BÀI TOÁN CÔSI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

 

B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO
TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI 2
——————————————–

NGUYN VĂN ĐIN

BÀI TOÁN
CÔ-SI
VIBC
BAO
HÀM THC
TIN
HÓA
CAO

LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC

HÀ NI, 2012


 

B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO
TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI 2
——————– * ———————

NGUYN VĂN ĐIN

BÀI TOÁN CÔ-SI

VI BAO HÀM THC TIN HÓA BC CAO
Chuyên ngành: Toán Gii tích
Mã s: 60 46 01

LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC

Ngưi hưng dn khoa hc: TS. Trn Đình K

Hà Ni, 2012


 

Li cm ơn
Tôi xin đưc gi li cm ơn chân thành và sâu sc ti TS. Trn
Đình K đã tn tình hưng dn, giúp đ, ch bo tôi trong sut quá
trình làm lun văn.
Cũng qua lun văn này, tôi xin đưc gi li cm ơn đn các thy
cô giáo trong t Gii tích - khoa Toán - trưng Đi hc Sư phm Hà
ni 2, gia đình, bn bè và các bn hc viên lp K14 Toán gii tích đt
2, nhng ngưi đã đng viên, giúp đ tôi trong sut quá trình hc tp
và làm lun văn.
Hà Ni, tháng 9 năm 2012
Tác gi
Nguyn Văn Đin

1


 

Li cam đoan
Tôi xin cam đoan lun văn này là do tôi t làm dưi s hưng dn
và giúp đ tn tình ca TS. Trn Đình K. Tôi xin cam đoan s
liu và kt qu nghiên cu trong lun văn này là trung thc và không
trùng lp vi các đ tài khác. Các thông tin trích dn, các tài liu
tham kho trong lun văn đã đưc ch rõ ngun gc. Lun văn chưa
đưc công b trên bt kì tp chí, phương tin thông tin nào.
Hà Ni, tháng 9 năm 2012
Tác gi

Nguyn Văn Đin

2


 

Mc lc
1 Kin thc chun b

8

1.1 H gii thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Đ đo khôn
khôngg co
comp
mpaact và ánh x đa tr né
nénn . . . . . . . 14

2 Bài toán tng quát

19

3 ng dng
dng gii thc
thc suy rng
rng cho
cho phương
phương trình
trình tin
tin hóa
cp hai dng đy đ
29

3


 

Các kí hiu
tp hp s t nhiên
tp hp s t nhiên khác  0
  tp hp s thc
R
R+   tp hp s thc không âm
C
  tp hp s phc
i

  đơn v o tron
trongg tp s phc
∆   toán t Laplace
M N C    đ đo không comp
compact
act
(u.s.c)   na li
liên
ên tc trên
N
N∗

 

4


 

M ĐU
Lý do chn đ tài
Lý thuyt na nhóm là mt công c mnh cho vic nghiên cu tính
đt đúng ca các lp bài toán liên quan đn phương trình vi tích phân.
C th, tính đt đúng ca bài toán Cô-si đi vi phương trình vi phân
cp mt
(C P 1)



u (t) =   Au(t), t >  0

u(0) =  ξ 

liên quan cht ch vi vic  A  sinh ra mt na nhóm liên tc mnh, 
đây hàm trng thái  u ly giá tr trong mt không gian Banach  X   nào
đó. Đ nghiên cu tính đt đúng ca các bài toán vi phương trình vi
phân bc cao, ví d
(C P 2)



u (t) + Au (t) + B
 Bu
u(t) = 0, t >  0
u(0) =   ξ, u (0) =  η ,

ngưi ta tìm cách đưa nó v h phương trình bc nht đ có th áp
dng các kt qu ca lý thuyt na nhóm. Tuy nhiên công vic này
không phi bao gi cũng thc hin đưc bi sau khi chuyn v h
bc nht, toán t ma trn không có các tính cht đ tt đ sinh ra
na nhóm. Do vy ngưi ta đt vn đ xây dng mt gii thc suy
rng cho các phương trình bc cao, tương t như na nhóm đi vi
phương trình bc nht đ nghiên cu tính gii đưc ca các bài toán
liên quan. Các kt qu đi vi bài toán tuyn tính tng quát có th
tìm thy trong các tài liu [38].
Cho đn nay, vì lý do k thut, các kt qu đi vi bài toán na
tuyn tính còn ít đưc bit đn, nht là đi vi bài toán Cô-si vi bao
hàm thc vi phân bc cao. Vi kỳ vng tip cn mt vn đ nghiên
cu ca toán hc hin đi, tôi chn đ tài:
"Bài toán Cô-si đi vi bao hàm thc tin hóa bc cao" 
Mc tiêu ca lun văn là nghiên cu mt lp bài toán Cô-si tng quát

vi
baothc
hàmsuy
thcrng
vi phân
bc thit
cao cólptrcho
vô phương
hn datrình
trên tuyn
các kttính.
qu
v gii
đã đưc
5


 

Mc đích nghiên cu
Áp dng lý thuyt gii thc suy rng đ tìm điu kin tn ti nghim
cho các bài toán Cô-si vi bao hàm thc vi phân bc cao. Trong đó
chú trng đn lp bài toán (CP2).

Nhim v nghiên cu
1. Nghiên cu lý thuyt
thuyt gii thc suy rng cho phương trình vi phân
tuyn tính bc cao.
2. Nghiên cu lý thuyt đim bt đng cho ánh x đa tr.
3. Tìm điu kin gii đưc cho các bài toán Cô-si na tuyn tính.

Đi tưng và phm vi nghiên cu
•  Đi tưng nghiên cu: Phương trình và bao hàm thc vi phân

bc cao.

