bai tap 7

Giáo án bồi dỡng toán 7
Buổi 1-2: Số hữu tỉ, các phép toán trên tập hợp số hữu tỉ
A/. Tóm tắt lý thuyết:
1) Định nghĩa: Số hữu tỉ là số đợc viết dới dạng
a
b
với a,b

Z, b

0.
2) Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có thế biểu diễn trên trục số. Trên trục số điểm biểu
diễn số hữu tỉ x đợc gọi là điểm x.
3) Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có: hoặc x>y, hoặc x=y, hoặc x<y.
Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dới dạng phân số rồi so
sánh hai phân số đó.
Nếu x<y thì trên trục số, điểm x nằm bên trái điểm y.
Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dơng; số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm,
số 0 không phải là số hữu tỉ dơng, không phải là số hu tỉ âm.
4) Cộng trừ hai số hữu tỉ:
Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết
hợp, cộng với số 0, cộng với số đối.
Quy tắc: x =
a
m
; y=
b
m
(a,b,m

Z; m

0)
Ta có: x+y=
a
m
+
b
m
=
a b
m
+
và x-y=
a
m
-
b
m
=
a b
m

5) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một sô hạng từ vế này sang vế kia của một
đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.
TQ: Với mọi x,y,z

Q: x+y=z => x=z-y.
Trong Q cũng có nhỡng tổng đại số đợc áp dụng các phép biến đổi nh các tổng
đại số trong Z.
6) Nhân chia số hữu tỉ:

Quy tắc: x =
a
m
; y=
b
m
(a,b,m

Z; m

0)
Ta có: x.y=
a
b
.
c
d
=
ac
bd
và x:y=
a
b
:
c
d
=
ad
bc
Thơng của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y đợc gọi là tỉ số của x và y, ký

hiệu:
x
y
hay x: y
7) Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:
0
0
x neu x
x
x neu x


=

<


|x|

x; |x| = |-x|; |x|

0
B/. Một số ví dụ giải toán:
VD1: a) Cho hai số hữu tỉ:
a
b
và
c
d
với (b > 0, d > 0).

1
Giáo án bồi dỡng toán 7
Chứng tỏ rằng:
a
b
<
c
d
khi và chỉ khi ad<bc.
b) áp dụng, hãy so sánh các số hữu tỉ sau:
11
13
và
22
27
;
5
11

và
9
23

HD: a) Ta có
;
a ad c bc
b bd d bd
= =
vì b>0, d>0 nên bd>0, do đó
- Nếu

a
b
<
c
d
thì
ad bc
ad bc
bd bd
< <
- Nếu
ad bc a c
ad bc
bd bd b d
< < =
Vậy
a
b
<
c
d


ad<bc.
b) Ta có 11.27=297; 13.22=286 => 11.27 < 13.22
vậy theo câu a
11
13
>
22

27
; tơng tự ta có
5
11

<
9
23

VD2: Thực hiện phép tính sau một các hợp lý.
3 3
0,375 0,3
1,5 1 0,75
11 12
5 5 5
0,625 0,5 2,5 1, 25
11 12 3
A
+ +
+
= +
+ +
HD:Ta có:
3 3 3 3 1 1 1 1
3 3
3( )
0,375 0,3
3
8 10 11 12 8 10 11 12
11 12

5 5 5 5 5 5 1 1 1 1
5
0,625 0,5 5( )
11 12 8 10 11 12 8 10 11 12
+ + + +
+ +
= = =


+ + + + +
Và
1 1 1
3 3 3
3
1,5 1 0,75 3
2 3 4
2 3 4
5 5 5 5
1 1 1
5
2,5 1, 25
5
3 2 3 4
2 3 4

+
+
ữ
+

= = =

+ +
+
ữ

Vậy A=
3 3
5 5

+
=0
VD3: Tìm x biết
a)
3 3 2
35 5 7
x

+ =
ữ

b) (5x-1)(2x-
1
3
)=0 c)
3 1 3
:
7 7 14
x+ =
HD: a)

