Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

Lời cảm ơn

Luận này đợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2009 với sự giúp đỡ nhiệt
tình và chỉ bảo tận tâm của TS Trần Văn Vuông, các thầy, cô giáo trong Khoa
Toán, Phòng Sau đại học, và các bạn học viên trong lớp cao học Toán giải tích
khoá 11 Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Trần Văn
Vuông, ngời đ nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành các thầy, cô trong Phòng Sau đại học,
Tổ Giải tích của Khoa Toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, Ban Giám
hiệu Trờng ĐHSP Hà Nội 2, Trờng THCS Đại Đồng, Phòng Giáo dục và
Đào tạo Huyện Vĩnh Tờng, các bạn học viên lớp cao học Toán giải tích khoá
11, gia đình và đồng nghiệp đ tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi
học tập và nghiên cứu tại trờng.
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn mặc dù tôi hết sức
nghiêm túc và cố gắng tìm tòi, song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức,
nên không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý nhiệt thành của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Bùi Hoàng Phúc


2

Lời CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này đợc hoàn thành do sự cố gắng tìm tòi,
nghiên cứu của bản thân dới sự hớng dẫn chỉ bảo của TS Trần Văn Vuông
cũng nh các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa Toán Trờng
Đại học S phạm Hà Nội 2.
Luận văn này không trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án hoặc công
trình nghiên cứu nào khác.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Bùi Hoàng Phúc


3

Mục Lục

Trang
Lời cam đoan

2

Mục lục

3

Mở đầu

5

Chơng 1. Không gian Banach hữu hạn chiều
1.1. Không gian tuyến tính

6

1.2. Độc lập tuyến tính

7

1.3. Cơ sở của không gian tuyến tính

8

1.4. Không gian hữu hạn chiều

9

1.5. Không gian con

11

1.6. Không gian định chuẩn

12

Chơng 2. Một số toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn
chiều

21

2.1. Toán tử tuyến tính

21

2.2. Toán tử liên tục

24

2.3. Toán tử tuyến tính bị chặn

25

2.4. Toán tử compăc

26

2.5. Tổng và tích của toán tử tuyến tính

27

2.6. Toán tử nghịch đảo

31

2.7. Phổ của toán tử tuyến tính

33

2.8. Phơng trình tuyến tính

36

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

4

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và ứng dụng. Môn học về lĩnh vực này đ đợc giảng dạy từ lâu
cho sinh viên các năm cuối ở khoa Toán các trờng Đại học S phạm và Đại
học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt các lớp chất lợng cao của khoa Toán.
Không gian Banach và các toán tử trong không gian Banach là một
phần quan trọng của giải tích hàm nói riêng và chuyên nghành toán giải tích
nói chung. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, tôi đ mạnh dạn
nghiên cứu đề tài: Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn
chiều.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều.
Nghiên cứu một số toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu
hạn chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều.
Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của toán tử tuyến tính trong
không gian Banach hữu hạn chiều.
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều và toán
tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều.
Luận văn gồm phần, mục lục, mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu
tham khảo.
Trong đó:
Chơng 1: Không gian Banach hữu hạn chiều

5

Chơng 2: Một số toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn
chiều
5. Phơng pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
Phân tích tổng hợp kiến thức và vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài
nghiên cứu.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ich cho sinh viên, học viên cao
học và ngời yêu thích toán về toán tử tuyến tính trong không gian Banach
hữu hạn chiều.


6

CHNG 1
KHôNG GIAN BANACH HU HN CHIU

1.1. Không gian tuyn tính
1.1.1. Định nghĩa. Một tp hp X đợc gọi là một không gian tuyến tính trên
trờng ( là trờng số thực ằ hoặc trờng số phức ằ ) nếu:
a) ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phn t ca X gọi là tổng của x với y , v đợc kí hiệu x + y ; ứng với
mỗi x X và ta có, theo một quy tắc nào đó, mt phn t ca X gọi
là tích của x với và đợc kí hiệu x.
b) Các quy tắc trên thoả m n 8 tiên đề sau:

i) Tính cht giao hoán: x + y = y + x, x, y X .
ii) Tính cht kt hp: ( x + y ) + z = x + ( y + z ), x, y, z X .
iii) Tồn tại phần tử (vectơ - không) sao cho x + = x, x X .



iv) Vectơ đối: x X , tồn tại x X sao cho x + ( x) = .
v) Tính kt hp ca phép nhân với i lng vô hng:

( x) = ( ) x, , , x X .
vi) Tính phân phi i vi phép cng vô hng:
( + ) x = x + x, , , x X .

vii) Tính phân phi i vi tng vect:

( x + y ) = x + y, , x X .
viii) Phép nhân với đơn vị: 1x = x, x X .
Phần tử của không gian tuyến tính thờng đợc gọi là vectơ. Không
gian tuyến tính cũng còn gọi là không gian vectơ.
Không gian tuyến tính trên trờng ằ gọi là không gian tuyến tính thực.