•  Phm vi nghiên cu: Tính gii đưc, cu trúc tp hp nghim

ca bài toán Cô-si đi vi phương trình và bao hàm thc vi phân
bc cao.

Phương pháp nghiên cu
S dng các công c và các kt qu ca gii tích đa tr, lý thuyt na
nhóm, gii thc suy rng và đ đo không compact (MNC).

D kin đóng góp mi và hưng nghiên cu tip theo
Xác lp các điu kin đ cho tính gii đưc ca mt lp bài toán đi
vi bao hàm thc vi phân bc cao. Mt s vn đ đt ra cho nhng
nghiên cu tip theo:
1. S tn nghim tun hoàn ca bài toán: nghim có tính cht
u(0) =   u(T );
2. S tn ti nghim ràng buc ca bài toán: nghim có tính cht
u t

  K,

t

, T 

  K 

( ) ∈
gian
pha;   ∀   ∈   [0 ], trong đó

6

 là mt tp đóng trong không


 

3. Dáng điu tim cn ca nghim khi  t →  +∞.

7


 

Chương 1
Kin thc chun b
Bài toán tng quát
Xét bài toán Cô-si vi phương trình vi phân bc cao:
N −1

Ai u(i) (t)  ∈  F (t, u(t), ut ), t  ∈  [0 , T ],

N ))
u(N 

(t) +



  (1.1)

i=0

 

u(i) (0) =  u i , i  = 1,...,N   − 1,
u(s) =   ϕ(s), s  ∈  ( −∞, 0],

 

(1.2)
(1.3)

trong đó   N    1, Ai, i=0,...,N-1, là các toán t tuyn tính trên không
gian Banach ( X, .) và F  là mt ánh x đa tr, s đưc mô t chi tit
 phn sau.  đây  ut mô t trng thái lch s ca hàm  u tính đn thi
đim   t, nghĩa là   ut(s) =  u (t + s)  vi   s ∈  (−∞, 0].
Có th thy phương trình vi phân bc cao dng (1.1) xut hin
trong nhiu mô hình thc t ca cơ hc, vt lý, công ngh cũng như 
  Ai  là các toán t vi phân đo hàm riêng. Mt
điu
khin,
trong
đó
cách tip cn ph bin là đưa phương trình (1.1) v h phương trình

bc nht trong không gian hàm thích hp và nghiên cu h này bng
công c lý thuyt na nhóm. Tuy nhiên, như đã ch ra trong các tài
liu [13, 34, 38], phương pháp này khó thc hin khi mà không gian
nghim không th xây dng đưc mt cách tưng minh hoc là không
gian nghim đưc xây dng rt khó ng dng trong thc t. Ngoài ra,
như đã đ cp trong các công trình [13, 39], vic nghiên cu trc tip
phương trình bc cao có th nhn đưc các kt qu tng quát hơn.
Bài toán Cô-si trong trưng hp   N   = 1  đã đưc nghiên cu rng
rãi bng cách tip cn na nhóm. Phương pháp này đưc trình bày
chi tit trong các tài liu [12, 25, 34, 37]. Tip theo, ngưi ra tng

8


 

quát hóa khái nim na nhóm liên tc bng cách xây dng khái nim
na nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và na nhóm chính
quy hóa (xem [8, 38]), đ nghiên cu nhiu lp bài toán tng quát liên
quan đn phương trình vi phân bc nht và bc hai, trong đó các toán
  Ai  không nht thit phi xác đnh trù mt (như trưng hp na
t 
nhóm liên tc). Chúng tôi xin gii thiu các công trình có liên quan
đn lun văn bao gm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39]. Sau đó, mt khái
nim tng quát hóa ca na nhóm tích phân và na nhóm chính quy
hóa đưc gii thiu trong [10, 11] đưc gi là h gii thc  và
 và khái nim
m rng ca nó đưc xây dng trong [40]. Trong [10], tác gi đưa ra
mt ví d đ minh chng s hn ch ca c hai khái nim na nhóm
tích phân và na nhóm chính quy hóa. C th, vi mt s lp phương

trình, toán t   Ai  không sinh ra na nhóm tích phân cũng như na
nhóm chính quy hóa, đc bit trong trưng hp   Ai  có dng ma trn
các toán t. Lý do là na nhóm tích phân đòi hi toán t sinh phi
có tp gii khác rng, trong khi na nhóm chính quy hóa đòi hi mt
s tính cht giao hoán mà toán t dng ma trn không th đáp ng.
S dng khái nim h gii thc trong [40], ta s chng minh tính
gii đưc ca bài toán (1.1)-(1.3) vi các điu kin thích hp áp đt
lên hàm phi tuyn   F  thông qua đ đo không compact (MNC). Cách
tip cn ca chúng tôi là s dng lý thuyt đim bt đng cho ánh
x đa tr nén. K thut này đưc phát trin trong [22]. Ngoài ra, ng
dng ca gii tích đa tr cho vic nghiên cu các bao hàm thc vi
phân có th tham kho trong các tài liu [4, 5, 7, 16, 20, 24].
Có th nói rng bài toán vi phương trình vi phân có tr vô hn

nhn đưc s quan tâm nghiên cu ca nhiu nhà toán hc (xem
[19, 26, 14, 15, 28, 29, 32] và các tài liu liên quan). Thông thưng,
trng thái lch s ca h đưc xem xét trong không gian pha, xác đnh
bi h tiên đ đ xut bi Hale và Kato (xem [17]).

1.11 H gi
1.
gii
i th
thc
Cho toán t tuyn tính   A  trên không gian Banach   (X,  · ). Ta ký
hiu   D(A) và  R(A), là min xác đnh và, tương ng, min giá tr ca
A. Ký hiu [ D(A)] là không gian đnh chun D (A) xác đnh bi chun

9

 

đ th
x[D(A)]   =   x + Ax, x  ∈ D(A).

