Cổng logic và đại số logic . Chương I:

Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
Chương I:
CÁC BIỂU DIỄN CƠ SỞ TRONG MÁY TÍNH
I. Các hệ thống cơ số:
Như chúng ta đã biết, trong thực tế có rất nhiều hệ cơ số ví dụ như hệ cơ số nhị
phân, hệ bát phân, thập phân, thập lục phân,… Trong đó hệ mà con người thường
dùng nhất là hệ thập phân. Tuy nhiên, máy tính không thể làm việc với hệ thống cơ
số mà con người dùng. Nó chỉ có thể dùng hệ nhị phân mà thôi.
Cơ số hệ nhị phân là cơ số mà chỉ có hai chữ số cơ bản là 0 và 1. vì máy tính chỉ
làm việc theo cơ chế mạch điện tử và nó hoạt động ở dạng hai trạng thái bật và
tắt ( tương ứng 0 và 1).
Để biết rõ về các hệ thống cơ số, ta sẽ khảo sát một số hệ cơ số cơ bản
1) Hệ thập phân:
Được dùng bởi 10 chữ số cơ bản là: 0, 1, 2,… 9 và có thể biểu diễn dưới
dạng đa thức.
Ví dụ: 1234.5 là viết tắt của dạng đa thức sau:
1x10
3
+ 2x10
2
+ 3x10
1
+ 4x10
0
+ 5x10
-1
= 1x1000 + 2x100 + 3x10 + 4x1 + 0.2
Trong đó:
Ký số 1 có thừa trọng là 3, ký số 2 có thừa trọng là 2, ký số 3 có thừa
trọng là 1, ký số 4 có thừa trọng là 0 và ký số 5 có thừa trọng là –1

Tổng quát:
Với một số N bất kỳ, N=d
n-1
d
n-2
...d
1
d
0
.d
-1
d
-2
…d
-m
có thể được biểu diễn
dưới dạng đa thức:
N=d
n-1
b
n-1
+ d
n-2
b
n-2
+ d
1
b
1
+ d

0
b
0
+…+ d
-m
b
-m
với d
i
là các số thuộc
khoảng 0<= d
i
<b, n là các ký số bên trái dấu chấm, m là các ký số phải
của dấu chấm.
2) Hệ bát phân:
Được dùng bởi 8 chữ số cơ bản là: 0, 1, 2,…7
( hệ này rất ít dùng cho máy tính)
3) Hệ thập lục phân:
Được dùng bởi 16 chữ số cơ bản là: 0, 1, 2,…9, A ,B, C, D, E, F
Đây là hệ thường dùng trong máy tính, nhất là cho việc đánh địa chỉ các ô
nhớ trong máy tính.
Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
4) Hệ nhị phân:
Được dùng bởi 16 chữ số cơ bản là: 0, 1. đại diện cho hai trạng thái của hoạt
động của các mạch trong máy tính như bật (1) hay tắt (0). hệ này thường đươc
dùng cho máy tính vì sự tương thích về các trạng thái bit tương ứng với trạng thí
cơ số của hệ. Tuy nhiên, ngoài hệ này máy tính vẫn dùng các hệ cơ số khác như
hệ bát phân và hệ thập lục phân
5) Bảng tham chiếu giá trị giữa các hệ cơ số:

Sau đây là bảng tham chiếu các giá trị tương ứng của một số hệ thường
dùng trong máy tính:
Hệ 10
(thập phân)
Hệ 2
(nhị phân)
Hệ 16
(thập lục phân)
0
0
0
1 01 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
II. Các phép chuyển đổi cơ số:
Do nhu cầu của việc sử dụng nhiều hệ thống cơ số, khi sử dụng hệ thống cơ số
con người thường dùng hệ thập phân, còn máy tính thì dùng hệ nhị phân. Như vậy,
để có thể hiểu giá trị của một số ở hệ này và ở hệ khác, cũng như có thể làm việc

dễ dàng cho dù ở hệ cơ số nào chăng nữa thì phải có phương pháp để xác định giá
trị các con số tức là phương pháp chuyển đổi qua lại giữa các cơ số.
Chuyển đổi cơ số tức là chuyển đổi một con số từ hệ này sang hệ khác. Sau
đây, chúng ta sẽ tiếp cận một số qui tắc chuyển đổi.
Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
1) Qui tắc 1: Dùng chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ có cơ số b (
bất kỳ), thực hiện như sau :
Để chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ b (bất kỳ) ta tách số thành 2
phần: Phần nguyên và phần thập phân. Sau đó, thực hiện việc chuyển đổi từng
phần một.
 Chuyển phần nguyên N:
Phần nguyên N được viết như sau:
N = d
n-1
b
n-1
+ d
n-2
b
n-2
+…+ d
1
b
1
+ d
0
b
0
= (d

n-1
b
n-2
+ d
n-2
b
n-3
+…+d
1
)b
1
+ d
0
Chia N cho b ( b là hệ cần chuyển) được phần dư là d
0
và thương là:
d
n-1
b
n-2
+ d
n-2
b
n-3
+…+d
1.
Đặt N’= d
n-1
b
n-2

