Hinh hoc giai tich (1)

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

TIỂU LUẬN MÔN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
Lớp: TOÁN !B
Nhóm thực hiện:

+ Nguyễn Thị Thắm
+ Nguyễn Ngọc Đan
+ Lưu Huỳnh Đức
+ Vũ Đông Quân
+ Nguyễn Mi Sa
+ Lê Ngô Yến Phương
+ Dương Hồ Kim Trâm
+ Nguyễn Xuân Quang

1


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU..............................................................................................................................4
Chương 1:......................................................................................................................................5
NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ.........................................................................5
BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ................................................................................7
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH.......................9
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ............................................................................................................11
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ......................................................................13

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ......................................................................14
.....................................................................................................................................................16
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ............................................................................17
BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ..............................................................................................19
Chương 2:....................................................................................................................................25
ĐƯỜNG BẬC HAI.....................................................................................................................25
BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN................26
BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ..................................................................................29
BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI.............................................................................34
VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN.............................................................................................34
BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
BẬC HAI.....................................................................................................................................40
BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI
Nhắc lại lý thuyết:.......................................................................................................................49
BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI....55
BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG
BẬC HAI.....................................................................................................................................59
BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
( C ): ax2 + 2bx + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1)..........................................................................62
BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI................................67
Chương 3:....................................................................................................................................75
MẶT BẬC HAI...........................................................................................................................75
BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN............................................76

2


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI...................................................................................80
BÀI 20: MẶT KẺ.....................................................................................................................82

BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN........................................................................84
ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI........................................................................................................84

3


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong
chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu
luận được chia làm ba chương lớn:
+Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ.
+Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng)
+Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian)
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ
một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các
chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi
đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức.
Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các
khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến,
tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ,
kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và có
phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải.
Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với
nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào
khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc
hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu.
Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá
trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng

tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc
thông cảm. Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email
Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.

4


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

Chương 1:

NHẮC LẠI KIẾN THỨC
VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ
Trong thực tế, các đại lượng ta gặp thường có 2 loại : có hướng và vô hướng
 Những đại lượng như : “khối lượng”, “chiều dài”, “thể tích” là những đại lượng vô
hướng. Xác định chúng chỉ cần “đổ lớn” (ví dụ: khối lượng cuốn tiểu luận là 300g …)
 Những đại lượng như “vận tốc”, “gia tốc”, “lực” là những đại lượng có hướng, chúng
xác định khi biết PHƯƠNG, CHIỂU, và ĐỘ LỚN. Để biểu diễn những đại lượng như
vậy, ta đưa ra khái niệm về Vectơ

Vậy Vectơ là gì ? Được xây dựng như thế nào ? Vectơ có những tính chất và ứng nào cần được
nghiên cứu

5


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ
I/ Định nghĩa:

Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ.
Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ
Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của

A
(Gốc

B
(ngọn)

vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm)
r
r
Môđun của a kí hiệu là a

+ Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1
r
+ Vectơ “không” ( 0 ): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau. Có môđun bằng 0 và chiều tùy
chọn.
+ 2 Vectơ cộng tuyến (cùng phương): là 2 vectơ có 2 giá là 2 đường thẳng trùng nhau
hoặc song song. 2 vectơ cùng phương nếu cùng chiều thì gọi là 2 vectơ cùng hướng, nếu ngược
chiều thì gọi là 2 vectơ ngược hướng.
+ 2 Vectơ bằng nhau: nếu cùng hướng và môđun bằng nhau
r r r
r
r
Trên hình: a = b , a và b ngược hướng với c
Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc. Nếu đem chúng lại chung
gốc thì chúng “trùng nhau”. Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều và môđun
của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc.

Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không gian
Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho
r
c
r
ba

vectơ tự do

r r r
r
r
Trên hình: a = b , a và b ngược hướng với c

uuur
Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ AB gọi là vectơ buộc

B

a
Buộc vectơ tự do ở điểm A
A

6


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ
I/ Phép cộng trừ Vectơ :

1/ Định nghĩa:

B

r
r
r
Tổng của 2 vectơ a và b là vectơ c được xác
định như sau:
r
Buộc vectơ a ở điểm A,
r uuur
B, b = BC . Khi đó ta có

b
a

r uuur
r
a = AB . Buộc vectơ b ở điểm
r uuur
c = AC .

