đại số 9- bài 2- chương 1

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

BÀI 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A2  A

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai
Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số thì

A được gọi là căn thức bậc hai của A và A

gọi là biểu thức lấy căn hay là biểu thức dưới dấu căn

A có nghĩa ( hay xác định ) khi A ≥ 0 �

1
có nghĩa khi A > 0
A

�A, nêuA �0
2
2. Hằng đẳng thức : A  A  �
� A, nêuA<0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa
Phương pháp giải :
A
có nghĩa khi B # 0
B

�A
� �0
A
có nghĩa khi �B
B
�
�B � 0

A có nghĩa khi A �0
A
có nghĩa khi B > 0
B

A
co nghia khi B > 0 và A �0
B

A
co nghia khi B # 0 và A �0
B
a 
>
(a 0)
Chú ý: f ( x) �>�

-a

f(x)

a

�f ( x) �a
f ( x) �a (a  0) � �
�f ( x) �a

�2
x �a
�
2
�x �a � �
x �a
Với a là số dương, ta có: �
�
�2
2
�x �a � a �x �a
Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa?
a.

5x

b. 4  3x

c.

3 x  2

d.

3x

e.

2 x  10

f. 3 x  4

g.

3x  15

h.

5x 

m)  5x

l)  3x  7

r) 3x  7

0) 5x

p) 4 x

t) 2 3x  9

n)  2x  3
q)

x
3

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

1
2

Trang 1


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

r) 5x  8

v)

2
1
x
3
5

2
2x  9

w)

HD:

5 x
a) 5x có nghĩa khi �

0

3 x
b) 4  3x có nghĩa khi 4 �

x
0


3 x 2
c) 3 x  2 có nghĩa khi �

0
4
3

x

0

2
3

x

d)

3x có nghĩa ۣ x

e)

x 10 0
2 x  10 có nghĩa �2�۳

x 5

f)

� 3
x 4 0
3 x  4 có nghĩa ��

x

4
3

g)

x 15
 0
3x  15 có nghĩa �3�۳

x

5

h)

5x 

1
1
x
0
có nghĩa �5�۳
2
2

x

1
10

n) Biểu thức

0


2x 3 0
2 x  3 có nghĩa khi �

5x
m) Biểu thức đã cho có nghĩa khi �


0

x

x 0


3x 7
l) Biểu thức đã cho có nghĩa khi �

0

��
7 0
r) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x 

x
x

x
�۳
0 x 0
3
0
x 0
o) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5x �۳
x 0
x 4
p) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4 �

3
2

7
3
7
3

q) Biểu thức đã cho có nghĩa khi

t)Biểu thức C xác định khi: 3x + 9 �0 � 3x �- 9 � x �-3
Vậy biệu thức C xác định khi: x �-3
r)Biểu thức D xác định khi: -5x – 8 �0 � -5x �8 � x �-8/5
v) Biêu thức G xác định khi:

2
1
x �۳۳0
3
5

2
x
3

1
5

x

3
10

3
10

Vậy biểu thức G xác định khi: x �

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 2


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

9 0۳ 2x
w)Biểu thức H xác định khi: 2x �۳

9

x

9
2

9
Vậy biểu thức H xác định khi: x �
2

Xin phép AD. Hiện tại mình có các bộ tài liệu sau
1.Chuyên đề ôn luyện HSG Toán 6.7.8.9 + ĐỀ THI hsg (Có giải chi tiết).
2. Chuyên đề ôn thi vào 10 + Bộ đề ôn thi 10 (Có giải chi tiết).
3. Giáo án phát triển năng lực toán 6.7.8.9 (TẶNG Kèm)
4. Tài liệu dạy thêm Toán 6.7.8.9 (TẶNG kèm)
5. Sáng kiến (tặng kèm)

Bài 2:Tìm điều kiện xác định
a) A  x 2  1

b) B  4x 2  3

c) C  x 2  4

d) D  x  2  x  3

e) E  5  x  x  2

f) F  2x  6  3  4x

g) G  9 x 2  6 x  1
HD:
a) Vì x 2 �0 với mọi x, nên x 2  1  0 với mọi x
Vậy biểu thức A xác định với mọi x
b) Vì 4x 2 �0 với mọi x, nên 4x 2  3  0 với mọi x
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 3

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Vậy biểu thức B xác định với mọi x
c)Biểu thức C xác định khi: x2 – 4 � � (x – 2)(x + 2) �0
�
�
�x  2 �0
�x �2
�
�
�
�
x

