luận văn thạc sĩ bền vững chân không trong mô hình chuẩn và mô hình 3 3 1 với cơ chế CKS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Bùi Thị Ánh

BỀN VỮNG CHÂN KHÔNG TRONG MÔ HÌNH CHUẨN VÀ MÔ HÌNH 3-3-1
VỚI CƠ CHẾ CKS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Bùi Thị Ánh

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÍ TOÁN
BỀN VỮNG CHÂN KHÔNG TRONG MÔ HÌNH CHUẨN VÀ MÔ
HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ CKS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:
8440103
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS HOÀNG NGỌC LONG

Hà Nội – 2020


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin được gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy
GS.TS Hoàng Ngọc Long –Viện Vật lý - Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công
Nghệ Việt Nam, đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ và tạo những điều kiện thuận lợi
nhất để em hoàn thành luận văn này.
Tiếp đến, em xin gửi lời cảm ơn tới quý Thầy Cô ở Viện Vật Lý -Viện Hàn
Lâm Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam đã tận tình dạy dỗ trong suốt thời gian
học tập.
Lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến Học viện Khoa học và Công
nghệ đã tạo điều kiện cho em theo học và hoàn thiện khóa học thạc sĩ này.
Sau hết, em xin chân thành cảm ơn đến gia đình, người thân cùng bạn bè
và đồng nghiệp tại nơi em học tập, công tác đã luôn quan tâm, động viên,
khuyến khích, giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt thời gian
qua để em hoàn thành luận văn của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Bình, ngày 26 tháng 05 năm 2020
Học viên

Bùi Thị Ánh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi được thực
hiện trong suốt thời gian làm học viên cao học tại Học viện Khoa học và Công
nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam. Kết quả nghiên cứu ở
chương 1,2,3 là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy hướng
dẫn và các đồng nghiệp. Các kết quả này là mới và không trùng lặp với các công bố
trước đó.
Người viết cam đoan

Bùi Thị Ánh


1

Mục lục
0.1

Danh s¡ch từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Tổng quan

3
4

1.1

Giới thiệu về MHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

C¡c trường Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Tâm tắt về mẫu Glashow-Weinberg-Salam . . . .

7

1.2.2

Khối lượng của c¡c trường trong mẫu GWS . . .

8

Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3
1.3.1

Sinh khối lượng cho c¡c trường chuẩn . . . . . . . 10

1.3.2

Khối lượng của c¡c lepton v quark . . . . . . . . 13

2 Bền vững ch¥n khæng trong MHC

16

2.1
2.2

C¡c cæng thức cần thiết cho t½nh dương của ma trận 2 2
Thế năng Higgs trong MHC . . . . . . . . . . . . . . . .

16
17

2.3

C¡c điều kiện r ng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Một số r ng buộc từ điều kiện dương x¡c định cho ma
trận khối lượng của mæ h¼nh 3-3-1 với cơ chế CKS

22

3.1

3.2

22
23

3.3

C¡c cæng thức cần thiết cho t½nh dương của ma trận 3 3
Giới thiệu về mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1

Sự sắp xếp c¡c hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2

Khối lượng của c¡c boson chuẩn . . . . . . . . . . 28

Thế năng Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31


2

3.4 Ma trận khối lượng của c¡c trường væ hướng . . . . . . .

33

3.4.1

Khối lượng của c¡c trường væ hướng mang điện .

33

3.4.2

Khối lượng của c¡c trường væ hướng CP-lẻ . . . .

34

3.4.3

Khối lượng của c¡c trường væ hướng CP-chẵn . .

36

3.4.4

Lời giải đơn giản hâa . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.5 C¡c giới hạn của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.6 T½nh dương của ma trận b¼nh phương khối lượng . . . .

44

3.6.1

Giới hạn từ t½nh dương ma trận khối lượng . . . .

45

3.6.2

Giới hạn trong trường hợp đặc biệt . . . . . . . .