C

c

A

Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc 2

r
r
r
uuur r uuur
vectơ a và b vào chung điểm O, a = OA , b = OB , khi
r
đó c được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành
r uuur
có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O : c = OC (Quy tắc này

C

A

c

a

phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí )
O

b

B

d
b

c

a

e

+++ +

Trên hình: Cộng nhiều vectơ

2/ Tính Chất :
r r r r
+ Giao Hoán : a + b = b + a
r r
r r
r r
+ Kết hợp : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
r r r r r r
+ Phần tử trung hòa của phép cộng ( 0 ) : a + 0 = 0 + a = a

7


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
+ Cộng với phần tử đối. Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng
uuur uuur
uuur uuur
phương, ngược chiều, môđun bằng nhau. Ví dụ: AB và BA đối nhau. Ta ghi : AB = - BA .
r uur r
Ta có tính chất : a + −a = 0
3/ Trừ Vectơ:
r

r
r r
r
r r r
Hiệu của 2 vectơ a và b là 1 vectơ c = a + (- b ), ta ghi c = a - b
r r r
a- b= c
uuur uuu
r uuur
Chú ý :
= BA
OA - OB

A

c

Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra

a
r r
r r
a+b ≤ a + b
Or r
r
r
a−b ≥ a - b

B

b

4/ Nhân một vecto với một số:
+ Định nghĩa:
uur
r
r
Tích của một vectơ a với một số p là một vectơ kí hiệu pa , có môđun bằng p . a ,cùng
hướng với a nếu p >0, ngược hướng với a nếu p <0
+ Tính chất:

r

r

1a = a
(1)
r
r
(-1)ra = −a r (2)
p (qa ) = ( pq )a (3)
r
r r
r
p (a + b ) = pa + pb (4)
r
r r
( p + q )a = pa + qa (5)
Mở rộng: Bằng phương pháp qui nạp người ta có thể chứng minh các tính chất 4 và 5
trong trường hợp có k hạng tử (k là một số hữu hạn tuỳ ý):

r r
r
r
r
r
(4) p (a1 + a2 + ... + ak ) = pa1 + pa2 + ... + pak
r
r
r
r
(5) ( p1 + p2 + ... + pk )a = p1a + p2 a + ... + pk a

8


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ
THUỘC TUYẾN TÍNH
I/Định nghĩa:
r r r
r
r
r
r
r
Cho n vectơ a1 , a2 , a3 ...., an và n số k1 , k2 , k3 ,..., kn . Ta gọi vectơ k1a1 + k2 a2 + k3a3 .... + kn an
r r r
r
là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1 , a2 , a3 ...., an với các hệ số k1 , k2 , k3 ,..., kn .

1/ Các vectơ độc lập tuyến tính:
r r r
r
Hệ vectơ a1 , a2 , a3 ...., an gọi là độc lập tuyến tính khi:
r
r
r
r r
k1a1 + k2 a2 + k3a3 .... + kn an = 0 ⇒ k1 = k2 = k3 = ... = kn = 0
2/ Các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
r r r
r
Hệ vectơ a1 , a2 , a3 ...., an gọi là không độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính khi:
r
r
r
r r
∃ki ≠ 0 sao cho k1a1 + k2 a2 + k3a3 .... + kn an = 0
II/ Định lý về điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
r r r
r
Các vectơ a1 , a2 , a3 ...., an (n>1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong
các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chứng minh:
r r r
r
+ Điều kiện cần: Giả sử các vectơ a1 , a2 , a3 ...., an phụ thuộc tuyến tính; ta có
r
r
r

