Bài giảng Xử lý tín hiệu số nâng cao Chương 3

Chương 3:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
Bài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER
Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F

Bài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
Bài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU


BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER
1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
Biến đổi Fourier của x(n):

j

X (e ) 



 x ( n )e

 j n

n 

Trong đó:  - tần số chuẩn hóa,  =  Ts
 - tần số tuyệt đối (rad/s)
Ts - chu kỳ lấy mẫu
Ký hiệu:

FT
X( X (e j )
x(n) 

X (e j )  FT {x(n)}


Biểu diễn dưới dạng modun & argument:

X (e j )  X (e j ) e j ( )
Trong đó:

X (e

j (  k .2 )

X (e j ) - phổ biên độ của x(n)

 ( )  arg[ X (e j )]
)



 x ( n)e

n 

 j (  k .2 ) n

- phổ pha của x(n)





 x ( n )e

n 

 j n

j

 X (e )


Biến đổi ngược Fourier
Biến đổi thuận:

j

X (e ) 



 x ( n) e

 j n

(*)

n 

Nhân 2 vế của (*) với


 e

jl

j

X (e ) d  

e


jl



  x(n)e

Và lấy tích phân từ - π đến π:
j ( l n )

n  



 2 : l  n
j ( l n )
 e d  0 : còn lai


Ký hiệu:

j

FT 1

X (e ) 
 x(n)

d 





n 



 x ( n)  e

1
x ( n) 
2



 X (e

j

j ( l n )

)e

j n

d

d



x(n)  FT 1{X (e j )}


Ví dụ 1: Tìm biến đổi FT của các dãy:

x1 (n)  a n u( n) : a  1

x2 ( n)  a n u(  n  1) : a  1

Giải:
j

X 1 (e ) 



 a u ( n )e
n

 j n

n 

X 2 ( )  



a

n





  ae
n 0

u(  n  1)e

 jn

n 






1

1  ae j



1



1

 a e
n  1

  a e
m 1



 j n

1



j m





  a e
m 0

1

j m

1
1

 1
 1 j
1  a e j
1 a e



j  n


2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER

j

X 1 (e ) 



 x ( n )e

 j n







x ( n) e

 j n



 x ( n)

n  

n 

n 





 x ( n)  

Vậy, để hội tụ thì điều kiện cần là:

n 

Các tín hiệu thỏa mãn điều kiện hội tụ là tín hiệu năng
lượng, thật vậy:

Ex 





n 

x( n)    x( n) 



Nếu:



2

 n 

 x ( n)  

n 

2



Ex 



 x ( n)

n 

2




Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi FT của các dãy:

x1 ( n)  (0.5)n u( n) x2 ( n)  2n u(n)

x3 ( n)  u( n) x4 ( n)  rectN (n)
Giải:







1
2
 x1 (n)   (0.5) u(n)   (0.5) 
1  0.5
n  
n 
n 0
n





n  

x2 ( n) 





n 

n



2n u( n)   2n  

không tồn tại

n 0







n  

n  

n 0





N 1

n  

n  

n 0

 x3 (n)   u(n)   u(n)  

không tồn tại

 x4 (n)   rectN (n)   rectN (n)  N


BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a) Tuyến tính
Nếu:

F
x1 (n) 
 X1 (e j )

Thì:

F
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 
 a1 X1 (e j )  a2 X1 (e j )

F
x2 (n) 
 X 2 (e j )

b) Dịch theo thời gian
Nếu:

F
x(n) 
 X (e j )

Thì:

F
x(n  n0 ) 
 e-jn0 X (e j )


Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của dãy:

 (n); (n  2)

Giải:


F
x(n)   (n) 
 X (e j ) 

 j n

(
n
)
e
1



n 

Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:

 (n  2)  x(n  2)  e
F

 j 2

c) Đối xứng (Liên hiệp phức)
j

Nếu:

x(n)  X (e )

Thì:

x * (n)  X *(e

F

F

 j

)

j

X (e )  1e

 j 2


d) Đảo biến số
Nếu:

F
x(n) 
 X (e j )

Thì:

F
x( n) 
 X (e j )

Ví dụ 2: Tìm biến đổi F của dãy:

y( n)  2n u(  n)

Giải:

Theo ví dụ 1 Bài 1, có kết quả:

1
F

j
1
x( n)    u( n)  X (e ) 
 j suy ra:
1  (1 / 2)e
 2
n

y(n)  x(  n)  2 u(  n)  X (e
n

F

 j

1
)
j
1  (1 / 2)e


e) Vi phân trong miền tần số
F
x(n) 
 X (e j )

Nếu:

Thì:

j
dX
(
e
)
F
nx(n)  j
d

Ví dụ 3: Tìm biến đổi F của:
Giải:
Theo ví dụ 1 Bài 1:

g( n)  na n u( n); a  1

1
x( n)  a u( n)  X ( ) 
;a 1
 j
1  ae
n

F

Suy ra:

 j
dX
(


)
ae
F
g (n)  nx(n) 
G( )  j

;a 1
2
d
1  ae j






f) Dịch theo tần số
F
Nếu: x(n) 
 X (e j )

Thì:

e

j0n

x(n)  X (e
F

j ( 0 )

)

y( n)  a n cos(0 n)u( n); a  1

Ví dụ 4: Tìm biến đổi F của:
Giải:
Theo ví dụ 1 Bài 1:

