát triển NL LL toán học trong dạy học hình học lớp

11 cho HS THPT .............................................................................................. 20
1.4.1. Thực trạng năng lực lập luận toán học của học sinh khi học Hình học lớp
11 cho học sinh THPT ..................................................................................... 20
1.4.2. Thực trạng việc dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực
lập luận cho học sinh THPT ............................................................................ 21
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .............................................................................................. 23

iii


Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN
HỌC CHO HS THPT ............................................................................................... 24
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp .............................................. 24
2.1.1. Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm phải góp phần quan trọng giúp học
sinh lĩnh hội tốt các tri thức, kỹ năng toán học và hoàn thành các nhiệm vụ
khác của môn học. ............................................................................................. 24
2.1.2. Định hướng 2: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng phát triển năng lực
lập luận toán học cho học học sinh trong dạy học Toán ở trường trung
học phổ thông. .................................................................................................. 24
2.1.3. Định hướng 3: Xây dựng các biện pháp sư phạm phải dựa trên nền tảng
kiến thức vốn có của người học. ...................................................................... 24
2.1.4. Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần đổi mới
phương pháp dạy học ở bậc phổ thông. ........................................................... 24
2.2. Một số biện pháp sư phạm về dạy học Hình học lớp 11 cho học sinh THPT
theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh ...................... 24
2.2.1. Biện pháp 1. Giúp HS PT khả năng dự đoán, phát hiện, định hướng lời
giải các bài toán Hình học lớp 11 .................................................................... 24
2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh phát triển khả năng rèn luyện một số kĩ năng
thành phần của NL lập luận toán học .............................................................. 29

2.2.3. Biện pháp 3: Phát triển NL lập luận toán học khi dạy hoc các tình huống
DH điển hình: Dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học giải toán ........... 43
2.2.4. Biện pháp 4: Cung cấp cho HS những kiến thức về suy luận logic trong
hình học lớp 11 ................................................................................................ 51
2.2.5. Biện pháp 5: Sửa sai lầm trong LL toán học .................................................... 53
2.2.6. Biện pháp 6. Xây dựng hệ thống bài tập, nhằm nâng cao dần mức độ phát
triển của năng lực lập luận toán học ................................................................ 60
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .............................................................................................. 90

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 91
3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................................... 91

iv


3.2. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................................ 91
3.3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................................... 91
3.4. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................... 92
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................ 100
3.5.1. Thống kê kết quả định tính: (Phiếu số 2 và phiếu số 3) ................................. 100
3.5.2. Thống kê kết quả định lượng .......................................................................... 100
3.5.3. Đánh giá thực nghiệm ..................................................................................... 101
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 104
PHỤ LỤC.......................................................................................................................

v


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦU ĐỦ

DH

Dạy học

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

LL

Lập luận

NL

Năng lực

PT

Phát triển

SGK

Sách giáo khoa

TH

Toán học

THPT

Trung học phổ thông

Tr.

Trang

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nghị định 29-NĐ/TƯ ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục Việt Nam đã được xác định: “ Đổi mới căn bản giáo dục, đào tạo là đổi mới
những vấn đề lớn, cốt lõi, đổi mới về chất, đổi mới từ gốc rễ, đổi mới có tính chất
bước ngoặt với một tinh thần và thái độ kiên quyết để tạo ra chuyển biến mạnh mẽ về
chất lượng và hiệu quả giáo dục. Đổi mới toàn diện là đổi mới những vấn đề cấp
thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, phương pháp, cơ chế, chính sách,
điều kiện đảm bảo thực hiện”.Luật giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/06/2005 cũng
đã thể chế hóa “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực,
tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng và thực tiễn; tác
động đến tình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
Toán học là môn học quan trọng trong nhà trường THPT việc phát triển năng

lực toán học là quan trọng, cấp thiết.
Việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm đã
được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Dạy học môn Toán trong bối cảnh đổi
mới giáo dục hiện nay, cần quan tâm nghiên cứu xây dựng và tổ chức các hoạt động
học tập để hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh. Việc tổ chức các
hoạt động học tập hình thành các năng lực cụ thể gắn với nội dung chương trình,
SGK môn Toán sẽ góp phần làm rõ hơn định hướng dạy học phát triển năng lực toán
học trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo của HS.
Trong khoảng 2500 năm tồn tại của mình, toán học đã có những sự biến đổi
đáng kể về chất. Những sự biến đổi đó đã diễn ra ở cả những khái niệm cơ sở cũng
như trong cách lập luận toán học. Ở đây, cần chú ý rằng, khi đặt vấn đề lập luận
toán học nói riêng và nghiên cứu khoa học nói chung, cùng với việc xác lập cơ sở
nhận thức luận đảm bảo tính chân lý của các tư tưởng khoa học, các nhà khoa học
thường lấy tính phi mâu thuẫn logic làm tiêu chuẩn chỉ đạo (Vũ Văn Viên,[9]).
Những biến đổi nói trên có mối liên hệ chặt chẽ với những quan điểm của
Mogens Niss và nhiều nghiên cứu khácđã chỉ ra các năng lực toán học cần phát triển
cho HS phổ thông. Một trong những năng lực đó là “ Lập luận toán học”.Nội dung
dạy học Hình học lớp 11 là một trong những nội dung hay và khó của chương trình
lớp 11 bậc THPT, thường gặp các đề thi THPTQG, HSG các cấp. Dạy học về vấn đề

