Phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề tổ hợp xác suất lớp 11 (luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

TRẦN XUÂN TIẾN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢPXÁC SUẤT LỚP 11

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã ngành: 81401111

Phú Thọ, năm 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn “Phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
trong dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất lớp 11” là do tôi viết dƣới sự hƣớng dẫn của
TS. Lê Văn Hồng. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Luận văn chƣa đƣợc công
bố trên bất kỳ tạp chí, phƣơng tiện thông tin nào.
Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2019

Tác giả luận văn

Trần Xuân Tiến

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin đƣợc tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo TS. Lê Văn
Hồng, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Toán
Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận
văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học
sinh trƣờng THPT Trung Nghĩa đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm sƣ phạm của
luận văn.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên cao học lớp K2 Lí luận và Phƣơng pháp dạy
học bộ môn Toán trƣờng Đại học Hùng Vƣơng. Đồng thời, tôi xin tỏ lòng biết ơn
các tác giả của những tài liệu mà tôi đã dùng để tham khảo.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều
kiện, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
văn này.
Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2019

Tác giả luận văn

Trần Xuân Tiến


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1

1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................1
2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ............................................................................2
3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................4
4. Khách thể, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu. ............................................................4
5. Giả thuyết khoa học ................................................................................................4
6. Nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................................................4
7. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................4
8. Cấu trúc của Luận văn.............................................................................................5
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .........................................................6
1.1. Năng lực, năng lực toán học.................................................................................6
1.1.1. Quan niệm về năng lực .....................................................................................6
1.1.2. Năng lực toán học .............................................................................................6
1.2. Năng lực giao tiếp toán học .................................................................................7
1.2.1. Giao tiếp toán học. ............................................................................................7
1.2.2. Năng lực giao tiếp toán học. .............................................................................8
1.2.3. Các mức độ đánh giá NLGT toán học ..............................................................8
1.2.4. Năng lực giao tiếp toán học và kết quả học tập môn toán của HS. ................11
1.3. Bồi dƣỡng năng lực GTTH cho HS trong DH môn Toán THPT hiện nay ........12
1.3.1. Sự phát triển tƣ duy và ngôn ngữ của học sinh THPT. ...................................12
1.3.2. Đặc điểm NNTH trong SGK phổ thông chủ đề tổ hợp, xác suất chƣơng trình
chuẩn. ........................................................................................................................12
1.3.3. Khảo sát thực trạng bồi dƣỡng năng lực GTTH trong DH môn Toán ở THPT.
...................................................................................................................................15
Kết luận chƣơng 1 .....................................................................................................21


Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƢỠNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO
TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT LỚP 11 ......................................................22
2.1. Biện pháp 1: Tăng cƣờng các hoạt động nghe hiểu, đọc hiểu, và ghi chép thành

thạo tóm tắt các thông tin cơ bản trọng tâm nội dung, yêu cầu toán học đƣợc nói và
viết ra. ........................................................................................................................22
2.1.1. Mục đích của biện pháp. .................................................................................22
2.1.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ........................................................................22
2.1.3. Cách tiến hành thực hiện biện pháp ................................................................22
2.1.4. Những lƣu ý khi thực hiện biện pháp. .............................................................26
2.2. Biện pháp 2. GV tăng cƣờng hƣớng dẫn HS cách trình bày, diễn đạt thể hiện
nội dung toán học thông qua lời nói và chữ viết. ......................................................26
2.2.1. Mục đích của biện pháp. .................................................................................26
2.2.2. Cơ sở khoa học của biện pháp. .......................................................................26
2.2.3. Cách thức thực hiện biện pháp. .......................................................................26
2.2.4. Những lƣu ý khi thực hiện biện pháp. .............................................................27
2.3. Biện pháp 3: Phát triển khả năng GTTH cho học sinh qua việc dạy học bằng
phƣơng pháp dạy học hợp tác ...................................................................................29
2.3.1. Mục đích của biện pháp ..................................................................................30
2.3.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ........................................................................30
2.3.3. Cách thức thực hiện biện pháp ........................................................................31
2.3.4. Những lƣu ý khi thực hiện biện pháp ..............................................................37
2.3.5. Một số ví dụ cụ thể trong dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất ...........................37
2.4. Biện pháp 4: Tăng cƣờng hợp tác trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
để phát triển NLGTTH trong chủ đề Tổ hợp - Xác suất ...........................................43
2.4.1. Mục đích của biện pháp. .................................................................................43
2.4.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ........................................................................44
2.4.3. Cách thức thực hiện biện pháp ........................................................................44
2.4.4. Một số lƣu ý khi sử dụng biện pháp ................................................................45
2.4.5. Một số ví dụ cụ thể trong dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất ...........................45


2.5. Biện pháp 5: Thúc đẩy giao tiếp toán học cho học sinh thông qua tổ chức tranh
luận khoa học trong một lớp học toán. ......................................................................54

