Giáo án RLNVSP 1 (1)

Bài 5: TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
Học sinh hiểu rõ:
- Định nghĩa trục toạ độ và hệ trục toạ độ;
- Khái niệm toạ độ của vectơ và của điểm đối với trục toạ độ và đối với hệ trục toạ độ;
- Định nghĩa độ dài đại số của vectơ trên trục;
- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.
2. Kĩ năng:
Học sinh nắm vững cách làm và thực hiện thành thạo, linh hoạt các công việc sau:
- Xác định toạ độ của điểm và của vectơ trên trục toạ độ;
- Tính độ dài đại số của một vectơ khi biết được toạ độ hai đầu mút của nó;
- Xác định toạ độ điểm đối với hệ trục toạ độ, xác định toạ độ vectơ đối với hệ trục toạ
độ khi biết toạ độ hai đầu mút của vectơ;
- Sử dụng biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ;
- Xác định được toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm của một
tam giác.
3. Thái độ:
- Bước đầu hiểu được việc đại số hoá hình học;
- Tính cẩn thận chính xác, khoa học, tư duy logic.
II. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên:
- Phương tiện dạy học: SGK, bảng phụ vẽ hình dùng trong các hoạt động,…
- Phương pháp dạy học: Kết hợp gợi mở - vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển
tư duy và hoạt động nhóm.
2. Học sinh:
Đọc trước bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:
1. Ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
3. Bài mới:

Đặt vấn đề: Ứng dụng toán học vào thực tiễn luôn là động cơ nghiên cứu của cá nhà toán
học. Như chúng ta đã biết, khái niệm vectơ ra đời để biểu thị những đại lượng có hướng
như vận tốc, gia tốc, lực,… Tuy nhiên, liệu như thế đã đủ? Giả sử ta đã biết hướng di
chuyển của một chiếc máy bay hay tàu thuỷ, vậy bằng cách nào ta có thể xác định vị trí
của chúng sau một khoảng thời gian nào đó? Để làm được điều này, người ta gắn vào đó
một trục hoặc một hệ trục toạ độ (vd: Hệ thống kinh độ và vĩ độ trên mặt đất). Vậy, trục
toạ độ và hệ trục toạ độ là gì? Đó cũng là vấn đề hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu.


Hoạt động 1: Trục toạ độ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- Nhắc lại kiến thức về trục - Học sinh theo dõi bài.
toạ độ (trục số) đã học ở cấp
2.
Ở lớp 7, chúng ta đã làm
quen với hệ trục toạ độ Oxy,
hệ trục này được tạo thành
từ hai trục số Ox, Oy đặt
vuông góc nhau. Chúng ta
có thể hiểu nôm na Ox và
Oy là hai trục toạ độ.
- Yêu cầu học sinh quan sát
trục Ox và trả lời câu hỏi:
+ Đâu là gốc toạ độ?
+Trục Ox được chia thành
những đoạn bằng nhau, một
đoạn như thế được gọi là gì?

- Học sinh trả lời câu hỏi

giáo viên đặt ra:
+ Điểm O được gọi là gốc
toạ độ.
+ Trục Ox được chia thành
các đoạn thẳng đơn vị.

- Yêu cầu học sinh quan sát
hình 27 trang 25 trong SGK
hình học 10 nâng cao và nêu
định nghĩa trục toạ độ.

- Quan sát hình, chỉ ra
những tính chất của trục toạ
độ:
+ Có gốc toạ độ là O
+ Có vectơ đơn vị i

Nội dung ghi bảng
- Vẽ hình hệ trục Oxy đã học
ở lớp 7

1. Trục toạ độ:
x'

O

i

I

x

Định nghĩa: Trục toạ độ
(còn gọi là trục, hay trục số)
là một đường thẳng trên đó
đã xác định một điểm O và
một vectơ i có độ dài bằng
1.
Kí hiệu: (O; i )
+ O: gốc toạ độ của trục
+ vectơ i : vectơ đơn vị của
trục, hướng của i là hướng
của trục.

