Một số bất đẳng thức ôn tập trước khi thi ĐHCĐ

Một số bài toán bất đẳng thức


Bài toán 1

⇔ ( 1 − cos x )  3 − ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x )  ≥ 0
2


( 1 − cos x ) ( 1 + cos x )

2

1
= ( 2 − 2cos x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + cos x )
2

3

1  4  32
≤  ÷ =
< 3
2  3  27
⇒ 3 − ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x ) > 0
2

π
⇒ max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = + kπ
2

Bài toán 2
Cho x, y, z thỏa

3− x + 3− y + 3− z = 1

Chứng minh rằng

9x
9y
9z
3x + 3 y + 3z
+ y
+ z
≥
x
y+z
z+ x
x+ y
3 +3
3 +3
3 +3
4

Ta cần chứng minh


Từ giả thiết ab + bc +ca = abc và bất đẳng thức cuối,
ta cần chứng minh :

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

Bài toán 3

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

x2 ( y + z ) y 2 ( z + x ) z 2 ( x + y )
P=
+
+
yz
zx
xy
P≥

x2 ( y + z )
2

+

y2 ( z + x)
2

 y+z
z+x

÷

÷

 2 
 2 
4 x2 4 y 2 4 z 2
=
+
+
1− x 1− y 1− z
x2 1 − x
+
≥x
1− x
4

+

z2 ( x + y )
2

 x+ y

÷
 2 


Nếu không quy mỗi số hạng về hàm theo x, y, z thì

P≥

x2 ( y + z )
2

+

y2 ( z + x)
2

 y+z
z+x

÷

÷
2
2




4 x2
4 y2
4z2
=
+
+
y+ z z+x x+ y

+

z2 ( x + y)
2

x+ y

÷
2



4( x + y + x) 2
≥
= 2( x + y + z ) = 2
2( x + y + z )


Bài toán 4

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

P=

1

+

1

( x + y) ( y + z) ( x + z) ( y + z)

Cách giải nào sai?

Cách 1

P≥

4

(1+ y)

2

+

2

4

(1+ z)
2

2

1 2
2 
≥ 
+
÷
2 1+ y 1+ z 




4
32
32
≥ 2
≥
÷ =
2
9
 2 + y + z  (3 − x)


Cách 2

P=
≥

1

+

1

( x + y) ( y + z) ( x + z) ( y + z)
2

( y + z) ( x + y) ( x + z)

4
=
≥4

2
1− x

≥

4

( 1− x) ( 1+ x)


Bài toán 5

Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

yz

xy
zx
P=
+
+
x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy
Kĩ thuật Cauchy ngược dấu


1 x + 2 yz − x 1 
x
=
= 1 −
÷


2  x + 2 yz ÷
x + 2 yz 2 x + 2 yz


1
x
≤ 1 −
÷
2 x+ y + z 
yz


Bài toán 6

Cho các số thực dương a, b, c có a + b + c = 3. Chứng minh rằng

a
b
c
3
+
+
≥
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
Ta có

a
a (1 + b 2 ) − ab 2
ab 2
=
=a−
2
2
1+ b
1+ b
1 + b2
ab 2
ab
≥a−
=a−
2b
2
Tương tự cho 2 số hạng còn lại