Ký hiu   L(X )  là không gian các toán t tuyn tính b chn trên  X .
Vi   B   ∈   L(X ),  ta ký hiu   [R(B )]  là không gian Banach   R(B )   vi
chun
{y  :   By   =  x }.
x[R(B )]  = inf {

 LT 
T ω − L(X ) nu   G  : (ω, ∞)  →   L(X )
Vi hng s dương  ω, ta nói   G ∈  L
và tn ti hàm liên tc   H   : [0, ∞)   →   L(X ), H (t)   =   O(eωt )  sao cho
vi mi   λ > ω, ta có

 

 ∞

G(λ)x  =

e−λt H (t)xdt,  vi

mi x  ∈   X.

0

Nhng tính cht đc t ca không gian  LT ω − L(X )  có th tìm trong
[2, 38]. Vi   λ ∈ R, đt
N −1
N 

P λ   =   λ +



λi Ai , Rλ   =  P λ−1

i=0

nu toán t ngưc tn ti.
Gi s   E 0   ∈   L(X )  là mt đơn ánh. Ta nhc li khái nim  E 0 -h
gii thc đã trình bày trong [40].

Đnh nghĩa 1.1.  Mt h các toán t tuyn tính liên tc   {E (t)}t0   ⊂

−1
gi là mt   E 0 -h gii thc đi vi tp các toán t   (Ai )N 
i=0
 X,, t  0, ta có  E 
 E (·)x  ∈  C N −1 ((0, ∞); X ),  E (i−1) (t)x  ∈
nu vi mi   xx  ∈  X
D(Ai ),   Ai E (i−1) (·)x  ∈  C ((0, ∞); X ), i  = 0,..,N   − 1, và 

L(X )  đưc

  

N −1

E (t)x +

 t

Ai

i=0

0

  tN −1
(t − s)n−i−1
E 0 x,
E (s)xds  =
(N   − 1)!
(n − i − 1)!

trong đó 
  d j
E  (t)x  =  j (E (t)x), j   ∈ N,
dt
 t
(t − s) j −1
(− j)
 j )
E  (t)x  =
  E (s)xds, j   ∈ N\{0}.

 j
 −
(
1)!
0
( j)
 j )

 

10


 

Ví d v h gii thc có th xem trong [40].  đây, ta nhc li
mi liên quan gia h gii thc vi na nhóm tích phân và na nhóm
chính quy hóa trong trưng hp  N   = 1  (xem [10]).
Gi s   C   ∈   L(X )  là mt đơn ánh,   A  là toán t tuyn tính đóng
trên  X  sao cho  C A  ⊂   AC . Khi đó ta đnh nghĩa C -tp gii ca  A  như 
sau
ρC (A) =  { λ  ∈

C

: (λI  −
 − A) là đơn ánh,

R(C )  ⊂ R(λI  −
 − A) và   (λI  −

 − A)−1C   ∈  L (X )}.

Đnh nghĩa 1.2.   Cho   ω, r   ∈   R, r      0. Nu   (ω, +∞)   ⊂   ρC (A)   và 
tn ti   S r (·) :   R+ →   L(X )  tha mãn   t  →   S r (t)u   ∈   C (R+; X )  vi mi 
u  ∈   X  sao
  sao cho
S r (t)L(X )    M eωt , t  0, M >  0 ,

và 
−1

r

(λI   − A) C u  =   λ

 

  +∞

 X..
e−λt S r (t)dt, λ > ω, u  ∈  X

0

thì ta nói   A  là phn t sinh ca na nhóm tích phân bc   r,   C -chính 
-chính 
quy hóa   {S r (t)}t0 . Nu   r  = 0 (tương ng,   C   =  I ), thì   {S r (t)}t0  đưc 
gi là na nhóm   C -chính
-chính quy hóa (tương ng, na nhóm tích phân bc 
r ) và   A  đưc gi là phn t sinh ca   {S r (t)}t0 .

Các tính cht ca na nhóm tích phân bc  r,   C -chính
-chính quy hóa có
th xem trong [10, 38]. Chú ý rng, nu  r   ∈   N, λ0   ∈   ρI (A), thì   A   là
phn t sinh ca na nhóm tích −phân
bc  r  nu và ch nu   A là phn
r
t sinh ca na nhóm   (λ0I  −
 − A) -chính quy hóa (xem [38, Theorem
1.6.7]). Khng đnh sau đây cho ta mi liên h gia h gii thc và
na nhóm chính quy hóa.

Đnh lý 1.1   ([10]).  Gi s   {W (t)}t0  là mt na nhóm   C -chính 
-chính 

  
t

quy hóa, sinh bi   A. Nu  0   W (s)xds   ∈ D(A)   vi   t      0, x   ∈   X   thì 
{W (t)}t0  là mt   C -h
-h gii thc ca   A.

Điu kin đm bo s tn ti ca   E 0 -h gii thc đi vi tp toán
−1
bàyy trong đ
đnh
nh lý sau.
t   (Ai)N 
i=0   đưc trình bà

11


 

Đnh lý 1.2  ([40]).  Gi s các toán t   Ai,   i  = 0,...,N   − 1, là đóng 

−1
và   P λ  là đơn ánh vi   λ > ω. Khi đó tp các toán t   (Ai )N 
i=0   có mt 
E 0 -h gii thc   {E (t)}t0   ⊂   L(X )  tha mãn 

E (N −1) (t), AiE (i−1)(s)  M eωt , i  = 0,...,N   − 1,

nu và ch nu   R(E 0 ) ⊂ R(P λ)   và 

  (1.4)

λN −1 Rλ E 0 , λi−1 AiRλE 0   ∈  L
 LT 
T ω  − L(X ), i  = 1,...,N   − 1.