7

Không gian tuyến tính trên trờng ằ gọi là không gian tuyến tính phức.
1.1.2. Ví dụ. a) ằ là một không gian tuyến tính thực với các phép toán cộng
và nhân số thực thông thờng.
b) ằ là một không gian tuyến tính phức với các phép toán cộng và nhân
số phức thông thờng.
c) ằ cũng là một không gian tuyến tính thực với các phép toán cộng và

nhân số phức thông thờng.
1.2. Độc lập tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa. Cho X là không gian tuyến tính trên trờng P, Tập con M
X, M , gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ hữu hạn {x1, x2, ..., xn}
M và mọi hệ {1, 2, ..., n} P, từ đẳng thức

n

x
k

k

= đều suy ra đợc

k =1

k = 0 với k = 1, n .
1.2.2. Định nghĩa. Cho X là không gian tuyến tính trên trờng P. Biểu thức
có dạng

n

x
k

k

, trong đó xkX với k = 1, n và kP với k = 1, n , gọi là một

k =1

tổ hợp tuyến tính của các vectơ xkX với k = 1, n .
1.2.3. Định lí. Cho M là một tập độc lập tuyến tính trong không gian tuyến
tính X trên trờng P. Nếu yX là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của M,
tức là y =

n

x
k

k

, xkM với k = 1, n , thì tổ hợp tuyến tính đó là duy nhất.

k =1

Chứng minh. Giả sử y =

n

x
k

k

=

k =1

m

y

với xk, yj M.

j

j

+

( )y

j =1

Nếu các xk và yj đôi một khác nhau thì
=yy=

n

x
k

k =1

k

m

j

j =1

j

.


8

Vì M độc lập tuyến tính nên k = j = 0 với k = 1, n và j = 1, m . Nh
vậy y là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của M với tất cả các hệ số bằng 0.
Nếu có xk = yj thì bằng cách đánh số lại các vectơ xk, yj và bổ sung các
hệ số bằng 0 ta sẽ đợc y =

p

x
k

k

=

k =1

p

x
k

k

. Do đó

k =1

=yy=

p

(

k

k )x k .

k =1

Vì M độc lập tuyến tính nên k - k = 0 với k = 1, p hay là k = k với
k = 1, p . Nh vậy y là tổ hợp tuyến tính duy nhất của các vectơ của M.
1.2.4. Định nghĩa. Một tập con của không gian tuyến tính X không độc lập
tuyến tính gọi là phụ thuộc tuyến tính.
1.2.5. Định lí. Để tập con M của không gian tuyến tính X là phụ thuộc tuyến
tính, cần và đủ là tồn tại một phần tử của M là tổ hợp tuyến tính của các phần
tử còn lại của M.
Chứng minh. Giả sử M phụ thuộc tuyến tính. Ta xét

n

x
k

k

= , trong

k =1

đó xkM với k = 1, n . Vì M độc lập tuyến tính nên phải có chỉ số k sao cho
k 0. Không làm giảm tính tổng quát, ta có thể cho rằng n 0. Khi đó
xn =

k
x k . Nh vậy xn là tổ hợp tuyến tính của các vectơ xk với
k =1
n
n 1



k = 1, n 1 .
Giả sử có vectơ xM sao cho x =

n

x
k

k

, trong đó xkM với k = 1, n .

k =1

Khi đó = - 1.x +

n

x
k

k

nên M không độc lập tuyến tính, tức là M phụ thuộc

k =1

tuyến tính.
1.3. Cơ sở của không gian tuyến tính


9

1.3.1. Định nghĩa. Một tập con B của không gian tuyến tính X gọi là cơ sở
của X nếu B là độc lập tuyến tính và mọi vectơ của X đều là một tổ hợp tuyến
tính của các vectơ của B.
1.3.2. Định lí. Để tập con B của không gian tuyến tính X là cơ sở của X, cần