2.5.1. Mục đích của biện pháp ..................................................................................54
2.5.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ........................................................................54
2.5.3. Cách thức thực hiện biện pháp ........................................................................55
2.5.4. Một số lƣu ý khi sử dụng biện pháp ................................................................55
2.5.5. Một số ví dụ cụ thể trong dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất ...........................56
Kết luận chƣơng 2 .....................................................................................................63
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................65
3.1. Mục đích và ý nghĩa của thực nghiệm ...............................................................65
3.1.1. Mục đích..........................................................................................................65
3.1.2. Ý nghĩa. ...........................................................................................................65
3.2.1. Nội dung dạy học thực nghiệm. ......................................................................65
3.2.2. Nội dung bài kiểm tra thực nghiệm.................................................................66
3.3. Tổ chức thực nghiệm..........................................................................................66
3.3.1.Đối tƣợng thực nghiệm ....................................................................................66
3.3.2. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................68
3.3.3.Tiến trình tổ chức thực nghiệm. .......................................................................68
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. ..........................................................................68
3.4.1. Đánh giá kết quả định tính. .............................................................................68
3.4.2. Đánh giá kết quả định lƣợng. ..........................................................................69
Kết luận chƣơng 3 .....................................................................................................72
KẾT LUẬN ...............................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................74
PHỤ LỤC .................................................................................................................77


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
TT

Viết đầy đủ

Viết tắt

1

BG&ĐT

Bộ Giáo dục và Đào tạo

2

CTGDPT

Chƣơng trình giáo dục phổ thông

3

DHHT

Dạy học hợp tác

4

DH

Dạy học

5

GDTH

Giáo dục trung học

6

GD

Giáo dục

7

GV

Giáo viên

8

HS

Học sinh

9

NLGTTH

Năng lực giao tiếp toán học

10

NLTH

Năng lực toán học

11

NL

Năng lực

12

NNTH

Ngôn ngữ toán học

13

NNTN

Ngôn ngữ tự nhiên

14

Nxb

Nhà xuất bản

15

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

16

SGK

Sách Giáo khoa

17

THPT

Trung học phổ thông

18

TL

Tự luận

19

Tr

Trang



1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Chƣơng trình giáo dục định hƣớng phát triển năng lực (định hƣớng phát
triển năng lực) nay còn gọi là dạy học định hƣớng kết quả đầu ra đƣợc bàn đến
nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hƣớng giáo dục
quốc tế. Giáo dục định hƣớng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng
lực ngƣời học.
Luật Giáo dục 2005 đã xác định “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp
học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng
cơ bản nhằm hình thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dựng tƣ cách, trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi
vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Vì vậy, đổi mới
phƣơng pháp giảng dạy là một trong những yêu cầu cấp thiết đối với ngành giáo
dục nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo. Một trong những đổi mới
phƣơng pháp học tập đó là phải tạo ra môi trƣờng học tập mang tính tƣơng tác để
HS có cơ hội giao tiếp các ý tƣởng toán học của mình. Ngƣời thầy đóng vai trò là
tổ chức, hỗ trợ ngƣời học khám phá, chiếm lĩnh kiến thức trong sự tƣơng tác, giao
tiếp và chia sẻ những hiểu biết của mình với các bạn học, với thầy cô,…Giao tiếp
toán học là một trong những năng lực thiết yếu, không thể thiếu trong quá trình
học toán của HS.
Trong CTGDPT tổng thể đƣa ra các yêu cầu cần đạt thông qua chƣơng trình
môn toán, đó là “học sinh cần hình thành các đức tính kiên trì, trung thực, hứng
thú và niềm tin trong toán học; đồng thời hình thành các năng lực tự chủ và tự học,
giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt học sinh cần hình
thành và phát triển đƣợc các năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng
lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tƣ duy
và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề
toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học
toán”.
Theo tác giả Bùi Văn Nghị “…Cần phải tạo cơ hội cho HS giao tiếp/ trao đổi toán

học một cách thƣờng xuyên, sử dụng nhiều sự biểu diễn và lời giải. Nói và viết


2

bằng ngôn ngữ toán học giúp HS ngẫm nghĩ những suy nghĩ của bản thân họ và
cải tiến những ý tƣởng của họ…”[21].
Theo tác giả Lê Văn Hồng tại Hội thảo ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà nội
(18/09/2018) cũng đã đề cập tới hoạt động ngôn ngữ toán học, hoạt động giao tếp
toán học và năng lực giao tiếp toán học của học sinh trong dạy học toán với nội
dung chính là mô tả rõ GTTH gồm những thành tố nào (Hiểu biết về giao tiếp,
Cách thực hiện giáo tiếp và Thái độ trong giao tiếp) [14].
Trong thực tế hiện nay khi tổ chức cho HS học tập trong một môi trƣờng GTTH,
đại đa số học sinh rất hạn chế về giao tiếp nói chung và GTTH nói riêng nhất là các em
ở khu vực miền núi, đồng bằng. Do đó, làm cho HS thiếu chủ động, không tự tin, gặp
khó khăn khi tham gia các hoạt động học tập.
Một số nghiên cứu gần đây đã nghiên cứu về phát triển NLGTTH cho HS ở một
số chủ đề dạy học cấp THPT xong chƣa có đề tài nào nghiên cứu về phát triển
NLGT toán học ở chủ đề Tổ hợp-Xác suất. Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong
dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất lớp 11”.
2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Hiện tại đã có một số bài báo, luận án, luận văn nghiên cứu về vấn đề này, nhƣ:
- “Hoạt động ngôn ngữ của HS trong dạy học môn toán cấp THCS ở tỉnh Lào Cai”,
Tạp chí Giáo dục, (số 294) tháng 9 năm 2012, của tác giả Vũ Thị Bình (2012) [5].
- “Giáo dục toán học hƣớng vào năng lực ngƣời học”, Tạp chí Khoa học trƣờng
Đại học sƣ phạm Hà Nội, tập 59, số 2A, trang 3-6 của tác giả Bùi Văn Nghị (2014)
[21].
-“Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học
sinh trung học cơ sở”, luận án Tiến sĩ ĐHSPTPHCM, tác giả Hoa Ánh Tƣờng

(2014) [25].
- Hội Thảo Khoa Học quốc tế ICME: “Hoạt động ngôn ngữ toán học, hoạt động
giao tiếp toán học và năng lực giao tiếp toán học của học sinh trong dạy học toán”.
Trình bày ở trƣờng ĐH Sƣ Phạm Hà Nội ngày 18- 19/9/2018 của tác giả Lê Văn
Hồng (2018) [14].