Vi   0  k    N   − 1, ta kí hiu
k

Dk   =  { x  ∈



D(A j ) :  A j x  ∈ R(E 0) for all 0   j    k }.   (1.5)

 j=0
 j =0

Xét bài toán thun nht tương ng vi (1.1) - (1.3)
N −1
(N )

u

(i)

(t) +


i=0

Ai u (t) = 0, t  0,

 
 

u(i) (0) =  u i , i  = 1,...,N   − 1, u(0) =  u 0  =  ϕ (0)

(1.6)
(1.7)

ta có kt qu sau v tính gii đưc ca nghim c đin, tc là hàm
u(·)   ∈   C N ((0, ∞); X )  sao cho   u(i) (t)   ∈ D(Ai ), t      0, 0      i      N   − 1,
tha mãn (1.6)-(1.7).

Đnh lý 1.3  ([40]).  Gi s tn ti mt   E 0-h gii thc   {E (t)}t0  đi 
−1
vi tp toán t   (Ai )N 
i=0  , khi đó vi   u0   ∈ D0 ,...,uN −1   ∈ DN −1 , bài toán 
(1.6)-(1.7)  có mt nghim cho bi 
N −1

u(t) =

i

t ui −
i!

i

 t

    
i=0

 j=0
 j =0

0

i− j

(t − s)   E (s)vij ds , t  0,
(i −  j )!



trong đó   vij   ∈  X  là các phn t sao cho

A j ui  =  E 0 vij , 0   j    i, 0  i  N   − 1.

Nghim cho bi công thc trên tha mãn các ưc lưng, vi hàm b 
chn cc b   R(t):
N −1

uN (t), u(k) (t)[D(Ak )]    R(t)
i=0



vi mi   t  0   và   0  k    N   − 1.

12



i



A j ui [R(E  )]   (1.8)

ui +

0

 j=0
 j =0




 

1.22 Khô
1.
Không gia
iann pha
Cho   B  là
  là mt không gian tuyn tính, vi na chun  | · |B , bao gm
các hàm s t   (−∞, 0] vào  E    - không gian Banach. Khái nim không
  B  cho các phương trình vi tr, đưc đưa ra bi Hale và
gian
Kato pha
(xem
[19]), bao gm các tiên đ: Nu  v   : (−∞, T ]  →   E  sao
  sao cho
v |[0,T 
([0, T ]; E )  và   v0   ∈ B , thì
[0,T ]]   ∈   C ([0
  vi mi   t ∈  [0, T ];
(B1)   vt   ∈ B  vi

(B2) hàm   t  →  v t  liên tc trên  [0, T ];

(B3)   |vt|B      K (t)sup{v (s)E   : 0      s      t}   +   M (t)|v0 |B , trong đó
K, M   : [0, T ]  →  [0, ∞),   K  là
  là hàm liên tc,   M  là
  là hàm b chn, c
hai hàm này không ph thuc  v .
Sau đây là các ví d v không gian pha tha mãn các tiên đ nêu
trên.
(1) Vi   η

>   0, ký hiu   B   =   C η  là không
ψ   : (−∞; 0] →  E  tha mãn   lim eηθ ψ (θ )  vi

gian các hàm liên tc

θ→−∞

|ψ |B   =

sup eηθ ψ (θ ).
−∞<θ≤0

(2) (Không gian "gim nh" ).
). Gi s  1
 1   p <  + ∞, 0  r <  + ∞ và
g   : (−∞, −r ]  → R là hàm không âm, đo đưc xác đnh trên (−∞, −r ).
Ký hiu   C L pg  là h các hàm s   ϕ   : (−∞, 0]   →   X sao
sao cho   ϕ  liên tc
trên  [ −r, 0] và  g (θ)ϕ(θ) p   ∈   L1 (−∞, −r). Na chun trong  C L pg  cho
X 
bi

  

  −r

|ϕ|C L pg   = sup {ϕ(θ )X } +
−rθ 0

Gi thit thêm rng

 

  −r

g (θ)dθ <  +∞,  vi

−∞

g (θ )ϕ(θ) pX dθ



1

 p

mi s  ∈  (−∞, −r) và

.

  (1.9)

(1.10)

s

g (s + θ )  G(s)g (θ ) vi  s  0 và θ   ∈  ( −∞, −r),

  (1.11)
trong đó G  : (−∞, 0] → R+ b chn đa phương. Theo [19], nu (1.10)  C L p
g
 thagian
mãnpha
(B1)-(B3).
(1.11)
đưctìm
tha
thìv không
Có th
hiumãn
thêm
trong [19].

13


 

1.33 Đ đo
1.

đo kh
khôn
ôngg co
comp
mpac
actt và
và án
ánhh x đa
đa tr
tr nén
nén
Trong mc này, ta nhc li mt s khái nim và kt qu ca gii tích
đa tr s s dng. Có th xem chi tit trong các công trình [4, 5, 7,
16,Gi
20, s 
22,  Y 24].
 là mt không gian Banach. Ký hiu
• P (Y ) = { A  ⊂   Y   :  A  
=  ∅} ,
•   P v (Y ) =  { A  ∈ P (Y ) :   A là li},
•   K (Y ) = { A  ∈ P (Y  ) :   A là compact},
•   K v (Y ) =  K (Y ) ∩ P v (Y  ),
•   C (Y  ) =  { A ∈ P (Y ) :   A là đóng},
•   P b(Y ) =  { A  ∈ P (Y ) :   A b chn}.

Ta s dng đnh nghĩa sau đây v đ đo không compact (xem [22]).