và đủ B là tập độc lập tuyến tính tối đại, nghĩa là B là độc lập tuyến tính và
nếu M là tập độc lập tuyến tính của X mà BM thì M = B.
1.3.3. Định lí. Trong một không gian tuyến tính X bất kì, mọi tập độc lập
tuyến tính đều đợc chứa trong một cơ sở của X. Nếu B và C là hai cơ sở của
X thì B và C là hai tập hợp tơng đơng (cùng lực lợng).
1.3.4. Định lí. Mọi không gian tuyến tính X {} đều có cơ sở. Không gian
tuyến tính X = {} không có cơ sở.
1.4. Không gian hữu hạn chiều
1.4.1. Định nghĩa. Nếu một cơ sở của không gian tuyến tính X có n vectơ
(n ằ * ) thì ta nói rằng số chiều của X là n và viết dimV = n. Ta quy ớc nói
rằng số chiều của không gian tuyến tính X = {} là 0 và cũng viết dimV =
dim{}= 0.
1.4.2. Định nghĩa. Không gian tuyến tính X gọi là không gian hữu hạn chiều
nếu dimX = n ằ.

(

)

1.4.3. Ví dụ. Đặt R n = {x = x , x ,..., xn / xi R, i = 1, 2,..., n}. Ta đa vào R n
1 2
hai phép toán đợc xác định bởi công thức:

) ( )

(

( )

a) x + y = x + y , x + y ,..., x + y , x R n , y = y R n .

n n
i
i
1 1 2 2

(

)

b) x = x , x ,..., xn , x = ( xi ) R n , ằ.
1 2
Khi đó R n cùng hai phép toán trên là một không gian tuyến tính trên
trờng R .
Thật vậy


10

)

(

)

(

1. ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ R n ta ®Òu cã:
1 2
1 2
x j + y j = y j + x j , ∀j = 1, n

⇒ x + y = y + x, ∀x, y ∈ R n .

)

(

)

(

)

(

2. ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn , z = z , z ,..., zn ∈R n ,
1 2
1 2
1 2
ta ®Òu cã:
 x + y  + z = x +  y + z  , ∀j = 1, n
 j
j  j
j  j
j 


⇒ ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , ∀x, y, z ∈ Rn .

(

)

3. §Æt θ = ( 0,0,...,0 ) ∈Rn . Víi ∀x = x , x ,..., xn ∈R n , ta lu«n cã:
1 2

0 + x j = x j , ∀j = 1, n
⇒ θ + x = x, ∀x ∈ R n .

)

(

4. ∀x = x , x ,..., xn ∈R n , tån t¹i phÇn tö
1 2

)

(

− x = − x , − x ,..., − xn ∈R n ta cã:
1 2
x j +  − x j  = 0, ∀j = 1, n




⇒ x + ( − x ) = θ , ∀x ∈ R n .

)

(

5. ∀x = x , x ,..., xn ∈ R n , ∀α, β ∈ R ta ®Òu cã:
1 2

α  βx j  = ( αβ ) x j , ∀j = 1, n




⇒ α (β x ) = ( αβ ) x, ∀x ∈ Rn , ∀α, β∈ R .

(

)

6. ∀x = x , x ,..., xn ∈ R n , ∀α, β∈ R ta ®Òu cã:
1 2

( α + β) x j = αx j + βx j , ∀j = 1, n

( α +β ) x = αx + βx, ∀x ∈ R n , ∀α,β∈ R .


11

)

(

)

(

7. x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn R n , R ta đều có:
1 2
1 2
x j + y j = x j + y j , j = 1, n




( x + y ) = x + y, x, y Rn , R .

(

)

8. x = x , x ,..., xn R n ta đều có:
1 2
1.x j = x j (1 là đơn vị của R ), j = 1, n
1.x = x, x ằ n .
0 khi i j
, i = 1, n và j = 1, n , thì (ei) là một
1 khi i = j

Đặt ei = ( ij ), trong đó ij =

cơ sở của R n .
Vậy R n là một không gian tuyến tính thực n chiều với hai phép toán

cộng và nhân đợc xác định nh trên.
Khi thay ằ bởi ằ ta đợc ằ n là một không gian tuyến tính phức n
chiều với hai phép toán cộng và nhân tơng tự nh trên.
1.5. Không gian con
1.5.1. Định nghĩa. Tập con Y của không gian tuyến tính X gọi là một không
gian tuyến tính con, hay ngắn gọn là không gian con, của X nếu Y là một
không gian tuyến tính với các phép toán của V.

1.5.2. Định lí. Tập con Y của không gian tuyến tính X là không gian con
của X khi và chỉ khi Y đóng kín với các phép toán của X, nghĩa là:
x + yY với x, yY; x Y với P và xY.