46

4 Kết luận v

kiến nghị

48

4.1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49


3

0.1

Danh s¡ch từ viết tắt

MHC

Mæ h¼nh chuẩn

CKS

C¡rcamo Hern¡ndez, Kovalenko, Schmidt

GWS

Glashow-Weinberg-Salam

VEV

Trung b¼nh ch¥n khæng


4

Chương 1
Tổng quan
1.1

Giới thiệu về MHC

1. Lþ do chọn đề t i
Mæ h¼nh chuẩn (MHC) l một trong những th nh cæng lớn nhất của

vật lþ học thế kỷ 20. MHC mæ tả tương t¡c mạnh, tương t¡c điện từ v
tương t¡c yếu dựa tr¶n nhâm đối xứng chuẩn SU(3)C SU(2)L
U(1)Y (3 2 1). Nhâm SU(3)C mæ tả tương t¡c mạnh, t¡c động l¶n c¡c
hạt quark mang t½ch m u thæng qua t¡m hạt boson chuẩn khæng khối
a

lượng, gọi l c¡c gluon (G , với a = 1:::8), truyền tương t¡c. Nhâm
SU(2)L U(1)Y mæ tả thống nhất tương t¡c điện từ v tương t¡c yếu.
Nhâm đối xứng n y t¡c động l¶n c¡c fermion, bao gồm quark v leptonth nh phần ch½nh cấu tạo n¶n vũ trụ, thæng qua c¡c hạt truyền tương
t¡c điện từ l photon (khæng khối lượng) v ba boson chuẩn câ khối
lượng W ; Z truyền tương t¡c yếu.
Theo mæ h¼nh chuẩn (MHC) ban đầu c¡c trường chuẩn v trường vật
chất đều khæng câ khối lượng. Để cho c¡c trường n y câ khối lượng
như tr¶n thực tế th¼ ta phải đưa v o c¡c trường væ hướng Higgs câ
trung b¼nh ch¥n khæng kh¡c khæng. Với c¡ch l m tr¶n th¼ c¡c trường
sẽ câ khối lượng mong đợi. Tuy nhi¶n, để thực hiện được


5

điều tr¶n th¼ thế năng Higgs phải bị chặn ph½a dưới v khi đâ ta sẽ câ
ch¥n khæng bền vững. Trong Luận văn (LV) n y tæi sẽ nghi¶n cứu
vấn đề tr¶n.
2. Mục đ½ch nghi¶n cứu
Tæi sẽ nghi¶n cứu c¡c thế năng Higgs v dựa tr¶n t½nh dương (positivity) của thế năng để thu được r ng buộc cho c¡c hằng số tương t¡c
của c¡c mæ h¼nh đang x²t như MHC hay mæ h¼nh 3-3-1 với cơ chế
CKS.
3. Phương ph¡p nghi¶n cứu
Nghi¶n cứu lþ thuyết, cụ thể l sử dụng lþ thuyết trường lượng tử,
mæ h¼nh chuẩn, lþ thuyết nhâm v c¡c số liệu thực nghiệm về hạt

cơ bản.
Sử dụng phần mềm hỗ trợ t½nh to¡n Mathematica.
4. Cấu tróc luận văn
Cấu tróc luận văn: Ngo i phần mở đầu, kết luận, v t i liệu tham khảo,
phần nội dung của luận văn được chia th nh ba chương.
+ Chương 1: Tổng quan
+ Chương 2: Bền vững ch¥n khæng trong mæ h¼nh chuẩn
+ Chương 3: Một số r ng buộc từ điều kiện dương x¡c định cho ma
trận khối lượng của mæ h¼nh 3-3-1 với cơ chế CKS

1.2

C¡c trường Higgs

Những năm 50, 60 của thế kỷ trước, c¡c nh vật lþ đ¢ ph¡t triển lþ thuyết
chuẩn dựa tr¶n sự bất biến với nhâm chuẩn định xứ. Lþ thuyết n y y¶u cầu
sự tồn tại của một trường vectơ thực, khæng khối lượng, đâng vai trá của
trường truyền tương t¡c. Điện động lực học lượng tử l lþ thuyết