Hoạt động 2: Toạ độ của vectơ và điểm trên trục - Độ dài đại số của vectơ trên trục
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Nội dung ghi bảng


VD1: Cho vectơ u nằm trên - Đáp án: Hai vectơ u và i a, Toạ độ của vectơ trên
trục
trục (O; i ), khi đó vectơ u có cùng phương nên ta có
Định nghĩa: Cho vectơ u
được biểu diễn như thế nào? u  xi
nằm trên trục (O; i ). Vì
- Nêu định nghĩa toạ độ của - Theo dõi bài giảng.
u / /i nên tồn tại duy nhất

vectơ trên trục.
số x sao cho u  xi . Số x
như thế được gọi là toạ độ
- Giải ví dụ, rút ra nhận xét:
- Đưa ra ví dụ cụ thể:
của vectơ u đối với trục (O;
VD2: Cho trục (O; i ) và các + AB=4i  toạ độ vectơ
i ).
điểm A, B, C như hình vẽ. AB là 4.
Tính chất: Cho hai vectơ u
Xác định toạ độ các vectơ
3
+ BC= i  toạ độ vectơ có toạ độ là x , v có toạ độ
AB,BC,AC,AO,OB .
2
là y . Khi đó, ta có
3
BC là .
+ u  v  x  y.
2
Từ đó có nhận xét gì về toạ
+Toạ độ của vectơ  u   v
11
độ của:
+ AC= i  toạ độ vectơ
là  x   y ,  ,   .
2
+ vectơ AO và OB ?
11
+vectơ 2OB+BC và AC ?

AC là .

2
+ AO=2i  toạ độ vectơ
AO là 2.
+ OB=2i  toạ độ vectơ
OB là 2.
11
+ 2OB+BC = i  toạ độ
2
11
vectơ 2OB+BC là .
2
Nhận xét:
+ Toạ độ của vectơ AO và
OB bằng nhau
+ Toạ độ của vectơ
2OB+BC và AC bằng
nhau.

VD3: Cho điểm M bất kì
nằm trên trục(O; i ). Khi đó

b, Toạ độ của điểm trên
- Theo dõi bài giảng.
trục
- M được xác định bởi vectơ Định nghĩa: Cho điểm M


điểm M được biểu diễn như OM .

thế nào?
Gợi ý trả lời câu hỏi:
+ Điểm M được xác định
bởi vectơ nào?
+ Từ đó rút ra điều gì?

nằm trên trục (O; i ). Toạ độ
của vectơ OM được gọi là
toạ độ của điểm M đối với
trục (O; i ).

- Nêu định nghĩa toạ độ của
điểm trên trục.
- Yêu cầu học sinh xác định
- OA  2i  toạ độ A là -2
toạ độ các điểm A, B, C
- OB  2i  toạ độ B là 2
trong VD2.
- OC 

7
7
i  toạ độ A là
2
2

c, Độ dài đại số của vectơ
trên trục
Định nghĩa: Cho hai điểm
A, B nằm trên tục Ox. Toạ

độ của vectơ AB được gọi
là độ dài đại số của vectơ
AB .
Kí hiệu: AB
- Đưa ra nhận xét từ định - Chứng minh các tính chất Tính chất:
nghĩa (các tính chất của độ được giáo viên đưa ra.
+ AB =AB
dài đại số cần học sinh lưu + Hiển nhiên
ý).
+ AB=  BA
+ AB=  BA
- Nêu định nghĩa độ dài đại -Theo dõi bài giảng.
số của một vectơ trên trục.
Nhấn mạnh sự khác nhau
giữa độ dài và độ dài đại số.
(Độ dài luôn dương, độ dài
đại số có thể âm hoặc
dương).