2
�
0
x �2
�
�
�x �2
��
��
��
�
�
x �2
�x  2 �0
�x �2

�
�
�
�
�
�
�
�x  2 �0
�x �2
Vậy biểu thức C xác định khi: x �2 hoặc x �-2
d)Biểu thức D xác định khi: x + 2 �0 và x – 3 �0
 x + 2 �0 � x �-2
 x – 3 �0 � x �3
Vậy biểu thức D xác định khi: x �3
e) Biểu thức E xác định khi: 5  x �0 va x  2 �0
* 5 – x �0 � x �5
* x – 2 �0 � x �2
Vậy biểu thức E xác định khi: 2 �x �5
m) F  2x  6  3  4x
Biểu thức F xác định khi: -2x + 6 �0 và 3 – 4x �0
 -2x + 6 �0 � -2x �-6 � x �3
 3 – 4x �0 � -4x �-3 � x �3/4
Vậy biểu thức F xác định khi: x �¾
g) Biêu thức G xác định khi: 9x2 – 6x + 1 �0 � (3x – 1)2 �0 với mọi x
Vậy biểu thức G xác định với mọi x
Bài 3:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a) 1 x2

b) 4  x 2

c)  3x2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

d) x2  2x  1
Trang 4


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

e)  x 2  2x  1

f)

i) (x  1)(x  3)

j) x( x  2)

m)

n)

4  x2

x2  8x  9

g)  x 2  4 x  5

h) x 2  2x  2

k)

l)

5x2  3x  8

2x2  4x  5

 x2  2 x  1

HD:
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 1  x 2 �0 � x �R
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4  x 2 �0 � x �R
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x 2 �0 � x  0

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  2 x  1 �0 �  x  1 2 �0 � x �R
e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  x 2  2 x  1 �0 �   x  1 2 �0 �  x  1 2 �0 � x  1

x �9
�
2
x 2  8 x  9 có nghĩa � x  8 x  9 �0 �  x  1  x  9  �0 � �
x �1
�
g) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
f)

2
 x 2  4 x  5 �0 � ( x 2  4 x  5) �0 � �

�0 � x ��
�x  2   1�
�

vì ta luôn có  x  2   1  0, x
2

h) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x 2  2x  2 �0 �  x  1  1 �0 � x �R
2

x  1 �0
x �1
�
�
��
x  3 �0
x �3
�
�

i) Biểu thức đã cho có nghĩa khi: ( x  1)( x  3) �0 � �

x �2
�
j) x( x  2) � x ( x  2) �0 � �
x �0
�

X
X

x+2
x(x+2)

k)

-2
│
0

+

+
-

0
0
│

+
+
+

x �1
�
5 x  3 x  8 � 5 x  3 x  8 �0 � ( x  1)(5 x  8) �0 � � 8
�
x�
� 5
2

2

l) 2 x 2  4 x  5 � 2 x 2  4 x  5 �0 � 2( x  1) 2  3 �0 . Vậy biểu thức luôn có nghĩa
m)

4�
�
x2

2
4 
x�
��
0 � x2

4

2

x 2

n)  x 2  2 x  1 � ( x  1)2 �0 � x  1  0 � x  1
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 5


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Bài 4: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa?
a.

1
3  2x

b.

4
2x  3

c.

2
x 1

d)

 5
x2  6

e)

2
x2

f)

1
 1 x

g)

4
x3

h)

4
x3

n)

2 x
5 x

m)

x 1
x2

l)

x 1
x3

r)

x2
x2  1

k)

x5
x7

HD:

a)

1
có nghĩa khi
3  2x

� 3
3  2 x �0
�
� 3
3
�
�x �
�x �
�� 2
�� 2
� 3  2x  0 � x 
� 1
2
�0 �
�
1.  3  2 x  �0 �

3  2 x �0
�
�3  2 x
�
b)

4
có nghĩa khi
2x  3

c)

2
có nghĩa khi
x 1

4.  2 x  3 �0
3
�
� 2x  3  0 � x 
�
2
2 x  3 �0
�

2  x  1 �0
�
� x  1  0 � x  1
�
x


1
�
0
�
5

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 2 �0
x 6
5
2
2
 0, x nên x ��
Mà x �0, x � x  6 �6  0, x � 2
x 6
�2
� 2 �0
۹ x 0
e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi �x
�2
�x �0
� 1
�0
�
� x 1
f) Biểu thức đã cho có nghĩa khi �1  x
�
�1  x �0

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 6


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

�4
�0
�
� x  3
g) Biểu thức đã cho có nghĩa khi �x  3
�
�x  3 �0

�4
�0
�
� x  3
h)Biểu thức đã cho có nghĩa khi: �x  3
�
�x  3 �0
�2  x
2 �x �5
�0
�
�
��
� 2 �x  5
n) Biểu thức đã cho có nghĩa khi: �5  x

x
�
5
�
�
5  x �0
�

�
x �1
�
�x  1
x �1
�0
�
�
�
�
��
x �2 � �
m) Biểu thức đã cho có nghĩa khi: �x  2
�
x  2
�
�
�
x  2 �0
�
x �2
�

l)

x 1
có nghĩa khi
x3

 x  1  x  3 �0
�
, ta có các trường hợp sau
�
�x  3 �0

�x  1 �0
�x �1
�۳�
Trường hợp 1: �
�x  3  0 �x  3

x 1

�x  1 �0
�x �1
��
� x  3
Trường hợp 2: �
�x  3  0 �x  3
r)

x2

có nghĩa khi x  2 �0 (do x 2  1  0, x )  x 2
2
x 1

k)

x5
có nghĩa khi
x7

�x  5 �0
�x �5
��
�
�x  7  0
�x  7

Bài 5:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a)

1
4x 2  12x  9

b)

1
x2  x  1

c)

1
x 2  8 x  15

1

d)

3x 2  7 x  20

HD:
12x
�
9۹ 0
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4x 2 

 2x

3

2

0

x

3
2

2

� 1� 3
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x  x  1 �0 � �x  � �0 � x �R
� 2� 4
2

x3
�
x5
�

2
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x  8 x  15 �0 �  x  5  .( x  3) �0 � �

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi
2

20 �
� 7
� 7 � 191
3 x  7 x  20  0 � 3. �x 2  x  � 0 � 3. �x  �
 0 � x �R
3 �
� 3
� 6 � 12
2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 7

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Bài 6:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
2

x 9

a) x  3  x2  9

b) x  2  1
x 5

c)

d)

2x  4  8 x

e) 4  x  9  x2

f)

x
 x2
x2

h)

x
 x2
x2

i)

x
 x2
x 4

k)

x 1
 x2
x2

l)

2x 1
 x2
x2

g)

j) x 
m)

3
 3 x
x

2

5 2x

x2  4  2 x  2

x 1

2

2x
 x2 x  2
x 4
2

HD:
a)Biểu thức đã cho có nghĩa khi
�x  3 �0
�x  3 �0
���۳
�2
�
 x  3  x  3 �0
�
�x  9 �0

b)

�x  3 �0

�
 x  3 �0
�

�x �3
�
�x �3

x 3

Biểu thức đã cho có nghĩa khi
�x  2 �0
�x �2
��
�
�x  5 �0
�x �5

c)Biểu thức đã cho có nghĩa khi

�x ��3 �x �3
�x 2  9 �0
�
�
�� 5 �� 5
�
x�
x�
5  2x �0
�

�
�
� 2
� 2

g)

�x  2 �0
�x �2
x
��
� x2
 x  2 có nghĩa � �
x2
�x  2 �0 �x �2

h)

�x  2 �0
x
 x  2 có nghĩa ��۳
�
x2
�x  2 �0

i)

�x �2
x
�

� x2

x

2
có
nghĩa
�
x2  4
�x ��2

j)

�x �2
�
�x  2

x

2

�x 2  3
� 3
0
�x   0 �
3
�� x
(voly ) � khongcogiatrinaocuax
x   3 x có nghĩa � � x
x

�
�x �0
3 x �0
�
�

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 8


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

k)

x 1
 x  2 có nghĩa khi
x2

�x  2 �0
�x �2
�۳�
�
�x  2 �0
�x �2

l)

2x 1

 x  2 có nghĩa khi
x2

�x  2 �0
�x �2
��
� x2
�
x

2
�
0
x
�
2
�
�

m)

x

2

�x  2 �0
�x �2
2x
2
�

� x2

x
x

2
có
nghĩa
khi
�
�
2
x2  4
�x ��2
�x  4 �0

Bài 7: Tìm điều kiện xác định
a.

 x 2  3x  4

b. 1  x 2  5

c.

4
4x  2  3

d.

1
x2  4x  4

e.

x 1
5 x

f.

3x  2
( x  1) 2

g.

1
x  2x 1

HD:

�
�x  1 �o
�
�
1 �x �4
�
� x  4 �0
2
�
��

a) Điều kiện:  x  3 x  4 �0 � ( x  1)(  x  4) �0 � �
x ��
�x  1 �0
�
�
�
�
� x  4 �0
�

�
x� 5

2
b) Điều kiện: x  5 �0 � ( x  5)( x  5) �0 � �

x � 5
�

�
x� 5

2
2
Hoặc x  5 �0 � x �5 � x � 5 � �

x � 5
�

A �B

�
*) Chú ý: A  B ( B  0) � �
A  B
�

(bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối )

� 1
�x �2
4 x  2 �0
�
�
��
c) Điều kiện: �
� 4 x  2  3 �0 �x �11
� 4

d) Điều kiện: x 2  4 x  4  0 � x �2

�
�
�x  1 �0
�x �1
�
�
�
�
�x  1
5 x  0
�0

�
�
�x  5
�
�
�
�
� 1 �x �5
e) Điều kiện: �5  x
�
�
x

1
�
0
x
�
1
�
�
�
5  x �0
�
�
(loai )
�
�
�
5


x

0
x

5
�
�
�
�
�
�
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 9


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

�3x  2
�x �1
3 x  2 �0 �
�( x  1) 2  0 �
��
� � 2
f) Điều kiện: � �
x
�

1
�
�
�x � 3
( x  1) 2 �0
�
�
�x 2 �2 x  1(dung )
1
�x  2 x  1 �0
�
�� 1
� x�
g)Điều kiện: �
2
2 x  1 �0
�
�x �
� 2
Bài 8: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa
a. A 
c. C 

2x 1
3  4x

b. B 

1 x
1


2
x  4x  3 9  x2

d. D 

3x  2
4

x 1
5  7x
4x 1
x2  x  6



x
2x  x 1
2

HD:
a) Biểu thức có nghĩa � 3  4 x  0 � x 

3
4

�x �1
�x  1 �0
5
�

�� � 5 � x 
b)Biểu thức có nghĩa � �
5  7x  0
7
x
�
�
� 7
1  x �0
�
�2
c)Biểu thức có nghĩa � �x  4 x  3 �0
�
9  x 2 �0
�
Ta có
1�
x�
0�
x ��
1; x 2 4��
x 3 0��x 2 4 x 4 1 0

x

2

2

x

1 0

3   x 1

0

�x �1
�
�x �3

�x �3
9  x 2 �0 �  3  x   3  x  �0 � �
�x �3
�x  1
là những giá trị cần tìm.
�x �3

Vậy �

2
�
�x  x  6  0
d) Biểu thức có nghĩa � � 2
�2 x  x  1 �0

1
2

1

4

Ta có x 2  x  6  0 � x 2  2. x  

2

2

25
� 1 � �5 �
 0 � �x  � � � 0 �  x  3  x  2   0
4
� 2 � �2 �

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 10


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

�
x3 0
�
�
�
x2 0
x2
x3 0

�
�
�
��
��
hoặc �
�
x  3
x20
x3 0
�
�
�
�
�
x20
�
�
�

Lại có
� 1
2
2
x�
1
1 �9
�2
� 1 � �3 �
� 1�

2 x  x  1 �0 � 2 �x  2. x  � �0 � �x  � � ��0 � �x  �
 x  1 �0 � �
� 2
4
16 � 8
�
� 4 � �4 �
� 2�
�
�x �1
2

Vậy x  3 hoặc x  2 là những giá trị cần tìm.
Bài 9: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x
2
a. A  x  x  1 

2
x 2

b. B 

2

2x 1
x 1  x
2

 2x2  x  2

HD:
2

� 1� 3
a) Ta có x  2 �0 với mọi x và x  x  1  �x  �  0 với mọi x
� 2� 4
2

2

Do đó biểu thức đa cho luôn có nghĩa với mọi x.
2

� 1 � 15
b) Ta có 2 x  x  2  2 �x  �  0 với mọi x.
� 4� 8
2

Lại có x 2  1  0; x 2  1  x  x 2  x  x  x �0 với mọi x
Vậy biểu thức đã cho luôn xác định với mọi x.
Bài 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x
2
a. A  x  x  1 

2
2
x 1

b. B 

3x  5
x  2x  3
2

 x2  x  1

HD:
2

� 1� 3
a) Ta có x  1 �0, x và x  x  1  �x  �  0, x
� 2� 4
2

2

Do đó biểu thức luôn có nghĩa với mọi x
2

� 1� 3
b) Ta có x  2 x  3   x  1  2  0, x và x  x  1  �x  �  0, x
� 2� 4
2

2

2

Đo đó biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi x.
Bài 11: Chứng minh biểu thức B 

5x  2
x  9 x2  1

luôn xác định với mọi x.

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 11


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

HD:

�
�x  9 x 2  1 �0
Biểu thức B có nghĩa khi � 2
9 x  1 �0
�
Ta có 9 x 2  1  0, x và x  9 x 2  1  x  9 x 2  x  3 x �x  x �x  x  0, x

� x  9 x 2  1 �0, x

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

�A, nêu A �0
A2  A  �
� A, nêu A<0

Cách giải: Sử dụng hằng đẳng thức:
Bài 1: Tính
a)5 ( 2) 4

b) 4 ( 3) 6

c)5

( 5) 8

d)  0,4 ( 0,4) 2

e) (0,1) 2

f) ( 0,3) 2

g) 

( 1,3) 2

h)2 ( 2) 4 + 3 ( 2) 8

HD:
a) 5 (2) 4  5.22  20
6
b) 4 (3)  4.  3  4.27  108
3

c) 5

(5)8  5.

 5 

4

 5.  5   125
2

d) 0, 4 (0, 4) 2  0, 4. 0, 4  0,16
e)

(0,1)2  0,1

f)

( 0,3) 2  0,3  0,3

g)  (1,3) 2   1,3  1,3
h) 2 (2) 4  3 (2)8  2.4  3.16  56
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. 144. 

49
. 0, 01
64

�
c. � 0, 04 

�

 1, 2 

2

�
b. B  � 0, 25 
�

 121 �
� 81
�

 15 

2

 2, 25 �
: 169
�
�

d. D  75 : 32   4   3
2

 5 

2

 32

HD:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 12


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh
2

49
�7 �
a. A  144. 
. 0, 01  12 2 . � �.
64
�8 �

�
b. B  � 0, 25 

 15

�

�
c. C  � 0, 04 
�

 0,1

2

 1, 05

2
2
 2, 25 �
: 169  �
�
�  0,5   15 
�
�

2

 1, 2 

2

d. D  75 : 32   4   3
2

 1,5 

2

�
: 132  1

�
�

 121 �
� 81 � C  90
�

 5 

2

 32 � D  3

Bài 3: Thực hiện phéo tính
a. A 

2

2 3



c. C 

2

2 3



2

2



2

2 3





 2 2 3  3 2 2

2

b. B 

 0,1 

d. D 

2

0,1

6 5



2



2



2

6 5



2

HD:
a) Ta có A 

2

b)Ta có B 

 0,1 

c)Ta có C 

2

d) Ta có D 

2

2 3

2

0,1







2 3

2

6 5



2

2

 0,1  0,1  0,1  0,1



2
2

2 3



6 5

2



 2 2 3  2 2 3  6
2

 2 6  5  2 6  5  4 6

Bài 4: Rút gọn biểu thức:
(2  5) 2

a) (4  3 2) 2

b)

d) 2 3  (2  3) 2

e) (2 

g) ( 3  1) 2  ( 3  2) 2

3) 2

c) (4  2)2
f) (2 

5) 2

h) (2 

5) 2 

( 5  1) 2

HD:
a) Ta có:
(4  3 2) 2  4  3 2  3 2  4

b) Ta có:
(2  5) 2  2  5  2  5

c) Ta có:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 13

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

(4  2) 2  4  2

d) Ta có:
2 3  (2  3) 2  2 3  2  3  2  3

e) Ta có:
(2  3) 2  2  3

f) Ta có:
(2  5) 2  5  2

g) Ta có:
( 3  1) 2  ( 3  2) 2  3  1  2  3  1

h) Ta có:
(2  5) 2  ( 5  1) 2  5  2 





5  1  1

Bài 5: Thực hiện phép tính
a) A  2(5 16  4 25)  64

b) A  2015  36  25

HD:
a) A  2(5 42  4 52 )  82  2(5.4  4.5)  8  2(20  20)  8  8
b) A  2015  62  52 = 2015 + 6 – 5 = 2016
Các dạng bài tập
Dạng

m  2. n

Phương pháp giải:
Cách 1: Nhẩm hai số a và b sao cho a.b = n và a + b = m
Sử dụng các hằng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cách 2: Dùng máy tính:
Nhấn Mode/5/3: Nhập a = 1; b = -m ; c = n sẽ cho được hai số a và b cần tìm
Sử dụng các hằng đẳng thức như cách 1.
Chú ý: Sử dụng công thức:

a.b  a. b Với a, b không âm.

Bài tập mẫu: Rút gọn
a)

3 2 2

HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -3; c = 2 ta được a = 2; b = 1
3  2 2  3  2 2.1  3  2 2 1 

2

2

2  2 2. 1  1  ( 2  1) 2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 14


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh



b)

2  1  2 1

8  2 15

HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -8; c = 15 ta được a = 5; b = 3
2

8  2 15  8  2 5.3  8  2 5 3 


c)

2

5  2 5. 3  3  ( 5  3) 2

5 3  5 3

23  2 120

HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -23; c = 120 ta được a = 15; b = 8
23  2 120  23  2 15.8  23  2 15. 8 

2

2

15  2 15. 8  8  ( 15  8) 2

 15  8  15  8  15  2 2

Bài tập tự luyện: Rút gọn (bài tập tự luyện)

a)

5 2 6

b)

42 3

c) 11  2 30

d) 12  2 27

e)

23  2 120

f)

2 84  20

g)

h)

n) 10  2 21

m) 11  2 18

7  2 10

l) 12  2 35

8  2 15

r) 14  2 33

t) 16  2 55

Dạng

m �k n

Trường hợp: Nếu k là số chẵn thì tách sao cho k = 2k’.
Đưa k’ vào căn bậc hai bằng công thức: k '  k '2
Bài toán về dạng 2.
Chú ý: Sử dụng công thức đưa vào căn bậc hai: a =

a 2 với a là một số không âm

Bài tập mẫu: Rút gọn
a)

