tính đơn điệu của hàm số lý thuyết

BÀI GIẢNG: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, là công cụ sắc bén để nghiên cứu khảo sát các tính
chất của hàm số và giúp hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số.
1.
2.
3.
4.
5.

Tính đơn điệu (Đồng biến – nghịch biến)
Cực trị
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Tiệm cận
Khảo sát hàm số

A. LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
+ Hàm số y  f  x  đồng biến    trên K nếu với mọi cặp x1 , x2  K ta luôn có:

x1  x2  f  x1   f  x2  .
+ Hàm số y  f  x  nghịch biến    trên K nếu với mọi cặp x1 , x2  K ta luôn có:

x1  x2  f  x1   f  x2  .
+ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
* Nhận xét
T

y f  x2   f  x1 

.
x
x2  x1

+ f  x  đồng biến trên K  T  0 x1 , x2  K  x1  x2  .
+ f  x  nghịch biến trên K  T  0 x1 , x2  K  x1  x2  .
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị là một đường liên tục đi lên từ trái qua phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị là một đường liên tục đi xuống từ trái qua phải.

1

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


f  x   const

f  x 

f  x 

y x

y  sin x

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
* Định lí 1
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K.
+ Nếu f '  x   0 x  K thì f  x  đồng biến trên K.

+ Nếu f '  x   0 x  K thì f  x  nghịch biến trên K.
+ Nếu f '  x   0 x  K thì f  x  không đổi trên K.
Hay tóm lại, trên K

 f ' x  0  f  x 

 f ' x  0  f  x 

 f '  x   0  f  x  const

I 

* Chú ý

2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Khi xét tính đồng biến, nghịch biến trên K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì hàm số phải đảm bảo liên tục trên
K.
+ Nếu hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và f '  x   0 x   a; b  thì f  x  đồng biến trên  a; b  .
+ Nếu hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và f '  x   0 x   a; b  thì f  x  nghịch biến trên  a; b  .
* Định lí 2 (Mở rộng – Quan trọng)
Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K.
+ Nếu f '  x   0 x  K và f '  x   0 xảy ra tại hữu hạn điểm thì f  x  đồng biến trên K.
+ Nếu f '  x   0 x  K và f '  x   0 xảy ra tại hữu hạn điểm thì f  x  nghịch biến trên K.
Hay tóm lại, trên K với i hữu hạn, xi  K

 f '  x   0, f '  xi   0  f  x  


 f '  x   0, f '  xi   0  f  x  

 II 

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
1. Bản chất vấn đề
+ Xét tính đơn điệu hau còn gọi là tìm chiều biến thiên hoặc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Bản chất chính là xét dấu đạo hàm.
2. Phương pháp làm bài xét tính đơn điệu
Bước 1: Tìm tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm f '  x  .
Tìm đủ các điểm xi  i  1, 2,3,..., n  mà f '  x   0 * hoặc f '  x  không xác định (**).
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi ấy theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên, xét dấu f '  x  với quy tắc đã
học.
Bước 4: Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


1
y   x2
2

y

1
x

1
1
y   x2
y
2
x
D
D  \ 0
y '  x
1
y '   2  0 x  0
y'  0  x  0
x
Kết
luận:
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
y'  0  x  0
 ;0  và  0;   .
y' 0  x  0
Kết luận: Hàm số đồng biến trên  ;0  , nghịch biến
trên  0;   .

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


y  x3
D

y '  3x 2  0 x 
Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ;0 và  0;   hay hàm số đồng biến trên

.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
b) y   x 2  3x  4

a) y  2 x  1

Giải
a) y  2 x  1
+ TXĐ: D 

.

+ y '  2  0 x 

.

+ Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên

.

b) y   x 2  3x  4
+ TXĐ: D 

.

+ y '  2 x  3 .
+ Giải y '  0  2 x  3  0  x 

3
.
2

+ Bảng biến thiên:

3

3

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  và nghịch biến trên khoảng  ;   .
2

2


Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) y  2 x3  3x 2  1

5

b) y 

4 3
x  2x2  x  3
3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Giải
a) y  2 x3  3x 2  1
+ TXĐ: D 
+ y '  6x2  6x
x  0
+ Giải y '  0  6 x  x  1  0  
 x  1

+ Bảng biến thiên:

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  0;   , nghịch biến trên khoảng  1; 0  .
b) y 

4 3
x  2x2  x  3
3

Cách 1:
+ TXĐ: D 
+ y '  4 x2  4 x  1
+ Giải y '  0  x 

1
2

+ Bảng biến thiên:

1

1

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;  và  ;   hay suy ra hàm số đồng biến trên
2

2


.

Cách 2:
+ TXĐ: D 

6

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ y '  4 x 2  4 x  1   2 x  1  0 x 
2

+ Ta thấy y '  0 x 

1
1
và y '  0  x  .
2
2

Theo định lí II, hàm số đã cho đồng biến trên

.

Bài 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) y  x 4  2 x 2  5

1
b) y   x 4  2 x 2  1
4
Giải

a) y  x 4  2 x 2  5
+ TXĐ: D 
+ y '  4 x3  4 x

x  0
+ Giải y '  0  4 x  x  1  0   x  1
 x  1
2

+ Bảng biến thiên:

+ Kết luận:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1; 0  và 1;   .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  0;1 .