 AB.i  BA.i
 AB  BA

+ AB=AB  AB
+

+ Hiển nhiên
+ AB  BC  AC

AB=  AB  AB
i

+ AB+BC=AC (Hệ thức

 AB.i  BC.i  AC.i
 AB+BC .i  AC.i





 AB+BC=AC
+ AB=AO+OB
 OB  OA
 xB  xA
- Cho học sinh làm ví dụ

Chasles)
+ AB  xB  xA

i


vận dụng, từ đó rút ra các
chú ý liên quan đến độ dài
đại số.
VD4: Cho hai điểm A có toạ - Giải VD4:
độ là 1 và B có toạ độ là 3 • • • • •
đối với gốc toạ độ O.
M O A I B
I là trung điểm của AB. M, a, Ta có:
N nằm ngoài đoạn AB sao I=(2); M=(-1); N=(5)

1
Suy ra
choMA= MBvà NA=3NB.

•
N

IA  1  2  1
3
a,Tính
IB  3  2  1
IA,IB,MA,MB,NA,NB
MA  1  (1)  2
b, Có nhận xét gì về quan hệ MB  3  (1)  4
giữa vị trí các điểm I, M, N
NA  1  5  4
IA MA NA
và các tỉ số
,
,
? NB  3  5  2
IB MB NB b, Nhận xét:

Chú ý:
+Cho điểm O thuộc đường
thẳng d. Với mỗi số k, tồn
tại duy nhất điểm M sao cho
OM = k.
+ Với mỗi số k  1, tồn tại
duy nhất điểm M thuộc

đường thẳng AB sao cho

MA
= k. Cụ thể ta có:
MB
•k<0  M thuộc đoạn

AB;
•0của tia AB;
•k>1  M thuộc tia đối
của tia BA.
+Nếu ta thay đổi gốc toạ độ
IA
của trục mà không thay đổi
+
 1  0 (I nằm trong
vectơ đơn vị của trục thì toạ
IB
độ các điểm trên trục thay
đoạn AB)
đổi nhưng độ dài đại số của
MA 1
+ 0
  1 (M nằm các vectơ trên trục không
MB 2
thay đổi.
trên tia đối của tia AB)
+

NA
 2 (N nằm trên tia
NB

đối của tia BA)
Hoạt động 3: Hệ trục toạ độ
Hoạt động của giáo viên
- Đặt vấn đề: Làm thế nào
để xác định vị trí các quân
cờ trên bàn cờ vua?
Gợi ý: Chỉ ra quân cờ đó
nằm ở cột nào, dòng thứ
mấy?
- Giới thiệu sơ về lịch sử hệ
trục tọa độ: Hệ trục tọa độ

Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
- Trả lời câu hỏi của giáo 2. Hệ trục toạ độ:
viên, ví dụ:
+ Quân xe (c;3): cột c dòng
3.
+ Quân mã (f;6): cột f dòng
6.
Định nghĩa: Hệ hai trục Ox


là ý tưởng của nhà toán học
và triết học người Pháp
René Descarter thể hiện vào

năm 1637, ông đã giới thiệu
ý tưởng mới về việc xác
định vị trí của một điểm hay
vật thể trên một bề mặt bằng
cách dùng 2 trục giao nhau
để đo – gọi là phương pháp
tọa độ. Phương pháp này
đầu tiên được ứng dụng
trong thiên văn học và địa lí
(thông qua kinhđộ, vĩđộ). R.
Descarter là người đã có
công hợp nhất đại số và
hình học. Công trình này
của ông đã mở ra thời kì
phát triển mới cho toán học.
- Như đã nhắc ở HĐ1, lớp 7,
học sinh đã làm quen với hệ
trục và mặt phẳng toạ độ
cũng như các khái niệm liên
quan. Do đó, ta có thể để
học sinh quan sát hình 28
SGK hình học 10 nâng cao
và nêu định nghĩa hệ trục
toạ độ.
- Đặt ra câu hỏi cho học
sinh về ứng dụng của hệ
trục toạ độ trong thực tế.

và Oy vuông góc với nhau
tại gốc chung O được gọi là

hệ trục toạ độ Oxy ( hệ trục
toạ độ Descartes vuông
góc).
Vectơ đơn vị trên trục Ox là
i , vectơ đơn vị trên trục Oy
là j . i  j  1.

- Quan sát hình và nêu định
nghĩa hệ trục toạ độ.

Điểm O gọi là gốc toạ độ.
Trục Ox gọi là trục hoành,
trục Oy gọi là trục tung.
Kí hiệu: Oxy hoặc (O; i ; j )
Chú ý:
Mặt phẳng mà trên đó đã
cho một hệ trục toạ độ Oxy
gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy
hay gọi tắt là mặt phẳng
Oxy.

- Trả lời:
+ Trong đo đạc, thiết kế thi
công
+ Trong việc xác định vị trí
tàu thuyền trên biển hoặc
máy bay trên không
+…

Hoạt động 4: Toạ độ của vectơ và của điểm đối với hệ trục toạ độ - Biểu thức toạ độ

của các phép toán vectơ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
- Yêu cầu học sinh nhắc lại - Trả lời: Cho hai vectơ a, Toạ độ của vectơ đối với


định lý về sự biểu thị một không cùng phương a và b .
vectơ qua hai vectơ không
Khi đó mọi vectơ x đều có
cùng phương.
thể biểu thị được một cách
duy nhất qua hai vectơ a và
b , nghĩa là có duy nhất cặp
số m và n sao cho
x  ma  nb .
- Như vậy, trong mặt phẳng - Học sinh lên bảng ghi kết
toạ độ Oxy (hình 29 trang quả.
27 SGK hình học 10 nâng
5
+ a  2i  j
cao), các vectơ a, b, u, v đều
2
có thể được biểu diễn qua + b  3i  0 j
hai vectơ i và j .
3
u

2
i


(

)j
+
Yêu cầu học sinh quan sát
2
hình 29 và trả lời câu hỏi
5
SGK đưa ra.
+ v  0i  j
2
- Nhận xét câu trả lời của
học sinh, khẳng định các kết
quả học sinh vừa tìm được.



a

5
2

+  2;  là toạ độ của vectơ
+Tương tự cho 3 vectơ còn
lại.
- Rút ra định nghĩa toạ độ
của vectơ đối với hệ trục toạ
độ.
- Yêu cầu học sinh trả lời ?1

trong SGK như một ví dụ cụ
thể.
VD5: Đối với hệ trục (O;
i; j ), hãy chỉ ra toạ độ của
vectơ

- Đặt ra câu hỏi: Từ toạ độ

y
𝑎⃗
𝑗⃗
O 𝑖⃗

x

Định nghĩa: Đối với hệ trục
toạ độ (O; i; j ), nếu

a  xi  y j thì cặp số
 x; y  được gọi là toạ độ của
vectơ a .
Kí hiệu:

a   x; y  hay

a  x; y 
x; y lần lượt là hoành độ và
tung độ của vectơ a .
Nhận xét: Hai vectơ bằng
nhau khi và chỉ khi chúng

có cùng toạ độ.

a( x; y)  b( x; y)

- Học sinh tiếp thu kiến
thức, phản hồi những thắc
mắc.
- Học sinh thực hiện bài tập,
và đưa ra kết quả.
+ 0  (0;0) + i  (1;0)
+ j  (0;1)

+ i  j  (1;1)

0, i, j, i  j , + 2 j  i  (1;2)
1
1
1

2 j  i, i  3 j ,
+ i  3 j   ; 3 
3
3
3

3i  0,14 j .
+ 3i  0,14 j  ( 3;0,14)

các

hệ trục toạ độ



x  x
y  y


của vectơ, ta thấy hai vectơ - Học sinh trả lời, giải thích
bằng nhau khi nào? Từ đó rõ vì sao. (Định lý về sự
rút ra nhận xét.
biểu thị một vectơ qua hai
vectơ không cùng phương). b, Toạ độ của điểm đối với
- Giới thiệu định nghĩa toạ
hệ trục toạ độ
độ của điểm đối với hệ trục
y
toạ độ, vẽ hình minh hoạ,
K
M
giới thiệu các thành phần, kí
hiệu, tên gọi.
𝑗⃗
- Từ định nghĩa trên, yêu
O 𝑖⃗
H x
cầu học sinh đưa ra cách xác - Trả lời:
định toạ độ điểm M.
Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu của M lên Ox và Oy.

Giả sử M  ( x; y) , khi đó:
OM  xi  y j  OH+OK Định nghĩa: Trong mặt
phẳng toạ độ (O; i; j ), toạ



độ của vectơ OM được gọi
là toạ độ của điểm M.
Kí hiệu: M( x; y) hoặc
x OH
M  ( x; y) .
Hay
y OK
x; y lần lượt là hoành độ và
tung độ của điểm M.
Chú ý:
- Học sinh trả lời.
Ta thường dùng kí hiệu
a, +O(0;0) +A(4;0)
+B(0;3) +C(3;1)
 xM ; yM  để chỉ toạ độ của
+D(4;-4)
điểm M.
b, E  D
Nhận xét: Mối liên hệ giữa
c, AB  (4;3)
toạ độ của điểm và toạ độ
- Dựa vào gợi ý của giáo của vectơ tỏng mặt phẳng.
viên, học sinh khái quát hoá Với hai điểm M  xM ; yM  và
với hai điểm M  xM ; yM  và N  x ; y  thì

Suy ra



- Yêu cầu học sinh quan sát
hình 31 trang 29 SGK hình
học 10 nâng cao và thảo
luận theo nhóm.
VD6: (hình 31)
Từ đó, có nhận xét gì về toạ
độ các điểm A, B và vectơ
AB ?

xi OH
y j OK

N

N

N  xN ; yN  bất kỳ, tìm toạ MN  x  x ; y  y
 N M N M
độ MN .
- Giáo viên gợi ý:

MN=ON  OM
- Giáo viên cho ví dụ áp
dụng cụ thể.

- Học sinh giải thích kết quả

vừa tìm được.


VD7: Cho M(2;3); N(-5;7). - Giải ví dụ.
Tìm tọa độ của vectơ MN . MN =(-7;4)
- Yêu cầu học sinh thực hiện - Học sinh trả lời câu hỏi.
ví dụ sau.
a  (3)i  2 j
VD5: Cho hai vectơ
a  (3;2) và b  (4;5)
a, Hãy biểu thị các vectơ
a, b qua hai vectơ i, j .
b, Tìm toạ độ của các vectơ
c  a  b ; d  4a ;
u  4a  b .
- Nhận xét bài giải của học
sinh.
- Đưa ra biểu thức toạ độ
của các phép toán vectơ.
- Yêu cầu học sinh làm ?2
trang 28 SGK hình học 10
nâng cao

c, Biểu thức tạ độ của các
phép toán vectơ

a  ( x; y ) b  ( x; y)
Ta có:
*
*

*
*

a  b   x  x; y  y
a  b   x  x; y  y

k.a   kx; ky  k 
b



a(a  0)

x kx
y ky

Hoạt động 5: Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm tam giác
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động 1: Hướng dẫn
học sinh thực hiện hoạt
động 5 sgk/tr 29.
-Tóm tắt yêu cầu và vẽ
hình.
- Đặt câu hỏi:
+ Từ hình vẽ ta có thể biểu
diễn vectơ OP thành tổng
của hai vectơ nào? Sau đó ta
cần biến đổi như thế nào để
xuất hiện tổng của hai vectơ
OM và ON .

+Theo định nghĩa về tọa
độ của một điểm thì ta suy
ra tọa độ của trung điểm P
như thế nào?

Hoạt động của học sinh

Nội dung ghi bảng

- Vẽ hình, trả lời câu hỏi của
giáo viên.
-Lên bảng trình bày lời giải
OP = OM + MP
1
= OM + MN

Tóm tắt yêu cầu:
Mp (Oxy), M( X M , Y M ),
N( X N , Y N ). P là trung
điểm của đoạn thẳng MN.
a) Biểu thị vectơ OP qua hai
vectơ OM và ON ?
b)Tìm tọa độ điểm P theo
tọa độ của điểm M và N?