3 3 2
35 5 7
x

+ =
ữ




3 3 2
35 5 7
x =


x=
3 3 2
35 5 7



x=
5
7

b) (5x-1)(2x-
1
3
)=0

5x-1=0 hoặc 2x-
1
3
=0

1
5
x =
hoặc x=
1
6
c)
3 1 3 1 3 3 1 3 3
: : :
7 7 14 7 14 7 7 14 7
x x x

+ = = =
ữ



x=
2
3

VD4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị âm:
a) x
2
+5x; b) 3(2x+3)(3x-5)

HD: Ta có x
2
+5x = x(x+5)
2
Giáo án bồi dỡng toán 7
x - -5 - 0 +
x+5 - 0 + +
x(x+5) + - +
Vậy x
2
+5x < 0 khi -5 < x < 0.
VD 5: Cho x, y thuộc Q chứng tỏ rằng:
a) |x+y|

|x| + |y|
b) |x-y|

|x| - |y|
HD: a) với mọi x, y ta luôn có: x

|x| và - x

|x|; y

|y| và - y

|y|
Suy ra và -(x+y)

|x| + |y| hay (x+y)

-(|x| + |y|) do đó:
-(|x| + |y|)

x+y

|x| + |y| hay |x+y|

|x| + |y|
|x+y| = |x| + |y| khi x.y

0
(b. học sinh tự chứng minh)
VD6: Tìm x biết a) |x-3|=3 b) 1.25 -|0.5-x|=0 c)
2 3 1
1 0
3 4 2
x x

+ =
ữ ữ

d)
1
. 2,7 9
3
x =
HD: Ta có
( )
( )

( )
x
x
x
f a
f a
f a
=

=

=


(điều kiện a

0)
a) |x-3|=3

3 3x =
hoặc x-3=-3

x=0 hoặc x=6
b) 1,25 -|0.5-x|=0

|0.5-x|=1,25 (giải nh a)
c) A(x).B(x)=0

A(x)=0 hoặc B(x)=0

2 3 1
1 0
3 4 2
x x

+ =
ữ ữ


2
1 0
3
x

=
ữ

hoặc
3 1
0
4 2
x

+ =
ữ




3

2
x =
hoặc
2
3
x =
d)
1
. 2,7 9
3
x =


1 9
3 2,7
x =
(Giải nh a)
VD 7: Tìm giá trị lớn nhất của A biết rằng: A=|x-3|-|5-x|
HD: Ta có: |x-y|

|x| - |y| vậy |x-3|-|5-x|

|x-3-x+5| = 2 Vậy giá trị lớn nhất của A
là 2 khi (x-3)(x-5)

0

x

3 hoặc x

5
C/. Bài tập tự giải
Bài 1: Cho a,b

Z và b

0 chứng tỏ rằng:
;
a a a a
b b b b

= =

Bài 2: Cho
( 0)
a
b
b
>
chứng tỏ rằng
a)
1
a
b
<
khi và chỉ khi a<b
b)
1
a

b
>
Khi và chỉ khi a>b
Bài 3: So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
a n
b n
+
+
với a,b,n

Z và b>0; n>0
áp dụng so sánh
2
7
và
4
9
;
17
25

và
14
28

3
Giáo án bồi dỡng toán 7

Bài 4: a) Cho A =
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
2 3 4 9 10


ữ ữ ữ ữ ữ

So sánh A với
1
9

b) Cho B =
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
4 9 16 81 100


ữ ữ ữ ữ ữ

So sánh B với
11
21

Bài 5: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau nhận giá trị dơng
a) x
2
-4x; b) (4-x)(x-3) c)
( 1)( 2)
6

x x
x
+

Bài 6: Viết tổng thành tích
a) ax+bx-ay-by+az-bz b) am+bn+bm+an-m-n c) 3a(2b+c)+8b+4c
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của B biết B=|1993-x|+|1994-x|
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=x
2
+|y-2| -5
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D =
5
3
x +
Bài 10: Tìm các giá trị của x để cho
3
3 2
x
A
x