1


này chứa đựng tiềm năng tốt để phát triển năng lực lập luận toán học. Tuy nhiên dạy
học Hình học lớp 11 ở trường THPT hiện nay do thời gian giới hạn chương trình, các
bài tập còn đơn giản, giảm tải chương trình, không hiểu được bản chất, tư duy máy
móc, suy luận không có căn cứ, yếu về khả năng phân tích tổng hợp, lung túng khi
vận dụng để tìm đường lối giải bài tập.
Với lí do trên, chúng tôi lựa chon “ Dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển
NL LL toán học cho học sinh trung học phổ thông ” để làm đề tài nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển
năng lực lập luận toán học cho HS.
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán ở THPT
3.2 Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển
NL lập luận toán học.
3.3 Phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn về nội dung: Luận văn tập trung khai thác các bài toán tình huống có
thể phát triển năng lực lập luận Toán cho học sinh trong dạy học Hình học lớp 11.
4.Giả thuyết khoa học
Trong dạy học Hình học lớp 11, nếu xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy
học Toán học theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học thì sẽ góp phần nâng
cao kết quả học tập cho học sinh.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
-Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực lập luận toán học trong dạy học.
- Nghiên cứu thực tiễn về phát triển năng lực lập luận toán học trong việc dạy
học Hình học lớp 11.
-Đề xuất các biện pháp dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực
lập luận toán học.
-Thực nghiệm sư phạm kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp.
6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin,
nghiên cứu tài liệu,... để xây dựng cơ sở lí thuyết cho đề tài.
6.2.Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra về thực trạng của việc dạy học Hình
học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL.

2

- Đối với GV: Dựa trên trao đổi với GV, dự giờ và kinh nghiệm của bản thân.
- Đối với HS: Quan sát học hình học thông qua giờ dạy, thông qua trao đổi của
HS, trao đổi với HS, qua đó đưa ra các nhận xét, đánh giá và quyết định các phương
pháp và hệ thống bài tập thích hợp.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm ở hai lớp 11(78
HS) trường THPT Lương Thế Vinh để kiểm tra tính hiệu quả và ứng dụng của
phương án đề ra.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm 3 chương
- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương 2: Các biện pháp dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL
LL toán học.
- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực lập luận toán học trong hình học lớp 11
1.1.1. Năng lực Toán học (theo Niss Mogens và theo CT GDPT mới)
Quan niệm về năng lực toán học của HS phổ thông từ nghiên cứu của Krutexki,
V.A cho đến nay, đã có những thay đổi, phát triển đáng kể. Niss Mogens đã đưa ra
quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn([16], [18]). Theo đó, PISA 2015
quan niệm năng lực Toán học phổ thông (Mathematicalliteracy) là khả năng của cá
nhân biết lập công thức (formulate), khai thác (employ) và giải thích (explain) toán
học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm,
phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện
tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán
đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm”([2, tr.14-15], [19,

tr.5]). Nhiều chương trình môn Toán ở phổ thông trên thế giới như: Mĩ, Úc, Canada,
New Zealand, Singapore, Đức, Đan Mạch,... đã cụ thể hóa theo mạch nội dung và
mạch quá trình, xác định các thành tố của năng lực toán học, nhằm hình thành năng
lực toán học cho HS trong DH và đánh giá.
Niss Mogens ([17],[18]) và các cộng sự đã chỉ ra những NL TH là:
- NL tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa khái
quát hóa, tưởng tượng, lập luận - giải quyết vấn đề, xử lí và linh cảm trong quá trình
phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. NL tư duy của học sinh
THPT trong quá trình học toán thể hiện qua các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng
hợp, so sánh và tương tự, đặc biệt hóa và khái quát hóa..., bước đầu chú ý đến NL tư
duy logic trong suy luận tiền chứng minh; các NL tư duy phê phán và sáng tạo, cũng
như các yếu tố dự đoán, tìm tòi kể cả trực giác toán học và tưởng tượng không gian.
- NL giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận
thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết những tình huống có vấn
đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. Đây là một trong
những NL mà môn Toán có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp
nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là qua giải toán.
- NL mô hình hóa hay còn gọi là NL toán học hóa tình huống thực tiễn là khả
năng chuyển hóa một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và
giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế.