Đnh nghĩa 1.3.   Cho   (A, )  là mt tp sp th t b phân. Hàm 
β   :  P (E )  → A  đưc gi là  đ
  đ

đo không compact (MNC) trong   E   nu 

β (co  Ω) =  β (Ω)  vi

mi   Ω ∈ P (E ),

trong đó   co  Ω  là bao li đóng ca   Ω. Mt MNC   β  đưc
  đưc gi là 
 Ω0, Ω1   ∈ P (E ),   Ω0   ⊂  Ω 1 kéo theo  β (Ω
(Ω0)  β (Ω
(Ω1 );
i) đơn điu, nu  Ω

ii) không kỳ d, nu   β ({a} ∪ Ω) =  β (Ω) vi mi   a  ∈  E , Ω ∈ P (E );
(Ω) vi mi 
iii) bt bin đi vi nhiu compact, nu   β (K ∪ Ω) =  β (Ω)
E );
tp compact tương đi   K   ⊂  E   và   Ω ∈ P E 
Nu   A  là mt nón trong không gian đnh chun, ta nói rng   β   là 
(Ω0  + Ω1)      β (Ω
(Ω0) +  β (Ω1 )   vi 
iv) na cng tính đi s, nu   β (Ω
mi   Ω0, Ω1   ∈ P (E );
(Ω) = 0  khi và ch khi   Ω  là tp compact tuơng 
v) chính quy, nu   β (Ω)

đi.
14

 

Mt ví d quan trng v MNC là đ đo không compact Hausdorff ,
tha mãn tt c các tính cht nêu trên:
χ(Ω) = inf {ε  : Ω có

lưi   ε  hu hn}.

Đ
khôngnêu
compact
Hausdorff
mãn tt
cáccht
tínhsau:
cht trong
đnhđonghĩa
trên, đng
thi, nótha
có thêm
cácc
tính
•   nu   L  là mt toán t tuyn tính b chn trong  E ,   thì   χ(LΩ)   
Lχ(Ω);
•  trong không gian tách đưc   E ,   χ(Ω) = lim sup d(x, E m), trong
m→∞ x∈Ω

đó   {E m}  là h các không gian con hu hn chiu ca  E  sao
  sao cho

∞

E m   ⊂ E m+1, m  = 1, 2,...  và



E m   =  E .

m=1

Gi s   X  là mt không gian metric.
Đnh nghĩa 1.4.  Ánh x đa tr   F   :  X   → P (E )  đưc gi là:
i) na liên tc trên (u.s.c) nu   F −1(V ) =   {x   ∈   X   :   F (x)   ⊂   V }
là tp m ca   X  vi mi tp m   V   ⊂   E ;
ii) đóng nu đ th ca nó   ΓF   =   {(x, y ) :   y   ∈ F (x)}  là tp con 
đóng ca   X   × E ;
(iii) compact nu tp nh   F (X )  là compact tương đi trong   E ;
(iv) ta compact nu hn ch ca nó trên các tp compact   A  ⊂   X 
là compact.

Đnh nghĩa 1.5.  Ánh x đa tr   F   :   X   ⊂   E   →   K (E )  đưc gi là 
nén ng vi MNC   β   ( ββ  -nén)
-nén) nu vi mi tp b chn   Ω   ⊂   X  không 
compact, ta có 
β (F (Ω))
(Ω)) 
 β (Ω)
(Ω).

Gi s   D   ⊂   E  là mt tp con li, đóng ca   E   và   U D  là mt tp

khác rng, m trong D . Ta đnh nghĩa U D  và ∂  U D  là bao đóng và biên
ca   U D  theo tô-pô trong   D.
Cho   β  là
  là mt MNC đơn điu, không kỳ d trong  E .  ng dng ca
khái
nimsau
bcđây.
tô-pô cho ánh x nén (xem [22]) cho ta các đnh lý đim
bt đng
15


 

Đnh lý 1.4  ([22, Corollary 3.3.1]).  Gi s   M  là mt tp li, đóng,
 F   : M →  K v (M)  là ánh x đa tr u.s.c. và   β -nén.
b chn trong   E   và  F 
-nén.
Khi đó tp các đim bt đng ca   F ,   Fix F   := {x  :   x ∈ F (x)}  là khác 
rng và compact.

Đnh lý sau đây là mt phiên bn ca đnh lý Leray-Schauder c
đin.

Đnh lý 1.5  ([22, Corollary 3.3.3]).  Gi s   U D  là mt lân cn m, b 
chn ca đim   a  ∈  D   và   F   : U D   →  K v(D)  là ánh x u.s.c và   β -nén,
-nén,
tha mãn điu kin biên 
x − a  
∈  λ (F (x) − a)

vi mi   x   ∈   ∂  U D   và   0   < λ      1. Khi đó   Fix F  là tp khác rng và 
compact.
 Gi s   G  : [0, T ]  →   K (E )  là hàm đa tr và   p  1.
Đnh
nghĩa
1.6.
Khi đó   G  đưc gi là 
•   L p -kh tích, nu nó có hàm chn kh tích bc   pp  theo nghĩa Bochner.
Nghĩa là có hàm   g   : [0, T ]   →   E ,   g (t)   ∈   G(t)   vi hu khp
t  ∈  [0 , T ]  sao

cho

 

  T 

0

g (s) pE ds <  ∞ ;

•   L p -b chn, nu có hàm   ξ   ∈   L p ([0, T ])  sao cho
G(t)  := sup{gE   :   g   ∈  G (t)}  ξ (t) vi hu khp  t  ∈  [0 , T ].