27  10 2

HD: Ta tách số 10 = 2.5 và đưa số 5 =

52  25

27  10 2  27  2.5. 2  27  2. 25 2 


2

2

25  2 25 2  2  ( 25  2) 2

25  2  25  2  5  2

Nhận xét: Ta thấy 25 + 2 = 27 vậy a = 25 và b = 27
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 15


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

b)

36  12 5

62  36

HD: Ta tách số 12 = 2.6 và đưa số 6 =

36  12 5  36  2.6. 5  36  2. 36. 5  36  2 180  36  2 30. 6
 36  2 30. 6 

30  2 30. 6  6  ( 30  6) 2 

30  6)  30  6

Nhận xét: Ta thấy 36 + 5 # 36 nên ta phải nhân 36.5 = 180 để đưa bài toán về dạng

m  2. n

Bài tập tự luyện: Rút gọn

a) 11  4 7

b)

e) 14  8 3
n)
q)

Dạng:

21  6 6

d) 17  12 2

f) 13  4 10

g) 12  6 3

h) 15  216

25  4 6

m)

21  6 6

l)

33  20 2

r)

46  6 5

w)

29  12 5

u)

27  12 2

49  20 6

c)

38  12 5

m �k n

Trường hơp: Nếu k là số lẻ thì nhân cả tử và mẫu của m �k n cho 2
Sử dụng công thức:

a
a

Với a là một số không âm, b là một số dương.
b
b

Bài toán về dạng 2
Bài tập mẫu: Rút gọn

a)

5  21

HD: Ta nhân vào trong căn thức cả tử và mẫu cho 2
5  21 



2

2(5  21)
10  2 21
10  2 21
10  2 7. 3




2
2
2
2
( 7  3) 2
2



7 3
2



7  2 7. 3  3
2

2

7 3
2

Bài tập tự luyện: Rút gọn

a)
e)

8  35
6  35

b)

2 3

c)

7  33

d)

73 5

f)

3 5

g)

21  3 48

h)

4  15

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 16


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

n)

m)

8  55

23  3 5

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

a)

8  2 15 

b) 17 2 72  19 2 18

6 2 5

c) 12 2 32  9  4 2

d)

29 2 180

e)

f)

6  11 

4

7

4 7  2

9 4 5

6  11  3 2

g) 8  2 15  7  2 10

h) 10  2 21  9  2 14

i)

j)

83 7  4 7

k) 9  3 5  9  3 5

5  21  5  21

l) ( 10  2) 4  6  2 5

HD:
a) 8  2 15  6  2 5  3  2 3. 5  5  5  2 5.1  1




3 5



2







5 1

.

 3  5  5 1  3 1 .

2

b) 17  2 72  19  2 18  9  2. 9. 8  8  18  2 18.1  1 .


 3 2 2

2







18  1

2

 3  2 2  18  1  4  2 2  18 .

c) 12  2 32  9  4 2  8  2 8. 4  4  8  2.2. 2.1  1 .


d)

2 2



2

2





2 1

2

 2 2  2  2 2 1  4 2 1 .

29  2 180  9  4 5  20  2. 20. 9  9  5  4 5  4 .



e)

2


20  3



2





52



2





 20  3  5  2  5 1  5 .

4 7  4 7  2 .

Ta có:



4 7  4 7



2

 4 7  4 7 2

 4 7   4 7   8 2

16  7

 82 9  86  2
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 17


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Do đó
vì

4 7  4 7   2

4 7  4 7 .

Suy ra

4 7  4 7  2   2  2  0.

f) 6  11 6  11  3 2 .
Ta có:



6  11  6  11



2

 6  11  6  11  2

 6 7 6



11 .

 12  2 36  11  12  2 25  12  10  2 .

Do đó
6  11  6  11  2

vì 6  11  6  11 .
Suy ra 6  11  6  11  3 2  2  3 2  4 2 .
g) 8  2 15  7  2 10  5  2 5. 3  3  5  2 5. 2  2





5 3



2





5 2



2

 5 3 5 2 2 3.

h) 10  2 21  9  2 14  7  2 7. 3  3  7  2 7. 2  2 .




7 3



2





7 2



2

 7 3 7 2  2 3.

i) 8  3 7  4  7 .
Ta có:



83 7  4 7



2

 12  4 7  2 8  3 7 . 4  7

.

 12  4 7  2 53  20 7
 12  4 7  2

Do đó

2

7 5



2





 12  4 7  2 2 7  5  12  10  2 .

8  3 7  4  7  2 (vì

8  3 7  4  7  0 ).

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 18


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

j)

5  21  5  21 .

Ta có:



5  21  5  21



2

 5  21  5  21  2 5  21. 5  21

.

 10  2 25  21  10  4  6

Suy ra

5  21  5  21  6

vì 5  21  5  21 .
k)

93 5  93 5 .

Ta có:



93 5  93 5



2

 9  3 5  9  3 5  2 9  3 5. 9  3 5

.