r r
k1a1 + k2 a2 + k3a3 .... + kn an = 0 trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn ki ≠ 0 . Ta suy ra:
k r
k r k r k r
r
ai = − 1 a1 − 2 a2 − 3 a3 .... − n an
ki
ki
ki
ki
k
k1 k2 k3
, − , − ,...., − n là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.
ki
ki
ki
ki
r
r
r
r
r
+Điều kiện đủ: Giả sử an = l1a1 + l2 a2 + l3a3 .... + ln −1an −1
r
r
r
r
r
⇔ l1a1 + l2 a2 + l3a3 .... + ln −1an −1 − an = 0
r r r

r
Vậy tồn tại hệ số thứ n là -1 ≠ 0. Vậy các vectơ a1 , a2 , a3 ...., an phụ thuộc tuyến tính.

Vậy −

III/ Định lý về sự phân tích:
r r
r
+ Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ e1 , e2 độc lập tuyến tính, mọi vectơ a khác
r r
của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo e1 , e2 :
r r
r
∃!( x, y ) : a = xe1 + ye2

9


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
r r r
r
+ Trong không gian, tồn tại 3 vectơ e1 , e2 , e3 độc lập tuyến tính, mọi vectơ a khác
r r r
trong không gian được phân tích duy nhất theo e1 , e2 , e3 như sau:
r r
r
r
∃!( x, y, z ) : a = xe1 + ye2 + ze3
IV/ Các ví dụ:
Vd1: Hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ độc lập tuyến tính. Hai

vectơ cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính.
•

Hãy chứng minh ví dụ trên ?
r r
( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ a1 , a2 )
r r
Ta cần chứng minh: Hai vectơ a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính ⇔ Chúng cùng phương. Thật

vậy.
o Ta chứng minh điều kiện cần:
r r
r
r
Giả sử a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có a1 = ka2
r
r
r r
hoặc a2 = la1 . Vậy a1 , a2 cùng phương.
o Ta chứng minh điều kiện đủ:
r r
r
r
r
r
Giả sử a1 , a2 cùng phương ⇒ ∃k ≠ 0 : a1 = ka2 ⇔ a1 − ka2 = 0
r r
Vậy ta có a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính.
Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính. 3
vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính.

10


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 4: CHIẾU VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Trục là một đường thẳng trên đó đã chọn một vectơ đơn vị. Hướng của vectơ là hướng
của trục.
r
Cho một trục ∆ với vectơ đơn vị e , một mặt phẳng P không song song với ∆ và một
r uuur
vectơ v = AB tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng PA , PB song song với P
P

cắt ∆ tại A’,B’.
Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên ∆ theo phương P. Ta có
uuuuur
r
A ' B ' = p. e
uuur
uuuuur
r
Ta gọi p là chiếu của vectơ AB trên ∆ theo phương P. Nếu A ' B ' cùng phương với e
uuuuur
r
thì p >0 và nếu A ' B ' không cùng phương với e thì p<0.

uuur

Người ta viết : p = pr∆ AB
Ta còn gọi p là độ dài đại số của A’B’ và ký hiệu k= A ' B ' .
II/ Các tính chất:
1/ Tính chất 1: Các vectơ bằng nhau thì có chiếu (trên cùng trục với cùng phương) bằng
nhau.
r
r r
r
a = b ⇒ pr∆ a = pr∆ b

11


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2/ Tính chất 2: Chiếu của các vectơ tổng bằng tổng của các chiếu vectơ.
r
r r
r
p = pr∆ (a + b ) = pr∆ a + pr∆b
III/ Định lý:
Chiếu vuông góc của một vectơ (chiếu lên trục ∆ theo phương P ⊥ ∆ ) bằng môđun cua
vectơ nhân với cosin góc giữa trục và vectơ.
r r
pr∆ a = a cos ϕ

12


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Ta gọi tích vô hướng của 2 vectơ là một số bằng tích của mođun của 2 vectơ với cosin
r r rr
của góc giữa 2 vectơ ấy. Ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ a , b là a.b và góc giữa hai vectơ
r r
a , b là ϕ thì:
rr r r
a.b = a . b .cos ϕ
Chú ý: Tích vô hướng của vectơ là một số chứ không phải là một vectơ.
•

Hệ quả: Từ định nghĩa của tích vô hướng ta có ngay:
+ Bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương vô hướng của nó.

+Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
r
r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
II/ Tính chất:
1/ Tính chất 1: (Tinh giao hoán)
rr rr
a.b = b .a
2/ Tính chất 2:
rr
r r r r
p.(a.b ) = ( p.a ).b = a.( p.b )
3/ Tính chất 3: (Tính phân phối)
r r r rr rr

a.(b + c ) = a.b + a.c

13


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/Định nghĩa:
uuur uuur uuur
Tam diện tạo bởi ba vectơ OA , OB , OC không đồng phẳng lấy theo thứ
tự ấy gọi là
uuur
thuận (nghịch) nếu một người dứng dọc theo vectơ thứ ba OC , hướng của vectơ là hướng từ
uuur
uuur
chân tới đầu, thấy hướng quay từ vectơ thứ nhất OA , đến vectơ thứ hai OB ,theo góc nhỏ nhất
là ngược hướng quay kim đồng hồ

C
B
O

A

r
ur
r
Người ta gọi tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ c thỏa mãn những điều
kiên sau:

r ur
r r
1/ c ⊥ a và c ⊥ b ;
r
r r
2/ c = a b . sin(α ) ,ở đây α là góc giữa hai vectơ a và b.
ur r r
3/ Tam diện tạo bởi ba vectơ a , b , c là thuận
r ur r
ur
Thường người ta kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a và b là a ∧ b
Chú ý: tích có hướng của hai vectơ là một vectơ.
Hệ quả 1: Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích có hướng của
chúng bằng không.
Hệ quả 2: môđun của tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành tạo bởi
hai vectơ ấy.
II/Tính chất:
Tính chất 1 : tích có hướng của hai vectơ có tính chất phản giao hoán, nghĩa là:
ur r r ur
a ∧ b = -b ∧ a .
Chứng minh:
r
ur
Nếu a và b cùng phương thì dựa vào hệ quả 1 ta thấy ngay đẳng thức trên là đúng.

14


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
r

ur
ur r r ur
Bây giờ giả sử a và b không cùng phương. Môđun của hai vectơ a ∧ b và b ∧ a bằng nhau
r
ur
ur r r ur
vì cùng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b . Hai vectơ a ∧ b và b ∧ a
r
ur
ur r r ur
cùng phương vì cùng vuông góc với vectơ a và b . Cuối cùng, hai vectơ a ∧ b và b ∧ a
ur r ur r r ur r ur
ngược hướng vì các tam diện tạo bởi ba vectơ a , b , a ∧ b và b , a , b ∧ a điều là thuận (do
r ur
ur r
đó tam diện tạo bởi ba vectơ a , b và b ∧ a là nghịch).
Chứng minh:
r
ur
Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu. Nếu a và b cùng phương thì đẳng thức trên rõ
r
ur
ur
ràng là đúng. Bây giờ giả sử a và b không cùng phương. Gọi α là góc giữa hai vectơ a và
r
ur
ur
ur r
ur r
b . Nếu p>0 thì p a cùng phương với a . Do dó p a ∧ b là một vectơ cùng phương với a ∧ b ,

ur r
tức là cùng phương với p( a ∧ b ). Ngoài ra,
ur uur
ur r
ur r
ur r

p(a ∧ b) = p a b . sin(α ) = pa b sin(α ) = pa ∧ b

ur
ur
ur r
Nếu p<0 thì p a ngược hướng với a , do đó p a ∧ b ngược hướng với
r
ur r
ur
cùng phương với p a ∧ b . Mặt khác, góc giữa p a và b là π + α . Ta có
ur uur
ur r
ur r
ur r