3

- Trƣờng Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội có luận văn của Trần Văn
Huấn về việc phát triển NLGTTH cho học sinh THPT trong dạy học chủ đề Vectơ
[16].
- Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng (Phú Thọ) có luận văn của Cao Thị Nguyệt về phát
triển năng lực GTTH ở Đại số 10; Trần Thị Thúy Hƣờng phát triển năng lực GTTH
ở Hình học 12; trƣờng Đại học Giáo dục có luận văn của Phạm Thu Hà về phát triển
NLGTTH cho học sinh trong dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian
lớp 11 [17] [23].
- Luận văn có tính kế thừa các nghiên cứu đã có, nhất là nghiên cứu của các tác giả
Vũ Thị Bình, Cao Thị Nguyệt, Trần Thị Thúy Hƣờng và Trần Văn Huấn về GTTH.
Năng lực giao tiếp toán học là một trong năm năng lực Toán học ở CTGDPT môn
Toán Việt Nam, nên sẽ chứa các yếu tố về biểu diễn Toán học của Vũ Thị Bình.
+ Kết quả của các tác giả Cao Thị Nguyệt, Trần Văn Huấn đã làm rõ thêm không
chỉ biện pháp liên quan đến NNTH mà còn chú ý đến nội dung toán học (dùng bài
toán mở khi rèn luyện giao tiếp), hình thức tổ chức dạy học (dùng dạy học hợp tác
để thúc đẩy sự tƣơng tác giữa các HS).
- Luận văn có sự khác biệt không chỉ bởi chủ đề toán học mà giao tiếp thực hiện đã
khác (không ở lớp 6 và 7 nhƣ Vũ Thị Bình, không ở Hình học 12 nhƣ Cao Thị
Nguyệt, không ở Đại số 10 nhƣ Trần Thị Thúy Hƣờng, chủ đề Vectơ nhƣ Trần Văn
Huấn), cách tiếp cận cũng đã khác. Trong đó:
+ Đi thẳng vào năng lực giao tiếp toán học mặc dù vẫn cần nắm vững NNTH.

+ Luận văn coi việc rèn luyện các năng lực khác nhƣ giải quyết vấn đề, dạy học
toán bằng tranh luận khoa học để phát triển năng lực giao tiếp cho HS, bởi khi HS
trao đổi (tranh luận khoa học hay trao đổi để giải quyết vấn đề) sẽ thúc đẩy khả
năng giao tiếp toán học.
Nhƣ vậy, luận văn không dừng ở kĩ thuật và biện pháp nhƣ của các tác giả
Vũ Thị Bình, Cao thị Nguyệt hay Trần Thị Thúy Hƣờng, Trần Văn Huấn đã dùng
nhƣ mô tả rõ NNTH ở mỗi chủ đề và rèn luyện NNTH (vì giao tiếp thực hiện nhờ
NNTH và NNTN) mà còn chú ý đến giải quyết vấn đề ở chủ đề Tổ hợp - Xác suất.
Luận văn cũng tính đến phƣơng pháp dạy học hợp tác để thức đẩy giao tiếp và học
toán bằng tranh luận khoa học trong lớp học.


4

3. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, nghiên cứu thực tiễn phát triển năng lực giao tiếp
toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất, đề xuất một số biện
pháp nhằm bồi dƣỡng cho học sinh năng lực giao tiếp toán học trong dạy và học
môn Toán ở trƣờng THPT.
4. Khách thể, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu.
- Khách thể: Quá trình dạy học chủ đề Tổ hợp-Xác suất lớp 11 toán THPT
- Đối tƣợng: Là quá trình GTTH trong chủ đề Tổ hợp-Xác suất lớp 11 toán THPT
- Phạm vi: Luận văn tập trung vào việc sử dụng NNTH nhằm phát triển năng lực
GTTH và phát triển các thành tố của năng lực GTTH cho HS trong DH chủ đề Tổ
hợp-Xác suất.
5. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học chƣơng Tổ hợp - Xác suất 11 nếu xây dựng và thực hiện đƣợc một
số biện pháp bồi dƣỡng và phát triển năng lực giao tiếp toán học dựa trên hƣớng
dẫn cụ thể và tổ chức các hoạt động học tập trên lớp cũng nhƣ ở ngoài trƣờng thì sẽ
góp phần nâng cao kết quả học tập chủ đề Tổ hợp-Xác suất nói chung và việc phát

triển NLGT toán học trong học tập Tổ hợp - Xác suất nói riêng.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu lí luận về năng lực GTTH
- Xác định thực trạng dạy chƣơng Tổ hợp-Xác suất lớp 11
- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực GTTH cho học sinh
- Thực nghiệm sƣ phạm đề kiểm nghiệm tính khả thi, tính thực tiễn và hiệu quả của
đề tài trong dạy học.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng phối hợp các phƣơng pháp nhƣ: phân tích, tổng hợp, đánh giá, thu thập
các thông tin, tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo,...để hệ thống các năng lực
GTTH. Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học, các thuật ngữ, ký hiệu toán học
trong SGK toán lớp 11.
- Phƣơng pháp điều tra, phỏng vấn: điều tra về thực trạng sử sụng GTTH trong dạy
học môn toán ở lớp 11. Phỏng vấn học sinh cũng nhƣ tham khảo ý kiến của các GV