6

chuẩn giao ho¡n dựa tr¶n nhâm chuẩn U(1)Q mæ tả tương t¡c điện từ của
c¡c hạt mang điện với trường truyền tương t¡c l photon (¡nh s¡ng) khæng câ
khối lượng. Do b¡n k½nh r tỷ lệ nghịch với khối lượng m của hạt truyền
tương t¡c (r / 1=m) n¶n tương t¡c điện từ l tương t¡c tầm xa (r = 1). Với th
nh cæng vang dội của điện động lực học lượng tử, c¡c
nh vật lþ muốn mở rộng lþ thuyết chuẩn cho tương t¡c yếu l tương t¡c tầm
gần câ b¡n k½nh tương t¡c hữu hạn (tức m ≠ 0). Trước đâ nh vật
lþ gốc Nhật Yoichiro Nambu, chủ nh¥n giải thưởng Nobel, đ¢ đề xuất lþ

thuyết ph¡ vỡ đối xứng tự ph¡t, ti¶n đo¡n về một loại trường khæng khối
lượng, trường Goldstone. Sau n y người ta thấy đ¥y l ti¶n đo¡n sai. Năm
1964, P. Higgs viết b i b¡o ngắn đăng tr¶n Physics Letters giải th½ch về
việc khæng tồn tại trường Goldstone. B i b¡o thứ hai tr¼nh b y mæ h¼nh lþ
thuyết, m b¥y giờ câ t¶n gọi l cơ chế Higgs nổi tiếng, đ¢ bị Physics Letters
từ chối. Æng gửi cho Physical Review Letters v được đăng v o năm 1964.
Tại thời điểm đâ, c¡c nh vật lþ kh¡c Robert Brout, Francois Englert, Gerald
Guralnik, C.R. Hagen v Tom Kibble cũng câ kết luận tương tự. Cơ chế
Higgs đ¢ cho ta c¡ch tạo ra khối lượng cho c¡c trường chuẩn v hơn thế nữa
c¡c lþ thuyết chuẩn thu được l t¡i chuẩn hâa được. Boson Higgs, hạt cán
sống sât sau khi ph¡ vỡ đối xứng tự ph¡t, được nhắc tới trong c¡c t i liệu
nhiều nhất hiện nay. Ng y 4 th¡ng 7 năm 2012, Trung t¥m nghi¶n cứu hạt
nh¥n ch¥u …u thæng b¡o c¡c th½ nghiệm ở đâ đ¢ ph¡t hiện ra hạt giống hạt
Higgs câ khối lượng126 GeV. Đ¥y l hạt chủ đạo đâng vai trá quan trọng
trong việc sinh khối lượng cho c¡c hạt cơ bản. Để hiểu tại sao người ta phải
đưa v o c¡c trường Higgs, ta sẽ tr¼nh b y ngắn ngọn về mæ h¼nh n y.


7

1.2.1

Tâm tắt về mẫu Glashow-Weinberg-Salam

Như ta đ¢ nâi ở tr¶n, MHC mæ tả tương t¡c mạnh, tương t¡c yếu v tương
t¡c điện từ. Tương t¡c mạnh dựa tr¶n nhâm chuẩn SU(3)C , cán tương tac
yếu v tương t¡c điện từ được thống nhất bởi mẫu Glashow-Weinberg-Salam
(GWS) với nhâm chuẩn l SU(2)L U(1)Y . Trong luận văn n y tæi chỉ tr¼nh b
y về mẫu Glashow-Weinberg-Salam
Trong mẫu GWS, c¡c fermion ph¥n cực tr¡i biến đổi như lưỡng tuyến

dưới nhâm SU(2)L, trong khi c¡c fermion ph¥n cực phải biến đổi như đơn
tuyến dưới nhâm SU(2)L. Trong mẫu GWS, to¡n tử điện t½ch được x¡c
định như sau
Y

Q=T +

W
;

3

2

với T3 l vi tử ch²o của nhâm SU(2)L, Y

W

l si¶u t½ch yếu. Với c¡c trường

biến đổi đơn tuyến dưới nhâm SU(2)L th¼ si¶u t½ch của đơn tuyến bằng
hai lần điện t½ch của hạt trong đơn tuyến đâ. C¡c trường biến đổi lưỡng
tuyến dưới nhâm SU(2)L th¼ si¶u t½ch của lưỡng tuyến bằng tổng điện
t½ch của c¡c hạt trong lưỡng tuyến đâ [1]. Cụ thể, c¡c hạt trong MHC được
sắp xếp dưới nhâm chuẩn như sau:
Với c¡c lepton:
(
aL

)

aL

=

e

eaR(1; 1;
Với c¡c quark:

u
Q =(
aL

(1; 2; 1);

aL

2); a = 1; 2; 3:

aL

daL )

(

1

3; 2; 3 );

4

(

(1.1)

2

)

