Toán lớp 12: 4 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 2)

BÀI GIẢNG: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN
(TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
* Nguyên hàm chứa căn
Chú ý:
+) Thường đặt căn = t

(C1)

+) Đổi biến lượng giác hóa

(C2)

+) Phương pháp đổi biến:
B1: Đặt

f ( x)  t

B2: Lũy thừa 2 vế => vi phân
B3: Thay B1 và B2 vào đề bài
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)  3x 2 x3  1dx

b)

d)  sin 2 x 3 cos xdx

e)

x


2  x2 dx
e2 x
ex  1

c)

x

ln x
dx
ln x  1

dx

Giải

x3  1  t  x3  1  t 2  3x 2 dx  2tdt

a) Đặt

 I   t.2tdt   2t 2 dt  2.

t3
2
C  .
3

3

x

3

 1  C
3

2  x 2  t  2  x2  t 2  2 xdx  2 tdt   xdx  tdt

b) Đặt

 I    t.  tdt     t 2 dt  

3

t
C  
3

2  x 

2 3

3

C

1

ln x  1  t  ln x  1  t 2  ln x  t 2  1  dx  2tdt
x

c) Đặt

t

2

 1

 t3 
.2tdt  2  t 2  1 dt  2   t   C
t
3 
 ln x  1 3


 2. 
 ln x  1   C
3





I 



1



Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


d) Đặt

cos x  t  cos x  t 3   sin xdx  3t 2 dt

3

 I  2 t 3 .t.  3t 2  dt  6 t 6 dt  6.

7

t
7


 C  6.

3

cos x



7

7

C

e x  1  t  e x  1  t 2  e x  t 2  1  e x dx  2tdt

e) Đặt

 t3 
t 2 1
.2tdt  2   t 2  1 dt  2.   t   C
t
3 
 ( e x  1)3

 2
 ex  1   C


3



I 

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm
a)

x

d)



2  x2 dx

b)

 x.(2  x .

4x 1
dx
2x 1  2

e)

x

33

2

3ln x
)dx
ln x  1

c)



sin 2 x  sinx
dx
1  3cos x

dx
x2  4

Giải
a) Đặt

3

2  x 2  t  2  x 2  t 3  x 2  2  t 3  2 xdx  3t 2 dt

 3t 2 
3
3  t4 t7 
3
6
 I    2  t 3  t. 
dt


2
t

t
dt




 2.    C
2
2 4 7 
 2 
7
3
2 4
3 2  x2

 
3  2  x 
 

C
2
2
7



b) Biến đổi ta có:



 x. 2  x .
2

Đặt A   2 xdx  2.

B
Đặt

3ln x 
3ln x
dx
 dx   2 x 
ln x  1 
x ln x  1

x2
 C  x2  C
2

3ln x
dx
x ln x  1

1
ln x  1  t  t 2  ln x  1  2tdt  dx.
x

B

3  t 2  1
t

.2tdt   6  t 2  1 dt 

 2t 3  6t  C  2
 I  A  B  x2  2

2







6t 3
 6t  C
3

3

ln x  1  6 ln x  1  C.



3

ln x  1  6 ln x  1  C.

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


c) Đặt 1  3cos x  t  1  3cos x  t 2  3sin x  2tdt

 cos x 

t 2 1
2t 2  2
 2cos x 
3
3

 2t 2  2 
 1

2
3
3

 . 2tdt   2 2t  2  3 dt   2 2t 2  1dt   2  2. t  t   C
I 


t
3
3
3
9
9 3 
2x 1  t  2x 1  t 2  2x  t 2 1

d) Đặt

2 x  1  t 2  2dx  2tdt  dx  tdt .

 2t 2  2   1
2t 2  1 t

2t 3  t


I 
tdt  
dt  
dt
t2
t2
t2
14
t3
t2
  2t 2  4t  7 
dt  2.  4.  7t  14 ln t  2  C =
t2
3
2
2
 t 3  2t 2  7t  14 ln t  2  C
3
x 2  4  t  x 2  4  t 2  x 2  t 2  4  2 xdx  2tdt  xdx  tdt

e) Đặt

t

1
dt   2
dt
(t  4)t
t 4
1
1 1
1

dt  

dt
4 t2 t2
 t  2  t  2 

I 



2

1
1 t 2
ln t  2  ln t  2   C  ln
C
4
4 t2
- HẾT -

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!