Chú ý rằng

a + b + c)
(
ab + bc + ca ≤
3

2


Bài toán 7

Cho a, b, c là ba số thực thỏa x + y + z = 3
Chứng minh rằng

2 + x4 + 2 + y 4 + 2 + z 4 ≥ 3 3
Xét hàm số

PTTT tại t = 1

Ta chứng minh

f (t ) = 2 + t 4
2
1
y=
t+
3
3

2
1
2+t −
t−
≥0
3
3
4

⇔ 6 + 3t 4 ≥ 2t + 1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng

Bài toán 7
Ta chứng minh

2
1
2+t −
t−
≥0
3
3
4

⇔ 6 + 3t 4 ≥ 2t + 1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng

Với

2
−1
2
2
2
t ≥ , ( 1) ⇔ 2 ( t − 1) + ( t − 1) ( t + 1) + 2  ≥ 0
2

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên (1) được CM
Vậy ta được

2
3
P≥
( x + y + z) + = 3 3
3
3


y

f (x ) =

g (x ) =

2+x 4

( )
2

3

⋅x+

1
3

2

1

x


Bài toán 8

Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn
GTLN của biểu thức

a 4 + b4 + c4 = 3

1
1
1
F=
+
+
4 − ab 4 − bc 4 − ca
Ta có

a 2 + b2
1
2
ab ≤
⇒
≤
2
4 − ab 8 − ( a 2 + b 2 )

2
2 2

x
=
(
b
+
c
)

Đặt

2
2 2
y
=
(
c
+
a
) ⇒ 0 ≤ x + y + z ≤ 12

 z = (a 2 + b 2 ) 2

1
f (t ) =
, t ∈ ( 0;12 )
Xét hàm số
8− t

. Tìm

Tiếp tuyến tại t = 4 là

1
5
y=
t+
144 36

và

1
5 
1
1
 1
2
−
t + ÷= −
( t − 2) (4 − t ).
≤ 0,
144
8 − t  144 36 
8− t
∀t ∈ (0;12)


Bài toán 9

Bài toán 10 (KD – 2012)

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Nhận xét: Giả thiết và kết luận đều có tính đối xứng đối
với 2 biến nên có thể đặt s = x + y, p = x.y

Gt ⇔ ( x + y ) 2 − 8( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8
3 2
2
s ≥ 4 p ⇒ −6 p ≥ − s
2

A = ( x + y )3 − 6 xy − 3( x + y ) + 6
3
3
≥ ( x + y ) − ( x + y ) 2 − 3( x + y ) + 6
2
3 2
3
f ( s ) = s − s − 3s + 6,0 ≤ s ≤ 8
Xét hàm số
2



Bài toán 11 (KB – 2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện

2
2
2
x
+
y
+
z
=
0,
x
+
y
+
z
=1
Tìm GTLN của
5
5
5
P=x +y +z

1

2
xy = ( x + y ) −

x + y + z = 0
2


⇒
 2
2
2
 x + y + z = 1 − 2 ≤ x + y ≤ 2
 3
3

P = x + y + z = x + y − ( x + y)
5

5

5

5

5

5

= 5 xy ( x 3 + y 3 ) − 10 x 2 y 2 ( x + y )

5
1
5 3 5

3
= − ( x + y ) − ( x + y )  = − t + t , t = x + y
2

2
2
4




Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT



Bài toán 12 (KA – 2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
. Tìm GTNN của biểu thức

x+ y+z =0

P=3

x− y

+3

y−z

+3

z−x

− 6x + 6 y + 6z
2

2

2

x + y + z = 0 nên z = - (x + y) và có 2 số không âm hoặc
không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy ≥ 0

P=3

x− y

=3

x− y

+3

2 y+x

+3

2 y+x

+3

2 x+ y

− 12( x 2 + y 2 + xy )

+3

2 x+ y

− 12[( x + y ) 2 − xy ]

2 y + x + 2 x+ y

≥3

x− y

+ 2.3

2

− 12[( x + y ) 2 − xy ]


2 y + x + 2 x+ y

≥ 3 x − y + 2.3
≥3
Đặt

x− y

+ 2.3

− 12[( x + y ) 2 − xy ]

2
3 x+ y
2

−2 3 x+ y

t = x+ y ≥0

xét

f (t ) = 2.( 3)3t − 2 3t

f ' ( t ) = 2.3( 3) .ln 3 − 2 3
3t

= 2 3( 3.( 3)3t ln 3 − 1) > 0
⇒ f đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2
0
0
Mà ≥ 3 = 1. Vậy P ≥ 3 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 0.
Vậy min P = 3.
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT