Tham khảo Toán 11 HK I_2

KIỂM TRA HỌC KỲ I
Họ và tên :……………………..... Môn : TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Lớp :…………………………….. Thời gian làm bài : 90 phút
………………………………
ĐỀ SỐ 1
Bài 1(2,5 điểm)
Giải các phương trình :
1/ 2sin( 2x + 15
0
).cos( 2x + 15
0
) = 1 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0
3/
2 2
sin 2sin 2 5cos
0
2sin 2
x x x
x
− −
=
+
Bài 2 (0,75điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

3sin(3 ) 4cos(3 )
6 6
y x x
π π
= + + +
Bài 3 ( 1, 5 điểm )

1/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
31
trong khai triển biểu thức ( 3x – x
3
)
15
.
2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có
bốn chữ số khác nhau .
Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu
chỉ khác nhau về màu . Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu .
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ .
2/ Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ .
Bài 5 ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4)
2
+ (y – 1)
2
= 4.
Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là
ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
1/ Tìm toạ độ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ và (C ’ ) .
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình
hành .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn
thẳng AB sao cho AP = 2PB .

1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD).
2/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình
chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? .
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng ba đường thẳng NK ,
PM và SB đồng qui tại một điểm.
……………………………………..
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN 11 NÂNG CAO
H ỌC KỲ I
--------------------------------------
ĐỀ SỐ 1
Bài câu Hướng dẫn Điểm
1
1
Bài 1(2,5 điểm)
Giải các phương trình :
1/ 2sin( 2x + 15
0
).cos( 2x + 15
0
) = 1
<=> sin(4x +30
0
) =1 <=>
Zk , 36090304
000
∈+=+
kx

Zk , 90.15

00
∈+=⇔
kx

0,5
2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0
<=> 2cos
2
x - 1 - 3cosx + 2 = 0
<=> 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0
<=>
Zk ,
2
3
2
2
1
cos
1cos
∈





+±=
=
⇔






=
=
π
π
π
kx
kx
x
x
1
3/
2 2
sin 2sin 2 5cos
0
2sin 2
x x x
x
− −
=
+
(1)
ĐK :
Zk ,
2
4

5
2
4
2
2
sin
∈







+≠
+−≠
⇔−≠
π
π
π
π
kx
kx
x
Với điều kiện đó thì phương trình (1) tương đương với
phương trình sau:
sin
2
x - 4sinx.cosx - 5cos
2

x = 0
Ta có cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1)
Do đó , cosx ≠ 0 , chia hai vế của phương trình (1) ta
được phương trình tan
2
x - 4tanx - 5 = 0
Giải phương trình này ta có :
Zk,
4
1tan
∈+−=⇔−=
π
π
kxx
hoặc tanx = 5 <=>
Zk , 5arctan
∈+=
π
kx
Kết hợp với điều kiện , ta được nghiệm của phương
trình đã cho là :
1
Zk , 5arctan x, )12(
4
∈+=++−=
ππ
π
kkx
2
Bài 2 (0,75điểm )

1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

3sin(3 ) 4cos(3 )
6 6
y x x
π π
= + + +






++=
α
π
)
6
3(sin5 xy
với cosα =
5
3
và sinα =
5
4
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng - 5
khi
1)
6
3(sin

−=






++
α
π
x
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi
1)
6
3(sin
=






++
α
π
x
0,75
3 1
Bài 3 ( 1, 5 điểm )
1/ Tìm hệ số chứa x

31
trong khai triển biểu thức
( 3x – x
3
)
15
.
Số hạng tổng quát của khai trển trên là :
kkkkkkk
xCxxCT
21515
15
315
15
.3.)1.().()3.(
+−−
−=−=
với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈Z
Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x
31
nên
15 + 2k = 31 <=> k = 8 ( thoả mãn)
Hệ số của số hạng cần tìm là :
788
15
3.)1.(
−
C
=
140733453.

78
15
=
C
0,75
2
2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được
bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau .
Số cần tìm có dạng
abcd
,trong đó a , b , c , d thuộc tập
hợp
{
}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
và đôi một khác nhau .
Vì số cần lập là số chẵn nên d
{ }
6 , 4 , 2
∈
Do đó chữ số d có 3 cách chọn .
Có
3
6
A
cách chọn ba chữ số a ,b ,c .
Vậy có
3603.A
3
6
=

số thoả yêu câu bài toán .
0,75
4 1
Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8
quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu . Lấy
ngẫu nhiên 5 quả cầu .
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ .
0,5
Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là
2520.
2
10
3
8
=
CC
Không gia mẫu ,(của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu
từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là :
5
18
C
=8568
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ .
-Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520
- Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là
700.
1
10
4
8

=
CC
-Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là :
56
5
8
=
C
Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là :
38,0
8568
567002520
)(
≈
++
=
AP
1
5 1
Bài 5 ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) ,
B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn
(C ) : (x + 4)
2
+ (y – 1)
2
= 4 .Gọi B’ , (C’) lần lượt là
ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là
ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ

AB
uuur
.
1/ Tìm toạ đồ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ ,
(C ’ ) .
Ta có : B’ = (-1 ; 4 )
d’: -3x + 5y + 8 = 0
Đường tròn (C ) có tâm I(-4 ; 1) và bán kính R = 2
Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; - 1) và R’ = 2
(C’) : (x – 4)
2
+ (y + 1)
2
= 4
0,75
2
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua
phép vị tâm O tỉ số k = -2
Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) ,khi đó
OIOI 2''
−=

mà
)1;4(
−=
OI
Suy ra
)2;8(''
−=
OI

=>
)2;8(''
−=
I
Và R’’ = 2R = 4
Vậy (C’’) : (x – 8)
2
+ (y + 2)
2
= 16
0,75
6 1
Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là một hình bình hành .Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng
AB sao cho AP = 2PB .
0,75
K
Q
I
P
N
M
D
A
B
C
S
1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng
(ABCD).

MN là đường trung bình của tam giác SAD .
Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD
nên MN // (ABCD).
2
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)là
đường thẳng đi qua S và song song với AD .
0,25
3
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt
phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết
diện là hình gì ? .
Ba mặt phẳng (MNP) ,(SAD) và (ABCD) cắt nhau theo
ba giao tuyến MN , PQ , AD , đồng thời MN //AD nên
ba đường thẳng PQ , MN . AD đôi một song song .
Trong mặt phẳng (ABCD) , qua điểm P kẻ đường thẳng
song song với AD ,cắt CD tại Q . Điểm Q là giao điểm
cần tìm .
0,75
4
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng
ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm.
Trong mặt phẳng (SAB) , hai đường thẳng SB và PM
không song song nên chúng cắt nhau tại I .
Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và
(SBD) .
Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN
nên điểm I phải thuộc đường thẳng NK .
Vậy ba đường thẳng SB , MP , NK đồng qui tại I .
0,5