Chương 1_Logic mệnh đề

Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học
Biên soạn: Trường Sơn
1
CHƯƠNG 1
LOGIC MỆNH ĐỀ
I- MỆNH ĐỀ
I.1- Khái niệm:
• Mệnh đề là một câu khẳng đònh đúng hoặc một câu khẳng đònh sai.
• Câu khẳng đònh đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trò đúng).
• Câu khẳng đònh sai gọi là mệnh đề sai (mệnh đề có chân trò sai).
• Kí hiệu các mệnh đề: P, Q, R, ….
• Kí hiệu chân trò đúng là 1 (hay T – True), chân trò sai là 0 (hay F – False)
Ví dụ 1:
a/ Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam.
b/ Thượng Hải là thủ đô của Ấn Độ.
c/ 5 + 5 = 10
d/ 43 chia hết cho 5
e/ Hôm nay trời đẹp quá !
f/ Hôm nay trời có đẹp không?
g/ Hãy học bài đi!
h/ n là một số nguyên tố
Là mệnh đề đúng (1). Kí hiệu mđ: P
Là mệnh đề sai (0). Kí hiệu mđ: Q
Là mệnh đề đúng (1). Kí hiệu mđ: R
Là mệnh đề sai (0). Kí hiệu mđ: T
Không phải là mệnh đề. Câu cảm thán.
Không phải là mệnh đề. Câu hỏi nghi vấn.
Không phải là mệnh đề. Câu mệnh lệnh.
Không phải là mệnh đề. Là vò từ (mệnh đề
chứa biến).Nếu n=3 ta được mệnh đề đúng,

n= 4 ta được mệnh đề sai.
* Biến mệnh đề: p gọi là biến mệnh đề nếu nó nhận giá trò là một mệnh đề nào đó.
Ví dụ 2: p là biến mệnh đề có thể nhận giá trò là các mệnh đề P, Q, R, T ở trên.
I.2- Các phép toán lôgic:
I.2.1: Phép phủ đònh (NOT):
Phủ đònh của mệnh đề P kí hiệu là
P
. Chân trò của
P
là 0 nếu
chân trò của P là 1 và ngược lại.
Bảng chân trò của phép phủ đònh:
Ví dụ 3: mệnh đề P: “ 2 là số hữu tỉ”
P
: “ 2 không phải là số hữu tỉ” ( 2 là số vô tỉ)
I.2.2 Phép hội (AND):
Phép hội của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∧Q (đọc là P và Q) chỉ đúng khi cả P và Q
cùng đúng.
Bảng chân trò của phép hội:
P Q P∧Q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0

0
1
Ví dụ 4:
+ “Chiều nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn”: P
∧Q
+ “Danh sách sinh viên nam và tuổi từ 20 trở lên”: P∧Q
Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20)
P
P

0
1
1
0

Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học
Biên soạn: Trường Sơn
2
+ “Danh sách sinh viên nữ có quê ở Long An”: P∧Q
Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”)
I.2.3 Phép tuyển (OR):
Phép tuyển của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là P hoặc Q) chỉ sai khi cả P và Q
cùng sai.
Bảng chân trò của phép tuyển:
P Q P∨Q
0
0
1
1
0

1
0
1
0
1
1
1
Ví dụ 5:
+ “Danh sách sinh viên quê ở Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: P∨Q
Điều kiện lọc danh sách là: (QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”)
I.2.4 Phép tuyển loại (XOR):
Phép tuyển loại của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ∨ Q (đọc là hoặc P hoặc Q) chỉ đúng
khi chỉ một trong 2 mệnh đề là đúng.
Bảng chân trò của phép tuyển loại:
P Q
P∨ Q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0

Ví dụ 6:

+ “Sinh viên An quê ở Cần Thơ hoặc Long An”: P
∨ Q
+ “ 2 là số hữu tỉ hoặc là số vô tỉ”: P∨ Q
+ “5 giờ chiều nay Minh đi học thêm Anh văn hoặc đi dự đám cưới bạn Lan”: P ∨ Q
I.2.5 Phép kéo theo:
Phép kéo theo của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇒ Q là một mệnh đề chỉ sai khi P
đúng Q sai.
Bảng chân trò của phép kéo theo:
P Q P ⇒ Q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Ví dụ 7:
+ “Nếu An vượt đèn đỏ thì An sẽ vi phạm luật giao thông”: P ⇒ Q
+ “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh đề đúng)
+ “202 là số chẵn suy ra 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai)
Lưu ý:
• P gọi là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q gọi là điều kiện cần để có P
• Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q

Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học

Biên soạn: Trường Sơn
3
I.2.6 Phép tương đương:
Phép tương đương của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇔ Q là một mệnh đề chỉ đúng khi
cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
Bảng chân trò của phép kéo theo:
P Q P ⇔ Q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Ví dụ 8:
+ “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng
nhau”
+ “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết cho12”
+ P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”
Ta có P ⇔ Q
I.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực hiện trong máy tính)
• Bit là đơn vò thông tin nhỏ nhất ứng với một trong hai kí số nhò phân 0 hoặc 1.
• Chuỗi bit là chuỗi gồm các kí số 0, 1.
Cho 2 chuỗi 4 bit A = 0011; B = 0101. Ta thực hiện các phép toán bít như sau:

A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
NOT A
A AND B
A OR B
A XOR B
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
II- CÔNG THỨC MỆNH ĐỀ
II.1 Các khái niệm
II.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic)
Công thức mệnh đề (còn gọi là biểu thức lôgic) là một biểu thức được xây dựng từ:
• Các mệnh đề P, Q, R, ….
• Các biến mệnh đề p, q, r, … có thể nhận giá trò là các mệnh đề.
• Các phép toán trên các mệnh đề và biến mệnh đề theo một trật tự nào đó.
Ví dụ 9:
A = (p ∧q) ∨ (
r
⇒ q)
E = p ∨ (q ∧ r)
F = (p ∨ q) ∧ r
Nhận xét: Lập bảng chân trò của E và F ta thấy E ≠ F, suy ra thứ tự thực hiện phép toán
logic là rất quan trọng.
II.1.2 Công thức tương đương
Hai công thức E và F gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trò.
Kí hiệu hai công thức tương đương logic là E
≡ F hay đơn giản là E = F.
Ví dụ 10: E = p ⇒

⇒⇒
⇒ q và F =
p
∨
∨∨
∨ q là hai công thức tương đương (c/m bằng bảng chân trò)

Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học
Biên soạn: Trường Sơn
4
p q
p

p ⇒
⇒⇒
⇒ q
p
∨
∨∨
∨ q (p ⇒
⇒⇒
⇒ q) ⇔ (
p
∨
∨∨
∨ q)
0
0
1
1

0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
(E) (F) (G)
II.1.3 Công thức mệnh đề hằng đúng, hằng sai
Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng đúng nếu nó luôn nhận gía trò 1 (E ≡ 1).
Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng sai nếu nó luôn nhận gía trò 0 (E ≡ 0).
Ví dụ 11:
G = (p ⇒
⇒⇒
⇒ q)
⇔ (
p

∨
∨∨
∨ q) là công thức hằng đúng; G ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 9).
II.1.4 Qui tắc thay thế:
Qui tắc 1: Nếu trong công thức mệnh đề E ta thay thế một biểu thức con bởi một công
thức mệnh đề tương đương thì được một công thức mệnh đề mới tương đương logic với E.
Ví dụ 12: p ⇒
⇒⇒
⇒ (q ⇒
⇒⇒
⇒ r) ≡ p ⇒
⇒⇒
⇒ (
q
∨
∨∨
∨ r) ≡
p
∨
∨∨
∨
q
∨
∨∨
∨ r
Qui tắc 2: Nếu E là công thức mệnh đề hằng đúng thì khi ta thay biến mệnh đề p trong
E bởi một công thức mệnh đề tùy ý thì được một công thức mệnh đề mới vẫn là hằng đúng.
Ví dụ 13:
G = (p ⇒
⇒⇒

⇒ q) ⇔ (
p
∨
∨∨
∨ q) ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 10) suy ra
G’ = ((r ∧
∧∧
∧ t) ⇒
⇒⇒
⇒ q) ⇔ ((
r t∧
) ∨
∨∨
∨ q) ≡ 1
II.2 Các qui luật logic
Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương
logic sau:
1/ Phủ đònh của phủ đònh:
P
≡ p
2/ Qui tắc De Morgan:
qpqp ∨≡∧ )( ; qpqp ∧≡∨ )(
3/ Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p
4/ Luật kết hợp: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
5/ Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p∨ r)
6/ Luật lũy đẳng: p ∧ p ≡ p ; p ∨ p ≡ p
7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất): p ∧ 1 ≡ p ; p ∨ 0 ≡ p
8/ Luật về phần tử bù: p ∧
p
≡ 0 (Luật bài trung)

P ∨
p
≡ 1 (Luật mâu thuẫn)
9/ Luật thống trò: p ∧ 0 ≡ 0 ; p ∨ 1 ≡ 1
10/ Luật hấp thụ: p ∧ (p ∨ q) ≡ p ; p ∨ (p ∧ q) ≡ p
* Chứng minh các công thức trên bằng cách lập bảng chân trò.
Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thụ 10/ bằng bảng sau:
p q p ∨ q p ∧ q p ∧ (p ∨ q)

p ∨ (p ∧ q)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1

0
0
1
1


Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học
Biên soạn: Trường Sơn
5
III - QUI TẮC SUY LUẬN
III.1 - Khái niệm:
Trong các chứng minh toán học, ta thường xuất phát từ tiền đề là các khẳng đònh đúng
p
1
, p
2
, . . . , p
n
và áp các qui tắc suy luận toán học để khẳng đònh kết luận q là đúng.
Công thức tổng quát của qui tắc suy luận là: (p
1
∧
∧∧
∧ p
2
∧
∧∧
∧ . . . ∧
∧∧
∧ p

n
) ⇒
⇒⇒
⇒ q
Hay viết theo mô hình là:
p
1

p
2

.
.
.
p
n

q

III.2 - Các qui tắc suy luận thường dùng:
III.2.1 – Qui tắc khẳng đònh (Modus Ponens)
Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò):
(( p ⇒
⇒⇒
⇒ q) ∧
∧∧
∧ p) ⇒
⇒⇒
⇒ q
hay dưới dạng sơ đồ

p ⇒ q
p
q
Ví dụ 14:
a/ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau. (p ⇒ q)
Tam giác ABC cân tại A (p)
KL: AB = AC (q)

b/ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2
mà 2006 là một số chẵn.
Suy ra số 2006 chia hết cho 2.

c/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng
mà Lan đạt loại giỏi.
Vậy Lan sẽ được thưởng.
III.2.2 – Qui tắc tam đoạn luận (Modus Syllogism) / Chứng minh bắc cầu
Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò):
(( p ⇒
⇒⇒
⇒ q)
∧
∧∧
∧ ( q ⇒
⇒⇒
⇒ r)) ⇒
⇒⇒
⇒ (p ⇒
⇒⇒
⇒ r)
hay dưới dạng sơ đồ

p ⇒ q
q ⇒ r
p ⇒ r
Ví dụ 15:
a/ Bình chơi Game Online thì Bình không học Toán ứng dụng.
Bình không học Toán ứng dụng thì Bình thi rớt Toán ứng dụng.
Mà Bình ham chơi Game Online nên Bình thi rớt Toán ứng dụng.
Tiền đề
Kết luận