Tp các hàm chn kh tích bc   p  ca  −G1 đưc ký hiu là   S  pG.
Hàm đa tr   G   gi là  đo đưc   nu   G (V )  đo đưc (ng vi đ
đo Lebesgue trên   J   := [0, T ]) vi mi tp m   V   ca   E . Ta nói   G
là  đo đưc mnh  nu có mt dãy các hàm bc thang   Gn   : [0, T ]   →
K (E ), n = 1, 2,... sao cho

lim H(Gn (t), G(t)) = 0  

n→∞

vi hu khp t  ∈  [0, T ],

trong đó   H  là khong cách Hausdorff trên  K (E ).
Ta bit rng, khi  E  là
 là không gian tách đưc, ta có các khng đnh
sau tương đương (xem [22]):
1.   G  là đo đưc;
16


 

2. vi
vi tp đm đưc trù mt { xn} ca   E , hàm  ϕn   : [0, T ] → R, đnh
nghĩa bi
ϕn (t) =  d (xn , G(t)),

là đo đưc;
3.   G  có biu din Castaing: tn ti h   {gn}  các hàm chn đo đưc
ca   G  sao cho
∞



gn (t) =  G (t)

n=1

vi hu khp  t  ∈  [0, T ];
4.   G  là đo đưc mnh.

Ngoài ra, nu   G  đo đưc và  L p-b chn, thì nó   L p-kh tích. Nu   G
là   L p-kh tích trên  [0, d] vi   p ≥  1 , thì   G cũng   L1 -kh tích. Khi đó, ta
có hàm   t → 0t  G(s) ds  xác đnh bi

 
   
 t

 t

G(s) ds  :=

0

0

1
g (s) dx  :   g   ∈  S G



,   ∀t  ∈  [0 , d].

Đnh nghĩa 1.7.  Ta nói rng hàm đa tr   G : [0, T ] × X × B →  K (X )
tha mãn điu kin Carathéodory nu 

1. hàm   G(. , η , ζ )  : [0, T ]  →   K (X )  là đo đưc mnh vi mi   (η, ζ )  ∈
X   × B ,
2. hàm   G(t,.,.) :   X   × B →  K (X )  là na liên tc trên vi hu khp
t  ∈  [0 , T ].
Hàm đa tr   G  đưc gi là b chn tích phân cc b nu vi mi   r >  0,
tn ti mt hàm   ωr   ∈  L 1([0, T ])  sao cho
G(t , η , ζ )    = sup{z X   :   z   ∈   G(t , η , ζ )  }  ωr (t)   vi hu khp   t  ∈  [0 , T ]

vi mi   (η, ζ ) ∈  X  × B  tha
  tha mãn   ηX   + |ζ |B    r.

Gi s hàm   G   : [0, T ]   ×   X   × B →   K (X )  tha mãn điu kin
Carathéodory và b chn tích
tích phân cc b, khi đó vi u  : (−∞, T ]  →   X 
sao cho   u|[0[0,T 
([0, T ]; X )  và   u0   ∈ B , xét hàm hp
,T ]]   ∈   C ([0
Φ : [0, T ]  →  K (X ),   Φ(t) =  G (t, u(t), ut ).

17


 

Theo đnh nghĩa không gian pha, ta có   t   →   ut   ∈ B  là
  là mt hàm liên
tc. Do đó Φ là kh tích. Phn chng minh có th xem trong [22, Đnh
lí 1.3.5].
Vy, vi   τ   ∈ (0, T ],  ta có th đnh nghĩa hàm hp
P G(u) :=  S Φ1   =  { φ  ∈  L 1 (0, τ ; X ) :   φ(t)  ∈   G(t, u(t), ut ) for a.e. t  ∈  [0 , τ ]}.

Ký hiu
C X 
X (−∞, τ ) =  { u  : (−∞, τ ]  →  X   |   u0   ∈ B   và  u |[0
[0,τ 
,τ ]]   ∈  C ([0, τ ]; X )},

là không gian tuyn tính tô-pô vi na chun
uC X (−∞,τ )
[0,τ ];
];X 
X ) .
,τ )   =  | u0 |B  + uC (([0,τ 

Ta có tính cht đóng yu ca hàm  P G, sinh bi   G. Chng minh tính
cht này có trong [22, B đ 5.1.1].

B đ 1.1.  Gi s   G   : [0, τ ] ×  X   × B

→   K v (X )  b chn tích phân 
cc b, tha mãn điu kin Carathéodory và   {un}  là mt dãy trong 
1
C X 
X (−∞, τ )  hi t v   u∗   ∈ C X 
X (−∞, τ ). Gi s dãy   {φn } ⊂  L (0, τ ; X ),
φn   ∈ P G (un )  hi t yu v   φ∗ , khi đó   φ∗   ∈ P G (u∗ ).

18

 

Chương 2
Bài toán tng quát
Ký hiu   X 0   = [R(E 0)]   ⊂   X . Xét hàm đa tr   F   : [0, T ] ×  X   × B →
K v (X 0 )  cho trong bài toán (1.1)-(1.3). Do   E 0  là đơn ánh, ta có th
đnh nghĩa hàm đa tr   F 0   : [0, T ] × X   × B →  K v (X )  như sau
 

F 0   =  E − 1 F.

(2.1)

0

Gi s   F 0  tha mãn các điu kin:
 × B →   K v (X )  là hàm Carathéodory;
(F 1)   F 0  : [0, T ] × X  ×
(F 2)   F 0  b chn tích phân cc b;
(F 3)  vi mi tp b chn  Q ⊂ B   và   Ω  ⊂  X ,
χ(F 0 (t, Ω, Q))  h(t)χ(Ω) + k (t)ψ (Q)

ta có
  vi hu khp  t ∈  [0, T ],

trong đó   h, k   ∈  L 1(0, T ; X )  và
ψ (Q) = sup χ(Q(θ ))

 

(2.2)

θ 0

là  mô-đun không compact theo phân th   ca   Q.
Nhn xét 2.1.  Trong trưng hp   X   =   Rm, điu kin   (F 3)  suy ra t 
(F 2). Tht vy, điu kin b chn tích phân suy ra tp   F 0 (t, Ω, Q)   b 
chn trong   Rm vi hu khp   t  ∈  [0, T ]  và do đó nó là tin compact.
Nu   dim(X ) = +∞, thì mt trưng hp riêng đm bo cho   (F 3)
đưc tha mãn là:
F 0 (t,.,.) :  X   × B →  K v (X )
  F 0trong 
(t,.,.)  X 
 ∈  [0 , T ],tương
 bin
liênchn
tc trong 
tuyt  đi
 tc là,đi
X   ×vi
B  thành
b
 hu
thànhkhp
tp  tcompact
. các tp

19

 

Nhn xét 2.2.   Nu   E 0−1  b ch
chn,
n, ccác
ác tín
tínhh ch
cht t   (F 1) − (F 3)   cho   F 0

có th thay th bi các tính cht tương t cho   F .