5

về việc tổ chức các hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực GTTH cho học sinh
ở các tiết học.
- Phƣơng pháp tìm hiểu qua việc ghi chép vở học tập, kết quả của các bài kiểm tra
viết thƣờng xuyên, kiểm tra định kỳ của HS.
8. Cấu trúc của Luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, Luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng II. Một số biện pháp bồi dƣỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
trƣng học phổ thông trong dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất.
Chƣơng III. Thực nghiệm sƣ phạm.

6

Chƣơng 1.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực, năng lực toán học
1.1.1. Quan niệm về năng lực
Đã có nhiều nghiên cứu về NL. Cụ thể:
- Theo Từ điển Tiếng Việt, năng lực là “phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con
ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng cao” ([24],
tr.660-661).
- Theo tác giả Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn, Lê Ngọc Lan, “năng lực là
tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc
trƣng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt
trong lĩnh vực hoạt động ấy” [28].
- Theo định nghĩa năng lực trong Chƣơng trình GDPT tổng thể tháng 01/2018
“Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và
quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức,
kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,...thực hiện
thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều
kiện cụ thể” ([2],tr.36).
Nhƣ vậy từ các nghiên cứu ở trên thì theo tác giả NL thƣờng đề cập đến một
số thành tố cơ bản bao gồm kiến thức, kĩ năng, thái độ, khả năng vận dụng kiến
thức, kĩ năng vào giải quyết những vấn đề, tình huống,... trong cuộc sống. NL là
một khả năng thực hiện tốt một công việc nào đó trong những điều kiện, bối cảnh cụ
thể.
1.1.2. Năng lực toán học
Theo tác giả Nguyễn Thị Phƣơng Hoa (2014), “Năng lực toán học là khả
năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống,
phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam
mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá

nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tinh thần xây dựng và có hiểu
biết” [10].


7

Theo tác gải Trần Luận (2011), “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí
đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động toán học và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ
năng trong lĩnh vực toán học tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều
kiện nhƣ nhau”.
Theo [19] thì NLTH đƣợc hiểu nhƣ sau “NLTH là khả năng suy nghĩ, giải
quyết các vấn đề trong học tập và trong đời sống. Biết cách chuyển dịch, mô tả các
vấn đề thực tiễn phong phú sang một mô hình toán học để giải quyết bài toán”.
Tác giả thống nhất hiểu NLTH theo năng lực toán học trong CTGDPT công
bố ngày 26/12/2018. Năng lực toán học bao gồm các thành tố sau:
- Năng lực tƣ duy và lập luận toán học thể hiện qua khả năng so sánh, phân tích,
tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự, quy nạp, diễn dịch,…
- Năng lực mô hình hóa toán học (sử dụng các mô hình toán học gồm công thức,
phƣơng trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán
thực tế.
- Năng lực giải quyết các vấn đề toán học, nhận biết đƣợc tình huống có vấn đề, đề
xuất ra đƣợc cách thức, cách giải quyết của vấn đề, thực hiện giải pháp và đánh giá
đƣợc giải pháp thực hiện.
- Năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học toán: biết cách sử dụng các công cụ,
phƣơng tiện học toán (các mô hình toán học, máy tính, phần mềm, phƣơng tiện
công nghệ, khai thác các nội dung trên Internet,…).
Việc phát triển năng lực toán học đồng nghĩa với việc phát triển các năng lực thành
tố trên.
1.2. Năng lực giao tiếp toán học
1.2.1. Giao tiếp toán học.

Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu “Giao tiếp đƣợc sử dụng với một nghĩa rộng,
bao gồm các tiến trình mà sự suy nghĩ của ngƣời này có thể ảnh hƣởng tới sự suy
nghĩ của ngƣời khác. Điều đó không chỉ xảy ra với ngôn ngữ viết cũng nhƣ nói mà
còn đƣợc thể hiện trong kịch, múa,...và trong mọi hành vi của con ngƣời” [7].
Theo tác giả Vũ Thị Bình “Giao tiếp toán học là quá trình giao tiếp diễn ra
giữa GV-HS, giữa HS-HS trong quá trình dạy học toán; quá trình này sử dụng ngôn
ngữ toán học là phƣơng tiện quan trọng và chủ yếu để tiếp nhận và chuyển tải các ý


