ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT.

MỤC LỤC

1. Lời giới thiệu....................................................................................................................................1
2. Tên sáng kiến:..................................................................................................................................2
Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT.......................2
3. Tác giả sáng kiến:.....................................................................................................2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả......................................................................2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:...................................................................................2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:....................................2
PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN.....................................................................2
I .Cơ sở lý luận của vấn đề..............................................................................................................3
1. Chất liệu từ toán học...................................................................................................3
2. Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý thường gặp.............................4
2.1. Trong cơ học.................................................................................................................................4
Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác............4
Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật...............................................4
Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động........................5
Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu..................................................................5
2.2. Trong điện học.............................................................................................................................5
II. Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm...............................................................16
PHẦN II KẾT LUẬN......................................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................20


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BGH
CM
THPT
THPTQG

Ban Giám hiệu

Chuyên môn
Trung học phổ thông
Trung học phổ thông quốc gia


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Đổi mới giáo dục toàn diện không còn là vấn đề lý luận mà trở thành thực tiễn
cấp bách đặt ra cho sự nghiệp giáo dục hiện nay. Vì thế, mỗi giáo viên cần phải nhận
thức sâu sắc để có sự điều chỉnh, thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với xu
thế giáo dục chung, góp phần cải thiện và nâng cao chất lượng dạy - học. Làm sao cho
sản phẩm của giáo dục là những con người năng động, sáng tạo, thích nghi tốt với môi
trường và đáp ứng được nhu cầu thực tiễn.
Thiết nghĩ, trong quá trình giảng dạy Vật lý, thông qua việc giải bài toán tìm cực
trị của một đại lượng Vật lý, phần nào có thể giúp giáo viên phát huy được tính chủ
động, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, tìm hiểu và lĩnh hội các tri thức về
khoa học Vật Lý. Một trong những mục tiêu quan trọng đối với quá trình đổi mới
phương pháp dạy học Vật Lý hiện nay ở bậc trung học.
Mọi người đều biết, cuộc sống là cả một chuỗi những quá trình vận động và phát
triển, tiến hoá và đào thải. Hoà nhập vào cuộc sống, con người luôn luôn mong muốn
những sự việc, hiện tượng xảy ra xung quanh họ đạt đến sự tối ưu vì thế, con người
mới chính là yếu tố hết sức quan trọng trong việc loại trừ những trở ngại, kìm hãm sự
phát triễn theo quy luật tự nhiên. Nhận thức đúng đắn về khoa học nói chung và khoa
học Vật Lý nói riêng, thiểt nghĩ vẫn không nằm ngoài quy luật trên.
Một trong những biểu hiện thực tế, đáng kể của khoa học Vật Lý, là khảo sát các
biến cố để tìm sự tối ưu: xem xét một đại lượng nào đó trong hiện tượng sao cho nó
đạt đến trạng thái cực trị. Tuy nhiên, tìm cực trị của một đại lượng, là bài toán phức
tạp. Thực tế, người học đang gặp không ít khó khăn khi tiếp cận loại toán này. Việc
giải quyết vấn đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý đang tuỳ thuộc vào khả

năng vận dụng toán học của giáo viên và học sinh. Chính vì vậy, muốn học sinh đạt
được hiệu quả cao trong học tập, giáo viên cần có những định hướng cụ thể về cách
giải, để khi tiếp cận, trên cơ sở những định hướng của giáo viên cộng với khả năng
sáng tạo của bản thân, học sinh hình dung và vạch ra được phương án phù hợp cho
việc giải quyết bài toán cụ thể.
Xuất phát từ ý tưởng trên, cộng thêm những khó khăn hiện tại và nhu cầu tìm
hiểu bài toán cực trị trong Vật lý của người học, bằng những kinh nghiệm đúc rút
trong quá trình trực tiếp giảng dạy Vật Lý ở Trường THPT Phạm Công Bình và tham
gia bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhiều năm gần đây, tôi xin mạnh dạn sắp xếp, tổng
hợp và đưa ra một vài cách giải quyết bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý,
lấy chất liệu từ các ứng dụng của toán học thường dùng, thiết nghĩ là tương đối phù
hợp với nhận thức của học sinh bậc THPT yêu thích và muốn tìm hiểu sâu về khoa
học Vật Lý.
1


Dưới đây tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình trong đề tài: ứng dụng toán
học vào giải bài tập tìm cực trị trongmônVật lý THPT. Với hy vọng đây sẽ là một tài
liệu tham khảo cho các đồng nghiệp cũng như học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
học tập môn Vật lý tại trường THPT Phạm Công Bình
- Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải quyết vấn
đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý.
- Nhằm góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ
học sinh khá, giỏi về bộ môn Vật lý.
- Góp phần hình thành lòng say mê, hứng thú học tập môn Vật lý, từ đó hình
thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.
- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồng
nghiệp.
2. Tên sáng kiến:

Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: .........................
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Vật lý lớp 10,11,12
- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Dạy học ôn tập kiến thức và giải bài tập về: Ứng
dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Sáng kiến được áp dụng lần đầu từ tháng 9 năm 2014, đến tháng 02 năm 2020
sau khi được chỉnh sửa bổ sung được áp dụng giai đoạn 2.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
- Về nội dung của sáng kiến:
Giới thiệu đầy đủ các dạng bài tập tìm cực trị trong Vật lý từ cơ bản đến nâng
cao, tất cả bài tập dều có đáp số, những bài khó thì tác giả có soạn hướng dẫn giải.
Trước khi giới thiệu mỗi dạng bài tác giả đều tóm tắt những nội dung lý thuyết
quan trọng liên quan có mở rộng và nâng cao.
Các bài tập được tác giả lựa chọn trong các tài liệu tham khảo và một số bài do
tác giả tự xây dựng theo mục tiêu sát với yêu cầu của các kỳ thi ôn thi học sinh giỏi
và thi THPTQG
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
2


Sáng kiến này rất thuận lợi cho cả giáo viên giảng dạy và học sinh học tự học
do đã soạn tóm tắt những nội dung lý thuyết quan trọng có mở rộng, nâng cao trước
mỗi dạng bài tập, hơn nữa các ví dụ đa dạng nhưng có chọn lọc và cô đọng tránh quá
tải cho học sinh.
I .Cơ sở lý luận của vấn đề.

1. Chất liệu từ toán học.
2
a �0 
1.1. Tam thức bậc hai: y  ax  bx  c 

x

với x �R thì y có cực trị tại giá trị

b
2a .

+ Nếu a  0 thì tam thức có cực đại tại giá trị
khi đó

y

max  

x


'
ymax  
4a hoặc
a .

+ Nếu a > 0 thì tam thức có cực tiểu tại giá trị
khi đó

ymin  

b
2a

x

b
2a

'

ymin  
4a hoặc
a .

   b   4ac
2

 

  b '

2

 ac

Trong đó:
và
với b  2b

1.2. Bất đẳng thức Cauchy ( không mở rộng ).
+ Điều kiện: cho a, b �0
+ Nội dung: . Dấu “ = ” xảy ra khi a  b
1.3. Bất đẳng thức Bunhiacovxki ( không mở rộng ).
+ Điều kiện: cho a, b, x, y �R.

 ax  by 
+ Nội dung:

2

� a 2  b 2   x 2  y 2  .

 x  y

2

2

Dấu “ = ” xảy ra khi .

 2 x  y2  .
2

+ Hệ quả: Nếu a  b  1 thì
1.4. Bất đẳng thức Bernuolli.
+ Điều kiện: Cho a  1 và n  N*.
+ Nội dung:  1  a 

'

�1  na

dấu “ = ” xảy ra khi a  0 hoặc n  1 .
1.5. Phương pháp hình học.
1.5.1. Giản đồ véc tơ.
+ Cơ sở: Sự tương đồng giữa giao động điều hoà và chuyển động tròn đều “ Một
dao động điều hoà có thể xem là hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một
đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo ”.
+ Nội dung:
* Để mô tả dao động điều hoà x = Acos(t +  ) bằng một véc tơ quay ta làm
như sau.
- Dựng trục Ox nằm ngang.
3


- Dựng véc tơ có:
* Gốc tại gốc toạ độ O của trục Ox.
* Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A.
* Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

M
+
x

O x

( chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác).
- Tại t = 0 cho véc tơ quay đều quanh O với tốc độ góc  thì hình
chiếu của điểm M lên trục Ox biểu diễn dao động điều hoà x = Acos( t +  ).

Hệ quả: Để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
ta lần lượt biểu diễn mỗi dao động bằng một véc tơ quay trên cùng một giãn đồ véc
tơ, sau đó áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm véc tơ tổng. Khi đó véc tơ tổng biểu
diễn dao động tổng hợp.
1.5.2. Định lý hàm sin.
+ Điều kiện: Cho ABC với AB  c; BC  a; AC  b
+ Nội dung:
Trong đó: 0  sin A;sin B;sin C �1
2. Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý thường gặp.
2.1. Trong cơ học.
Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác.
Ví dụ:
Bài toán 2.1.1: Hai vật A và B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp
với nhau một góc  = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v 1 và
v
v2  1
3 Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn
d1 =30cm. Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu?
Bài toán 2.1.2 Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng
tới giao điểm O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v 1 =15m/s và v2 =10m/s. Tại
thời điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai
quỹ đạo một đoạn S1 = 250m. Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S 2
bằng bao nhiêu?
Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật.
Ví dụ:
Bài toán 2.1.3: Một vật có khối lượng m được kéo lên trên một mặt phẳng
nghiêng góc , với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối. Hệ số ma sát giữa vật và
mặt phẳng nghiêng là . Hảy xác định góc  hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng để
lực căng dây là nhỏ nhất. Tính giá trị lực căng dây lúc đó.
áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s-2;  = 0,5;  = 300.

m
Bài toán 2.1.4: Cho hệ như hình vẽ (Hình 1). m =
M
0,5kg, M = 1kg. Hệ số ma sát giữa m và M là 1 = 0,1 ,

4

Hình 1


giữa M và sàn là 2 = 0,2. Khi  thay đổi ( 0 <  < 900),
tìm F nhỏ nhất để M thoát khỏi m và tính  khi này.
Bài toán 2.1.5. Xác định lực hút mạnh nhất của
Trái Đất đối với tàu vũ trụ đang ở độ cao h? áp dụng
bằng số: m = 2tấn, h = 320km,
lấy g0 = 10 m.s-2; R = 6400 km.
Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động.
Ví dụ:
Bài toán 2.1.6. Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A. Người đó phải tới được
điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất. Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là
BC = d; AC = s, vận tốc người bơi trong nước là v 1 và vận tốc đi trên bờ là v2 (v2 >
v1). Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B.
Bài toán 2.1.7. Ôtô chuyễn động thẳng đều với vận tốc v 1 = 54km/h. Một hành
khách đang ở A cách ôtô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ôtô.
Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ nhất là bao hiêu để đón được
ôtô?
Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu.
Bài toán 2.1.8. Đồng hồ quả lắc làm bằng con lắc đơn chạy đúng với chu kỳ dao
động T0 = 2s ở nhiệt độ t0 = 250C. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là  = 5. 10- 5
K-1 . Khi nhiệt độ là t = 150C. Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu của đồng hồ sau

một ngày đêm.
2.2. Trong điện học.
Ví dụ
Bài toán 2.2.1: Có hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A và B trong
không khí (ε = 1). Hãy xác địnhcường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB
cách AB một đoạn là MH  x . Tìm x để EM đạt cực đại. Biết AB= d
Ví dụ:
R0
UA
Bài toán 2.2.2
B
Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 2) .
R1
C
Biết UAB= 24V không đổi. Các điện trở có
D
R2
Rx
giá trị R0 = 2, R1 =3, R2 = 2, Rx là
biến trở con chạy. Di chuyễn con chạy của
biến trở. Tìm giá trị của biến trở để công
suất toả nhiệt của đoạn mạch CD đạt giá trị
Hình 2
cực đại. Tìm giá trị cực đại đó.
Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 3).
L

1
H


; C = .10- 4 F ; r = 50.

A

R

M L, r

Hình 3
5

N

C
B


R là biến trở. Đặt vào hai đầu A, B một
hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng
không đổi 220V 50Hz.
a. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại. Tìm giá trị cực
đại đó.
b. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại. Tìm giá trị cực đại
đó.
* Lưu ý rằng: cách phân loại trên đây chỉ mang tính tương đối, chưa thể nói là
đầy đủ, bao quát toàn bộ các dạng đối với loại bài toán đã nêu.
1. Dùng tam thức bậc hai.
Bài toán 2.1.1. Hai vật A và B chuyễn động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp
với nhau một góc  = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v 1 và
v2 

v1
3 Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn

d1 =30(cm). Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu?
Tìm hiểu:
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.
m
+ Phương trình chuyển động của vật A: x  x0  v1t  

(1)

A

x

+ Phương trình chuyển động của vật B: : y  y0  v2t  
+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t.
Ta có:
O
2
2
2
Hay d  y  x  2 xy cos  (2).
Thay x, y từ (1) vào (2) ta có:
.
B y
áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:
Hình 4
Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = .

Thay vào (1) với xmA = (m), khi đó vật B cách O một đoạn 90 (m).
Bài toán 2.1.2
Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng tới giao điểm
O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v1 =15m/s và v2 =10m/s. Tại thời điểm
khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo
một đoạn S1 = 250m. Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S 2 bằng bao
nhiêu?
x

m

B

Tìm hiểu:
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.
+ Phương trình chuyển động của ôtô thứ nhất:
(1)
x = x0 – v1t (m).
+ Phương trình chuyển động của ôtô thứ hai:
y = y0 – v2t (m).

O

A

y

6

+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t.
Ta có:
Hay d2 = y2 + x2 (2).
Thay x, y từ (1) vào (2) ta có:
d2 = 325t2 – (30x0 + 20y0)t + .
Hình 5
áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:
Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = .
Thay vào (1) với xmA = 250(m), khi đó vật B cách O một đoạn 375 (m).
Bài toán 2.1.6. Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A. Người đó phải tới được
điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất. Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là
BC = d; AC = s, vận tốc người bơi trong nước là v1 và vận tốc đi trên bờ là v2
(v2> v1). Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B.
Tìm hiểu:
Nhận xét.
+ Theo bài ra, nếu bơi thẳng từ A đến B ( Hình vẽ ), thì thời gian bơi đoạn AB
không phải luôn là ngắn nhất, vì v1 < v2.
+ Giả sử người đó đi theo đường gấp khúc ADB ta hảy xác định đoạn x để thời
gian đi theo đường ADB là ngắn nhất.
B

+ Thời gian để người đó đi từ A đến B theo đường ADB là.
sx
d 2  x 2 ( s  x)v1  v2 d 2  x 2
t


v2
v1
v1.v2

.

y   xv1  v2 d 2  x 2  v2 d 2  x 2  v1 x

Đặt:
Khi đó, để tmin thì ymin.
Từ (1) suy ra:
x2 



y 2  2v1 xy  v12 x 2  v22 d 2  x 2

(1).



D

A

Hình 6

2v1 y
v22 d 2  y 2
.
x

0
v22  v12

v22  v12
(2).

Hay
Phương trình (2)
có ’ = .

Để bài toán có nghĩa thì ’ 0 suy ra:
x

hay ymin = d Khi đó

dv1
v22  v12

.
s

+ Nếu s  x thì nên chạy một đoạn
+ Nếu s  x thì nên bơi từ A đến B.

dv1
v22  v12

7

rồi mới bơi tới B.

C

uu
r
V
Bài toán 2.1.7. Vật m1 chuyển động với vận tốc 1 tại A
uu
rvà đồng thời va chạm
với vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m 1 có vận tốc V1 ' ; hãy xác định tỷ số
V1'
uu
r
uu
r
V1 của m để góc lệch a giữa V1 và V1 ' lớn nhất. (a ). Biết m > m .
1

Max

1

2

(Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3)
+ Độnguurlượng
uu
r hệ trước
uu
r va chạm:
PT  P1  m1V1 .

a

+ Động lượng
hệ
r u
u
r sau va
uu
r chạm:
uur
uu
r uu
'
'
'
Ps  P1  P2  m1V1  m2 V2' .

uu
r uur uu
r
P

P

P
+ Hệ kín nên Động
hệ bảo toàn: S T 1
r lượng
uu
r uu

u
u
r
u
u
r
'
+ Gọi a = (V1�V1)  (P1�PS )
'2
'2
2
' 2
Ta có: P2  P1  P1  2P1P1 cos
(1)
Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn:
m1v12 m1v1' 2 m2V2'2


2
2
2
2
'2
'2
P1
P
P
m
 1  2 � P12  P1'2  1 P2'2
m2

 2m1 2m1 2m2
(2)

� m2 �P1 � m2 �P1'
1
1
�
� ' �
�  2cos.
m
P
m
P1
1 �1 �
1�
+ Từ (1) và (2)  �
� m2 �V1 � m2 �V1'
V1'
��
1
1
 0.
� ' �
�  2cos.
m
V
m
V
V
�

1 �1 �
1 �1
Đặt x = 1
� m2 � � m2 �1
��
1
x �
1
�
�  2cos
m
m
x
�
1�
�
1�
Để aMax thì (cosa)min . Theo BĐT cosi: (cosa)min khi:
� m2 � � m2 �1
m1  m2
1
x �
1
�
�
� � x
m1  m2
� m1 � � m1 �x
Vậy khi

V1'
m1  m2

V1
m1  m2

Với cosaMax =

uu
r
uu
r
'
V
V
1
1
thì góc lệch giữa
và
cực đại.

m12  m22
m1
.
8

Hình 7


Bài toán 2.1.8.

14
Dùng hạt α có động năng 5,00 MeV bắn vào hạt nhân 7 N đứng yên gây ra phản

ứng 2 He  7 N � X  1 H . Phản ứng này thu năng lượng 1,21 MeV và không kèm theo
bức xạ gamma. Lấy khối lượng các hạt nhân tính theo đơn vị u bằng số khối của
chúng. Khi hạt nhân X bay ra theo hướng lệch với hướng chuyển động của hạt α một
góc lớn nhất thì động năng của hạt X có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,62 MeV
B. 0,92 MeV
C. 0,82 MeV
D. 0,62 MeV
(Nguồn câu 30 mã đề 209 đề thi THPTQG 2018)
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có K X  K H  K  E
4

14

1

� K X  K H  1, 21  5  3, 79 MeV

� K X  3, 79  K X

Ta có p  p  p  2 p X p � 2 K H  2.17.K x  2.4.5  2 2.17.K x .2.4.5.cos
2
H

2
X

2


� 3,39  K x  17 K x  20  4 85.K x .cos 
� 4 85.cos  

18 K x  16, 21
�

KX
18K x  16, 21

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
18 K x 

KX

 18 K x 

16, 21
�2 18.16, 21
Kx

16, 21
� K x  0,9MeV
Kx

Dấu “=” xảy ra khi:
Vậy động năng của hạt X có giá trị gần 0,92 MeV
2. Dùng bất đẳng thức Cauchy.

Bài toán 2.2.1: Có hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A và B trong
không khí (ε = 1). Hãy xác địnhcường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB
cách AB một đoạn là MH =x. Tìm x để EM đạt cực đại. Biết AB= d
(Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3)
Hướng dẫn giải:
ur
EM
* Ta
ur có urvéc tơur :
+ E M  E 1M  E 2M

M


q
2
2
Với E1M = E2M = k d  x

ur
E
+ Dùng quy tắc tổng hợp véc tơ  M  AB
hướng ra xa AB.

9

q1
A

x

d

d
H

Hình 8


2kq
x
x
.
 2kq.

2
2
3
2
2 2
d  x d2  x2
(d  x )

+ EM = 2E1M cosα =
* Tìm vị trí của M:
- Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

(1)

3

d2 d2 2 3 d4x2
3 3 2
  x �3
� d2  x2 2 �
.d .x
4
2
d2 + x2 = 2 2
(2)
4kq
4kq
d
2
2
+ Từ (1) và (2)  EM  3 3d . Vậy EM(Max) = 3 3d khi x = 2 .
Bài toán 2.2.2 Cho mạch điện như hình vẽ .
Biết UAB = 24V không đổi. Các điện trở có giá trị
R0 = 2, R1 =3, R2 = 2, Rx là biến trở con chạy.
Di chuyễn con chạy của biến trở. Tìm giá trị của
biến trở để công suất toả nhiệt của đoạn mạch CD
R0
UA
đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó.
B
Tìm hiểu:
R1
+ Đoạn mạch CD gồm điện trở R1 // ( R2 nt Rx ).
C
+ Điện trở tương đương của của đoạn mạch CD:
R2

Rx
RCD = (1).
+ Công suất toả nhiệt trên đoạn mạch CD: PCD = I2RCD.
Hình 2
�
�





D

�
�
2
U AB
�
�
� PCD 
R0 2 �
�
�( RCD  R ) �
CD
�
� (2).

�
R0 2 �
( R CD 

) �
�
�
�
R
CD
�
min .
Từ (2) ta thấy, để (PCD)max thì �

Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
= 4R0 khi RCD = R0 .
Vậy RCD = 2. Thay vào (1) va (2) suy ra Rx = 4 và PCDmax = .
Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình vẽ.
L

1
2
H C  .104 F

 ;
; r  50

A

R

M L, r

N

C
B

R là biến trở. Đặt vào hai đầu A, B một
Hình 3
hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng
không đổi 220V-50Hz.
a. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại. Tìm giá trị
cực đại đó.

10


b. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại. Tìm giá trị cực
đại đó.
Tìm hiểu:
+ Tổng trở của toàn mạch:

Z  ( R  r )2  (Z L  ZC )2

+ Công suất tiêu thụ trên toàn mạch:
+ Công suất tiêu thụ trên biến trở R:
(2).

.

2
U AB
P  UIcos 

(Z  ZC )2
Rr L
Rr
(1).

a. Theo (1) để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại thì: .
Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
= 2 khi R+r = .
Từ đó suy ra: R = 50 và Pmax = = 242 W.
Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax khi R = . Và Pmax = .
b. Theo (2), để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại thì: .
Vân dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
= 2khi R =
và Pmax = . Từ đó suy ra R = 50 và Pmax = 17,32 W.
Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax = = P. Công suất tiêu thụ trên biến trở cũng chính là
công suất tiêu thụ trên toàn mạch, khi đó R = .
Bài toán 2.2.4. Có n điện trở khác nhau: R 1; R2; R3;……..;Rn. Nếu mắc chúng
song song mỗi nhánh một điện trở thì điện trở tương đương toàn mạch là R td. Nếu mắc
chúng nối tiếp nhau thì điện trở tương đương toàn mạch là R’ td. Chứng minh rằng: .
Trường hợp nào dấu “ = ” xảy ra.
,r
Tìm hiểu:
+ Khi mắc song song ta có: .
M
A
+ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:
V
B
R C
(1).

1
+ Khi mắc nối tiếp ta có: R’td = R1 + R2 +…..+Rn.
Hình
RM 9
+ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:
N
A
N
R1 + R2 +…..+Rn (2).
Lấy (1) nhân với (2) vế theo vế ta được (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi có n điện trở giống nhau.
Bài toán 2.2.4. Mạch điện (như Hình 10). = 9V;
r = 1  . Biến trở R có điện trở toàn phần R MN = 10  .
Điện trở ampe kế không đáng kể, điện trở vôn kế vô
V
A
B
cùng lớn. Phải để C ở vị trí nào thì công suất tiêu thụ
RC
trong toàn biến trở là lớn nhất? Giá trị lớn nhất ấy là
M
R1
N10
C
bao nhiêu?
Hình
RCN
11

Tìm hiểu:
+ Con chạy C chia biến trở R MN thành hai phần
RCM và RCN ta có: RCM + RCN = 10  (1).
+ Mạch điện được vẽ lại nh hình bên (Hình 10).
=> Điện trở tương đương của toàn biến trở:
R = (2).
+ Điện trở tương đương của toàn mạch:
Rtd = R1 +R.
+ Cường độ dòng điện chạy qua mạch:
I=
+ Công suất tiêu thụ trên toàn biến trở: PMN = I2R = (3).
Từ (3), để công suất tiêu thụ trên toàn biến trở đạt cực đại thì: .
Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
= 4R khi R = R1 + r và Pmax = (4).
Từ (1), (2), (4) suy ra:
- Vị trí con chạy C thoả mãn RCM = 7,24  và RCN = 7,26  .
4. Dùng bất đẳng thức Bernoulli.
Bài toán 2.1.5: Xác định lực hút mạnh nhất của Trái Đất đối với tàu vũ trụ đang
ở độ cao h? áp dụng bằng số: m = 2 tấn, h = 320 km, lấy g0 = 10m.s-2, R = 6400 km.
Tìm hiểu:
+ Khi ở trên Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fd = G = mg0 (1).
+ Khi ở độ cao h so với Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fh = G
+ Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế, đồng thời thay Fd = mg0 suy ra: Fh = .
m
Ta có: (Fh)max nếu . Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli:
h