+ d
n-2
b
n-3
+…+d
1
. tiếp tục chia N’ cho b và lặp đi lặp
lại bước trên cho đến khi phần thương bằng không (= 0). Kết quả được
tính theo công thức:
S= d
n-1
d
n-2
...d
1
d
0
 Chuyển phần thập phân P:
P được viết như sau:
P=.d
-1
d
-2
d
-3
…d
-m
và biểu diễn dưới dạng đa thức:
P=d
-1

b
-1
+ d
-2
b
-2
+ d
-3
b
-3
+…+ d
-m
b
-m
nhân 2 vế cho b được:
bP=d
-1
+ d
-2
b
-1
+ d
-3
b
-2
+…+ d
-m
b
-m+1
Như vậy, kết quả sau khi nhân cho b ta được phần nguyên d

-1
và phần
thập phân là d
-2
b
-1
+ d
-3
b
-2
+…+ d
-m
b
-m+1
Đặt P’= d
-2
b
-1
+ d
-3
b
-2
+…+ d
-m
b
-m+1
nhân 2 vế cho b ta được:
bP’= d
-2
+ d

-3
b
-1
+…+ d
-m
b
-m+1+1 (=m+2)
rõ ràng ta có được phần
nguyên là d
-2
và phần thập phân d
-3
b
-1
+…+ d
-m
b
-m+2
ta lặp lại bước trên
cho đến khi không còn phần thập phân.
Đối với việc chuyển đổi một số nguyên (không có phần thập phân) ta làm
như sau sẽ đơn giản hơn:
Lấy số thập phân chia cho cơ số b cho đến khi phần thương của phép chia
bằng 0, số đổi được chính là các phần dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.
Ví dụ 1: Chuyển số 23
10
sang hệ nhị phân
23 : 2 = 11 ( dư 1) (d
0
)

11 : 2 = 5 ( dư 1) (d
1
)
5 : 2 = 2 ( dư 1) (d
2
)
2 : 2 = 1 ( dư 0) (d
3
)
1 : 2 = 0 ( dư 1) (d
4
)
Kết quả S = d
4
d
3
d
2
d
1
d
0
= 10111
2
Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
Ví dụ 2: Chuyển số 3241
10
sang hệ thập lục
2341 : 16 = 146 (dư 5) (d

0
)
146 : 16 = 9 (dư 2) (d
1
)
9 : 16 = 0 (dư 9) (d
2
)
vậy S = d
2
d
1
d
0
= 925
16
Ví dụ 3: Chuyển số 0.6875
10
sang hệ nhị phân
0.6875 x 2 = 1.375 được 1
0.375 x 2 = 0.750 được 0
0.750 x 2 = 1.50 được 1
0.5 x 2 = 1.0 được 1
Vậy 0.6875
10
= 0.1011
2
Chú ý: Với việc chuyển đổi cơ số giữa 2 hệ ta cần lưu ý
 Đối với phần nguyên ta sắp các dư số theo thứ tự “ngược” để được kết quả
 Đối với phần thập phân ta sắp các kết quả nhân theo thứ tự ”xuôi”

2) Qui tắc 2: dùng để
chuyển đổi một số từ hệ có cơ số b về hệ thập phân
, ta sử
dụng công thức sau
N = d
n-1
d
n-2
...d
1
d
0
= d
n-1
b
n-1
+ d
n-2
b
n-2
+ d
1
b
1
+ d
0
b
0

Ví dụ 1: Chuyển số 10110.1 từ hệ nhị phân sang hệ thập phân

X = 10110.1 = 1*2
4
+ 0*2
3
+ 1*2
2
+ 1*2
1
+ 0*2
0
+ 1*2
-1
= 16 + 4 + 2 +0.5 = 22.5
10
Ví dụ 2: Chuyển số 110 từ hệ nhị phân sang hệ thập phân
X = 110 = 1*2
2
+ 1*2
1
+ 0*2
0
= 6
10
3) Chuyển đổi số giữa các hệ Nhị phân - Thập phân - Thập lục phân:
Do mối liên hệ mật thiết giữa các hệ này trong việc sử dụng chúng trong việc
lưu trữ và tính toán của con người và máy tính nên hình thành bộ 3 hệ trên.
Dĩ nhiên chúng ta có thể bộ 3 hệ này thông qua hệ trung gian thập phân theo 2
qui tắc đã nêu ở trên. Tuy nhiên, ta dễ dàng có nhận thấy rằng: Đối với các hệ cơ
số là luỹ thừa của 2 như 8 (2
3