Ta có đnh nghĩa nghim tích phân ca (1.1)-(1.3):
 Gi s   ui   ∈   Di , i   = 0,...,N   −  1   vi   u0   =   ϕ(0).
Đnh
nghĩa
2.1.
Cho   τ   ∈  (0, T ], mt hàm   u ∈ C X 
X (−∞, τ )  đưc gi là nghim tích phân 

  (1.1)-(1.3)  trên khong   (−∞, τ ]  nu nó tha mãn phương 
ca bài toán  (1.1)
trình tích phân 

  


 

ϕ(t),

u(t) =

vi   tt  0,

 t

w(t) +

E (t − s)φ(s)ds

  vi   tt  ∈  [0, τ ],

0

 φ  ∈ P F 
w  là nghim ca bài toán thun nht  (1.6)-(1.7)
trong đó  φ
F  (u) và   w
trên khong   [0, τ ].
0

([0, τ ]; X )  xác đnh bi
Xét toán t   S   :  L 1(0, τ ; X )  →   C ([0

 
 t

S (f )(t) =

E (t − s)f (s)ds.

 

(2.3)

0

Ta có khng đnh sau (xem chng minh trong [22, B đ 4.2.1]).

Mnh đ 2.1.  Toán t   S  có
  có các tính cht:
(S 11))  Tn ti hng s   C 0   >  0  sao cho
 t

S (f )(t) − S (g)(t)X    C 0

 
0

f (s) − g (s)X ds

vi mi   f , g   ∈  L 1(0, τ ; X ), t ∈  [0, τ ];

(S 22))  vi mi tp compact   K   ⊂   X  và dãy   {f n } ⊂   L1 (0, τ ; X )  sao cho
{f n (t)} ⊂   K  vi
  vi hu khp   t  ∈  [0, τ ], nu   f n    f  (hi t yu) thì 
S (f n )  →  S (f )  (hi t mnh).

T Mnh đ 2.1 ta có kt qu sau (xem [22, B đ 4.2.4]).

Mnh đ 2.2.  Gi s   {ξ n} ⊂   L1(0, τ ; X )  b chn tích phân, tc là,
ξ n (t)  ν (t),  vi hu khp   t  ∈  [0 , τ ],
20


 

trong đó   ν   ∈  L 1 ([0, τ ]). Gi s tn ti hàm   q   ∈   L1 ([0, τ ])  sao cho
χ({ξ n (t)})  q (t),  vi

hu khp  t  ∈  [0, τ ].

Khi đó 

 t

χ({S (ξ n )(t)})  2C 0

 

q (s)ds

0

vi mi   t ∈  [0, τ ].

Đnh nghĩa 2.2.   Dãy   {ξ n } ⊂   L1(0, τ ; X )  đưc gi là na compact 
nu nó b chn tích phân và tp   {ξ n(t)}  là compact tương đi trong   X 
vi hu khp   t ∈  [0, τ ].

Theo [22, Đnh lý 4.2.1 và 5.1.1], ta có

Mnh đ 2.3.  Nu dãy   {ξ n} ⊂   L1(0, τ ; X )  là na compact, thì   {ξ n}
là compact yu trong   L1(0, τ ; X )   và   {S (ξ n)}  compact tương đi trong 
C ([0
([0, τ ]; X ). Ngoài ra, Nu   ξ n    ξ 0   thì   S (ξ n )  →  S (ξ 0 ).
Vi mi hàm   v   ∈  C ([0, τ ]; X )  thuc mt tp li đóng, tp hp
D0   =  { v   ∈   C ([0
([0, τ ]; X ) :  v (0) =   ϕ(0)},

 

(2.4)

trong đó ϕ là hàm giá tr ban đu, ta đnh nghĩa hàm v[ϕ] ∈ C X 
X (−∞, τ )
như sau
ϕ(t),   nu   t  0,
v [ϕ](t) =
(2.5)
v (t),   nu   t  ∈  [0 , τ ].
Khi đó ta thy rng hàm  u ∈ C X 
X (−∞, τ )  là nghim tích phân ca bài



toán (1.1)-(1.3) nu nó có dng
u  =  v [ϕ],

vi  v   ∈ D0  là đim bt đng ca toán t 

G   : D 0   → D0

xác đnh bi
G (v ) =   w + S  ◦
 ◦ P F 
F  (v [ϕ]),
0

trong đó   w  là nghim ca bài toán thun nht (1.6)-(1.7).
  là toán t đóng 
s   F 0  tha mãn (F1)-(F3). Khi đó   G  là
B
nhnđgiá2.1.
tr Gi
compact.
21


 

 

G  :
Chng minh.  Ta ch cn chng minh khng đnh ca đnh lý cho G 
D0   →   C ([0
([0, τ ]; X ),
G (v ) =   S   ◦◦ P F 
F  (v [ϕ]).
0