. Do đó:
Fh max 

mg0
103.10 10 4

 .10  9,09( kN ).
h
320 11
1 2
1 2
R
6400

R

Bài toán 2.1.8.
Đồng hồ quả lắc làm bằng con lắc đơn chạy đúng với chu kỳ dao động T 0 = 2s ở
nhiệt độ t0 = 250C. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là  = 5. 10- 5 K-1 . Khi nhiệt
độ là t = 150C. Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu của đồng hồ sau một ngày đêm.
Tìm hiểu:
+ Chu kì của con lắc đơn được tính: T = . Gọi T 0 là chu kì con lắc đơn khi đồng
hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc. Thì thời gian đồng hồ chạy sai sau một
ngày đêm là: .
+ Chu kì của con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t0 là: T0 = .

12


+ Chu kì của con lắc chạy sai ở nhiệt độ t là: T = .
Ta có: . => T = T0.
Đồng hồ chạy sai ít nhất khi .
áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:

=> Tmin = T0 [].
Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau một ngày đêm là: . Thay số: t =
21,6 s.
Bài toán 4.1. Đồng hồ quả lắc chạy đúng ở trên mặt Đất với chu kì T 0, Một
người thợ mỏ đưa đồng hồ xuống hầm sâu h so với mặt Đất mà không điều chỉnh lại,
coi sự chênh lệch nhiệt độ ở trên mặt Đất và dưới hầm là không đáng kể.
a. Sau một ngày đêm tối thiểu đồng hồ chạy sai bao nhiêu?
b. Nếu đưa đồng hồ trên lên độ cao h so với Mặt Đất mà không điều chỉnh lại
(coi nhịêt độ không đổi) thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy sai tối thiểu bao
nhiêu?
Tìm hiểu:
+ Chu kì của con lắc đơn được tính: T = . Gọi T 0 là chu kì con lắc đơn khi đồng
hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc. Thì thời gian đồng hồ chạy sai sau một
ngày đêm là: .
+ Gia tốc trọng trường trên Mặt Đất là: g0 = G.
+ Gia tốc trọng trường ở độ sâu h so với Mặt Đất là: .
+ Gia tốc trọng trường ở độ cao h so với Mặt Đất là: .
Trong đó m là khối lượng Trái Đất, R là bán kính Trái Đất.
a.
Ta có: .
1
h
( 1 )
R min .
b.
Đồng hồ chạy sai ít nhất khi
Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli:
Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau một ngày đêm là: .
Tương tự câu a) ta có, thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày đêm là: .
5. Sử dụng phương pháp giãn đồ véc tơ.

Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình
C
R M L
N
vẽ (Hình 11). Trong đó R không đổi, độ tự
Hình
11
A
B
cảm của cuộn dây hoặc điện dung của tụ điện
có thể thay đổi. Đặt vào hai đầu mạch một
N
hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng
và tần số không đổi.
a. Khi điện dung của tụ điện biến thiên, tìm C để hiệu điện thế giữa hai bản tụ
A
M
điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
b. Khi độ tự cảm của cuộn dây biến thiên, tìm L để hiệu điện thế hai đầu cuộn
dây cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
13
B


Tìm hiểu:
* Khi điện dung tụ điện biến thiên.
+ Giãn đồ véc tơ như hình vẽ (Hình 12).
Ta có:
áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác
ABN suy ra:

UC 

U AB
sin  .
sin 

Vậy UCmax khi sin hay 
= 900. Từ đó suy ra:
U Cmax 

U AB
R

R 2  Z L2

Hình 12

.

+ Xét cho tam giác vuông BAN suy ra:

ZC 

R 2  Z L2
ZL

.

ZL
C

 ( R 2  Z L2 ) .
Hay

* Khi độ tự cảm L của cuộn dây biến thiên.
sin  

+ Giãn đồ véc tơ như hình vẽ (Hình12).Ta có:
áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ODE suy ra:
Vậy ULmax khi sin hay  = 90 . Từ đó suy ra:
+ Xét cho tam giác vuông ODE suy ra:
0

U max 

R
R 2  Z C2

UL 
U AB
R

 const

U AB
sin  .
sin 
R 2  Z C2

.

R 2  Z C2
R 2  ZC2
L

ZL 
 ZC .
ZC
. Hay

Chú ý: Khi mạch ngoài có điện trở R0 và cuộn dây
có điện trở trong r thì thay R trong các biểu thức
R
A
R

R

r
0
trên bằng:
ví dụ áp dụng: Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 13).
U AB  120 2 sin  100 t  V

M L, r

N C

, R  80

V

2
L H
r  20;

Hảy xác định điện dung của tụ điện

để số chỉ vôn kế là cực đại. Tìm số chỉ cực đại đó.
Giải:

14

Hình 13

B


Ta có: Để U C  U Cmax thì

C

U Cmax 

ZL
103

( F ).
  ( R  r )2  Z L2  25

U AB

( R  r ) 2  Z L2  120 5(V )
Rr
.