1
b) y   x 4  2 x 2  1

4
+ TXĐ: D 
+ y '   x3  4 x
+ Giải y '  0   x  x 2  4   0  x  0 .
+ Bảng biến thiên:
7 Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên  ;0  và nghịch biến trên  0;   .
Bài 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) y 

x 1
x 1

b) y 

2x  5
1 x
Giải

a) y 

x 1
x 1

\ 1

+ TXĐ: D 
+ y' 

2

 x  1

2

 0 x  1

+ Bảng biến thiên:

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và  1;   .
b) y 

2x  5
1 x

+ TXĐ: D 
+ y

\ 1

3
2x  5
 y' 
 0 x  1
2
x 1
1  x 

+ Bảng biến thiên:

8

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ Kết luận: Hàm số nghịch biến trên  ;1 và 1;   .
Bài 5: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y 

x2  x  1
x 1
Giải

\ 1 .

+ TXĐ: D 

+

x
y' 
y' 

2

 x  1 '  x  1   x 2  x  1  x  1 '

 x  1

2

 2 x  1 x  1   x2  x  1 x2  2 x

2
2
 x  1
 x  1

y '  0  x  0 hoặc x  2 .

BBT:

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  0;   ; nghịch biến trên mỗi khoảng  2; 1 và

 1; 0  .
Bài 6: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y 

2x
x 9
2

Giải

\ 3 .

+ TXĐ: D 
+ y' 

y' 

 2 x  '  x 2  9   2 x.  x 2  9  '

x

2

 9

2

2  x 2  9   2 x.2 x

x

2

 9

2



2 x 2  18

x

2

 9

2



2  x 2  9 

x

2

 9

2

Ta thấy y '  0 x  D .
BBT:

9

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ Kết luận: Hàm số đồng nghịch trên mỗi khoảng  ; 3 ,  3;3  và  3;   .
Bài 7: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y  4  x 2
Giải
+ ĐKXĐ: 4  x 2  0  2  x  2 .
+ TXĐ: D   2; 2 .
+ y' 

2 x
2 4  x2



x
4  x2

+ y'  0  x  0.
BBT:

+ Kết luận: Hàm số đồng nghịch trên mỗi khoảng  2;0  , nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y  3  2 x

b) y  x 2  4 x  3

1
c) y  x3  3x 2  7 x  2
3

d) y  x3  2 x 2  x  1

Đáp án:
a) Nghịch biến trên

.

b) Đồng biến:  2;   , nghịch biến:  ; 2  .

c) Đồng biến:  ; 7  và 1;   , nghịch biến:  7;1 .

10

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


1

d) Đồng biến:  ;  và 1;   , nghịch biến:
3


1 
 ;1 .
3 

Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y  2 x3  6 x 2  6 x  7

1
b) y  x3  2 x 2  4 x  5
3

4
2
c) y   x3  6 x 2  9 x 
3
3

d) y  x3  6 x 2  17 x  4

Đáp án:
a) Đồng biến trên

.

b) Đồng biến trên

.

c) Nghịch biến trên
d) Đồng biến trên

.
.

Bài 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
b) y   x 4  4 x 2  5

a) y  x 4  2 x 2  3
c) y 

1 4 3 2
x  x  2x  1
4
2

d) y  2 x5  5x 4 

10 3 7
x 
3
3

Đáp án:
a) Đồng biến:  0;   , nghịch biến  ;0  .











b) Đồng biến: ;  2 ; 0; 2 , nghịch biến:  2;0 ;



2;  .

c) Đồng biến trên  2;   , nghịch biến:  ; 2  .
d) Đồng biến trên

.

Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số

a) y 

3x  1
x2

b) y 

2x 1
1 x

c) y  x 

3
x

d) y  x 

2
x

Đáp án:
a) Đồng biến trên  ; 2  ;  2;   .
b) Đồng biến trên  ;1 ; 1;   .

11

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!






c) Đồng biến: ;  3 ;





 



3;  , nghịch biến:  3;0 ; 0; 3 .

d) Đồng biến:  ;0  ;  0;   .
Bài 5: Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y 

x 2  3x  4
x 1

b) y 

 x2  2 x  3
x 1

c) y 

x

x 1

d) y 

2x 1
x  3x  2

2

2

Đáp án:













a) Đồng biến: ;1  2 ; 1  2;  , nghịch biến: 1  2;1 ; 1;1  2 .
b) Nghịch biến trên  ; 1 ;  1;   .
c) Đồng biến:  1;1 , nghịch biến:  ; 1 ; 1;   .

 1  15   1  15 

d) Đồng biến: 
;1 ; 1;
 , nghịch biến:

2
2

 



1  15   1  15 
; 2  ;  2;   .
 ;
 ; 
2
2

 


Bài 6: Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y  2 x  x 2

b) y  x 2  x  6

c) y  x 2  2 x  3

d) y  x  1  x 2

Đáp án:
a) Đồng biến:  0;1 , nghịch biến: 1; 2  .
b) Đồng biến  3;   , nghịch biến:  ; 2  .
c) Đồng biến: 1;   , nghịch biến:  ;1 .
1 

 1 
;1 .
d) Đồng biến:  1;
 , nghịch biến: 
2

 2 

12

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!