ur

r

a ∧ b ,tức là

p(a ∧ b) = p a b . sin(α ) = pa b sin(π + α ) = pa ∧ b

Tính chất 3 : tích có hướng có tính chất phân phối với phép cộng vectơ, nghĩa là:
r r r r r
r uur
( a + b ) ∧ c = ( a ∧ c ) + (b ∧ c )
r r uur r uur r uur
a ∧ (b + c) = (a ∧ b) + (a ∧ c)
Chứng minh:
Trước hết ta có các nhận xét
r r r r
r
r r
1/ Nếu u ⊥ v u ⊥ v và v =1 thì vectơ u ∧ v nhận được bắng cách quay vectơ u xunh quanh
r
r
π
vectơ v một góc
theo hướng quay kim đồng hồ nếu nhìn từ góc nhọn của vectơ v xuống.
2
r r
r
ur
uur
Giả sử v ≠ 0 , Mỗi vectơ u điều phân tích được thành tổng của hai vectơ u ' va u " . Trong đó
ur
r
uur
r
r r
u ' vuông góc với v còn u " cùng phương với v . Gọi α là góc giữa hai vectơ u và v . Ta có:
ur r

ur r
u ' = u sin(α ) u ' = u sin(α )
r r ur r
Rõ ràng u ⊥ v = u ' ⊥ v . Thật vậy,

15


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
ur r r
r
π r r
u ' ∧ v = u sin(α ) v .sin = u ∧ v
2
ur
r r
ur r
r r
Các vectơ u ' va u , v đồng phẳng nên u ' ∧ v cùng phương với u ∧ v . Cuối cùng, dễ
thấy rằng hai vectơ ấy cùng hướng.
Bây giờ ta chứng minh
r r r r r
r uur
( a + b ) ∧ c = ( a ∧ c ) + (b ∧ c )
r
r r
r r
ur
Nếu c = 0 thì đẳng thức rõ ràng đúng, Nếu c ≠ 0 thì ta có thể phân tích a và b thành
uur uur

ur uur
uur ur r r
uur uur
r
tổng a ' + a '' và b ' + b '' . Trong đó a ' , b ' ⊥ c ⊥ c và a '' , b '' cùng phương với c . Như vậy
r r uur ur
uur uur
a + b = (a ' + b ') + (a " + b ") . Theo nhận xét 2 ta chỉ cần chứng minh đẳng thức
r r r r r
r uur
( a + b ) ∧ c = ( a ∧ c ) + (b ∧ c )
r
r
r 1r
Gọi e là vectơ đơn vị cùng hướng với c , nghĩa là e = r c . Nhờ tính chất 2 ta chỉ cần
c
uur ur r uur r
ur uur
chứng minh (a ' + b ') ∧ c = (a ' ∧ c ) + (b ' ∧ c)

=

là xong.

Theo nhận xét 1 thì muốn nhân có hướng một vectơ với một vectơ đơn vị vuông góc vói
nó, người ta quay vectơ thú nhất một góc
r
e một góc

uur ur

π
. Nhưng khi quay các vectơ a ' và b ' xung quanh
2

uur ur
π
thì đường chéo của hình bình hành tao nên từ các vectơ a ' và b ' và cũng quay
2

r
xung quanh e một góc

π
. Vậy đẵng thức đã được chứng minh.
2

Cuối cùng ta có:
uur ur r uur r
ur uur
(a ' + b ') ∧ c = (a ' ∧ c ) + (b ' ∧ c)
Tính chất 3 đã được chứng minh.