4


Ví dụ 1: Xem xét một mô hình hoạt động với tốc độ tăng trưởng theo cấp số
nhân của dân số thế giới trong giai đoạn 1900 - 2000 và so sánh nó với số liệu dân số
có sẵn. Khi nói đến mô hình hoạt động, người ta có thể ví dụ. Thiết lập các mô hình
để giải quyết các thách thức được đề cập. Trong mọi trường hợp, cần phải thực hiện
phân định, đưa ra các giả định và thu thập dữ liệu trước khi hoàn thành mô hình.
- NL giao tiếp toán học là khả năng sử dụng các dạng ngôn ngữ nói, viết và biểu

diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học. NL giao
tiếp liên quan tới việc sử dụng ngôn ngữ toán học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các
liên kết logic...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường. NL này được thể hiện qua việc
hiểu các văn bản toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán...
-NL sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (bao gồm các phương tiện
thông thường và bước đầu làm quen với sử dụng công nghệ thông tin).
1.1.2 Về năng lực lập luận toán học
Lập luận là gì? Lập luận được định nghĩa rất khác nhau tùy theo ngữ
cảnh của hiểu biết về lý tính như là một hình thức của tri thức. Định nghĩa logic là
hành động sử dụng lý tính để rút ra một kết luận từ các tiền đề nhất định bằng cách sử
dụng một phương pháp luận cho trước, quá trình lập luận mà trong đó tiên đề của lý
lẽ được cho là chứng minh cho kết luận nhưng không đảm bảo nó. Kiểu lập luận này
được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví dụ của
phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan sát của
các hiện tượng.
Lập luận là quá trình chúng ta suy nghĩ và tranh luận, có thể phục vụ một số
mục đích - để thuyết phục người khác hoặc bản thân về một yêu cầu cụ thể; để giải
quyết một vấn đề nào đó; hoặc để tích hợp một số ý tưởng vào một hệ thống mang
tính mạch lạc, chặt chẽ hơn,..
Khái niệm về “lập luận” đã được nêu trong nhiều tài liệu của Toulmin. Theo
Toulmin (1958, [28]), ông xem xét một lập luận gồm có ba thành tố cơ bản là luận
cứ, kết luận và luận chứng. Luận cứ (hay còn gọi là tiền đề) gồm một hay nhiều dữ
kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó để suy ra kết luận. Kết luận là một
khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho. Còn luận chứng là những quy tắc,
nguyên lý, định lý, … mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận. Trong cuốn Đại
từ điển Tiếng Việt của Nguyễn Như Ý đưa khái niệm “lập luận là trình bày có lí lẽ, hệ
thống để chứng minh cho kết luận về vấn đề nào đó”.

5

Năng lực lập luân toán học theo các quan điểm về năng lực và lập luận ở trên có
thể khái quát năng lực lập luận trong dạy học Toán là: Năng lực lập luận là khả năng
của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học làm
công cụ để đưa ra các kết luận đúng. Đó là kết quả của quá trình tư duy logic, bằng
một chuỗi các suy luận để giải quyết vấn đề. Hay nói cách khác năng lực lập luận ở
mỗi cá nhân là khả năng vận dụng lí luận vào Toán học nói riêng và cuộc sống nói
chung. Với học sinh, trong mỗi hoạt động học tập hay nhiệm vụ học tập mà cá nhân
học sinh phải hoàn thành, học sinh cần dựa vào những yếu tố đề bài cho trước, tư duy
và suy luận để xác định chuỗi các thao tác nhằm giải quyết vấn đề và đưa ra kết luận
đúng để hoàn thành nhiệm vụ học tập của môn Toán được đưa ra.
Theo Niss Mogens (2011, [18]), Năng lực lập luận này liên quan đến các quá
trình tư duy có logic, khám phá và liên kết các yếu tố của vấn đề để đưa ra các suy
luận, lập luận toán học, nhưng đi xa hơn nó liên tục liên quan đến việc đánh giá tính
hợp lệ của các yêu cầu toán học, bao gồm cả việc thuyết phục bản thân và những
người khác về tính hợp lệ có thể có của việc đó. Nó có thể đề cập đến cả tính chính
xác của các quy tắc và các định lý, nhưng cũng để xác định xem một câu trả lời nhất
định cho câu hỏi, bài tập hoặc vấn đề có chính xác và đầy đủ hay không. Bằng cách
này bao gồm sự biện minh của câu trả lời và giải pháp, năng lực lập luận được liên
kết chặt chẽ với cả năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa. Nó bao gồm các khía
cạnh pháp lý của những năng lực này. Về nguyên tắc, khả năng thực hiện các hoạt
động thường ngày thuần túy, ví dụ: các tính toán, có thể được cho là nằm trong khả
năng suy luận vì nó liên quan đến việc biện minh cho kết quả tính toán. Tuy nhiên,
những gì một người có thể coi là một hoạt động thường xuyên, một người khác có thể
coi là một vấn đề không thể vượt qua. Do đó, việc thực hiện các hoạt động này được
bao gồm trong khả năng được đề cập dưới đây liên quan đến các biểu tượng và hình
thức toán học, trong khi có thể kích hoạt hoạt động thuộc về năng lực lập luận nếu
kích hoạt này đòi hỏi sự sáng tạo, phân tích hoặc tổng quan, kiểm tra một biện minh
được đưa ra hoặc đưa ra một sự biện minh, tranh biện cho các tuyên bố hay giải pháp
cho các vấn đề.

