Đè và đáp án thi Toán 9 Tỉnh

Đề2
Bài 1: (5 đ)
Cho biểu thức A =
2
1 1
:
x
x x x x x x
+
− + +
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức A.
Bài 2: ( 5 đ)
a/ Chứng minh rằng: M = 11
10
– 1 chia hết cho 600.
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2
n
+ 1 chia hết cho 3.
Bài 3:( 5 đ)
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy
2
+ 3y
2
– x = 108.
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2

+ 6x + 7.
Bài 4:(5 đ)
Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM. Một đường thẳng (d) quay xung quanh
trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
a/ Chứng minh rằng:
AB AC
AP AQ
+
= 3.
b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TỈNH
NĂM HỌC: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Bài1:
(5đ)
Cho biểu thức A =
2
1 1
:
x
x x x x x x
+
− + +
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức A.

Điểm
a)
(2,5 đ)
Điều kiện của x để A có nghĩa là:
2
0
0
0
1 0
x
x x
x x x x
x
≥


− ≠


+ + ≠


+ ≠


⇔
3
0
( 1) 0
( 1) 0

1 0
x
x x
x x x
x
≥


− ≠


+ + ≠


+ ≠


0,5đ
0
1
x
x
>

⇔

≠

0,25đ
b)

(2,5đ)
Đặt
x
= a
⇒
x = a
2
. (a > 0, a
≠
1)
0,5đ
Ta có: A =
4 3 2
1 1
:
a
a a a a a
+
− + +
=
2
3
1 ( 1)
.
( 1) ( 1)
a a a
a a a
+ +
− +
0,5đ

A =
2
2 2 2
1 1
( 1)( 1) 1
a a
a a a a
+ +
=
− + + −
1đ
⇒
A =
1
1x −
0,5đ
Bài 2:
(5đ)
a/ Chứng minh rằng: M = 11
10
– 1 chia hết cho 600.
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2
n
+ 1 chia hết cho 3.
a)
(2,5đ)
Ta có: M = 11
10
– 1 = 10(11
9

+ 11
8
+ 11
7
+ 11
6
+ ...+ 11
2
+ 11 + 1).
Vậy chỉ cần chứng minh biểu thức M
/
= (11
9
+ 11
8
+ 11
7
+...+ 11
2
+ 11 + 1) chia hết
cho 60.
0,5đ
Thật vậy: M
/
= (11
9
+ 11
8
+ 11
7

+ 11
6
+ 11
5
+ 11
4
+ 11
3
+ 11
2
+ 11 + 1)
= 11
8
(11 + 1) + 11
6
(11 + 1) + 11
4
(11 + 1) + 11
2
(11 + 1) + 12
= 11
8
.12 + 11
6
.12 + 11
4
.12 + 11
2
.12 + 12.
= 12 (11

8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+ 1).
1đ
Vì (11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+ 1)
M
5
⇒
M
/

M
60. Vậy M = (11
10
– 1)
M
600.

0,5đ
b)
(2,5đ)
Ta có: 2
≡
- 1 (mod 3)
⇒
2
n

≡
( - 1)
n
(mod 3)
1đ
⇒
2
n
+ 1
≡
( - 1)
n
+ 1 (mod 3). (n là số tự nhiên)
1đ
Do đó: (2
n
+ 1)
M
3
⇔

( - 1)
n
+ 1 chia hết cho 3
⇔
n là số tự nhiên lẻ.
0,5đ
Bài 3:
5đ
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy
2
+ 3y
2
– x = 108.
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7.
a)
(2,5đ)
Trừ cả hai vế của phương trình cho 3, ta được phương trình:
(xy
2
+ 3y
2
) – (x + 3) = 105
⇔
(y
2

– 1)(x + 3) = 105
⇒
(y
2
– 1) là ước của 105
0,5đ
Các ước của 105 là: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105.
Vậy y
2
phải là một trong các số sau: 2; 4; 6; 8; 16; 22; 36; 106.
0,5đ
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TOÁN 9 CÂP TINH
NĂM HỌC: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
Vì y
∈
N
⇒
chỉ có 3 số là bình phương của y: 4; 16; 36.
Vậy thừa số thứ hai (x + 3) của phương trình thứ tự là: 35; 7; 3.
0,5đ
Với y
2
= 4
⇒
y

2
– 1 = 3
⇒
x + 3 = 35 hay y = 2, x = 32
Với y
2
= 16
⇒
y
2
– 1 = 15
⇒
x + 3 = 7 hay y = 4, x = 4
Với y
2
= 36
⇒
y
2
– 1 = 35
⇒
x + 3 = 3 hay y = 6, x = 0.
Phương trình có các cặp nghiệm: (x = 32, y = 2); (x = 4, y = 4); (x = 0, y = 6)
1đ
b)
(2,5đ)
Ta có: B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2

+ 6x + 7.
= (x
2
+ 6x + 9) + (9x
2
+ 12xy + 4y
2
) - 2
1đ
= (x + 3)
2
+ (3x + 2y)
2
– 2
≥
- 2. Với mọi x, y
0,5đ
min B = - 2
⇔
3 0
3 2 0
x
x y
+ =


+ =


⇔

3
9
2
x
y
= −



−
=


0,5đ
Vậy với x = -3; y = -
9
2
biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 2
0,5đ
Bài 4
(5đ)
Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM. Một đường thẳng (d) quay xung
quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
a/ Chứng minh rằng:
AB AC
AP AQ
+
= 3.
b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
Vẽ

hình
(0,5đ)

N
Q
P
E
G
M
F
C
B
A

0,5đ
a)
(2.0đ)
Kẻ BE, CF song song với PQ (E, F
∈
AM)
⇒
BME =CMF (g.c.g) (Vì MB = MC,
·
·
FCM EBM=
(so le),
·
·
FMC EMB=
(đối đỉnh))

⇒
ME = MF
0.5đ
Vì BE // PQ, CF // PQ
⇒
theo hệ quả ĐL Ta-lét ta có:
;
AB AE
AP AG
=
AC AF
AQ AG
=

⇒

AB AC AE AF
AP AQ AG
+
+ =
=
( ) ( )AM ME AM ME
AG
− + +
1đ
=
2 3
2. 3
2
AM

AG
= =
. vậy
3
AB AC
AP AQ
+ =
0,5đ
b)
(2,5đ)
Khi (d) đi qua B và G
⇒
điểm P trùng với điểm B
⇒
AP = AB = c
⇒
x = c
1đ
Khi (d) đi qua C và G
⇒
điểm P trùng với điểm N là trung điểm của AB

⇒
AP = AN =
1
2
AB =
1
2
c

⇒
x =
1
2
c
1đ
⇒

1
2
c
≤
x
≤
c. Vậy giá trị lớn nhất của x là c, giá trị nhỏ nhất của x là
1
2
c
0,5đ