(

)

uaR 3; 1; 3 ;
daR 3; 1; 3 ;
trong đâ a l chỉ số thế hệ. Hai số đầu ti¶n trong mâc đơn l

(1.2)
số th nh


8

phần trong đa tuyến của nhâm SU(3)C v SU(2)L, cán số cuối còng l si¶u
t½ch yếu của đa tuyến.
1.2.2

Khối lượng của c¡c trường trong mẫu GWS

Quy luật biến đổi của c¡c đa tuyến dưới ph²p biến đổi chuẩn như sau

′
ig ∑ t ! (x) ig′Y W !′(x)
(x) ! (x) = e
a=1 a a e
(x) :
3

(1.3)

Theo cæng thức (1.3), ta câ
3

e

aL(x)

x

!

aL

′

e

′

(x) = e

x

a

ig ∑

!a(x)eig ! (x) aL(x);
′ ′

a=1 2

′ ′

e2ig ! (x)e

aR(

(

x;

aR
)!
)
aR( ) =
trong đâ ta đ¢ sử dụng kết quả của cæng thức (1.1). Chó þ
rằng khối lượng Dirac của c¡c fermion câ dạng

m

= m( L

R

+

(1.4)

(1.5)

R L) :

Từ cæng thức (1.4), ta thấy c¡c fermion ban đầu khæng thể câ khối
lượng, do th nh phần tr¡i v phải biến đổi kh¡c nhau. Hơn nữa c¡c trường
chuẩn cũng khæng câ khối lượng. Ch½nh v¼ thế, mæ h¼nh kể tr¶n khæng
thể mæ tả đóng thế giới vật chất. Để giải quyết vấn đề n y người ta phải
đưa v o trường Higgs.
Để sinh khối lượng cho c¡c hạt gauge boson v c¡c fermion trong mæ
h¼nh, người ta phải đưa v o lưỡng tuyến Higgs để thực hiện ph¡ vỡ đối
xứng tự ph¡t. Lưỡng tuyến Higgs trong MHC:
( + )
ϕ=

φ

φ

(1; 2; 1):

0

(1.6)

Thế năng tổng qu¡t của trường Higgs câ dạng [1]
V (ϕ) =

2 +

+

2

ϕ ϕ + (ϕ ϕ) ;

(1.7)


9

H¼nh 1.1: H¼nh vẽ cho thấy ở cực tiểu thấp hơn cho khối lượng của trường kh¡c khæng

Chó þ rằng khæng phải l khối lượng của trường ϕ v¼ khæng câ dấu
th½ch hợp. chỉ l tham số câ thứ nguy¶n khối lượng.
Ta vẽ thế năng V (ϕ) như h m của trường Higgs theo h¼nh 1.1
0

Điều đặc biệt của trường Higgs l th nh phần trung háa về điện φ trong
(1.6) câ trung b¼nh ch¥n khæng kh¡c khæng, kh¡c với c¡c trường vật lþ
thæng thường câ điều tr¶n bằng khæng. Ch½nh điều n y sẽ tạo ra khối
lượng của c¡c fermion v trường chuẩn.

Lưu þ rằng, chỉ bằng c¡ch cho trường væ hướng trung háa câ trung b¼nh
ch¥n khæng kh¡c khæng mới tạo ra khối lượng cho c¡c trường chuẩn.

1.3

Cơ chế Higgs

Khai triển trường Higgs xung quanh trị trung b¼nh ch¥n khæng:
(
)
ϕ=

φ+

:

v+h(x)+ia(x)

p

2

Điều kiện cực tiểu thế dẫn đến nghiệm của trị trung b¼nh ch¥n khæng
√
2
2
v=
, với > 0; > 0:
Như vậy ta đ¢ chọn phần thực câ trung b¼nh ch¥n khæng kh¡c khæng v
một c¡ch tự ph¡t. Ta minh họa điều tr¶n như sau: Con bá đi tr¶n con

10

đường hai b¶n đều câ bâ cỏ (đối xứng), khi con bá gh² sang b¶n n o ăn bâ
cỏ th¼ ta câ sự tự ph¡t.
Như ta đ¢ nâi ở tr¶n, với việc cho trường Higgs câ trung b¼nh ch¥n
khæng kh¡c khæng sẽ dẫn đến việc c¡c boson chuẩn câ khối lượng. Dưới
đ¥y ta sẽ l m s¡ng tỏ việc n y.
1.3.1