Ví dụ 2: về khả năng theo dõi và đánh giá một lập luận toán học của 2 bạn A và
B say đây:
A: “Khi bạn bình phương một số, kết quả luôn lớn hơn số gốc. Điều này áp dụng
cho tất cả các số nguyên vô hạn, vì vậy nó cũng phải áp dụng cho tất cả các số khác”.

6


2

1
1
B: “Không, trước hết khẳng định này là sai vì ví dụ:    . Thứ hai, không
3 3

thể chuyển tất cả các thuộc tính của tập hợp số nguyên cho các thuộc tính của một bộ
số lớn hơn, ví dụ: các số hữu tỉ”.
Bạn A đã khẳng định được “Khi bạn bình phương một số, kết quả luôn lớn hơn
số gốc. Điều này áp dụng cho tất cả các số nguyên vô hạn”, bằngsuy luận dẫnđến kết
luận “vì vậy nó cũng phải áp dụng cho tất cả các số khác”, ở đây bạn Ađưa ra được
bằng chứng trên cơ sở thực tế là không chính xác, không chặt chẽ cho kết luận.
Bạn B đã đưa ra một bằng chứng cụ khẳng định kết luận của bạn A là sai, hay nói
một cách khác ban B đã kiểm tra kết luận khẳng định của bạn A cho thấy không đúng.
n 1   n 1 
A: “Số Mỗi số lẻ là hợp số. Vì nếu n là số lẻ, thì n  
 
 khi đó
 2   2 
2

n 1
k
2

và

n 1
m
2

2

là các số nguyên (vì n là số lẻ). Tuy nhiên, khi

k 2  m2  (k  m)(k  m) , n là hợp số”.

B: “Hợp số không chính xác vì k - m = 1 do đó, yêu cầu chỉ đơn thuần là n = 1.n
không biến n thành số hợp số”.
Trong phát biểu của ban A đã đưa ra với lí luận và bằng chứng về khẳng
định,nhưng chưa phân tích đầy đủ dẫn đến phát biểu “ số Một số lẻ là hợp sô” là sai,
và bạn B đã kiểm tra lại bằng cách cho k - m = 1 cho thấy phát biểu không đúng.
1.1.3. Lập luân toán học và NL lập luận toán học
Theo Toulmin (1958,[28]) cho rằng lập luận chặt chẽ là kỹ năng cơ bản của con
người. Chính vì vậy, ông đã dành nhiều thời gian nghiên cứu về bản chất của quá
trình lập luận, đặc biệt là lập luận toán học. Toulmin xem xét một lập luận gồm có ba
thành tố cơ bản là: luận cứ, kết luận và luận chứng. Luận cứ là một hoặc nhiều dữ
kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó để suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi
“chứng minh bằng cái gì?”. Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã
cho, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh cái gì?”. Luận chứng là những quy tắc,
nguyên lý, định lý, … mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận, nó trả lời cho

câu hỏi “chứng minh bằng cách nào?”. Năng lực lập luận là về sự biện minh của các
xác nhận, bao gồm cả cách tiếp cận hoặc quy trình nhất định có thể thực sự tạo ra một
giải pháp chính xác hay không cho một vấn đề phát sinh từ một câu hỏi toán học.
Năng lực này bao gồm, một mặt là khả năng theo dõi và đánh giá lập luận toán học,

7


tức là một chuỗi lập luận được đưa ra bởi người khác, bằng bài viết hoặc bằng miệng,
để hỗ trợ cho yêu cầu của người đó. Điều đặc biệt là biết và hiểu thế nào là một
chứng minh toán học và nó khác với các dạng lập luận toán học khác như thế nào, ví
dụ: Tìm ra một chứng minh và đó cũng là về cách hiểu và khi nào lập luận toán học
thực sự hình thành và khi nào thì không. Điều này bao gồm sự hiểu biết về logic đằng
sau một ví dụ phản biện. Hơn nữa, năng lực bao gồm khả năng khám phá những ý
tưởng cơ bản trong một chứng minh toán học, bao gồm phân biệt giữa các ý chính
của một tranh luận và các chi tiết, và giữa ý tưởng. Mặt khác, nó bao gồm khả năng
đưa ra và thực hiện các lập luận không chính thức và chính thức (trên cơ sở trực giác)
và từ đó chuyển đổi lập luận khám phá thành chứng minh thực tế (hợp lệ).
Theo Brodie, K. [11] , quá trình lập luận gồm hai giai đoạn lớn:
* Xem xét các đối tượng và mối liên hệ giữa các đối tượng toán học.
* Thiết lập các “lập luận”, cho phép lí giải tại sao “trạng thái”/ “hiện tượng” này
lại đi sau “trạng thái”/ “hiện tượng” kia (sử dụng: quy tắc suy luận, khái quát hóa, đặc
biệt hóa, tương tự, …).