Khi đó U
Bài toán 2.1.7. Ôtô chuyễn động thẳng đều với vận tốc v 1 = 54km/h. Một hành
khách đang ở A cách ôtô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ôtô.
Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ nhất là bao hiêu để đón được
ôtô
Tìm hiểu:
+ Giả sử gọi C là vị trí người đón được ôtô (Hình 14).
+ Ta có: AC  v 2 t ; BC  v1t với t là thời gian người đi để đón được xe.
A
+ áp dụng định lý hàm số sin trong tam
giác ABC:

hay

sin  

v2 

sin 
v1
sin  .

d
 const
a

d

+ Vì
0
nên v2min khi sin   1 . Hay   90
v2min  v1 sin  

d
v1  10,8km
a

B

Vậy :
Và khi đó AC  AB tại A do vậy người đó chạy

C

Hình 14

theo hướng vuông góc với AB.
II. Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy trên lớp ở các khối 10, 11, 12 và ôn thi học sinh
giỏi nhiều năm nay về bộ môn Vật lý tại Trường THPT Phạm Công Bình tôi nhận thấy
rằng: Đối với bài toán “Tìm cực trị trong Vật lý” có thể có nhiều cách tiếp cận khác
nhau để giải quyết vấn đề. Tuy nhiên “Ứng dụng toán học” để giải bài tập“Tìm cực
trị trong môn Vật lý THPT ” theo cách đã trình bày ở trên, bước đầu đã đem lại hiệu
quả đáng kể.
Thứ nhất: Khắc phục được những khó khăn đối với bài toán tìm cực trị của một
đại lượng Vật lý, tức là tìm ra được một số biện pháp thích hợp để giải bài toán sao

cho học sinh dễ tiếp thu nhất, đồng thời qua đó học sinh biết cách vận dụng cho việc
tự học ở nhà của bản thân.

15


Thứ hai: Gây được hứng thú cho học sinh khi tìm hiểu về bộ môn Vật lý nói
chung và bài toán tìm cực trị Vật lý nói riêng. Phát huy được năng lực tự học, tính tích
cực, tự giác của học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện.
Thứ ba: Học sinh có điều kiện tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Vật lý, tạo tiền đề tốt
cho việc nâng cao chất lượng giáo dục bộ môn. Hơn nữa, qua đó cũng giúp cho học
sinh có được những kĩ năng, thao tác linh hoạt khi vận dụng các công cụ toán học vào
quá trình tìm hiểu các tri thức Vật lý.
PHẦN II KẾT LUẬN
Làm thế nào để việc học tập và tìm hiểu về bộ môn Vật lý của người học đạt
được kết quả cao nhất, đồng thời làm cho người học có hứng thú và đam mê tìm hiểu
Vật lý luôn là điều trăn trở không những của riêng bản thân tôi mà còn là suy nghĩ của
rất nhiều giáo viên đang trực tiếp giảng dạy Vật lý ở mọi cấp học. Để đạt được điều
đó, người giáo viên trước hết phải nhận thức rõ vai trò là người “ thắp sáng ngọn lửa ”
chủ động, sáng tạo lĩnh hội tri thức trong từng học sinh.
Trong nội dung đề tài “Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong
Vật lý THPT ”, tôi mong muốn tổng hợp, sắp xếp, nêu ra một vài cách tiếp cận vấn đề
dựa trên cơ sở chất liệu lấy từ những ứng dụng của toán học thường dùng, kết hợp với
vốn kinh nghiệm đúc rút được trong quá trình giảng dạy Vật lý ở Trường THPT Phạm
Công Bình. Đồng thời trong cách trình bày nội dung của đề tài, khi đi vào tìm hiểu
từng bài toán cụ thể, tôi cũng đã cố gắng đưa ra phương án tối ưu, giúp học sinh dễ
hiểu và dễ vận dụng. Thiết nghĩ, những nội dung nêu trong đề tài chưa thể nói là đã
làm rõ mọi khía cạnh của bài toán. Tuy vậy, nó cũng đã giúp ích cho bản thân tôi rất
nhiều trong công tác giảng dạy, đặc biệt là khi đứng trước bài toán tìm cực trị của một
đại lượng Vật lý. Tôi tin rằng, kinh nghiệm nhỏ này cũng rất có ích cho những học

sinh có hứng thú tìm hiểu về bộ môn Vật lý. Điều này đã được kiểm nghiệm thực tế

16


trong quá trình giảng dạy. Bên cạnh đó, tôi cũng mong muốn chia sẽ với đồng nghiệp
kinh nghiệm của bản thân, hy vọng sẽ hữu ích.
Mặc dù vậy, vấn đề áp dụng những phương án như đã trình bày trong quá trình
giảng dạy cần chú ý đến đối tượng và năng lực của học sinh. Thực tế, việc giải bài
toán giúp giáo viên phát huy được năng lực sáng tạo, ý thức tự giác của người học,
nhưng nếu thiếu chọn lọc đối tượng khi áp dụng sẽ không đem lại hiệu quả như mong
muốn. Bên cạnh đó, với loại bài toán này, ngoài những cách giải quyết vấn đề đã nêu,
người đọc còn có thể vận dụng phương pháp “Đạo hàm” để giải tuỳ thuộc vào từng
bài toán cụ thể.
Thực tế, trong quá trình giảng dạy “Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực
trị trong môn Vật lý THPT”, cho dù đã đạt những hiệu quả đáng kể nhưng cũng
không ít những bài học kinh nghiệm được rút ra đối với bản thân. Xin được nêu lên
một vài bài học kinh nghiệm để mọi người cùng chia sẽ.
Thứ nhất: Bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý rất phù hợp để giáo viên
thực hiện mục tiêu dạy học “ lấy học sinh làm trung tâm “ phát huy tính tích cực, tự
giác, sáng tạo của người học. Rèn luyện ý thức tự học, tự bồi dưỡng kiến thức.
Thứ hai: Đây là một trong những bài toán thích hợp nhằm góp phần nâng cao tư
duy Vật lý cho người học, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bộ môn.
Thứ ba: Vận dụng linh hoạt các ứng dụng toán học trong việc giải bài toán tìm
cực trị của một đại lượng Vật lý sẽ gây hứng thú cho người học khi tìm hiểu về bộ
môn Vật lý, tránh được sự nhàm chán, khô khan.
Thứ tư: Cần xác định đúng đối tượng học sinh, mức độ hiểu biết của học sinh về
những kiến thức Vật lý cũng như kiến thức toán học liên quan trước khi nêu ra bài
toán Vật lý nói chung và bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý nói riêng. Như
thế mới đem lại hiệu quả giảng dạy như mong muốn….

Trên đây là một số kết quả bước đầu trong quá trình tìm hiểu lý luận và vận dụng
vào thực tiễn giảng dạy của tôi tại Trường THPT Phạm Công Bình. Với mong muốn
đây sẽ là tài liệu mang tính tham khảo nhằm đưa ra trao đổi, rút kinh nghiệm, tạo điều
17


kiện cho việc nâng cao chất lượng dạy và học. Tuy nhiên, dù đã dành khá nhiều thời
gian đầu tư cho đề tài, bản thân cũng rất tâm huyết với đề tài này, nhưng vốn kiến
thức của bản thân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, chưa có kỉ năng viết
sáng kiến kinh nghiệm, nên chắc chắn còn nhiều khía cạnh của đề tài chưa được khai
thác. Nội dung của đề tài đã được trình bày ở trên chắc chắn cũng còn nhiều thiếu sót
mà bản thân chưa thấy được. Rất mong sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến chân thành
từ đồng nghiệp, Tổ CM và BGH nhà trường để đề tài được hoàn thiện, sớm trở thành
một tài liệu bổ ích cho các em học sinh. Góp một phần nhỏ vào việc cải tiến và nâng
cao chất lượng giảng dạy bộ môn Vật lý ở Trường THPT Phạm Công Bình. Tôi xin
chân thành cảm ơn!
Thứ năm: Danh sách những tổ chức đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu
Phạm vi/ Lĩnh vực áp
TT Tên tổ chức
Địa chi
dụng sáng kiến
Lớp 10A1,
Trường THPT Phạm Công Bình
1
Dạy ôn học sinh giỏi
11A1
tỉnh Vĩnh Phúc
Trường THPT Phạm Công Bình
Dạy ôn học sinh giỏi,
2

Lớp 12A1
tỉnh Vĩnh Phúc
dạy ôn thi THPT QG
Yên Lạc, ngày 06 tháng 3 năm 2020
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Yên Lạc, ngày 09 tháng 3 năm 2020.
KT. HIỆU TRƯỞNG
PHÓ HIỆU TRƯỞNG

Trần Mạnh Cường

Nguyễn Hồng Chi

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Bộ sách “ Giải toán vật lý “ 10; 11; 12 – TG: Bùi Quang Hân.

2.

Đề thi học sinh giỏi tỉnh hằng năm của Sở GD&ĐT Nghệ an.

3.

Đề thi THPT quốc gia năm 2018

4.

SGK Vật lý 10; 11; 12 cơ bản và nâng cao – NXBGD.

18


5.

Bài tập Vật lý 10; 11; 12 cơ bản và nâng cao – NXBGD.

6.

Vật lý đại cương – TG: Vũ Thanh Khiết.

7.

Tuyển tập các bài tập Vật lý nâng cao TG: Nguyển Danh Bơ – NXB Nghệ An.

8.

Tạp chí toán học và tuổi trẻ.

9.

Bài tập cơ bản nâng cao vật lý 10 – TG: Vũ Thanh Khiết.

10.
11.

Webside: dethi.violet.com,....
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3

19