Sinh khối lượng cho c¡c trường chuẩn

Lagrangian to n phần của lưỡng tuyến Higgs câ dạng
y

LH = (D ϕ) D ϕ

V (ϕ);

(1.8)

trong đâ
2 +

+

2

ϕ ϕ + (ϕ ϕ) :

V(ϕ)=

(1.9)

Ở đ¥y, đạo h m hiệp biến câ dạng:
i

3

∑

[

aA

a

D ϕ= @

]

′

2g B ϕ:

(1.10)
ig =1 2
W
trong đâ g v g l hằng số tương t¡c ứng với nhâm SU(2)L v tương tự U(1) Y ,

U (1)Y
A a v B l c¡c trường chuẩn ứng với nhâm SU(2)L v [1].
a

′

Để cho thuận lợi, ta viết lại lưỡng tuyến Higgs như sau
ϕ=

(

φ

+

v+h(x)+ia(x)

)=

p 2

(0
v

φ

+

) + ( h(x)+ia(x)

p2

)

ϕ + ϕp;

p 2

trong đâ trung b¼nh ch¥n khæng (VEV) của trường Higgs câ dạng ( )
1
ϕ=p

0

2

v

v lưỡng tuyến Higgs vật lþ với VEV bằng khæng l
(
)
ϕp =

φ+

:

h(x)+ia(x)

p

2

(1.11)


11

H¼nh 1.2: Thế Higgs như h m của th nh phần thực [h(x)] v ảo [a(x)] của trường ϕ

Từ biểu thức to¡n tử điện t½ch với Y

W

= 1, ta câ ngay

′

Qϕ =0:
v như vậy điện t½ch được bảo to n. Hay nâi kh¡c đi sau khi ph¡ vỡ đối
xứng tự ph¡t ta cán lại nhâm U(1)Q. C¡c vi tử I1; I2 v I3
v c¡c boson chuẩn tương ứng sẽ câ khối lượng.

Y

2

= 2I3 Q bị ph¡ vỡ

Thay khai triển (1.11) v o (1.8) ta câ

LH

= [D ( ϕ + ϕp)]y(D ( ϕ + ϕp)) = (D

V (ϕ)

ϕ )yD ( ϕ V (ϕ) + ;
trong đâ

chứa c¡c phần li¶n quan tới phần động năng v

(1.12)
li¶n kết của

c¡c trường Higgs vật lþ ϕp [1].
C¡c nghi¶n cứu cho thấy khối lượng của c¡c trường chuẩn được cho


12

bởi số hạng đầu ti¶n trong (1.12)
y

)(
Lmass = (D ϕ ) D ( ϕ )
g v
0 W
= 4
(0; 1) ( W
+

0 W
2 2
v

2

3

+ 8 (0; 1) (
(
0 ′
3
gA + g
=

′

gA + g B

g2v2

W

0

gA
+gB
)( )
3

gA3 + g′B

B

′

)

1

0

v2

+

W +

(gA′3

0

W+

0

0

)(1)

0

0

g′B )2

= m2 W
W

4
8
trong đâ ta đ¢ thu được khối lượng của W boson
2

mW

2 2

=

gv

g
v

; hay mW =

1(

)(

A 0
m

0
0

2
Z

)(

1

m2

2

ZZ
Z

(1.13)

4
2
Để thu được khối lượng của Z boson ta phải ch²o hâa
m 2
v
(
′

2
ZZ
= 8 ( A′ 3
gg
g
2 Z
B )
2
′
g
gg
1
2
=2 Z

+

W+

)(

)
A

′3

B

A

)
Z

:

(1.14)

Ch²o hâa ma trận khối lượng bằng ma trận trực giao
= cos W A

Z

′3

sin W B

′3

A = sin W A + cos W B
v thu được khối lượng của Z boson
2

mZ =

g2v2
2

; hay mZ

4 cos W

Trường A vẫn khæng câ khối lượng v

=

gv

(1.15)

=

mW

(1.16)

2 cos W
cos W
được đồng nhất với photon.

Như vậy c¡c trường chuẩn mang điện W v
trường trung háa Z đ¢
câ khối lượng, cán photon A vẫn khæng câ khối lượng như ta mong đợi.