16


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ
I/Định nghĩa:
ur r r

ur r
ur r
Cho ba vectơ a , b , c . Nhân có hướng hai vectơ a , b ta được vectơ a ∧ b , rồi nhân
r
r ur r
ur r r
vô hướng vectơ ấy với c ta được số c . a ∧ b , gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ a , b , c . Kí
rrr
hiệu tích hỗn tạp của ba vectơ là (a, b, c) . Vậy
r r r r ur r
( a , b, c ) = c . a ∧ b
Chú ý: tích hỗn tạp của ba vectơ là một số.
II/ Ý nghĩa hình học của tích hỗn tạp của ba vectơ:
ur r r
Cho ba vectơ không đồng phẳng a , b , c . Ta có
r r r r ur r
( a , b, c ) = c ( a ∧ b )
ur r r
r
ur
Nếu các vectơ a , b , c tạo nên một tam diên thuận thì góc giữa vectơ c và vectơ a ∧
r
ur
là một số dương bằng đướng cao h của hình hộp dựng trên các vectơ a ,
b là góc nhọn và
r r

r r

rrr

r ur

b , c . Ta đã biết a ∧ b = S , ở đây S là diện tích đáy hình hộp ấy. Như vậy (a, b, c) = c . a
r
∧ b=
= S.h=V. V là diện tích hình hộp
ur r r
r
Nếu các vectơ a , b , c tạo nên một tam diện nghịch thì góc giữa c và
r ur r
và
là một số âm và bằng –h. Lúc đó c . a ∧ b =-V.

ur

r

a ∧ b là một góc tù

Tóm lại ta có:
rrr
2/ Định lí 7: Tích hỗn tạp (a, b, c) của ba vectơ không đồng phẳng là một số có giá trị
ur r r
tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng nên bởi ba vectơ a , b , c ,số ấy dương nên ba vectơ ấy
tạo nên một tam diên thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch.
r
ur r r
Chú ý: nếu ba vectơ a , b , c ấy tạo nên một tam diện thuận ( nghịch ) thì ba vectơ b ,
r ur

r ur r
c , a và ba vectơ c , a , b cũng tạo nên một tam diên thuận (nghịch ). Do đó
ur r r ur r r r r ur
a ∧ b . c = a ∧ c .b =b ∧ c . a
III/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
1/ Định li 8: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúng
băng không.

17


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Chưng minh:
r
ur r r
ur
ur r
ur
Cần: Cho ba vectơ a , b , c đồng phẳng. nếu a và b cùng phương thì a ∧ b = 0, do đó a ∧
r r
r
ur
ur r ur
ur r r
ur
a ∧ b ⊥ a ⊥ và a ∧ b ⊥ b ta suy ra a
b . c = 0. Nếu a và b không cùng phương thì
r
r
ur r r

∧ b ⊥ c . Như vậy a ∧ b . c = 0
rrr
ur r r
Đủ: Giả sử (a, b, c) = 0. Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng thì theo định lí 7, tích hỗn
rrr
ur r r
tạp (a, b, c) có trị số tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên các vectơ a , b , c nghĩa là
rrr
ur r r
(a, b, c) ≠ 0 . Điều này trái với giả thiết, vậy a , b , c đồng phẳng.
Từ định lí và định lí 8 ta suy ra:
Hệ Quả : Điều kiên cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là tích hỗn tạp của
chúng bằng không.

18


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
I/ Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc:
Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian

người ta

thường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc.
1)Trong mặt phẳng:
Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc gồm hai đường thẳng vuông góc x’Ox và y’Oy, trên đó
ur uur
chọn hai vectơ đơn vị e1và e2 . Hai đường thẳng ấy được gọi là hai trục tọa độ.

•

x’Ox :là trục hoành.

•

y’Oy: là trục tung.

•

ur uur
e1 , e2 : là các vectơ cơ sở.

•

Điểm O là gốc tọa độ.
2)Trong không gian:

Ba đường thẳng x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc vơi nhau từng đôi một trên đó chọn ba
ur uur ur
vectơ đơn vị e1 , e2 , e3 . Ba đường thẳng ấy được gọi là ba trục tọa độ:trục hoành, trục tung và
trục cao.

•

ur uur ur
e1 , e2 , e3 là các vectơ cơ sở

•

O là gốc tọa độ

II/ Tọa độ điểm.

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng Oxy. Ta có :
uuuuv
uv uuv
OM = xe1 + ye2 thì x,y gọi là tọa độ của điểm M

Kí hiệu: M(x, y).