1
x(n)  a u (n)  X (e ) 
; a 1
 j
1  ae
F

n

j



1 j0n
 e  j0n
y( n)  a u(n) cos(0 n)  a u( n) e
2
n

n



1
 x( n) e j0n  e  j0n
2






1
 Y ( )   X (  0 )  X (  0 )
2
F


1
1
1
Y ( )  


 j (   0 )
2  (1  ae
) (1  ae j ( 0 ) ) 
g) Tích 2 dãy
F
F

Nếu: x1 (n) 
 X1 (e j ) x2 (n) 
 X 2 (e j )

Thì:

1
x1 (n).x2 (n) 
2
F

1

2











X 1 (e j ) X 2 (e j (  )d '
X 2 (e j ) X 1 (e j (  ' )d '


g) Tích chập 2 dãy

F
Nếu: x1 ( n) 
X 1 ( )

F
x2 ( n) 
X 2 ( )

F
x1 (n) * x2 ( n) 
X 1 ( ) X 2 ( )

Thì:

Ví dụ 5: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)

Giải:
Theo ví dụ 1, có kết quả:

X ( )  H ( )  e j 2  e  j 2

Y ( )  X ( ) H ( )  (e j 2  e  j 2 )2  e j 4  2  e  j 4
y( n)  x( n) * h( n)  F 1[Y ( )]

y(n)   (n  4)  2 (n)   (n  4)


g) Quan hệ Parseval
F
x2 ( n) 

X 2 ( )

F
Nếu: x1 ( n) 
X 1 ( )



1
Thì:  x1 ( n) x ( n) 
2
n 
*
2





X 1 ( ) X 2* ( )d

(*)

Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu: x1 ( n)  x2 ( n)  x( n)
Theo quan hệ Parseval, ta có:


1

 x(n)  2
n 
2

Với: S xx ( )  X ( )




2

X ( ) d
2

- gọi là phổ mật độ năng lượng


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
x(n)
a1x1(n)+a2x2(n)

X()
a1X1()+a2X2()

x(n-n0)
ej n x(n)
nx(n)

e-jn0 X()
X(- 0)

jdX()/d

x(-n)

X(- )

x*(n)

X*(- )

0



x1(n)x2(n)


1
 x1 (n) x (n)  2
n 
*
2

x1(n)*x2(n)



1
'
'

'
X
(

)
X



d

1
2
2j C




X 1 ( ) X 2* ( )d

X1()X2()


BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
x( n)  X ( z ) 
Z



n

x
(
n
)
z


n 

x (n ) 
 X() 
F



 jn
x
(
n
)
e


X ( )  X ( z ) z e j
Im(z)

n  

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
X()=X(z) với z=ej

• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
X() không hội tụ

/z/=1

Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số 

ROC X(z)
/z/=1


Re(z)


Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy:

x1 ( n)  (0.5)n u( n) x2 ( n)  2n u(n)
Giải:

1
X1 ( z) 
; z  0.5
1
1  0.5 z
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:

X 1 ( )  X 1 ( z ) z e j

1

 j
1  0.5e

1
X 2 (z) 
;z 2
1
1  2z
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tại


BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
1. Định nghĩa đáp ứng tần số

Miền n:

x(n)

h(n)

y(n)=x(n)*h(n)
F

Miền :

h(n)

F

X()

H()

Y()=X()H()

H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống

Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha:

H()  H() e j( )

H ( ) - Đáp ứng biên độ

() - Đáp ứng pha


2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
h1(n)

h2(n)

x(n)

h(n)=h1(n)*h2(n)

y(n)



x(n)
 Miền n:

Theo tính chất tích chập: h1(n)*h2(n)

F

y(n)
H1()H2()

X()

H1()

H2()

Y()

X()

H()=H1()H2()

Y()



 Miền  :

b. Ghép song song
h1(n)
x(n)

+

y(n)

h2(n)



 Miền n:
x(n)

h1(n)+h2(n)
H1()

y(n)

+

Y()

H1()+H2()

Y()

X()
H2()



 Miền :

X()


3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn


y( n)  x( n) * h( n)  h( n) * x( n) 

 h(m )x(n  m )

m  

y ( n) 



jn
j ( n m )

Ae
h
(

m
)
Ae


m  



 jm
h
(
m
)
e
 x( n )H (  )


m  



Ví dụ: 2: Tìm y(n) biết:

x( n)  2e


 
j n
1

y( n)  x ( n) H ( )  2e 3 
 1  1 e  j


2

j n
3

n

1
h( n)    u( n)
 2



j n

e 3

2

j

1
3
  
1


e

2
3


4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:



A j0n
x(n)  A cos(0n) 
e
 e  j0n
2



Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:

H()  H() e j( )



A
y(n)  x(n)H(0 )  H(0 )e j0n  H( 0 )e j0n
2









A
y(n)  H(0 )e j0n  H * (0 )e j0n  A. Re H(0 )e j0n
2




y(n)  A. ReH(  )e  A H(  ) cos n  ( )
j0n

0

0

0

0

Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:



A j0n

x(n )  A sin(0n) 
e
 e  j0n
2j



Ta cũng được kết quả:





y(n)  A. Im H( 0 )e j0n  A H( 0 ) sin0n  (0 )


BÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu

Rời rạc x(n) Lượng xq(n)
Mã hóa
hóa
tử hóa

xa(t)

xd(n)

Quá trình lấy mẫu tín hiệu
xa(t)

X
sa(t)

xs(t)

Chuyển xung
--> mẫu

xa(nTs)
= x(n)