13

1.3.2 Khối lượng của c¡c lepton v quark
Ta sẽ sử dụng tương t¡c Yukawa như sau:
i) Cho c¡c lepton
(2 (

l

e

LY uk = h

+

LeϕRe + Reϕ

2)

; 1)(2; 1)(1;

)
Le (1; 0); do
(1; 0);

1)(2; 1)

(1; 2)(2;

(1; 0):
(1.17)

Khai triển ta câ
+

LY

l

uk

{
(
he ( eL; eL)

=

φ (x)
[v + h(x) + ia(x)]

1

(

p2

+ eR

φ (x ); p 2[v + h(x) ia (x)]

(

e

= h

{

)

1

eLeRφ

) eR
)}

eL

eL

1
+ p 2 eLeR [v + h(x) + ia(x)]

+

}

+ eR
=

he

(x) +
e v
h
ee

1 eReL [v + h(x) ia(x)]
p 2

eLφ

(L

p2

e
R+ R

ee

L)

[

eL

he

R

+
()+R

φ x

e

p 2 [eeh(x) + ie 5ea(x)] :

eL

()

]

φ x

(1.18)

Từ (1.18) ta câ khối lượng của electron
e

e

hv

v

h p 2 (eLeR + eReL) =
Như vậy khối lượng của electron l

p 2 ee = meee:

(1.19)

e

hv
me = p 2 :

(1.20)


14

ii) Cho c¡c quark

L

q

= h

u

Y uk

qϕu

[
u

c

L

R

[ (uL; dL)

= h

+ u R (p

c+

qL h d q ϕd + d
]
[
(v + h ia ) L RR

+u

ϕ

R1

(

p2

2(v + h + ia); φ

+)

)

φ

]

+

ϕq

L

uR

( dL )]

uL

1
+

+ dR

[
(
hd (uL; dL)

1

(v + h + ia)

p2

)d

(

φ ; p 2(v + h ia )

(

=hu

φ

)

1

dL

R

)]

uL

1

[

p 2 uLuR(v + h ia)
dLuRφ

1
+]
+ p 2 uRuL(v + h + ia) uRdLφ
1
d[
+
h uLdRφ + p 2 dLdR(v + h + ia)
1

]

(1.21)

dRdL(v + h ia)
+ dRuLφ + p 2
Từ cæng thức tr¶n ta thu được khối lượng của c¡c quark
u
d
hv
hv
mu = p 2 ; md = p 2
Từ c¡c cæng thức cho khối lượng của c¡c fermion (1.20) v
thấy hằng số tương t¡c Yukawa
lượng của chóng.
f

h =

(1.22)
(1.22) cho

f

h của c¡c fermions tỉ lệ thuận với khối
p

2

v

m

f

gm

f

= p 2mW :

Với quark nặng như l top quark, hằng số tương t¡c Yukawa trở n¶n mạnh
t

(mt 175 GeV), ta câ h ≃ 1; 56 g. Điều n y cho thấy hằng số

15

tương t¡c Yukawa của top quark lớn hơn tương t¡c chuẩn. Chó þ rằng với
c¡c fermion kh¡c, hằng số tương t¡c Yukawa l rất nhỏ. Đ¥y l vấn đề ph¥n
bậc (hierarchy problem) trong mæ h¼nh GWS.
Trị trung b¼nh ch¥n khæng của lưỡng tuyến Higgs ϕ ph¡ vỡ đối xứng
theo sơ đồ:
SSB

SU(3)C

SU(2)L

U(1)Y !

SU(3)C

U(1)Q:

(1.23)

Sau khi ph¡ vỡ đối xứng th¼ duy nhất th nh phần thực h câ khối lượng v
được gọi l boson Higgs, khối lượng của h l :
m

2

h

2

=2v :

Thực nghiệm [2] đ¢ x¡c định khối lượng của hạt h:
mh = 125:09

0:24GeV:


16

Chương 2
Bền vững ch¥n khæng trong MHC
Quan s¡t c¡c h¼nh 1.1 v 1.2 ta câ nhận x²t sau: Thế Higgs V (ϕ) câ dạng của
một chiếc mũ Mexico. Hơn nữa nâ luæn bị chặn từ dưới (bounded-frombelow). Hiện tượng tr¶n cán câ nguy¶n nh¥n s¥u xa như sau. Thế Higgs
phải bị chặn từ dưới để nâ được ch¥n khæng bền vững (stability).

