Toán lớp 12: 5 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 3) phần 1

BÀI GIẢNG: TÍNH NGHUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
CƠ BẢN (TIẾT 3) – PHẦN 1
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
* Chứa căn (Lượng giác)



a 2  x 2 dx

 Đặt x = a sint



a 2  x 2 dx  Đặt x = a tant



x 2  a 2 dx  Đặt x =

a
sin t

Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)



d)

x

1  x2 dx
2

1  x2 dx

b)



e)



3  2x  x2 dx
1
x2  1

c)



1
4  x2

dx

dx

Giải
a) Đặt x  sin t  t  arcsin x  dx  cos tdt
 I   1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 t cos tdt   cos 2 tdt 

1
1  cos 2tdt
2

1
1
1
1
 (t  sin 2t )  C  (arcsin x  sin 2 arcsin x)  C
2
2
2
2

b) Biến đổi: I   3  2 x  x 2 dx =
Đặt x + 1 = 2sin t  t  arcsin



4  (1  2 x  x2 )dx   4  ( x  1)2 dx

x 1
 dx  2cos tdt.
2

 I   4   2sin t  .2cos tdt   2 cos t .2cos tdt   4 cos t .cos tdt.
2

 1

I1   4cos 2 tdt  2 1  cos 2t dt  2  t  sin 2t   C.
 2

 1

I2    4cos 2 tdt  2 1  cos 2t dt  2  t  sin 2t   C.
 2

 I khi cos t  0
I 1
.
 I 2 khi cos t  0
c) Đặt x = 2sin t => t = arcsin

x
 dx  2cos tdt
2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa - GDCD tốt nhất!


I 

1
4  4sin t

2

.2 cos tdt  

1
4(1  sin t )
2

.2 cos tdt  

1
.2 cos tdt
2 cos t

x
  1dt  t  C  arcsin  C
2
d) Đặt x  sin t ta có : dx  cos tdt

 I   sin 2 t 1  sin 2 t cos tdt   sin 2 t. cos t .cos tdt
TH 1: cos t  0
1
 I   sin 2 t.cos 2 tdt   sin 2 2tdt
4
1
1
1
  1  cos 2 2t  dt   dt   cos 2 2tdt
4
4

4
1
1 1  cos 4t
1 1 1

 t 
dt  t   t  sin 4t   C
4
4
2
4 8 4

1
1
 t  sin 4t  C.
8 32

TH 2 : cos t  0
1
sin 2 2tdt
4
1
1
1 1  cos 4t
   1  cos 2 2t  dt    dt  
dt
4
4
4
2

1 1 1

  t   t  sin 4t   C
4 8 4

1
1
  t  sin 4t  C.
8 32

 I    sin 2 t.cos 2 tdt  

e) Đặt x  tan t

 dx 
I 

1
dt
cos2 t
1

1
1
1
1
cos t
cos t
dt  
. 2 dt  

dt  
dt  
dt
2
2
1
cos t
cos t
cos t
1  sin 2 t
tan t  1 cos t
cos t
2

.

Đặt sin t = u  costdt  du
I 

1
1
1  1
1 
1
du  
du    

du    ln u  1  ln u  1   C
2


1 u
2  u  1 u  1
2
 u  1 u  1

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa - GDCD tốt nhất!