) và 16 (2
4
) thì không chỉ dùng 2 phương pháp
chuyển đổi trên mà còn có phương pháp ngắn và đơn giản hơn nhiều.
 Qui tắc 3:
dùng chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân
, thực hiện :
Nhóm lần lượt 4 bit từ phải sang trái, sau đó thay thế các nhóm 4 bit bằng giá trị
tương ứng với hệ thập lục phân (tra theo bảng trên)
Ví dụ : X = 11’1011
2
= 3B
16
1) Qui tắc 4:
dùng chuyển đổi từ hệ thập lục phân sang hệ nhị phân
, thực hiện như
sau : ứng với mỗi chữ số sẽ được biểu diễn dưới dạng 4 bit
Ví dụ : X = 3B
16
= 0011’1011 = 111011
2
Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
2) Qui tắc 5:
dùng chuyển đổi từ hệ nhị phân sang bát phân,
thực hiện như sau:
Nhóm lần lượt 3 bit từ phải sang trái, sau đó thay thế các nhóm 3 bit bằng giá trị
tương ứng với hệ bát phân (tra theo bảng trên)
Ví dụ: X = 111011
2

= 111.011 = 73
8
3) Qui tắc 6:
dùng chuyển đổi bát phân sang nhị phân,
thực hiện như sau: ứng với
mỗi chữ số sẽ được biểu diễn dưới dạng 3 bit
Ví dụ: X = 34
8
= 011100
2
4) Tổng quát:
Dùng đa thức để chuyển đổi
Xét số nhị phân sau:
N = d
8
d
7
d
6
d
5
d
4
d
3
d
2
d
1
.d

-1
d
-2
d
-3
Ta đổi sang dạng đa thức:
N = d
8
2
8
+ d
7
2
7
+ d
6
2
6
+…+ d
0
2
0
+ d
-1
2
-1
+ d
-2
2
-2

+ d
-3
2
-3
Ta gom biểu thức trên lại:
N = (d
8
2
2
+ d
7
2
1
+ d
6
2
0
)2
6
+ (d
5
2
2
+ d
4
2
1
+ d
3
2

0
)2
3
+…+ (d
-1
2
3
+ d
-2
2
1
+ d
-3
2
0
)2
-3
= (d
8
2
2
+ d
7
2
1
+ d
6
2
0
) 8

2
+(d
5
2
2
+ d
4
2
1
+ d
3
2
0
) 8
1
+…+ (d
-1
2
3
+ d
-2
2
1
+ d
-3
2
0
)
8
-1

Nhận xét:
N là số có dạng hệ bát phân, bên trong dấu ngoặc () là số nhị phân có giá trị
thập phân từ 0 đến 7. Như vậy có thể tính dễ dàng kết quả chuyển đổi từ hệ nhị
phân sang bát phân và ngược lại. Tương tự như vậy đối với các hệ khác.
Đặt A = d
8
2
2
+ d
7
2
1
+ d
6
2
0
B = d
5
2
2
+ d
4
2
1
+ d
3
2
0
C = d
2

2
2
+ d
1
2
1
+ d
0
2
0
X = d
-1
2
3
+ d
-2
2
1
+ d
-2
2
0
Từ kết quả trên ta được:
N = A x 8
2
+ B x 8
1
+ … + Z x 8
-1
= ABC.Z

8
III. Các phép tính trên số nhị phân:
Cũng tương tự như hệ thập phân, hệ nhị phân cũng có các phép tính trên nó.
Nhìn chung, hệ nào cũng đều có các phép tính, để sử dụng tốt các hệ điều đầu tiên
là phải biết các qui định, các phép toán và các qui tắc trên hệ đó. Dưới đây là các
phép tính trên hệ nhị phân
1. Phép cộng:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (nhớ 1)
Trường Đại học Marketing Giáo trình Cấu trúc máy tính
Trang I.15
Ví dụ:
1011.011
+1100.101
11000.000
2. Phép Trừ:
0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 (mượn 1)
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
Ví dụ:
1101.11
-111.01
0110.10
3. Phép nhân:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0

1 x 1 = 1
Ví dụ:
110.01
x 101
11001
00000
11001
1111101
Nhận xét:
Phép nhân thật sự là một dãy các phép cộng liên tiếp
4. Phép chia:
0 / 0 = (không định nghĩa)
0 / 1 = 0
1 / 0 = (không định nghĩa)
1 / 1 = 1