2.1

C¡c cæng thức cần thiết cho t½nh dương của ma
trận 2

2

Ta nhắc lại một số t½nh chất hữu hiệu sau đ¥y:
2

T

2

Ma trận đối xứng M câ dạng b¼nh phương x M x cho tất cả c¡c vector
n
x trong R với c¡c t½nh chất sau
T

2

th¼ M được gọi l dương b¡n x¡c định (semidefinite);

T

2

th¼ M được gọi l dương x¡c định (definite) :

8 x M x 0;
< x M x > 0;

2
2

:

(2.1)
2

Nếu M l ma trận 2 2 với c¡c th nh phần l
phương tr¼nh (2.1) dẫn đến c¡c điều kiện sau đ¥y
2

M11 > 0;

2

M22 > 0;

2
2
2
M12 + √ M11 M22 > 0 :

2

Mij ; i; j = 1; 2 khi đâ
(2.2)

(2.3)


17

Với c¡c ma trận hạng 4 hoặc 5, độc giả câ thể t¼m hiểu th¶m trong c¡c t
i liệu [5, 6].
Chó þ đến phương tr¼nh (2.2), ta câ nhận x²t sau: C¡c yếu tố ch²o của
ma trận đều phải dương.

2.2

Thế năng Higgs trong MHC

Trong MHC, với thế năng câ dạng như sau[1]
2 y

y

2

V (ϕ) = ϕ ϕ + (ϕ ϕ) :
ta sẽ thấy điều kiện nâi tr¶n dẫn đến
> 0.
Ở đ¥y ϕ l

(2.4)

một lưỡng tuyến với hai trường væ hướng
(
)
φ

ϕ=

+

φ

0

:

(2.5)

Để thấy được điều n y ta h¢y thực hiện c¡c ph²p biến đổi sau. Trước ti¶n
ta thực hiện một số kþ hiệu. Đặt
y

2

2

ϕ ϕ h + + h0 ;

(2.6)

trong đâ h+ v h0 l số thực ứng với độ d i của trường væ hướng mang điện
+

0

φ v væ hướng trung háa φ . Khi đâ thế năng V (ϕ) được viết lại như sau
V (h+; h0) =

2.3

2

2

2

2

2 2

(h+ + h0 ) + (h+ + h0 ) :

(2.7)

C¡c điều kiện r ng buộc

C¡c nghi¶n cứu sau n y cho thấy: Nếu ta cho trường mang điện câ VEV sẽ
dẫn đến sự vi phạm điện t½ch. Do vậy ta sẽ chỉ chó þ đến khả năng trường
0

trung háa về điện φ câ VEV. V¼ vậy ta sẽ chỉ t¼m điều kiện cho tham số
h0.


18

Ta h¢y t¼m điều kiện cực trị v điều kiện cực tiểu của thế như sau
1. Điều kiện cực trị:
@V (h+; h0)

2

2

3

= 2 h0 + 4 (2h+ h0 + 4h0 ) = 0 :

(2.8)

@h0
Gi¡ trị của h+ tại điểm cực trị bằng 0 v ta gọi gi¡ trị của h0 tại điểm cực
trị l trung b¼nh ch¥n khæng (VEV) của nâ

h j

h+ = 0 ;

+ min

h j

h 0 ̸= 0 :

0 min

Từ phương tr¼nh (2.8), ta câ

(2.9)
2

2

3

2

2 h0 + 4 h0 = 0 ) h0 =

2 :

(2.10)

v
(2.11)

h0 = p ;

2
trong đâ v l số thực. Nếu v l số phức sẽ dẫn đến vi phạm CP trong lþ
thuyết. Ta sẽ khæng x²t đến trường hợp n y. Do vậy
2

√

v=
(2.12)
:
2. Điều kiện cực tiểu l : Tại điểm cực trị đạo h m bậc hai phải dương
2

@ V (h+; h0)
2

jmin> 0 :

@h0

(2.13)

Suy ra

@2V (h+; h0)

2

2

jmin= 2 + 12

h0 )

2

2 + 12

2

h0 > 0 :

@h2
0

(2.14)

Thay (2.10) v (2.12) v o (2.14), ta câ

2

2

2

2v +3v = v >0:

(2.15)


19

Từ đ¥y ta câ > 0. Như vậy trong MHC, điều kiện bền vững của ch¥n
khæng l hằng số tự tương t¡c của c¡c trường Higgs phải dương. Chó þ
rằng điều kiện > 0 l rất quan trọng v¼ h m bậc 4 câ hệ số dương sẽ
dương khi h+ v h0 tiến tới væ còng.
Để kết thóc phần n y, ta nhấn mạnh rằng gi¡ trị v suy ra được từ khối
lượng của boson chuẩn W v bằng
v = 246 GeV :

(2.16)

Ta biết rằng để c¡c boson chuẩn câ khối lượng, th¼ ta phải t¼m c¡c
trường Goldstone khæng khối lượng tương ứng.
Dưới đ¥y ta x²t kỹ thế năng Higgs. Khai triển trường Higgs quanh VEV
như sau
(

)

+

φ (x)

ϕ(x) =

1

p

:

[v + h(x) + ia(x)]

2

Ta câ
+

1

+

2

2

ϕ ϕ = φ φ + [(v + h(x)) + a (x)] = φ
2

1[

φ+ +

2

]

2

a2(x)
(2.17)

2

+2 v + 2vh(x) + h (x) :
Tiếp theo, ta câ
+ 2

+2

(ϕϕ) =(φφ )
+

4

a (x)
1
+ 4 + 4 (v

2

2

+ φ φ [v + 2vh + h (x)] +

= (φ φ+)2 +

1

a4(x)
4

2

22

+

2

+ 2vh + h ) + φ φ a

a2 (x) 2
2
2 (v + 2vh + h )

+ φ+φ a2

4

2 2
4
3
2 2
3
4(v + 4v h + h + 4v h + 2v h + 4vh )
a2 (x) 2
+ 2
2
2
+ φ φ [v + 2vh + h (x)] + 2 (v + 2vh + h ):(2.18)

+


20

Thay (2.17) v (2.18) dẫn đến (1.7) câ dạng

{

2

V(ϕ) =

2

a (x) + 1 v2 + 2vh(x) + h2(x)

φ φ++

2

4

+{
1

a (x)

(φ φ+)2
4

(
+ 4v

[
+

+φ φa

+ 4
2 2

}

2

4

]
2

3

2 2

3

+ 4v h + h + 4v h + 2v h + 4vh )
2
a (x)
2

2

}

+ 2
2
+ 2vh + h (x)] + 2 (v + 2vh + h ) :(2.19)
+ φ φ [v
Để Lagrangian khæng chứa số hạng tuyến t½nh theo c¡c trường, ta buộc
c¡c số hạng tỉ lệ với to¡n tử trường, ta buộc với c¡c số hạng tỉ lệ với to¡n tử
trường phải bằng khæng. Trong (2.19) th nh phần tỉ lệ với h(x)

l
2

3

v +v

2

=0 !

Từ đ¥y ta câ

2

+v

=0

(2.20)

2

√

v=
:
X²t hệ số của c¡c số hạng khối lượng (C¡c số hạng tỉ lệ với b¼nh
phương to¡n tử trường) :
2

+

2

1. Tỉ lệ với φ φ : + v = 0. C¡c trường φ khæng câ khối lượng n¶n chóng
l Goldstone boson.
2

2. Tỉ lệ với a(x) :

2

+

v2

2

khæng câ khối lượng n¶n

= 0. Trường
2

cũng l Goldstone boson.
2

3. Với trường h (x):

2

1
2

2

2+ v +

2

2

2

2

2

v = v = . Theo đâ

mh = 2 ; m h =

p

2:

(2.21)

Goldstone boson φ (x) bị ăn bởi c¡c hạt gauge boson mang điện W ,v được
k½ hiệu bởi Gw (x), trong khi đâ Goldstone boson a(x) bị ăn bởi


21

hạt gauge boson trung háa Z Gz(x). Do đâ, lưỡng tuyến Higgs câ thể được
viết lại như sau

ϕ′(x) =

(

Gw+ (x)
1
p2

[v + h(x) + iGz(x)]

):

(2.22)

Tâm lại trong phần Higgs ta câ ba Goldstone boson v một trường Higgs
trung háa. Trong (2.19) ta câ tương t¡c của ba v bốn trường Higgs.