8

tƣởng, kiến thức toán học, đƣa ra lập luận, chứng minh, giải quyết vấn đề đạt đƣợc
mục tiêu dạy học” [6].
Giao tiếp là một quá trình hoạt động trao đổi giữa ngƣời nói và ngƣời
nghe nhằm đạt đƣợc một mục đích nào đó. Do vậy, quá trình HS xây dựng,
chiếm lĩnh tri thức toán học luôn gắn chặt với hoạt động GTTH trong học tập
môn toán. Thông qua các hoạt động, suy nghĩ, tìm tòi, thảo luận và đặt câu
hỏi, các ý tƣởng toán học đƣợc diễn đạt một cách chính xác. Quá trình HS lập
luận, phân tích một cách có hệ thống giúp các em củng cố kiến thức và hiểu
biết toán một cách sâu sắc hơn.
Với đặc điểm trên luận văn quan niệm GTTH là sự tƣơng tác, sự trao đổi
thông tin đƣợc diễn ra giữa GV với HS, giữa HS với HS ( hay một HS với cả
lớp) trong quá trình dạy học nhằm giải quyết các vấn đề toán học.
1.2.2. Năng lực giao tiếp toán học.
Theo PISA, năng lực GTTH là khả năng hiểu đƣợc các vấn đề toán học qua
giao tiếp bằng viết, nói, đồ họa của ngƣời khác và khả năng bày tỏ quan điểm toán
học của mình theo các cách khác nhau.
Theo tác giả Vũ Thị Bình: “Năng lực GTTH là khả năng hiểu đƣợc các vấn
đề toán học qua giao tiếp bằng viết, nói, đồ họa; khả năng sử dụng hiệu quả NNTH
trong mối quan hệ chặt chẽ với NNTN để trao đổi, trình bày, giải thích, lập luận,

chứng minh toán học một cách chính xác, logic, làm rõ các ý tƣởng toán học trong
bối cảnh cụ thể”.([7], tr.54).
Theo tác giả thì năng lực GTTH là biết nghe hiểu, đọc hiểu, và ghi chép
đƣợc các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm. Biết cách trình bày, lí giải, tranh
luận các nội dung ý tƣởng toán học. Biết sử dụng ngôn ngữ thông thƣờng kết hợp
với ngôn ngữ toán học để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các khẳng
định toán học.
1.2.3. Các mức độ đánh giá NLGT toán học
Đánh giá NLGT toán học PISA đã chia thành ba cấp độ là: Cấp độ 1: Ghi
nhớ, tái hiện;Cấp độ 2: Kết nối, tích hợp; Cấp độ 3: Khái quát hóa, toán học hóa
Để chỉ ra các mức độ NLGTTH, theo Vũ thị Bình có 5 mức độ năng lực GTTH
từ thấp đến cao, nhƣ sau:


9

Mức độ 1: (Mức độ thấp nhất). Ở mức độ này HS thƣờng bị động, lúng túng trong
GTTH, hay nhầm lẫn, thiếu căn cứ khi nói toán và viết toán. HS chƣa có khả năng
diễn đạt đƣợc ý hiểu của mình bằng NNTH và ngại tham gia giao tiếp.
Mức độ 2: HS bƣớc đầu có thể trình bày, giải thích những nội dung toán học trong
những tình huống quen thuộc bằng những câu đơn lẻ, rời rạc. Khi nói hay viết một
vấn đề toán học còn chƣa logic, chặt chẽ, ngắn gọn.
Mức độ 3: Hiểu và sử dụng đƣợc NNTH dƣới dạng kí hiệu, biểu tƣợng quen thuộc
để tóm tắt, trình bày ý tƣởng, giải pháp toán học với bạn, với thầy một cách tƣơng
đối chính xác, phù hợp
Mức độ 4: Có khả năng nói hoặc viết về các ý tƣởng, giải pháp toán học một cách
ngắn gọn, rõ ràng; Phân tích, đánh giá, phản hồi về các vấn đề toán học một cách
logic, chính xác với thái độ tự tin, tôn trọng.
Mức độ 5: Trình bày mạch lạc, lập luận chặt chẽ, sử dụng chính xác NNTH trong
khi nói hay viết toán một cách thuyết phục, hiệu quả; Tạo ra các kết nối hoặc

chuyển đổi NNTN sang NNTH và ngƣợc lại để biểu thị chính xác các đối tƣợng,
quan hệ toán học hay phƣơng án giải quyết các vấn đề toán học trong bối cảnh cụ
thể ([3], tr.57).
Theo CTGDPT môn toán của BGD thì phân chia các mức độ dựa vào các biểu
hiện của năng lực giao tiếp và yêu cầu cần đạt ở các cấp học. Nghe hiểu, đọc hiểu
và ghi chép đƣợc các thông tin toán học cần thiết đƣợc trình bày dƣới dạng văn bản
nói hay do ngƣời khác nói hoặc viết. Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết), các nội
dung, ý tƣởng, giải pháp toán học trong sự tƣơng tác với ngƣời khác. Biết sử dụng
đƣợc hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên
kết logic) kết hợp với ngôn ngữ thông thƣờng hoặc động tác hình thể khi trình bày,
giải thích, đánh giá các ý tƣởng toán học trong dự tƣơng tác (thảo luận, tranh luận)
với ngƣời khác. Thể hiện sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận,
tranh luận các nội dung ý tƣởng liên quan đến TH.
Theo tác giả Lê Văn Hồng trong chƣơng trình khoa học quốc tế ICME ngày 1819/9/2018 tại trƣờng ĐH Sƣ Phạm Hà Nội thì năng lực GTTH có ba thành tố. Có
những hiểu biết về giao tiếp nhƣ: ai giao tiếp và giao tiếp với ai?; giao tiếp để làm
gì?; giao tiếp về điều gì ?; giao tiếp bằng bằng phƣơng tiện nào?