=
+
a) A=0; b) A<0
Bài 11: Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là một số nguyên và tính giá trị đó:
a) A=
3 9
4
n
n

+

; b) B=
6 5
2 1
n
n
+

Bài 12: Tìm x biết
a) |3x-5|=4 b)
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
x x x x x+ + + + +
+ + = +
c)
4 3 2 1
2005 2006 2007 2008
x x x x+ + + +
+ = +
Bài 13: Chứng minh rằng
1 2 3 99
... 1
2! 3! 4! 100!
+ + + + <
Bài 14: a) Ngời ta viết 7 số hữu tỉ trên một vòng tròn . Tìm các số đó, biết rằng tích
của hai số bất kỳ cạnh nhau bằng 16.
c) Cũng câu hỏi nh trên với n số.
Bài 15: Chứng minh rằng: A=
1 1 1 1 1 1 1 1

... ...
1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50
+ + + + = + + + +
Bài 16: Cho A=
1 1 1 1
...
1.2 3.4 5.6 99.100
+ + + +
chứng minh rằng:
7 5
12 6
A< <
4
Giáo án bồi dỡng toán 7
Buổi 3-4:
Luỹ thừa của một số hữu tỉ
A/. Tóm tắt lý thuyết:
Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x ký hiệu là x
n
, là tích của n thừa số x (n là một số
tự nhiên lớn hơn 1).
Quy ớc: x
0
=1; x
1
=x.
+ Ta có các quy tắc:
( )
( )
.

. ; : ( 0; )
; . . ; ( 0)
m n m n m n m n
m
m
n
m
m m n m m
m
x x x x x x x m n
x x
x x x y x y y
y y
+
= =

= = =
ữ

+Bổ sung:
Luỹ thừa với số mũ nguyên âm:
1
n
n
x
x

=
(n nguyên dơng, x

0)
(x
-n
lả nghịch đảo của x
n
)
Hai luỹ thừa có cùng cơ số.
Cho m>n >0 thì: Nếu a >1

a
m
>a
n
a=1

a
m
=a
n
a<1

a
m
<a
n
Luỹ thừa bậc chẳn của hai số đối nhau thì bằng nhau
(-x)
2n
= x
2n

Luỹ thừa bậc lẽ của hai số đối nhau thì đối nhau
(-x)
2n+1
= -x
2n+1
B/. Một số ví dụ giải toán:
Dạng 1: áp dụng các công thức luỹ thừa để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 1: Tính
a) (-2)
3
+2
2
+(-1)
10
b)
( )
( )
( )
2
2 2
3
2 2
3 2 5



c)
( )
0
2

3 2
1 1
2 3 2 .4 2 : .8
2 2


+ +
ữ


Giải: a) (-2)
3
+2
2
+(-1)
10
= -8+4+1=-3
b)
( )
( )
( )
2
2 2
3
2 2
3 2 5



=3

4
- 2
6
-5
4
=81-64-375=-358
c)
( )
0
2
3 2
1 1
2 3 2 .4 2 : .8
2 2


+ +
ữ


= 8+3.1
2
2
1 1
.4 2 : .8
2 2

+

=
1 1
8+3- .4 4 : .8 74
4 2

+ =
ữ

Ví dụ 2: Tính
a)
( )
( )
15 14
22 21
10
16 15
5 3.7 19.7
2.5 9.5
:
2.5
7 3.7


+
b)
( ) ( )
2
1
0
2 3

5
1 1
0.1 . . 2 : 2
7 49





ữ




c)
( )
3
2
1
:
2
xy y x



ữ



d)

1 1
1 1
1 1
1 1
1 2 1 2

+
+
+
Ví dụ 3: Cho
1 2 3 4 ... ( 1) ( 1, 2,3...)
n
n
S n n= + + + =
Tính S
35
+S
60
5