19


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
 Trong không gianOxyz, giả sử M là một điểm tùy ý trong không gian.
Ta có:

uuuur ur uur ur
OM = xe1 + ye2 + ze3

các số x, y, z gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu: M(x,y,z).
III/Tọa độ của vectơ:
v
1/Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ tự do a . Ta có:
ur uur
v
a = xe1 + ye2
r

các số x, y được gọi là tọa độ của vectơ tự do a trong mặt phẳng Oxy
Nếu ta có hai điểm A1 ( x1 , y1 )và A2 ( x2 , y2 ) . Khi đó ta có:
uuuur uuuur uuur
A1 A2 = OA2 − OA1
Mà :
uuur
ur
uur
OA1 = x1 e1 + y1 e2
uuuur
ur
uur
OA2 = x2 e1 + y2 e2
uuuur uuur
ur
uur
=> OA2 − OA1 = ( x2 − x1 )e1 + ( y2 − y1 )e2
uuuur
ur
uur
Hay : A1 A2 = ( x2 − x1 )e1 + ( y2 − y1 )e2
uuuur
A1 A2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) là tọa độ của vectơ buộc .
r
r
Tổng , hiệu của hai vecto tự do.Cho hai vectơ: a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )
r r
=> a + b =( x1 + x2 , y1 + y2 )
r r
a − b = ( x2 − x1 , y2 − y1 )

Tích của một vectơ với một số
r
Trong mặt phẳng Oxy cho vecto a =(x,y)]thì
r
k a =(kx, ky)
r
r
Chú ý: nHai vectơ a ( a1 , a2 ) và b ( b1 , b2 ) khác vectơ O cùng phương khi và chỉ khi:
a1 a2
=
b1 b2
r
2/) Trong không gian Oxyz cho vectơ tự do a . Ta có:

20


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
r
ur uur ur
a = xe1 + ye2 + ze3
r
thì x, y, z gọi là tọa độ của vectơ tự do a trong Oxyz
Nếu có điểm A1 ( x1 , y1 , z1 )và A 2 ( x2 , y2 , z2 ) và . Tương tự ta cũng có vectơ buộc
uuuur
A1 A2 ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
r
Tích của một vectơ với một số: nếu có vectơ a (x, y, z)
r
=> k a =(kx, ky, kz)

r
r
CHÚ Ý:Hai vectơ a ( a1 , a2 , a3 ) và b ( b1 , b2 , b3 )cùng phương khi và chỉ khi:
a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3
IV/Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ của chúng:
r
r
Trong mặt phẳng Oxy cho a ( a1, a2 ) và b ( b1 , b2 ) ta có:
r
ur
uur
a = a1 e1 + a2 e2
r
ur
uur
b = b1 e1 + b2 e2
rr
ur
uur
ur
uur
Vậy a.b = (a1 e1 + a2 e2 ).(b1 e1 + b2 e2 )
ur uur
ur2 uur2
Do: e1 = e2 = 1 (vì e1 , e2 là những vectơ đơn vị)
uruur
e1 e2 = 0

rr
⇒ a.b = a1b1 + a2b2
MỘT VÀI HỆ QUẢ
Trong mặt phẳng Oxy

•

r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0

21


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
•

uur2 r2 r r
a = a = a.a = a12 + a22
uur
⇒ a = a12 + a22

•

r
r
a
b
Gọi α là góc giữa hai vectơ và

rr

a.b
uur uur
Cosα = a . b .
a1b1 + a2b2

hay cosα = a 2 + a 2 . b 2 + b 2
1
2
1
2
r
r
Tương tự trong không gian Oxyz, a (a1 , a2 , a3 )và b(b1 , b2 , b3 )
uur
a = a12 + a22 + a32
•

• cosα =

a1b1 + a2b2 + a3b3
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

V/ Toạ độ tích có hướng của hai vectơ
r
r
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 )và b(b1 , b2 , b3 )