Chứng minh. Vì Y nên có vectơ zY. Với = - 1P ta có
z = (-1)z Y. Do đó = z + (- z) Y. Các tính chất của các phép toán trong
X đợc chuyển tự nhiên thành tính chất của các phép toán trong Y.


12

1.6. Không gian định chuẩn
1.6.1. Định nghĩa. Một không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X
trên trờng P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là . và
đọc là chuẩn, thỏa m n các tiên đề sau:
1) ( x X ) x 0, x = 0 x = .
2) ( x X ) ( P ) x = x .
3) ( x, y X ) x + y x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định
chuẩn là X . Các tiên đề 1, 2, 3, gọi là hệ tiên đề chuẩn.

)

(

1.6.2. Ví dụ. x = x , x ,..., xn ằ n , ta đặt:
1 2
n

1) x 1 = xi2 .
i =1

2) x 2 = max x j .
1 jn

1

pp
n
3) x 3 = xi , ( p > 1) .
i =1

Các công thức 1) hoặc 2) hoặc 3) cho ta một chuẩn trên ằ n .
Thật vậy:

a) Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ằn .
Kiểm tra các tiên đề về chuẩn.

2
n
1) x = x , x ,..., xn ằn , ta có : x 0 x 1 0 .
1 2

i=1 1

(

x1=0

(

)

n
xi2 = 0 x j = 0, i = 1, n x = .
i=1

)

2) x = x , x ,..., xn ằn , ằ , ta có:
1 2


13

∞

n
∑ xi2 = λ . x 1 .
i=1

2

λ x 1 = ∑ λ xn = λ
n=1

)

(

)

(

3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ » n ta cã:
1 2
1 2

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacovski ta cã
n
n
n
∑ xi yi ≤ ∑ xi2 . ∑ yi2
i=1
i =1
i=1
n
n
n
n
n
n
n

⇔ ∑ xi2 + 2 ∑ xi yi + ∑ yi2 ≤ ∑ xi2 + 2 ∑ xi2 ∑ yi2 + ∑ yi2
i =1
i=1
i=1
i =1
i=1
i=1
i=1
2
2  n 2
n
n 2
⇔ ∑ xi + yi ≤  ∑ xi + ∑ yi 

i =1
i=1 
 i=1

(

)

2
n
n
n
∑ x1 + y1 ≤ ∑ xi2 + ∑ yi2
i=1
i=1
i=1

⇔ x + y 1 ≤ x 1 + y 1 , ∀x, y ∈ » n .

(

⇔

VËy x 1 =

)

2
n
∑ xi lµ mét chuÈn trªn » n .
i =1

b) C«ng thøc 2) cho ta mét chuÈn trªn » n .
KiÓm tra 3 tiªn ®Ò vÒ chuÈn.

(

)

1) ∀x = x , x ,..., xn ∈ »n , ta cã x j ≥ 0, ∀j = 1,2,..., n
1 2

⇒ max x j ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 0
j
x 2 = 0 ⇔ max x j = 0 ⇔ x j = 0, ∀j = 1, n ⇔ x = θ .
j

(

)

2) ∀x = x , x ,..., xn ∈ »n , ∀λ ∈» ta cã:
1 2

max λ x j = λ .max x j ⇒ λ x 2 = λ x 2 .
j
j

(

)

(

)

3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ » n ta cã
1 2
1 2


14

x j + y j ≤ x j + y j , ∀j = 1, n.
⇒ x j + y j ≤ max x j + max y j , ∀j = 1, n
j
j

max x j + y j ≤ max x j + max y j
j
j
j
⇒ x + y 2 ≤ x 2 + y 2 , ∀x, y ∈ » n .
VËy x 2 = max x j lµ mét chuÈn trªn » n .
1≤ j ≤n

c) C«ng thøc 3) cho ta mét chuÈn trªn »n .
KiÓm tra 3 tiªn ®Ò vÒ chuÈn.

)

(

1) ∀x = x , x ,..., xn ∈ » n , ta cã
1 2

1
n

pp
x ≥ 0, ∀i = 1, n ⇒  ∑ x  ≥ 0 hay x 3 ≥ 0
i
i 

i =1

1

pp
 n
x 3 = 0 ⇔  ∑ xi  = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, n
 i=1

⇔ xi = 0, ∀i = 1, n ⇔ x = θ .

)

(

2) ∀x = x , x ,..., xn ∈ » n , ∀λ ∈» ta cã:
1 2

1

pp
 n
λ x 3 =  ∑ λ xi  =
 i=1


)

(

1

λ

pp
 n
.  ∑ xi  =
 i=1


λ . x 3.