 18  2 81  45  18  12  6

Suy ra
vì
l)



93 5  93 5 .

10  2



93 5  93 5   6







4 62 5 

10  2



10  2

4  5 1  2





4  5  2 5.1  1 



5 1



10  2



4



5 1



2

.

3 5 .

Bài 4:Rút gọn các biểu thức sau
a. A 

 4

15



2

 15

b. B 

c. C  49  12 5  49  12 5

 2  3

2



 1 3 

2

d. D  29  12 5  29  12 5

HD:
a. A 



b. B 

 2  3

4  15


2

2



 15  4  15  15  4 4  15



 1 3 

2



 2  3  1 3  1

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 19


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

c. C  49  12 5  49  12 5 

 23 5

d. D  29  12 5  29  12 5 

 3 2 5

2



 23 5



 3 2 5

2

2

�C  4
2

�D6

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.

( 3  2) 2  2

b.

6  4 2  22  12 2

c. 3 5  (1  5) 2

d. 17  12 2  9  4 2

e.

62 5  62 5

f.

3 2 2  64 2

g.

24  8 5  9  4 5

h)

41  12 5  41  12 5

a.

6  4 2  22  12 2  (2  2) 2  (3 2  2) 2  2 2

b.

( 3  2) 2  2 

HD:

3 2  2  3

c. 3 5  (1  5) 2  3 5  1  5  3 5  1  5  3 5  ( 5  1)  2 5  1
d. 17  12 2  9  4 2  (3  2 2) 2  (2 2  1) 2  4
e.

6  2 5  6  2 5  ( 5  1) 2  ( 5  1) 2  2 5

f.

3  2 2  6  4 2  ( 2  1) 2  (2  2) 2  3

g.

24  8 5  9  4 5  4(6  2 5)  ( 5  2) 2  2 5  1  5  2  3 5

h)

41  12 5  41  12 5 



6 5



2





6 5



2

 2 5

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 6  2 5

b)

74 3

c) 12  6 3

d) 17  12 2

e)

22  12 2

f) 10  4 6

g)

2  11 6 2
6 2 5 

5

h)

3 5
3

5



3

5

3 5

HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 20


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

a) 6  2 5 



5 1



b) 7  4 3 



32

2



 5 1

2

 3  3

c) 12  6 3 

 32
2

3 3

d) 17  12 2 

2

2 3

22  12 2 

3

2 2

e)



f) 10  4 6 

g)

2  11  6 2
62 5  5

3 5



3 5

h)

6 2



2





3 5

5 1

2



 2 2 3
2

3 2 2

 6 2

2  22  12 2
2
�
2 � 1 5 
�

3 5

4 2

2









2 3 5



  2

62 5
4 2
5 1

2

3

2 2



2



� 2. 1  5  5
5�
�







2 3 5



62 5





2





2 3 2 2
2

5 1 4
5 1

  3





2  5 1 4
5 1

 2 2  10  2 2  10

Ta có:


�

2 2  10  2 2  10
3 5
3 5



3 5
3 5



2

 2 2  2 10

 2 2  2 10

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau
a)

4 2 3 

3

d) 11 6 3  13 4 3

g)

2  11 6 2
6 2 5 

5

b) 11 6 2  3  2

c) 11 6 2 

e) ( 3  4) 19 8 3

f) 8  2 7 4 

h)

3 5
3

5



3

6 4 2
7
2

5

3 5

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 21



DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

HD:



a) 4  2 3  3 



2

3  1  3  3  1  3  1



b) 11  6 2  3  2 

3 2



2

 3 2

3 2  3 2 3 2  2 2

 2 2   3 2   2 2 1
d ) 11  6 3  13  4 3  11  6 3   12  1  11  6 3  2 3  1
e)( 3  4) 19  8 3   3  4   4  3    3  4   4  3   16  3  13
c) 11  6 2  6  4 2 

2

2



2

2

4 7

2

f) 8  2 7





 1 7 .

g)

h)






2

3 5
2



5 1  4
5 1

2

2

82 7
4

  6 3

7 1

2

62 5  5



2

   1 7  

7 1

2  11  6 2

3 5

1 7 



2

 1

3 5
3 5



2

 3  2   2   3  2   3  3

1
5   5  1 5   5
2

2



2 3 5



62 5



2  5 1 4





2 3 5



62 5



5 1

4 2
4 2
  2
 2 2  10  2 2  10
5 1
5 1

Có:


�

2 2  10  2 2  10
3 5
3 5



3 5
3 5



2

 2 2  2 10

 2 2  2 10

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
c)

6 2 4 2 3

3  48 10 7  4 3

b) 6  2 3 13 4 3
d) 23  6 10  4 3  2 2
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 22


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

HD:



a) 6  2 4  2 3  6  2 1  3



2

 6 2



b) 6  2 3  13  4 3  6  2 3 



 6  2 1 3



2







3 1  4  2 3 

1 2 3





2



3  48  10 7  4 3 



3  28  10 3 

3

3  48  10



5 3



2



 2 2

2

2

 3 1







2

3 1  3  1

 2  3

2





3  48  10 2  3



3 5 3  5

d) 23  6 10  4 3  2 2  23  6 10  4
 23  6 6  4 2  23  6



3 1

 6  2 3  1 2 3  6  2 4  2 3

 6  2. 1  3  4  2 3 

c)







2 1

2

 23  6 10  4







2 1



 23  6 2  2  11  6 2  3  2

Bài 9:Thực hiện các phép tính sau
2

2

2

2

a. ( 3  2) 5  2 6

�4  2 3 � �4  2 3 � �
( 3  1) 2 � �
( 3  1) 2 �
b. �
�
� �
�
� 3 1 �
� �
�
� �
�
� �1  3 � � 3  1 � � 3  1 �

c.

d. 13  30 2  9  4 2  13  30 2  (2 2  1) 2

5  9  29  12 5

HD:
a. ( 3  2) 5  2 6  ( 3  2)( 3  2)  1
2

2

2

2

�4  2 3 � �4  2 3 � �
( 3  1) 2 � �
( 3  1) 2 �
2
2



b. �
� 3 1 �
� �
�1  3 �
� � 3  1 � � 3  1 �  ( 3  1)  ( 3  1)  4 3
�
� �
� �
� �
�
5  9  29  12 5 

c.


5  9  (2 5  3) 

5  9  20  12 5  9 
5  62 5 

5  9  (2 5  3) 2

5  ( 5  1) 2 

5  ( 5  1)  1  1

d.

13  30 2  9  4 2  13  30 2  (2 2  1) 2  13  30 2  (2 2  1)  13  30 3  2 2
 13  30 ( 2  1) 2  13  30( 2  1)  43  30 2  25  2.5.3 2  18  (5  3 2) 2  5  3 2
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 23


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Bài 10:Chứng minh rằng





a. 11  6 2  3  2
c. 8  2 7 





7 1

2

b. 11  6 2  11  6 2  6

2

d.

8  2 7  8  2 7  2

HD:
a) Ta có: 11  6 2  9  2.3 2  2 



b) Ta có: 11  6 2  11  6 2 



c) Ta có : 8  2 7 



7 1

d. 8  2 7  8  2 7 

32



2 3 

2

 VP � dpcm
2  3  6  VP � dpcm

2





2

7 1 





7 1

2

 2  VP � dpcm

Bài 11: Chứng minh rằng:
a) 9  4 5 ( 5  2) 2

b) 9  4 5 

7) 2

c) 23 8 7 (4 

5  2

d) 17  12 2  2 2  3

HD:
a) Ta có:
94 5 

 5

2

 2. 5.2  22  ( 5  2) 2

b) Thật vậy:
94 5  5 



5 2



2

 5

5  2  5  5  2  5  2

c) Ta có:
23  8 7  16  2.4. 7  7  (4  7) 2

d) Ta có:
17  12 2  2 2 

 3 2 2

2

 2 2  32 2  2 2 3 2 2  2 2 3

Bài 12: Thực hiện phép tính:
a) A  12  3 7  12  3 7
b) B 

7 5  7 5
7  2 11

 3 2 2

c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5
HD:
a) A  12  3 7  12  3 7
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 24


DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh







Ta có A 2  12  3 7  2 12  3 7 12  3 7  12  3 7  6
Vì 12  3 7  12  3 7 � A  0
�A 6
7 5  7 5

b) B 

7  2 11

 3 2 2
2

� 7  5  7  5 � 14  2 44
7 5  7 5
�
2�
 2
Ta có �
�
� 7  2 11
7  2 11
7  2 11
�
�



� B  2  32 2  2 



2 1

2

 2  2 1  1

c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5
2





�
�
Ta có C  � 8  2 10  2 5  8  2 10  2 5 � 16  2 64  4 10  2 5  16  2 24  8 5
�
�
2





 16  2 4 6  2 5  16  4
�C 2





5 1

2

 2







5 1

2



 

 16  4 5  4  12  4 5  2 6  2 5  2



5 1

Bài 13: Rút gọn biểu thức
x2  5
a)
x 5

b)

x2  2 2x  2
x2  2

HD:

x2  5
 x 5
a) Ta có:
x 5





2

x 2
x2  2 2 x  2
x 2


b) Ta có:
2
x 2
x 2
x 2 x 2







Dạng 3: Rút gọn các biểu thức chứa biến
Cách giải: Sử dụng hằng đẳng thức:

�A, nêuA �0
A2  A  �
� A, nêuA<0

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau
a.

64a 2  2a (a �0)

b. 5 25a 2  25a (a  0)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!



5 1

Trang 25

2