Ta có:

r

ur
uur
ur
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
r
ur
uur
ur
b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3

Áp dụng tính chất của tích có hướng của hai vectơ ta có:
r r
ur ur
ur uur
ur ur
a ∧ b = a1b1 (e1 ∧ e1 ) + a1b2 (e1 ∧ e2 ) + a1b3 (e1 ∧ e3 )
uur ur
uur uur
uur ur
+ a2b1 (e2 ∧ e1 ) + a2b2 (e2 ∧ e2 ) + a2b3 (e2 ∧ e3 )
ur ur
ur uur
ur ur
+ a3b1 (e3 ∧ e1 ) + a3b2 (e3 ∧ e2 ) + a3b3 (e3 ∧ e3 )
ur ur uur uur ur ur
Mà e1 ∧ e1 = e2 ∧ e2 = e3 ∧ e3 = 0
ur uur ur uur ur ur ur ur uur
e1 ∧ e2 = e3 , e2 ∧ e3 = e1 , e3 ∧ e1 = e2
uur ur
ur ur uur

ur ur ur
uur
và e2 ∧ e1 = −e3 , e3 ∧ e2 = −e1 , e1 ∧ e3 = −e2

22


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Do đó:
r r
ur
uur
ur
a ∧ b = (a2b3 − a3b2 )e1 + (a3b1 − a1b3 )e2 + (a1b2 − a2b1 )e3

Ta thấy: a2b3 − a3b2 =

a2 a3

, a3b1 − a1b3 =

b2 b3

a3 a1
b3 b1

, a1b2 − a2b1 =

a1 a2
b1 b2

r r  a a3 a3 a1 a1 a2 
⇒ a∧b =  2 ,
,

 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
r
r
HỆ QUẢ.Nếu α là góc giữa hai vectơ a (a1 , a2 , a3 )và b(b1 , b2 , b3 ) thì:
a2 a3
Sinα=

2

+

b2 b3

±

a3 a1
b3 b1

2

+

a1 a2

2

b1 b2

a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

Ví dụ minh họa:
VD1: Cho ba điểm A(1,1,1), B(2,2,3), C(3,1,2). Tính diêm tích của tam giác ABC.
uuur
uuur
Giải:Ta có: AB =(1,1,2), AC =(2,0,1)
S ABC =

1 uuur uuur
AB ∧ AC
2

2

=

2

21
11
1 12
+
+
12
20
2 01

2

1 2 2
14
1 + 3 + (−2) 2 =
2
2
r
r
VD2:mCho vecto a (0,1,1)và b(1, 2,3) . Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vecto đó và
r
đường cao ứng với cạnh đáy a .
=

Giải: Gọi S là diện tích của hình bình hành. Ta có:
r r
S= a ∧ b

23


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
r r  1 1 1 0 01 
a ∧b = 
,
,
 = { 1,1, −1}
Mà :
 23 31 1 2 

⇒ S = 12 + 12 + (−3) 2 = 11
S
11
r
⇒ ha = uur =
(với ha là đường co của hình bình hành ứng với cạnh đáy a )
2
a
VI/ Biểu thức của tích hỗn tạp của ba vectơ theo tọa độ của chúng:
r
r
r
Cho ba vecto a (a1 , a2 , a3 ), b(b1 , b2 , b3 )và c (c1 , c2 , c3 ) .

Ta có:

r r  a a3
a ∧b =  2
 b2 b3
r r r
⇒ a ∧ b .c =

(

)

,

a3 a1 a1 a2 
,


b3 b1 b1 b2 

a2 a3
b2 b3

c1 +

a3 a1
b3 b1

c2 +

a1 a2
b1 b2

c3

a1a2 a3
rrr
Hay : (a, b, c) = b1b2b3
c1c2 c3
HỆ QUẢ: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ:

rrr
a, b, c đồng phẳng là:

a1a2 a3
b1b2b3 = 0
c1c2 c3

24


TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

Chương 2:

ĐƯỜNG BẬC HAI

25