10

Nhƣ vậy: các biểu hiện của năng lực giao tiếp toán học của CTGDPT môn Toán
cũng tƣơng thích với 3 thành tố mà tác giả Lê Văn Hồng đƣa ra vào tháng 9/2018 và
tác giả Lê Văn Hồng đã làm rõ hơn. Trong CTGDPT môn Toán nêu ra các biểu hiện
nhƣng chƣa mô tả rõ các biểu hiện đó thành các thành tố. CTGDPT môn Toán nêu 4
biểu hiện thì biểu hiện thứ tƣ thuộc thành tố Thái độ theo tác giả Lê Văn Hồng, còn
3 biểu hiện thứ nhất, thứ hai, thứ ba thì ứng với thành tố Cách thức giao tiếp.
- Các cách thức giao tiếp: trong đó chú ý kĩ năng nói, viết, nghe, đọc nhờ NNTH và
ngôn ngữ tự nhiên, trong đó chú ý phát triển ngôn ngữ kí hiệu toán học. HS sẽ thực
hiện đƣợc các kĩ năng ứng với hoạt động NNTH và hoạt động GTTH để thực hiện
giao tiếp.

- Thái độ trong giao tiếp theo các mức độ tăng dần là từ thái độ thờ ơ (HS không
nghe, không quan sát), thụ động (GV nhắc HS mới chú ý nghe và quan sát..),
chuyển biến sang thái độ tích cực, chủ động và tự tin trong giao tiếp.
Luận văn xác định NL GTTH có ba thành tố nhƣ trên, tác giả thấy rằng việc
xác định đó dễ cho việc đánh giá các mức độ giao tiếp và phát triển NL GTTH. Vì
vậy, tác giả đề xuất ba mức độ đánh giá NLGT toán học.
Mức độ 1: Học sinh còn thờ ơ, không nghe, không quan sát, chƣa hiểu, chƣa ghi
chép đƣợc hoặc ghi nhầm lẫn, sai lệch nội dung các thông tin toán học cần thiết
đƣợc trình bày dƣới dạng văn bản hoặc thầy cô nói, viết ra.
Mức độ 2: Hiểu đƣợc nội dung cần giao tiếp và bƣớc đầu biết cách giao tiếp, trao
đổi đƣợc thông tin cần giao tiếp tuy nhiên cách truyền tải chƣa đƣợc gãy gọn, rõ
ràng, hoặc chƣa đầy đủ, logich
Mức độ 3: HS hiểu đƣợc nội dung cần giao tiếp, biết lựa chọn cách thức giao tiếp
để chuyền tải đƣợc nội dung giao tiếp một cách đầy đủ, chính xác với thái độ chủ
động, tự tin. Đồng thời có sự tƣơng tác một cách tích cực, chính xác những phẩn hồi
từ đối tác giao tiếp.
Ví dụ 1.1. Đánh giá mức độ giao tiếp thông qua hoạt động tiếp thu, lĩnh hội kiến
thức.
+ Để kiểm tra mức độ 1: Yêu cầu HS đọc khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân và
giải các bài toán sau
Bài 1


11

Trong một hộp chứa sáu quả cầu
trắng đƣợc đánh số từ 1 đến 6 và ba
quả cầu đen đƣợc đánh số 7, 8, 9
(Hình 1). Có bao nhiêu cách chọn
một trong các quả cầu ấy ?

Hình 1

Bài 2
Từ thành phố A đến thành phố B có ba
con đƣờng, từ B đến C có bốn con
đƣờng (Hình 2). Hỏi có bao nhiêu cách
đi từ A đến C, qua B ?

Hình 2

+ Kiểm tra mức độ 2: Yêu cầu HS đọc, hoặc nghe GV hay HS khác đọc định nghĩa
hoán vị và liệt kê tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau từ các số 1, 2.
+ Kiểm tra mức độ 3: Sau khi học sinh đƣợc học quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp yêu cầu học sinh giải bài toán sau dƣới hình thức thảo luận nhóm ( mỗi
nhóm 04-06 học sinh): Một tổ có 10 ngƣời gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn
đại biểu gồm 5 ngƣời. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập ?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu , trong đó có ba nam, hai nữ
1.2.4. Năng lực giao tiếp toán học và kết quả học tập môn toán của HS.
Trong chƣơng trình GDPT tổng thể cũng đã nhấn mạnh giáo dục toán học
hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học với các thành tố cốt lõi trong đó có năng lực giao tiếp toán học.
Vấn đề đặt ra là năng lực GTTH ảnh hƣởng đến kết quả học tập của học sinh nhƣ
thế nào?
Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu “Dạy học hiệu quả cũng có nghĩa là giao
tiếp hiệu quả, không thể tách rời mục tiêu nâng cao chất lƣợng DH với mục tiêu
nâng cao chất lƣợng giao tiếp” ([5], tr.156).
Do đó, GV nên tăng cƣờng cho HS thực hiện việc nghe, nói, đọc, viết, trình
bày, diễn đạt (nói hoặc viết), sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học nhằm phát triển

năng lực giao tiếp toán học, năng lực toán học.