)

(

3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ » n ta cã:
1 2
1 2

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Mincowski ta cã:
1

1

i

pp  n
pp  n
pp
 n
 ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  , ∀p > 1
 i=1


 i=1

 i=1



15

x + y 3 x 3 + y 3 , x, y ằ n .
1

pp
n
Vậy x 3 = xi , ( p > 1) là một chuẩn trên ằ n .
i=1


1.6.3. Ví dụ. Đặt T3 = {x(t) = at2 + bt + c | a, b, c , t ằ }. T3 là không gian
định chuẩn 3 chiều đối với phép cộng đa thức, phép nhân đa thức với số thực
và chuẩn x = max{a , b , c} . {t2, t, 1} là một cơ sở của T3.

1.6.4. Ví dụ. Đặt S2 = {x(t) = asint + bcost | a, b, t ằ }. S2 là không gian đinh
chuẩn 2 chiều đối với phép cộng các hàm số, phép nhân hàm số với số thực và
chuẩn x = max{a , b} . {sint, cost} là một cơ sở của S2.

1.6.5. Định nghĩa. Hai chuẩn . 1 và . 2 trên không gian tuyến tính X gọi là
tơng đơng với nhau nếu tồn tại hai số dơng , sao cho:

x 1 x 2 x 1 , x X .

1.6.6. Ví dụ. Trên không gian ằ n , ngoài chuẩn x = xi2 , cho chuẩn
n

i =1

x 0 = max x j , x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ằ n .
1 j n

Các chuẩn x 0 và x là tơng đơng vì:

x 0 x n x 0 , x ằ n .

1.6.7. Định lí. Hai chuẩn .

1

và .

2

cho trên không gian tuyến tính X là

tơng đơng khi và chỉ khi hai chuẩn đó sinh cùng một tôpô trên X .

Chứng minh.
* Điều kiện cần
Giả sử hai chuẩn . 1 và . 2 tơng đơng, nghĩa là tồn tại hai số dơng

, sao cho
x 1 x 2 x 1 , x X .

16

KÝ hiÖu τ lµ t« p« trªn X sinh bëi . 1, τ 2 lµ t« p« trªn X sinh bëi
1

. 2.
LÊy mét tËp bÊt kú A ∈τ vµ mét ®iÓm bÊt kú x ∈ A . Khi ®ã a më
1
0
theo . 1, suy ra tån t¹i h×nh cÇu më

)

(

S = S x , r = {x ∈ X : x − x < r} ⊂ A .
1 1 0
01
Nhê ®ã ta dùng h×nh cÇu më:

(

)

S = S x , r = {x ∈ X : x − x
< αr} .
2
2 0

02
Ta cã

1
1
∀x ∈ s x − x ≤ x − x
≤ .α r = r
2
01 α
02 α
⇒ x∈S ⇒ x ∈S ⊂ S ⊂ A.
1
0 2
1
Do ®ã tËp A më theo . 2 nªn A ∈τ .
2
B©y giê lÊy mét ®iÓm bÊt kú B ∈τ vµ mét ®iÓm bÊt kú y ∈ B . Khi ®ã
2
0
B më theo . 2 , suy ra tån t¹i h×nh cÇu më.

(

) {

}

U =U y ,r ' = x∈ X : x − y
< r' ⊂ B.
2

2 0
02
Nhê ®ã ta dùng h×nh cÇu më

r' 
r '
U =U  y ,  = x∈ X : x − y <  .
1 1 0 β  
01 β

Ta cã

( ∀x ∈U1) x − y0 2 ≤ β x − y0 1 ≤ β rβ' = r '
⇒ x ∈U ⇒ y ∈U ⊂ U ⊂ B .
2
0
1
2
Do ®ã tËp B më theo . 1, nªn B ∈τ .
1


17

Vì vậy, = hay nói cách khác, hai chuẩn tơng đơng . 1 và . 2
1 2
sinh cùng một tôpô trên X .

* Điều kiện đủ
Giả sử . 1 và . 2 là hai chuẩn cho trên X và sinh cùng một tô pô

trên X . Ký hiệu

(

)





S j = S j x ,r = x X : x x
< r , ( j = 1,2 ) . Trong đó x là điểm
0
0 j
0


nào đó thuộc X , r là một số dơng nào đó. Với x = và r = 1 ta xét

S = S = ( ,1) . Vì S mở theo tô pô , suy ra S cũng mở theo . 2 . Nếu
2
2
2
2
đối với điểm S , tồn tại hình cầu S ( , r ) S . Lấy một điểm bất kỳ
2
1
2

x X , x . Đặt

y=
Hay

r. x
r
y 1 = y S ( , r ) S ( ,1) y 2 1 .
1
2
2 x1
2

rx
2
1 x 2 x 1. Hiển nhiên hệ thức này đúng cả với x = .
2 x1 2
r
Tiếp tục xét hình cầu mở S* ( ,1) = S* . Vì S* mở theo . 1, do đó S*
1
1
1
1

cũng mở theo , suy ra S* cũng mở theo . 2 . Nên đối với điểm S* , tồn
1
1
tại hình cầu S* = S * ( , R ) S * . Lấy một điểm tùy ý z X , z . Đặt
2
2
1

u=

Rz
R
u 2 = u S * ( , R ) S* ( ,1) u 1 1
2
1
2 z 2
2

hay

Rz
R
1 z 1 z 2 .
2 z21
2
Hiển nhiên hệ thức này đúng với cả z = . Vì vậy tồn tại hai số dơng


18

=

R
2
, = sao cho
2
r
R

2
x 1 = x 1 x 2 x 1 = x 1 , x X .
2
r

nghĩa là hai chuẩn . 1 , . 2 tơng đơng.

1.6.8. Định lí. Hai chuẩn bất kì trên không gian hữu hạn chiều X đều tơng
đơng với nhau.

1.6.9. Định nghĩa. D y vectơ {x } trong không gian định chuẩn X gọi là
k k =1

xk x = 0 , nghĩa là nếu với > 0, N > 0,
hội tụ tới vectơ x X nếu lim
k
k > N,

x x < . Vectơ x đó gọi là giới hạn của d y vectơ {x } và kí
k k =1
k

hiệu là x = lim x .
k k

1.6.10. Định lí. Cho X là không gian định chuẩn n chiều và {e1, e2, ..., en} là
một cơ sở của X. Khi đó mọi vectơ xX đều biểu diễn đợc một cách duy
n
nhất dới dạng x = e . Nếu cho d y vectơ {x } trong không gian
k k =1

i=1 i i
n (k)
i ei
định chuẩn X thì mỗi vectơ của d y đó đều có biểu diễn xk = i=1
.D y
vectơ {x } hội tụ tới vectơ x khi và chỉ khi tất cả các d y toạ độ {(k)}
i k =1
k k =1

hội tụ tới i , i = 1, n .

Chứng minh. Nếu tất cả các d y toạ độ {(k)} hội tụ tới i , i
i k =1
=1, n , thì hiển nhiên d y vectơ {x } hội tụ tới vectơ x vì
k k =1
n
n
x x = ((k) )e (k) e 0 khi k .
k
i i i=1 i
i i
i=1 i


19

Nếu d y vectơ {x } hội tụ tới vectơ x mà X chỉ có một chiều thì
k k =1
hiển nhiên d y toạ độ {x } hội tụ tới 1 vì
k k =1

(k) . e = x x 0 khi k .
1
1 1
k
Giả sử X là không gian định chuẩn n chiều (n > 1), d y vectơ {x }
k k =1
hội tụ tới vectơ x mà các d y toạ độ {(k)} hội tụ tới i , i = 1, n 1. Khi đó
i k =1
n1 (k)
n1 (k)
(k)


.
e
=
x

x

(



)e

x

x
+

i . ei 0
n
n n
k
i i
k
i=1 i
i=1 i
khi k .

Nh vậy d y toạ độ {(k)
n }k =1 cũng hội tụ tới n.
Vậy nếu d y vectơ {x } hội tụ tới vectơ x thì tất cả các d y toạ độ
k k =1
{(k)} hội tụ tới i , i =1, n .
i k =1

1.6.11. Định nghĩa. D y vectơ {x } trong không gian định chuẩn X gọi
k k =1
là d y Cauchy nếu

lim x x = 0 , nghĩa là nếu với > 0, N > 0,
m,k m k

m, k > N, xm x < .
k
Dễ thấy mọi d y hội tụ trong không gian định chuẩn X đều là d y
Cauchy. Tuy nhiên, điều ngợc lại nói chung không đúng.

1.6.12. Định nghĩa. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu
mọi d y Cauchy của X đều là d y hội tụ.

1.6.13. Định lí. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian
Banach.


20

Chứng minh. Ta biết rằng hai chuẩn bất kì trong không gian định
chuẩn hữu hạn chiều X đều tơng đơng với nhau. Vì vậy ta chỉ cần chứng
minh rằng X là không gian Banach đối với một chuẩn bất kì trong X.
Ta h y xét X với cơ sở {e1, e2, ..., en}.
n
Với x = e X ta đặt x = max . Dễ thấy rằng đó là một
1 i n i
i=1 i i

chuẩn trên X.
n
Giả sử {x } , trong đó xk = (k)e , là một d y Cauchy trong X.
k k =1
i=1 i i
Ta có (m) (k) max (m) (k) = x m x với mọi i =1, n .
i
i
i
k
1 i n i
Vì {x } là d y Cauch trong X nên từ các bất đẳng thức trên ta suy

k k =1
ra đợc rằng các d y {(k)} đều là d y Cauchy trong P. Do đó các d y
i k =1
{(k)} đều hội tụ và vì vậy d y {x } cũng hội tụ.
i k =1
k k =1
Nh vậy X là không gian Banach.

1.6.14. Định nghĩa. Không gian Banach X mà X là không gian hữu hạn chiều
gọi là không gian Banach hữu hạn chiều.
1.6.15. Ví dụ. ằn và ằn là những không gian Banach n chiều với chuẩn

1

2 2
n
x = i với x = ( ,..., n ) ằ n hoặc x = ( ,..., n ) ằn .
1
1
i=1




1.6.16. Ví dụ. T3 là không gian Banach 3 chiều và S2 là không gian Banach 2
chiều.


21

Chơng 2
Toán tử tuyến tính trong không gian
Banach hữu hạn chiều
2.1. Toán tử tuyến tính
2.1.1. Định nghĩa. Cho không gian tuyến tính X . Một ánh xạ A : X X gọi
là toán tử tuyến tính trong X nếu :
i) A ( x + y ) = Ax + Ay, x, y X .
ii) A ( x ) = Ax, P, x X .

ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A ( x ) để chỉ phần tử ứng với x
trong ánh xạ A .
Dĩ nhiên hai điều kiện i) và ii) tơng đơng với

(

)

A x + ... + x = Ax + ... + Ax
11
1 1
k k
k k
với mọi x ,..., x X và mọi số ,..., .
1
k
1
k

2.1.2. Định nghĩa. Cho A là toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính
X. Tập hợp R(A) = {y xX, y = Ax} gọi là miền giá trị của toán tử tuyến

tính A. Tập hợp N(A) = {x Ax = } gọi là hạt nhân của toán tử tuyến tính A.

2.1.3. Định lí. Miền giá trị và hạt nhân của toán tử tuyến tính A trong không
gian tuyến tính X là các không gian con của X.

Chứng minh. Nếu x, yR(A) và P thì có u, vX sao cho x = Au và
y = Av. Do đó
x + y = Au + Av = A(u + v) R(A) và x = Au = A(u) R(A).
Vì vậy R(A) là không gian con của X.
Nếu x, yN(A) và P thì Ax = và Ay = . Do đó
A(x + y) = Ax + Ay = + = và A(x) = (Ax) = = .
Vì vậy N(A) là không gian con của X.


22

2.1.4. Định lí. Cho X là không gian định chuẩn n chiều (n 1) và
{e1, e2, ..., en} là một cơ sở của X. Mỗi toán tử tuyến tính A trong X có một
và chỉ một ma trận
a a ... a
1n
11 12
a a ... a
2n
21 22
....................
a a

n1 n2 ... a nn

n n
(aij P với mọi i = 1, n và j = 1, n ) sao cho Ax = a e với mọi
i=1j=1 ij j i
n
x = e X.
i=1 i i
Ngợc lại, nếu cho trớc ma trận
a a ... a
1n
11 12
a a ... a
2n
21 22
....................
a a

n1 n2 ... a nn

n n
(aij P với mọi i = 1, n và j = 1, n ) thì khi đặt Ax = a e với mọi
i=1j=1 ij j i
n
x = e X ta đợc A là toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X
i=1 i i
n
và với mọi i = 1, n ta đều có Aei= a e .
j=1 j i j

Chứng minh. Ta có AeiX mà {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của X nên
n

n
có duy nhất các số a1i, a2i, ..., ani P sao cho Aei= a e . Với x = e
j=1 j i j
i=1 i i
ta có


n



n

n

n

n

n n

Ax = A i e i = A( i ei ) = i (Aei ) = i a j i e j = a ij j ei .
i=1
i=1
i=1 j=1
i=1 j=1
i =1

23

Giả sử cho trớc ma trận
a a ... a
1n
11 12
a a ... a
2n
21 22
....................


a a
... a nn
n1 n2


n n
mà aij P với mọi i = 1, n và j = 1, n và đặt Ax = a e với mọi
i=1j=1 ij j i
n
x = e X. Kiểm tra trực tiếp ta thấy ngay A là toán tử tuyến tính trong X
i=1 i i
n
và với mọi i = 1, n ta đều có Aei= a e .
j=1 j i j

2.1.5. Định nghĩa. Cho X là không gian định chuẩn n chiều (n 1) và
{e1, e2, ..., en} là một cơ sở của X. Ma trận
a a ... a

1n
11 12
a a ... a
2n
21 22
....................
a a

n1 n2 ... a nn

tơng ứng với toán tử tuyến tính A trong X gọi là ma trận của toán tử A và kí
hiệu là A, tức là
a a ... a
1n
11 12
a a ... a
2n .
A = 21 22
....................
a a

n1 n2 ... a nn

2.1.6. Ví dụ. Trong T3 ta đặt Ax(t) = x(t), tức là nếu x(t) = at2 + bt + c
thì Ax(t) = 2at + b. Dễ thấy rằng A là toán tử tuyến tính trong T3. Cần xác
định ma trận A đối với cơ sở {t2, t, 1}.
Đặt e1 = t2, e2 = t, e3 = 1. Ta có
Ae1 = 2t = 0.e1 + 2.e2 + 0.e3,

24

Ae2 = 1 = 0.e1 + 0.e2 + 1.e3,
Ae3 = 0 = 0.e1 + 0.e2 + 0.e3.
0 0 0
Vậy A = 2 0 0 .
0 1 0

2.1.7. Ví dụ. Trong S2 ta đặt Ax(t) = x(t), tức là nếu x(t) = asint + bcost
thì Ax(t) = acost - bsint. Dễ thấy rằng A là toán tử tuyến tính trong S2. Cần
xác định ma trận A đối với cơ sở {sint, cost}.
Đặt e1 = sint, e2 = cost. Ta có
Ae1 = cost = 0.e1 + 1.e2,
Ae2 = - sint = - 1.e1 + 0.e2.
0 1

Vậy A =
.
1 0

2.2. Toán tử liên tục
2.2.1. Định nghĩa. Cho X là không gian định chuẩn. ánh xạ A : X X
gọi là liên tục tại x0 nếu xk x0 luôn luôn kéo theo Axk Ax0 . ánh xạ
A : X X gọi là toán tử liên tục nếu nó liên tục tại mọi xX.

2.2.2. Định lí. Mọi toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều
đều là toán tử liên tục.

Chứng minh. Nếu X = {} thì kết luận của định lí là hiển nhiên.
Giả sử {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của X. Nếu A là toán tử tuyến tính

n n
trong không gian Banach n chiều X thì Ax = a e . Xét d y {x }
k k =1
i=1j=1 ij j i
n
với x = (k)e . Ta có xk x khi và chỉ khi (k) , i = 1, n.
k i=1 i i
i
i
n n
n n
Do đó nếu xk x thì Ax = a (k)e a e = Ax .
k i=1j=1 ij j i i=1 j=1 ij j i


25

Vậy toán tử tuyến tính A là liên tục.

2.3. Toán tử bị chặn
2.3.1. Định nghĩa. Cho X là không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính
A: X X gọi là toán tử bị chặn nếu tồn tại số C > 0 sao cho
Ax C x , x X.

2.3.2. Định lí. Mọi toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn
đều là toán tử bị chặn.

Chứng minh. Nếu A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian
định chuẩn X thì với = 1 > 0, > 0 sao cho với mọi x X mà x < ta đều
có Ax < = 1.

Với mọi x X mà x ta đặt y =


x

x
2 x

thì y =

x

= <.
2 x
2



Do đó Ay = A
Ax < 1.
=
2 x 2 x
Vì vậy Ax <

2
x với mọi x X mà x .


2
2

2
Với x = ta có Ax = A = = 0 = .0 = = x .



Vậy Ax

2
x với mọi x X nên A là toán tử bị chặn.


2.3.3. Định lí. Mọi toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều
đều là toán tử bị chặn.

Chứng minh. Nếu A là toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu
hạn chiều X thì A liên tục nên nó bị chặn.

2.3.4. Định nghĩa. Cho A là toán tử bị chặn trong không gian định chuẩn X .
Số

sup
Ax gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A
xX, x 1