D08 tiếp tuyến thoả đk khác muc do 2

Câu 47. [1D5-2.8-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm trên đường
thẳng x  3 điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới đồ thị  C  của
hàm số y  x3  3x 2  2 đúng ba tiếp tuyến phân biệt.
A. M  3;  5 .

B. M  3;  6  .

C. M  3; 2  .

D. M  3;1 .

Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D 

. Ta có: y  3x 2  6 x .

Gọi M  3; m  là điểm cần tìm. Do hàm số y  x3  3x 2  2 có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồ
thị hàm số  C  nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  sẽ luôn tồn tại hệ số góc k 

.

Phương trình tiếp tuyến d của  C  đi qua M  3; m  với hệ số góc k là y  k  x  3  m .
Giả sử tiếp tuyến d tiếp xúc với  C  tại điểm có hoành độ là x0 . Khi đó x0 là nghiệm của hệ
3
2

 x0  3x0  2  k  x0  3  m
phương trình  2
.
3

x

6
x

k

0
 0
Ta tìm m để cho hệ phương trình trên có đúng 3 nghiệm. Điều này tương đương với phương

trình x03  3x02  2   3x02  6 x0   x0  3  m  2 x03  12 x02  18x0  m  2  0 có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
Đặt f  x   2 x3  12 x 2  18x  m  2 . Ta có: f   x   6 x 2  24 x  18 .

x  1  f  x  6  m
Xét f '  x   0  6 x 2  24 x  18  0  
.
 x  3  f  x   2  m
Đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi  6  m  2  m   0
 6  m  2 .

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  5 . Vậy A  3;  5 .
Câu 43: [1D5-2.8-2] (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Phương trình tiếp tuyến
với đồ thị  C  : y  2 x3  6 x 2  3 có hệ số góc nhỏ nhất là.
A. 6 x  y  5  0 .

C. 6 x  y  3  0 .

B. 6 x  y  5  0 .

D. 6 x  y  7  0 .

Lời giải
Chọn A
TXĐ: D  .
y  6 x 2  12 x .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là k  y  x0  .
 k  6 x02  12 x0  6  x02  2 x0   6  x0  1  6  6 .
2

Hệ số góc nhỏ nhất bằng 6 khi x0  1  y0  1 .
Phương trình tiếp tuyến là y  6  x  1  1  6 x  y  5  0 .
Câu 22: [1D5-2.8-2] (SGD
BINH
THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG)
Cho
hàm
số
3
2
y  x  6 x  x  1 có đồ thị  C  . Trong tất cả các tiếp tuyến của  C  , tiếp tyến có hệ số góc
nhỏ nhất có phương trình là
A. y  16 x  19 .
B. y  11x  9 .
C. y  8x  5 .
D. y  37 x  87 .
Lời giải

Chọn B
Ta có: y  3x 2  12 x  1 .
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 là:
k  3x0 2  12 x0  1  3  x0  2   11  11 .
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hệ số góc là 11 tại x0  2 .
Ta có: y  2   13 .
Phương trình tiếp tuyến của của đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0  2 là:

y  11 x  2   13  11x  9 .
Câu 2196.
[1D5-2.8-2] Tìm trên (C) : y  2 x3  3x 2  1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
A. M (1; 4)
B. M (2; 27)
C. M (1;0)
D. M (2;5)
Lời giải
Chọn A
Giả sử M ( x0 ; y0 )  (C )  y0  2 x03  3x02  1 . Ta có: y  3x 2  6 x .
Phương trình tiếp tuyến  tại M: y  (6 x02  6 x0 )( x  x0 )  2 x03  3x02  1 .
 đi qua P(0;8)  8  4 x03  3x02  1  x0  1 . Vậy M (1; 4) .
Câu 2204.

[1D5-2.8-2] Cho hàm số y  x3  3x  1 có đồ thị là  C  . Giả sử  d  là tiếp tuyến của  C 

tại điểm có hoành độ x  2 , đồng thời  d  cắt đồ thị  C  tại N, tìm tọa độ N .
A. N 1; 1

B. N  2;3

C. N  4; 51

D. N  3;19 

Lời giải
Chọn C
Tiếp tuyến  d  tại điểm M của đồ thị  C  có hoành độ x0  2  y0  3
Ta có y '( x)  3x2  3  y '( x0 )  y '(2)  9

Phương trình tiếp tuyến  d  tại điểm M của đồ thị  C  là
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  9( x  2)  3  y  9 x  15

Xét phương trình x3  3x  1  9 x  15  x3  12 x  16  0   x  2   x 2  2 x  8  0
 x  4 hoặc x  2 ( không thỏa )
Vậy N  4; 51 là điểm cần tìm