2
1
= OM + ( ON - OM
2
1

1
= OM + ON
2
2

Khi đó

)



X X
XP = M2 N ,
Hình vẽ


- Kết luận: Tọa độ trung
điểm của một đoạn thẳng.

Y

P

YM

Y N

M

2

P

Hoạt động 2: Yêu cầu học
sinh thực hiện hoạt động 6
sgk/ tr30.
-Đặt câu hỏi:
+Điểm M' đối xứng với
điểm M qua điểm A( cho
trước) thì cần thỏa mãn
những điều kiện gì?
+Khi đó ta tìm được tọa độ
của điểm M' hay không?

N

O

-Kết luận:
Nếu P là trung điểm của
đoạn thẳng MN thì


X X
XP = M2 N,

-Trả lời câu hỏi của giáo
Y Y
viên
YP M2 N
Điểm M' đối xứng với

điểm M qua điểm A thì thỏa
mãn 2 điều kiện sau:
+ M, M', A thẳng hàng
+A là trung điểm của đoạn
Cho M(7, -3), A(1,1). Tìm
thẳng MM'
-Lên bảng trình bày lời giải tọa điểm M' đối xứng với
điểm M qua điểm A
+ Vì M' là điểm đối xứng
với điểm M qua điểm A nên
ta có
MM ' =k MA và MA= M'A
Gọi M'(x,y). Ta có
MM ' =( x-7, y+3)
MA =( -6, 4)
x7
y3
Suy ra
=
(1)
6

4

Vì A là trung điểm của đoạn
thẳng MM' nên theo công
thức tọa độ trung điểm ta
tìm được x và y

x  2 X A  X M



 y  2Y A  Y M
 x  5

y  5

Khi đó ta thấy giá trị của x
và y thỏa mãn (1).
Vậy M'( -5,5).

M

A

M'


Hoạt đông 3: Hướng dẫn
học sinh thực hiện hoạt
động 7 sgk/30.
- Tóm tắt yêu cầu.
- Phát họa hình vẽ.
- Đặt câu hỏi hướng dẫn học
sinh giải:
+Ta có thể biểu diễn vectơ
OG thành tổng hai vectơ
nào?
+Tính chất nào của trọng
tâm tam giác mà ta có thể sử

dụng ở đây để biến tổng trên
về tổng của 3 vectơ OA , OB ,
OC

- Vẽ hình, trả lời câu hỏi của
giáo viên
+ Có thể biểu diễn
OG = OA + AG
+G là trọng tâm của tam
giác thì ta có
AG

=

2 AE
3

Khi đó
2 AE
3
2
= OA + 3 ( AB  BE )
2
1
= OA  3 (OB  OA  2 BC )
2 1
1
= OA + 3 ( 2 OB  2 OC  OA)
1
1

1
= 3 OA  3 OB  3 OC .

= OA +

OG

-Mp(Oxy), cho tam giác
ABC với trọng tâm G.
a) Hệ thức liên hệ giữa các
vectơ OA , OB , OC và OG .
b) Tọa độ của G theo tọa độ
của A, B, C
-Hình vẽ
A

Khi đó tọa độ trọng tâm G
là

X

Y

G

G





X

A

 X B X C

3
Y A Y B Y C

3

,

F

K
G

B

C

E

- Kết luận:
Nếu G là trọng tâm của tam
giác ABC thì

XG

Y

G



X

A

 X B X C

3
Y A Y B Y C

,

3

VD: Các điểm A'(4;1), B'(2;4) và C'(2;-2) lần
lượt là trung điểm các cạnh
BC, CA và AB của tam
giác ABC. Tính tọa độ các
đỉnh của tam


giác ABC.Chứng minh rằng
trọng tâm của tam
giác ABC và A'B'C' trùng
nhau.

IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
- Nhắc lại các kiến thức trọng tâm của bài học;
- Yêu cầu HS về nhà làm các bàitập SGK, sách bài tập và chuẩn bị trước kiến thức
cho bài học sau.