12

1.3. Bồi dƣỡng năng lực GTTH cho HS trong DH môn Toán THPT hiện nay
1.3.1. Sự phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh THPT.
Theo tác giả Vũ Thị Bình “Hoạt động NNTH trong lớp học toán là hoạt động dạy
học mà ở đó, GV và HS sử dụng NNTH và NNTN để trao đổi, truyền đạt, suy nghĩ,
trình bày, thể hiện và tiếp nhận các tƣ tƣởng, quan điểm, nội dung toán học” ([4], tr
23).
Nhƣ vậy ngôn ngữ là công cụ, phƣơng tiện để giúp cho ngƣời học tiếp
nhận, trao đổi các nội dung toán học.Vì vậy việc phát triển tƣ duy gắn liền với việc
phát triển ngôn ngữ.
Đối với học sinh THPT, HS có thể tƣ duy bằng ngôn ngữ ký hiệu, bảng biểu,
đồ thị, sơ đồ, mô hình... Ví dụ từ đồ thị hàm số bậc 3 HS có thể khai thác đƣợc
nhiều thông tin nhƣ bảng biến thiên, giao điểm, cực trị,...
Thông qua các hoạt động học tập, nhất là qua các hoạt động nhóm ngôn ngữ
của HS đƣợc phát triển, HS biết trình bày các nội dung, ý tƣởng, giải pháp toán học
trong sự tƣơng tác với ngƣời khác. Nhờ đó, HS có đƣợc những thay đổi trong nhận
thức của mình. Môn toán có cơ hội hình thành, phát triển tƣ duy và ngôn ngữ trí tuệ
cho HS. Do đó, việc tổ chức các hoạt động GTTH nhằm hình thành và phát triển tƣ
duy gắn với những đặc điểm tâm lý lứa tuổi HS là rất có ý nghĩa.
1.3.2. Đặc điểm NNTH trong SGK phổ thông chủ đề tổ hợp, xác suất chương
trình chuẩn.
Với định hƣớng khai thác việc sử dụng chủ đề tổ hợp, xác suất để hình thành
và phát triển NNTH và GTTH cho HS cùng với việc đạt đƣợc mục tiêu môn Toán,
Luận văn tập chung phân tích một số nội dung cơ bản của NNTH theo mạch tổ
hợp, xác suất trong chƣơng trình THPT, cụ thể là lớp 11 chƣơng trình chuẩn.
- Các thuật ngữ, ký hiệu tƣơng ứng theo các tiết học trong SGK Đại số và Giải tích

11. Gồm các công thức, ký hiệu nhƣ số phần tử của tập hợp, số phần tử của biến
cố, không gian mẫu, ký hiệu các phép toán trên các biến cố (biến cố không, biến
cố chắc chắn, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, biến cố xung khắc,...), ký
hiệu các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niutơn, xác suất,...


13

Ví dụ 1.2. Các thuật ngữ kí hiệu trong chủ đề Tổ hợp-Xác suất
Kí hiệu

Ngôn ngữ

n( A) hoặc A

Số phần tử của biến cố A

n( A \ B)

Số phần tử của tập hợp A hiệu B

n!

n giai thừa

P ( n)

Số phần tử của hoán vị n phần tử

Ank , Cnk

Số các chỉnh hợp, tổ hợp của n phần tử



Không gian mẫu

A

A là biến cố

A

A là biến cố chắc chắn

\ A A

Biến cố đối

C  A B

C là biến cố : “A hoặc B”

C  A B

C là biến cố : “A và B”

C  A B = A B  

A & B và xung khắc.

P( A) 

n( A)
n ( )

Xác suất của biến cố A

P( A  B)  P( A)  P( B)

Công thức cộng xác suất

P( A.B)  P( A).P( B)

Công thức nhân xác suất

- Cách biểu diễn, mô tả không gian mẫu từ các bài toán qua ký hiệu, sơ đồ (biểu đồ
Ven), hình ảnh thực tế (đồng xu, con xúc sắc, tập hợp số, ...) nhằm giúp HS hình
dung một cách dễ hơn khi tiếp cận các nội dung toán học.


14

Ví dụ 1.3. Dùng biểu đồ Ven để mô tả
Biểu đồ

Mô tả

- Biến cố A



- Biến cố đối của biến cố A

- Hai biến cố xung khắc

- Nội dung về các biểu thức đại số, phƣơng trình, hệ phƣơng trình liên quan đến
giải phƣơng trình chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hệ số, số hạng của nhị thức
Niutơn.
- Trong chủ đề tổ hợp, xác suất, HS đƣợc tiếp cận hệ thống các khái niệm, định lý,
quy tắc mới.
+ Hệ thống các quy tắc, khái niệm, định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phép
thửvà biến cố, xác suất của biến cố. Khái niệm tổ hợp, xác suất là khái niệm rất
gần gũi với HS khi các em có thể hình dung từ các ví dụ trong thực tế đời sống
hàng ngày. Việc sử dụng NNTH trong nội dung này cũng thuận lợi đối với HS.