Gi s   {vn} ⊂ D0   hi t đn   v∗ trong   D0   và   z n   ∈ G (vn)   sao cho
z n   →   z ∗ trong   C ([0
([0, τ ]; X ). Ta s chng t rng   z ∗ ∈ G 
G (v ∗ )). Vi
ξ n   ∈ P F 
F  (vn [ϕ])  sao cho   z n   =   S (ξ n ), ta có



0

ξ n (t)  ∈  F 0 (t, vn (t), vn [ϕ]t ) vi

  

hu khp t ∈  [0, τ ],

và s dng (F 2), ta có {ξ n} b chn tích phân. Hơn na, gi thit (F 3)
cho ta
χ({ξ n (t)})  h(t)χ({vn (t)}) + k (t)ψ ({vn [ϕ]t })  vi

hu khp t  ∈  [0, τ ].
(2.6)
([0, τ ]; X )  suy ra rng   χ({vn (t)}) = 0   vi
S hi t ca   {vn}  trong   C ([0
mi   t ∈  [0, τ ]. Mt khác,
ψ ({vn [ϕ]t }) = sup χ({vn [ϕ](t + θ )}) = sup χ({vn (s)}) = 0.
θ 0

  (2.7)

s∈[0
[0,t
,t]]

Do đó, kt hp vi (2.6), ta đưc
χ({ξ n (t)}) = 0  vi

hu khp t  ∈  [0, τ ]

và do vy   {ξ n}  là dãy na compact. T Mnh đ 2.3 ta có   {ξ n}   là
compact yu trong  L1 (0, τ ; X ) và {S (ξ n)} là compact tương đi trong
C ([0
([0, τ ]; X ), do vy ta có th gi thit rng  ξ n    ξ ∗ trong   L1(0, τ ; X )
, τ ]; X ). Áp dng B đ 1.1, ta
 S (ξ n )  →   S (ξ ∗ ) =   z ∗ trong   C ([0
([0
vcóà   ξ z n∗  =
∗
∗
∗
∗
∈ P F 
 ◦ P F 
G (v ∗ ).
F  (v [ϕ])  và do vy   z  =   S (ξ  )  ∈  S  ◦
F  (v [ϕ]) = G 
Ta còn phi chng minh GG   nhn giá tr compact. Gi s {z n} ⊂ G 
G (v )
vi mi   v   ∈ D0 . Khi đó tn ti   {ξ n } ∈ P F F  (v [ϕ])  sao cho   z n   =   S (ξ n).

S dng gi thit ( F 2)-(F 3), ta có dãy { ξ n} là na compact, và do đó
([0, τ ]; X )  theo Mnh đ 2.3. D
{S (ξ n )}  compact tương đi trong   C ([0
thy giá tr ca GG   là
là tp li.
0

0

 

0

   

 

B đ 2.2.  Gi s các gi thit ca B đ 2.1 đưc tha mãn. Khi đó 
G  là
  là na liên tc trên.
G 
G .  T
Chng
chtcnrng
chng
Đnh lýGi
1.3s và
  A B
đ
2.1, minh.

ta s  Ta
chng
G
G   làminh
ánh cho
x ta
compact.
 ⊂

 

22

 


 

 

C ([0
([0, τ ]; X )  là tp compact và   {z n } ⊂ G 
G (A). Khi đó   z n   =   S (ξ n )   vi
ξ n   ∈ P F 
F  (vn [ϕ])  và { vn } ⊂  A.  Ta có th gi thit  {vn }  hi t. S dng
đánh giá như trong (2.6)-(2.7), ta có { ξ n} là dãy na compact. Do vy
([0, τ ]; X ) theo Mnh đ 2.3.
{S (ξ n )} là compac tương đi trong   C ([0
0

Bây gi ta s chng t   G  là
  là mt ánh x nén. Ta s xây dng mt
đ đo phù hp cho bài toán. Xét mô-đun không compact theo phân th 
xác đnh bi
γ   :   P (C ([0
([0, τ ]; X ))
))  →

R+ ,

 

γ (Ω)
( Ω) = sup
sup e−Ltχ(Ω(t)),

(2.8)

t∈[0
[0,τ 
,τ ]]

trong đó hng s   L  đưc chn sao cho
 t

   := sup
sup
t∈[0
[0,τ 
,τ ]]

và

2C 0

 

e−L(t−s) [h(s) + k (s)]ds  <  1

  
0

modC   :   P (C ([0
([0, τ ]; X ))
))  →

R+ ,

(2.9)


 

modC (Ω) = lim sup max v (t1 ) − v (t2 ),
δ →0 v ∈Ω |t1 −t2 |<δ 

(2.10)

đưc gi là mô-đun đng liên tc   ca   Ω  trong   C ([0
([0, τ ]; X ).

Xét đ đo
ν   :  P (C ([0
([0, τ ]; X ))
)) →

2

R+ ,

 

ν (Ω) = max
max (γ (D ),mod (D)),
D∈∆(Ω)

(2.11)

C 

trong đó  ∆(Ω) h các tp con đm đưc ca  Ω và max đưc xét theo
th t trong nón   R2+ . Lý lun tương t như trong [22], ta có   ν  hoàn
  hoàn
toàn xác đnh. Tc là, giá tr ln nht đt đưc trong ∆(Ω)   vàν   là
mt đ đo không compact trong C ([0, τ ]; E ), tha mãn tt c các tính
cht nêu trong Đnh nghĩa 1.3 (xem [22, Ví d 2.1.3]).

B đ 2.3.  Nu các điu kin ca B đ 2.1 đưc tha mãn, thì ánh 
x đa tr   G   :  D 0   →  K v(D0 )   là   ν -nén.
-nén.
Chng minh.  Gi s   Ω ⊂ D0  sao cho

ν (G (Ω))
(Ω))  ν (Ω)
(Ω).

23

 

(2.12)