8


Theo PGS.TS Đào Thái Lai, quá trình LL theo Sơ đồ sau:
Phân tích, sắp xếp các
thông tin, dữ liệu về các đối

tượng, mối liên hệ trong
tình huống đã cho

Các đối
tượng,
tính
chất,
thuộc
tính,
quan hệ
có liên
quan
khác

Liên kết, lập luận, rút ra
kết luận, đánh giá, đề xuất
thuộc tính, đối tượng mới
(bước 1)

Bối
cảnh
tình
huống

Liên kết lập luận, đánh giá,
đề xuất thuộc tính , đối
tượng mới (bước 2)

………..

Liên kết, lập luận, rút ra kết
luận, đánh giá, đề xuất
thuộc tính đối tượng mới.
(bước n)

Hình 1.1
1.1.4. Kĩ năng thành phần và các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học
1.1.4.1. Kĩ năng thành phần của NL LL toán học
Theo Pedemonte, B. 2007, [20] Có 3 dạng lập luận thường được đề cập trong
nghiên cứu giáo dục toán học: suy diễn, quy nạp và ngoại suy.

9


* Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ
liệu và một quy tắc suy luận đã biết. Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau:
+ Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận cụ thể.
+ Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh nghiệm để tìm ra
một kiến thức mới).
+ Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn.
* Quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận bằng việc khái
quát hoá một số trường hợp cụ thể
Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau:
+ Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết luận tổng quát.
+ Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái chưa biết
(phát hiện quy luật chung).
+ Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần được xác minh.
* Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự kiện
quan sát được. Ngoại suy thường có các đặc điểm sau:
+ Giải thích giả thuyết quan sát được.

+ Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức.
+ Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý vì kết luận của nó không thể biết
được một cách trực tiếp. Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận
từ những kết quả đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ
những kết quả đúng của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt
nhất cho giả thuyết quan sát được trước đó và việc giải thích giả thuyết quan sát được
trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy nạp.
1.1.4.2. Các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học
 Rèn luyện HS đọc các chứng minh, lời giải, …
Thông qua cách đọc các chứng minh, lời giải, … học sinh hiểu rõ hơn về nội
dung kiến thức đã học của bài toán, để có một cách nhìn nhân mới về những lập luận
cho một bài toán, giúp học sinh hiểu được bản chất của những lâp luận được chứa
trong các chứng minh hoặc lời giải, hiểu được các quy trình của lời giải, các suy luân
có lí, tạo tiền đề cho những trình bày của những lập luận sau này.

10


Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân
0
AB=AC=a, BAC  120 , BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa

hai mp(ABC) và (AB’I).
Học sinh đọc lời giải của bài toán:
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(AB’I). Theo công thức hình chiếu ta có:

cos  

S ABC

.
S AB ' I

+ Ta có:

S ABC

Hình 1.2

1
a2 3
0
 . AB. AC.sin120 
.
2
4

a 5
, AB '  AB2  BB '2  a 2,
2
a 13
IB '  B ' C '2  IC '2 
. Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên
2
AI  AC 2  CI 2 

S AB ' I

1
a 2 10

S
3
 . AB '. AI 
. Vậy cos  ABC 
2
4
S AB ' I
10

Việc đọc bài làm gồm có:
+ Xem xét về trình bày các bước giải (lời giải, phép tính)
+ Xem về kết quả (kiểm tra tính chính xác của câu lời giải, các lập luận trong
từng bước giải và kiểm tra kết quả từng bước, đáp số)
+ HS thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt
phẳng (ABC).
+ Qua đây học sinh thấy được liên hệ với hình chiếu vuông góc, liện hệ giữa
góc hai mặt phẳng
+ Qua bài này học sinh cần xác định được góc giữa hai mặt phẳng dựa trên công
thức S '  S cos (S là diện tích, S’ là diện tích hình chiếu của S,  là góc giữ 2 mặt
phẳng), phải tính S, S’ như thế nào?. Phải biết cách trình bày bài toán.
 Rèn luyện HS tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi trong hoạt động lớp.
Mỗi học sinh đều có ý kiến riêng của mình. Các cuộc tranh luận, trao đổi nhóm
trong lớp học cho phép học sinh nói lên ý kiến của mình. Một cuộc tranh luận cung

11


cấp cho các em một cơ hội để thể hiện bản thân một cách chuyên nghiệp. Theo Hiệp
hội Giáo dục Tranh luận Quốc tế, trên hết, tranh luận là cách để những người có quan
điểm trái ngược thảo luận về các vấn đề gây tranh cãi. Một giải pháp chính của tranh

luận là nó hiếm khi kết thúc trong đồng ý, nhưng thay vào đó cho phép phân tích
mạnh mẽ câu hỏi một cách dễ dàng. Để làm cho các hoạt động tranh luận, trao đổi
thành công, giáo viên phải đảm bảo rằng mỗi học sinh đều được làm quen với chủ đề
này trước đó. Các cuộc tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi hoạt động lớp thúc đẩy sự
phấn kích một môi trường lớp học bằng cách khuyến khích tinh thần đồng đội và
cạnh tranh thân thiện. Học sinh có xu hướng suy nghĩ phân tích và thể hiện bản thân
rõ ràng. Do đó, tranh luận, trao đổi nhóm như một hoạt động, giúp đạt được nhiều
mục tiêu trong lớp học: họ không chỉ thực hành kỹ năng diễn đạt và tiếp thu thông
tin, mà còn thúc đẩy học sinh, phát triển các kĩ năng LL và khuyến khích sự tự tin của
người học, tinh thần đồng đội và cạnh tranh thân thiện. Học sinh có xu hướng suy
nghĩ phân tích và thể hiện khả năng lập luận của bản thân rõ ràng. Chúng tôi xem
việc học trao đổi trong hoạt động lớp là một quá trình giao tiếp, theo đó hai hoặc
nhiều bên có được kiến thức mới là kết quả của sự tương tác giữa họ. Học tập trao đổi
trong hoạt động lớp không chỉ đề cập đến sự trao đổi kiến thức giữa các bên, nhưng
chính sự trao đổi đó đóng vai trò là chất xúc tác cho sự hình thành kiến thức mới của
các bên liên quan. Trong lớp học, chúng tôi nghĩ việc trao đổi trong lớp học như là
một mối quan hệ chung giữa người học và người dạy và giữa chính người học. Sự
trao đổi này được chi phối bởi việc theo đuổi kiến thức cho sự phát triển của người
học và giáo viên. Làm thế nào chúng ta suy luận về mặt toán học hoặc cho phép
người họccủa chúng ta suy luận về mặt toán học một phần phụ thuộc vào bản chất
của sự trao đổi giữa các bên.
Nghiên cứu này đặt ra để phân tích các cách thức mà người học hợp tác tham
gia vào lý luận toán học và cách họ học cách suy luận toán học thông qua sự hợp
tác(dạy học theo nhóm). Các điểm phân tích hướng tới khả năng học tập như vậy.
Phân tích cũng cung cấp một lập luận rằng việc học này đã được thực hiện thông qua
các quy trình toán học được mô tả như sau:
* Quan sát
* Kết nối các quan sát với các biểu diễn toán học khác nhau.

12

* Giải thích và chứng minh các xác nhận được thực hiện
* Tái cấu trúc sự hiểu biết khái niệm
* Sử dụng khung khái niệm mới để đánh giá các xác nhận.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng:

(SBD)  ( ABCD) .
 Học sinh các nhóm của lớp học quan sát hình vẽ.
 Các nhóm định hướng và nêu cách giải của mình.
 Đại diện nhóm nêu đinh hướng và cách giải của mình.
 Thảo luận và nếu kết quả thảo luận của các nhóm.
 Đánh giá và kết luận.
 Sau khi quan sát hình vẽ: ( Hình 1.3)

S

* Một nhóm (a)đưa ra quan điểm của minh
như sau:
+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết)
+ SO  AC (2)

D

C

+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  (SBD) mà

AC  ( ABCD) nên (SBD)  ( ABCD)

O

* Nhóm (b) đưa ra quan điểm của minh như sau:

A

B
Hình 1.3

+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết)
+ SD  AC (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:

AC  (SBD)

mà

AC  ( ABCD)

nên

(SBD)  ( ABCD)
Như vậy giữa 2 nhóm (a) và (b) có sự khác biệt. Cuộc tranh luận của các nhóm
bắt đầu:
+ AC  BD là hoàn toàn chính xác vì theo tính chất của hình thoi mà giả thiết
đã cho.
+ Nhóm (a) cho rằng SO  AC nhưng không giải thích được cũng như minh
chứng tại sao SO  AC ?
+ Nhóm (b) lí giải rằng SD  AC theo quan sát hình vẽ cho rằng SD  ( ABCD)
Sau cuộc tranh luận giữa các nhóm trong lớp đưa ra môt vấn đề: nhóm (b) đã có

một sự giải thích sai vì ở đấy không có minh chứng cho rằng SD  ( ABCD) , còn

13


nhóm (a) cho rằng SO  AC là chính xác vì SAC cân tại S, O là trung điểm của
AC nên SO  AC .
 Rèn luyện HS hoạt động giải toán, chứng minh định lí, tính chất...
Quá trình giải toán, chứng minh hình học… ở bậc THPT đòi hỏi sự sáng tạo,
sâu sắc hơn về mặt kiến thức và sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu cũng như các định nghĩa,
định lý, tính chất … đã có. Vì thế, trong các hoạt động cần được “nhúng” vào trong
môi trường khám phá, phát minh lại tri thức để người học có thể thấy được “quá
trình” sáng tạo. Quá trình này nhằm làm giảm bớt các thủ thuật trong giải toán, chứng
minh và giúp cho người học làm quen với con đường tiếp cận giải quyết vấn đề của
toán học. Điều này giúp chúng ta thấy rõ hơn bản chất của quá trình lập luận cũng
như nhận ra các chướng ngại về mặt cấu trúc giữa chúng.
Trong phần này, để rèn luyện NL LL thông qua hoạt động giải toán, chứng
minh định lí, tính chất,…đầu tiên học sinh xem các đối tượng như toàn bộ thực thể,
không chú ý đến các thành phần hoặc thuộc tính riêng lẻ. Quan trọng là toàn bộ đối
tượng, không phải các bộ phận của nó (trực quan hóa). Thứ hai, học sinh bắt đầu
nhận ra rằng các bộ phận và tính chất đặc biệt. Tuy nhiên, học sinh không thể mô tả
làm thế nào các tính chất này có liên quan với nhau, và học sinh cũng không thể hiểu
các định nghĩa. Thứ ba, học sinh hiểu được sự kết nối giữa các thuộc tính trong các
lời giải và từ một nội dung khác. Học sinh có thể làm theo bằng chứng, nhưng không
thể tự xây dựng một bằng chứng. Thứ tư, học sinh có thể xây dựng một bằng chứng
và hiểu mối liên hệ giữa các định nghĩa, định lý và các thuật ngữ không xác định. Thứ
năm, học sinh nhìn thấy sự trừu tượng trong bài toán. Học sinh có thể liên hệ trong hệ
thống toán học và có thể so sánh và đối chiếu chúng.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD.
Chứng minh SO  (ABCD).

* Nhìn vào tổng quan của bài toán học sinh
nhận ra được đây là một bài toán chứng minh
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: SO 
(ABCD), và các giả thiết đã cho của bài toán: đáy
ABCD là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD
* Các yếu tố liên quan: đáy ABCD là hình
thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD,

Hình 1.4

14


Và cũng từ các yếu tố này học sinh vẽ được hình.( Hình 1.4)
* Câu hỏi đặt ra, giả thiết cho như vậy có liên hệ gì với định lí và định lí đó là
gì?, liên hệ kiến thức liên quan đến tam giác cân, đường cao của tam giác cân
* Qua mối liên hệ học sinh đưa ra một số vấn đề và học sinh đưa ra như sau: do
SA = SC, SAC cân tại S và O là trung điểm của AC nên SO  AC , tương
tự SO  BD mà AC và BD cắt nhau tại O nằm trong (ABCD), đến đây thì
SO   ABCD  hay không?. Học sinh phải liên hệ với đinh lí, tính chất để có câu trả lời.

* Để trả lời câu hỏi trên, học sinh so sánh, đối chiếu với đinh lí “ Nếu một
đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì
nó vuông góc với mặt phẳng ấy”, để đưa ra một kết quả: SO   ABCD  .
 Rèn luyện giúp HS tìm kiếm phát hiện khái niệm mới.
Trong lập luận toán học cho phép phát triển sự hiểu biết khái niệm và định
hướng cách giải của bài toán, cho phép người học rút ra các khái niệm của họ trong
các tình huống khác và trải nghiệm toán học như một cái gì đó họ có thể hiểu và liên
quan. Ở lớp học việc xác định các vấn đề khái niệm trong một bài học mà học sinh
đang làm, giáo viên cần đưa ra những dạng bài toán có tính chất giống nhau để học

sinh tìm ra một khái niện, đôi khí vấn đề tìm khái niệm có các lỗi toán học được phát
hiện, giáo viên có thể được công khai để cả lớp xem xét và thảo luận. Giáo viên cần
xác định những gì toán học đang thiếu, để xem Tư duy logic của người học và sau đó
cố gắng xác định các khái niệm toán học chung mà người học đang gặp khó khăn.
Làm như vậy, giáo viên có thể tiến hành bằng cách đọc lại vấn đề hoặc đặt câu hỏi để
giúp người học nhìn nhận tình huống theo cách mới hoặc trong bối cảnh khác. Tất cả
người học có thể xây dựng kiến thức mới của riêng mình thông qua việc phát hiện
khái niệm toán học, từ đó kiểm tra và chứng minh các phỏng đoán.
Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC. Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn
thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (ABC).
Những LL và trình bày của học sinh:
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC) (Hình 4)
Thông qua hoạt động học sinh trong lớp, học sinh đưa ra bài làm của mình
như sau:

15


Học sinh Hồng trình bày như sau: Trong (SAB), gọi E = SP  MN
 E  SP mà SP  (SPC)  E  (SPC)
 E  MN. Vậy: E = MN  (SPC)
Học sinh Bình trình bày như sau:


Chọn mặt phẳng phụ (SAB)  MN



(SAB)  (SPC) = SP



Trong (SAB), gọi E = MN SP
E  MN, E  SP mà SP  (SPC)
Hình 1.5

Vậy: E = MN (SPC)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(ABC)

Học sinh Cúc trình bày như sau: Trong (SAB), MN không song song với AB
Gọi D = AB  MN
 D  AB mà AB  ()  D (ABC)
 DMN. Vậy: {D}=MN(ABC)
Học sinh Lan trình bày như sau:
 Chọn mp phụ (SAB)  MN
 (SAB)  (ABC) = AB
 Trong (SAB), MN không song song với AB. Gọi D = MN  AB, D  AB mà AB
 ()  D (ABC), D  MN. Vậy: D = MN  (ABC).
Qua cách trình bày ta thấy học sinh Hồng và Cúc trình bày theo một cách, còn
học sinh Bình và Lan trình bày một cách, cách trình bày giống nhau. Từ đó học sinh
đưa ra được một khái niệm chung về tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
tìm điểm chung của đường thẳng a và mặt phẳng   và tìm như thế nào?
Học sinh Hồng và Cúc dựa trên giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng
mà 2 đường thẳng này nằm trong đường thẳng a và mặt phẳng   cần tìm điểm.
Học sinh Bình và Lan dựa trên giao tuyến d của hai mặt phẳng (đã biết cách
tìm) trong đó một mặt phẳng là   mặt phẳng còn lại chưa a khi đó giao tuyếnd cắt
đường thẳng a tại đâu chính là giao điểm cần tìm.

16


 Rèn luyện giúp HS phát hiện và sửa sai lầm trong lập luận toán học.
Toán học là một trong những ngành học trong đó học tập khái niệm có một vị trí
quan trọng, do đó nhiều quan niệm sai lầm có thể được quan sát trong toán học.Trên
thực tế, toán học gần như không thể định nghĩa bất kỳ khái niệm nào mà không sử
dụng nhiều khái niệm khác. Do đó, những học sinh có quan niệm sai lầm trong các
chủ đề toán học trước đây có thể gắn những quan niệm sai lầm mới với những chủ đề
trước đó.
Trong vấn đề này cho thấy rằng khi giáo viên yêu cầu học sinh làm việc với các
nhiệm vụ cao hơn và thúc đẩy các cuộc thảo luận xung quanh bài toán, nhiều lỗi có thể
được đưa ra, đặc biệt là những lỗi liên quan đến nhiệm vụ (lỗi lý luận logic, khái
niệm,…). Trong lớp học tất cả người học đều có thể mắc lỗi và đây là một phần bình
thường của quá trình học tập. Tuy nhiên, khi nhiều người học trong một lớp có kiến
thức tốt hơn, giáo viên có thể sử dụng những học sinh này để khắc phục lỗi của người
khác và có thể mong muốn thảo luận có hiệu quả về lỗi. Tuy nhiên, ở nhiều người học
có kiến thức yếu hơn, mà người học cố gắng giải quyết với các lỗi khác của mình, học
sinh có thể tạo ra nhiều lỗi hơn nữa. Một yếu tố quan trọng là cách giáo viên phải mở
rộng và khám phá những đóng góp của học sinh và giáo viên coi trọng những đóng góp
chính xác đó. Trong một số trường hợp, giáo viên công nhận và đánh giá tích cực các
phản hồi chính xác của học sinh và thúc đẩy người học biện minh và giải thích suy nghĩ
dựa trên phản ứng chính xác của học sinh, đưa toán học đi lên.
 Rèn luyện NL LL khi trang bị cho HS các phương pháp suy luận (quy nạp,
phân tích đi lên, khái quá hóa, phản chứng,...)
Trong toán học chúng ta có rất nhiều phương pháp lập luận, sau đây chúng tôi
đưa ra một số phương pháp lập luận như sau:
Phương pháp quy nạp:
* Bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết luận tổng quát.
* Sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái chưa biết (phát hiện quy luật chung).

* Thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần được xác minh.
Phương pháp phân tích đi lên:
* Đi từ vấn đề cần giải quyết của bài toán dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài
toán, thường dùng các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã
được dạy và học.

17