15

Ví dụ 1.4. Về các phép thử ngẫu nhiên: Gieo đồng xu hay con xúc sắc

+ Hệ thống các quy tắc và định lý, cách tìm, đếm số phần tử của tập hợp (cộng,
nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp...)
+ Ngoài các thuật ngữ liên quan đến nội dung toán học nói trên trong chủ đề Tổ hợp
, Xác suất còn đề cập đến một số ký hiệu sử dụng máy tính cầm tay nhƣ cách tính
số phần tử của hoán vị (Shift + x!), số phần tử của chỉnh hợp (Shift + nPr), số phần
tử của tổ hợp (Shift + nCr), tính tổng trong nhị thức Niutơn (Shift +



),...nhằm

hỗ trợ giúp các HS tính toán nhanh, chính xác hơn trong quá trình giải toán.
Ví dụ 1.5. Tính số tổ hợp bằng máy tính bỏ túi. Dùng máy tính bỏ túi CASIO f(X)
570VN để tính Cnk , ta sử dụng các phím theo thứ tự sau: Ấn số n , ấn phím nCr, ấn
số k, ấn phím = , kết quả hiển thị ở dòng thứ hai.
1.3.3. Khảo sát thực trạng bồi dƣỡng năng lực GTTH trong DH môn Toán ở
THPT.
Tìm hiểu thực trạng năng lực GTTH của HS THPT và việc bồi dƣỡng năng lực
GTTH cho HS THPT của giáo viên.
Đối tƣợng khảo sát là giáo viên toán THPT tại huyện Thanh Thủy, tỉnh Phú Thọ
và HS tại trƣờng THPT Trung Nghĩa, trƣờng THPT Thanh Thủy, trƣờng THPT Tản
Đà. Gồm 32 GV và khoảng 64 HS.
Nội dung khảo sát là tìm hiểu về sự phù hợp của NNTH trong chủ đề tổ hợp, xác
suất ở SGK Đại số & Giải tích 11 chƣơng trình chuẩn. Tìm hiểu khả năng sử dụng
NNTH của HS, năng lực GTTH cho HS THP trong dạy học chủ đề tổ hợp, xác suất.
Thông qua phƣơng pháp điều tra bằng phiếu hỏi, đàm thoại, phỏng vấn, đối thoại
với GV, HS và cán bộ quản lý, thông qua dự giờ thăm lớp, phân tích sản phẩm và
thu thập sử lý số liệu thống kê.
Kết quả thu đƣợc nhƣ sau:


16

+ Đa số GV và cán bộ quản lý GD tại các trƣờng THPT đƣợc khảo sát đều cho rằng
rằng nội dung NNTH trong SGK phù hợp với nhận thức của học sinh. Tuy nhiên
cần tăng cƣờng các bài toán gắn với thực tiễn, các bài toán có thêm nhiều hình vẽ,
bảng biểu, sơ đồ, mô hình để giảm bớt tính trừu tƣợng của môn học đồng thời học
sinh thấy đƣợc ứng dụng thực tiễn để tăng hứng thú với môn học.
+ Đánh giá về khả năng nhận thức của HS về NNTH và sử dụng NNTH trong GTTH

của HS đƣợc thể hiện ở bảng 1.1 đến bảng 1.3 phụ lục 1.
Phần lớn học sinh hiểu đƣợc khái niệm, định nghĩa, quy tắc toán học, tuy nhiên
việc diễn đạt thành lời, trao đổi với thầy cố, bạn bè vẫn còn gặp khó khăn nhất là
đối tƣợng HS trung bình và HS yếu kém.
Việc đọc các ký hiệu (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất, ngôn ngữ biến cố...) đôi
khi còn không biết, nhầm lẫn. Việc tạo ra các hình vẽ, sơ đồ minh họa để hỗ trợ
diễn đạt, giải thích một nội dung toán học còn yếu.
Ví dụ 1.6. HS ghi chép thiếu xót về các định nghĩa, quy tắc. Khi học về tắc nhân HS
chỉ ghi “ Một công việc đƣợc hoàn thành bởi hai hành động. Nếu có m cách thực
hiện hành động thứ nhất và có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có

m.n

cách

hoàn thành công việc”. Dẫn đến khi giải toán sẽ mắc sai lầm bị nhầm lẫn sang quy
tắc cộng (do ghi chép chƣa đầy đủ “hành động liên tiếp”, hoặc “ ứng với mỗi hành
động thứ nhất có n cách thực hiện ở hành động thứ hai”).
Ví dụ 1.7. Trong bài “Phép thử và biến cố” ở SGK-GT 11
Nếu HS biết mô tả, tạo hình vẽ để diễn đạt thì sẽ dễ hiểu và làm tốt hơn. Cụ thể:
Nếu phép thử là gieo một con súc sắc hai lần, thì không gian mẫu gồm 36 phần tử
đƣợc viết nhƣ thế nào ?
Cách 1 (bằng lời). Lần thứ nhất gieo con xúc sắc thì chỉ có sáu kết quả xảy ra đó là
từ mặt 1 chấm đến 6 chấm, lần thƣ hai gieo con xuc sắc thì các kết quả xảy ra là từ
mặt một chấm đến 6 chấm. Vậy phép thử trên có hai kết quả của hai lần gieo cùng
một con xúc sắc.
Cách 2 (kí hiệu). HS mô tả không gian mẫu bằng hình vẽ sau:


17

Hình 3
Từ hình vẽ trên HS thấy đƣợc cặp xuất hiện đầu tiên ở hình vẽ trên ghi bằng (1;1)
và cặp cuối là (6;6) và dễ thấy đƣợc không gian mẫu gồm 36 phần tử.
Nhƣ vậy, kết quả 1 phép thử có thể ghi bằng hình vẽ, có thể ghi bằng kí hiệu (có thể
ghi bằng lời và đùng lời đọc hình vẽ hay kí hiệu nhƣ xúc sắc thứ nhất hiện 1 chấm,
xúc sắc thứ hai hiện 1 chấm).
Hoặc HS mô tả không gian mẫu bằng bảng tóm tắt sau: