Không gian metric mờ và định lý điểm bất động

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

KHÔNG GIAN METRIC MỜ VÀ
ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ THỊ NHƯ BÍCH

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của cô giáo TS. Lê Thị
Như Bích.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế
thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà

Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thảo

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc sắc nhất đến cô giáo hướng
dẫn luận văn cho tôi, TS. Lê Thị Như Bích. Cảm ơn cô đã luôn bên
cạnh, động viên và nhắc nhở tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn. Cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành nhiệm
vụ học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán Khóa 24 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy
tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng
Đào Tạo Sau Đại Học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn
thành công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Mở đầu

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ trong không gian

metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Không gian metric mờ

5

9
12

2.1

Tập mờ và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Định nghĩa không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Tôpô cảm sinh bởi metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

Dãy Cauchy và không gian metric mờ đầy đủ . . . . . . . . .

34

2.5

Không gian mờ compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6

Định lý Baire cho không gian metric mờ . . . . . . . . . . . .

37

Chương 3. Định lý điểm bất động trong không gian metric mờ 39
3.1

Định lý điểm bất động cho ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

Định lý điểm bất động cho ánh xạ R-giao hoán yếu . . . . . .

41

1

3.3

Định lý điểm bất động cho ánh xạ tương thích yếu . . . . . .

45

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết không gian metric, cùng với khái niệm “khoảng cách” (hay
metric) được định nghĩa trên đó, được xây dựng từ khá lâu và có rất nhiều
ứng dụng, đặc biệt là trong lý thuyết thông tin, trình tự ADN và khoa học
máy tính.
Tuy nhiên trong thực tế, việc xác định khoảng cách chính xác giữa hai điểm
là khá khó khăn, bởi công việc này chịu nhiều sự tác động từ môi trường và
các yếu tố bên ngoài. Chẳng hạn như: khó khăn trong việc đo đạc, phép đo
có sai số, hai điểm cần đo không cố định mà di động hoặc vị trí của hai điểm
đó không được xác định cụ thể mà ta chỉ đoán được mức độ gần nhau giữa
chúng. Để giải quyết vấn đề này, khái niệm “tập mờ” và “không gian metric
mờ” đã được xây dựng.

Sự phát triển của toán học mờ bắt đầu bằng sự giới thiệu khái niệm tập
mờ bởi L.A. ZaDeh vào năm 1965. Năm 1975, O. Kramosil và J. MiChalek
lần đầu tiên đưa ra định nghĩa không gian metric mờ. Nhưng sau đó, năm
1994 định nghĩa này đã được điều chỉnh lại bởi A. George và P. Veermani
bằng việc giới thiệu t-chuẩn liên tục.
Trong ba thập kỷ qua, đã có rất nhiều kết quả đối với toán học mờ. Trong
các tài liệu gần đây, ta thấy toán học mờ có mặt hầu hết trong các mảng
về toán học như: số học, tô pô, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, logic...
Ngoài ra, lý thuyết tập mờ cũng được ứng dụng trong lĩnh vực khoa học khá
nhiều, chẳng hạn như: lý thuyết ổn định, lập trình toán học, lý thuyết mô
hình, khoa học kỹ thuât, y học (di truyền, hệ thần kinh), xử lý ảnh, lý thuyết
điều khiển, thông tin... Bên cạnh đó, định lý về điểm bất động cũng rất phát
triển và đóng vai trò rất quan trọng trong toán học mờ cũng như ngành toán
3


học nói chung. Nhiều nhà nghiên cứu đã thu được các kết quả về định lý điểm
bất động chung cho các ánh xạ khác nhau. Năm 1999, R. Vasuki đã chứng
minh định lý điểm bất động cho ánh xạ R-giao hoán yếu. R.P. Pant đã giới
thiệu khái niệm mới: ánh xạ liên tục tương thích và thiết lập một số định lý
điểm bất động chung. S.N. Mishra, N. Sharma và S.L. Singh đã định nghĩa
ánh xạ giao hoán z-ổn định tiệm cận.
Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu đã phát triển rộng rãi lý thuyết bằng cách
nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của nó và mở rộng khái niệm metric mờ
thông qua việc áp dụng một số tính chất như: tính co, tính suy rộng, tính
liên tục, khả năng tương thích trên tập mờ và các kết quả có được khác.
Với mong muốn tìm hiểu và tổng hợp lại các kết quả liên quan đến không
gian metric mờ, định lý điểm bất động trong không gian metric mờ và một
số vấn đề liên quan, chúng tôi đã chọn đề tài luận văn của mình là: Không
gian metric mờ và định lý điểm bất động.

Trong luận văn này, ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ bản
về không gian metric, ánh xạ co, ánh xạ R-giao hoán yếu và ánh xạ tương
thích yếu trong không gian metric và các định lý điểm bất động cho các ánh
xạ tương ứng kể trên.
Chương 2. Không gian metric mờ. Chương này giới thiệu về tập mờ, không
gian metric mờ và tìm hiểu một số tính chất của không gian metric mờ.
Chương 3. Định lý điểm bất động trong không gian metric mờ. Trong
chương này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa ánh xạ co, ánh xạ R-giao hoán
yếu và ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ và tìm hiểu về
định lý điểm bất động trong không gian metric mờ cho các ánh xạ trên.
4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian metric

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả trong
không gian metric với mục đích so sánh với các khái niệm và kết quả trong
không gian metric mờ sẽ được trình bày ở chương 2, định nghĩa một số ánh
xạ trong không gian metric cùng với định lý điểm bất động tương ứng cho
các ánh xạ nêu trên.
Các kiến thức ở mục này được tham khảo từ tài liệu [2].
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X, một ánh xạ d : X × X → R được gọi là
một hàm khoảng cách hay một metric trên X nếu, với mọi x, y, z ∈ X ta có:

a) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
b) d(x, y) = d(y, x).
c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Lúc đó, (X, d) được gọi là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy trong không gian metric X là một ánh xạ
f : N → X. Lúc đó, nếu kí hiệu xn = f (n) với mỗi n ∈ N thì dãy f còn được
gọi là dãy {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } hay đơn giản hơn là {xn }.
Cho dãy f = {xn }. Giả sử ϕ : N → N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1), ∀k.
5


Lúc đó, f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f . Trong thực tế, người ta thường
đặt nk := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (nk ) = xnk . Do đó, dãy con
f ◦ ϕ của dãy {xn } chính là dãy:
{xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . } hay {xn }k
trong đó n1 < n2 < ... < nk < ...
Một dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ về điểm x ∈ X, hay x là điểm giới hạn
của dãy {xn }, kí hiệu: x = lim xn nếu dãy số d(xn , x) hội tụ về 0 (trên R),
n→∞

tức là:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , d(xn , x) < ε.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử x0 ∈ X và r là một số thực dương, ta gọi hình
cầu mở, hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r, lần lượt là các tập sau đây:
B(x0 ; r) = {x ∈ X|d(x0 , x) < r},

B (x0 ; r) = {x ∈ X|d(x0 , x) ≤ r}.

Định nghĩa 1.1.4. Một tập A của X được gọi là mở nếu
∀x ∈ A, ∃ε > 0, B(x, ε) ⊂ A.

Một tập F ⊂ X được gọi là đóng nếu phần bù X \ F là mở.
Định nghĩa 1.1.5. Cho x ∈ X, tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của
x nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ V.
Một họ V các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân
cận U của x đều tồn tại V ∈ V sao cho V ⊂ U.
Mệnh đề 1.1.6. Hình cầu mở B(a, r) là tập mở, hình cầu đóng B (a, r) là
tập đóng, với mọi a ∈ X và r > 0.
Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (X, d), họ T tất cả các tập mở
trong không gian metric (X, d) được gọi là tôpô sinh bởi metric d.
6


Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, T ) là một không gian tôpô và {xn } là một dãy
trong X. Ta nói xn → x trong không gian (X, T ) nếu với mọi lân cận U của
x, tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U, ∀n ≥ n0 .
Mệnh đề 1.1.9. Cho F ⊂ X. Lúc đó
F đóng ⇔ ∀{xn } ⊂ F, (xn → x ⇒ x ∈ F ).
Định nghĩa 1.1.10. Cho A ⊂ Y ⊂ X. Ta nói A trù mật trong Y nếu A ⊃ Y .
Vậy
A trù mật trong Y ⇔ ∀y ∈ Y, ∀ε > 0, B(y, ε) ∩ A = ∅.
Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian metric X và Y và ánh xạ
f : X → Y . Ta nói f là ánh xạ liên tục tại x0 ∈ X nếu
∀{xn } ⊂ X, xn → x0 ⇒ f (xn ) → f (x0 ).
f được gọi là liên tục trên tập M ⊂ X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc M .
Ta nói f là ánh xa liên tục nếu f liên tục trên X.
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là không gian metric, hàm f : X → R. Khi đó
f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X
⇔ (∀{xn } ⊂ X, xn → x0 , f (x0 ) ≤ lim inf f (xn )),
n→∞

f được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X
⇔ (∀{xn } ⊂ X, xn → x0 , f (x0 ) ≥ lim sup f (xn )).
n→∞

Định nghĩa 1.1.13. Cho không gian (X, d). Một dãy {xn } ⊂ X được gọi là
dãy Cauchy nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, k ≥ n0 , d(xm , xk ) < ε,
X được gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy thuộc X đều hội tụ.
7


Định nghĩa 1.1.14. Không gian đếm được thứ nhất là không gian tôpô thỏa
“tiên đề đếm được thứ nhất”. Cụ thể là, một không gian X được gọi là đếm
được thứ nhất nếu mỗi điểm có một cơ sở lân cận đếm được.
Mệnh đề 1.1.15. Cho X là không gian đếm được thứ nhất và tập A ⊂ X.
Khi đó,
x ∈ A ⇔ ∃{xn } ⊂ A sao cho xn → x.
Định lí 1.1.16. (Định lý Baire trong không gian metric)
Cho X là một không gian metric đầy đủ. Khi đó, với bất kỳ một họ đếm được
∞

{Un }n∈N các tập mở trù mật trong X thì

Un cũng trù mật trong X.
n=1

Định nghĩa 1.1.17. Tập K ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy
{xn } ⊂ K, đều tồn tại một dãy con {xn }k ⊂ {xn }, hội tụ đến một điểm
x ∈ K. Nếu bản thân X là một tập compact thì ta nói (X, d) là không gian
metric compact.

Định lí 1.1.18. (Định lý Hausdorff)
Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn. Ngược lại, một tập đóng và
hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đầy đủ là một tập compact.
Định nghĩa 1.1.19. Cho K ⊂ X. Họ (Oλ )λ∈I , các tập Oλ ⊂ X được gọi là
một phủ của K nếu K ⊂

Oλ .
λ∈I

Nếu Oλ mở với mọi λ thì ta nói (Oλ ) là một phủ mở, còn nếu I là tập hợp
hữu hạn thì ta nói đó là phủ hữu hạn. Nếu tồn tại J ⊂ I sao cho K ⊂

Oλ
λ∈J

thì (Oλ )λ∈J được gọi là phủ con của phủ (Oλ )λ∈I .
Định lí 1.1.20. Để tập con K ⊂ X là compact, điều kiện cần và đủ là mọi
phủ mở của K đều tồn tại phủ con hữu hạn.

8


1.2

Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ trong không
gian metric

Định nghĩa 1.2.1. [4] Một ánh xạ f : X → X được gọi là co nếu tồn tại
0 ≤ α < 1 sao cho
d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x ), ∀x, x ∈ X.

Ví dụ 1.2.1. Cho ánh xạ f : R → R với f (x) = cos(cos(x)).
d
(cos(cosx)) = |sin(cosx).sinx| ≤ sin1 < 1 nên suy ra
Ta có
dx
|cos(cosx) − cos(cosy)| ≤ sin1.|x − y| hay |f (x) − f (y)| ≤ sin1.|x − y|.
Vậy f là ánh xạ co.
Định lí 1.2.2. [4] (Nguyên lý ánh xạ co) Nếu (X, d) là không gian metric
đầy đủ, thì với mỗi ánh xạ co f : X → X có một điểm bất động duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. [10] Cho f, g là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d)
vào chính nó. Khi đó, f, g được gọi là R-giao hoán yếu trên X nếu tồn tại
R > 0 sao cho d(f (g(x)), g(f (x))) ≤ Rd(f (x), g(x)) với mỗi x ∈ X.
Ví dụ 1.2.2. Cho X = [1, ∞) và d là một metric thông thường trên X.
f, g : X → X được cho bởi:
f (x) = 2x − 1 và g(x) = x2 với mọi x ∈ X.
Ta có f (g(x)) = 2x2 − 1 và g(f (x)) = (2x − 1)2 .
Suy ra d(f (g(x)), g(f (x))) = |2x2 − 1 − (2x − 1)2 | = 2(x − 1)2 .
Mà d(f (x), g(x)) = |x2 − 2x + 1| = (x − 1)2 ,
nên suy ra d(f (g(x)), g(f (x))) = 2d(f (x), g(x)).
Vậy f và g là R-giao hoán yếu với R = 2.
Định lí 1.2.4. [10] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và hai ánh xạ

9


f, g là R-giao hoán yếu đi từ không gian X vào chính nó, thỏa mãn điều kiện
d(f (x), f (y)) ≤ r(d(g(x), g(y))),
với r : R+ → R+ là hàm liên tục sao cho r(t) < t với mỗi t > 0. Khi đó, nếu
miền giá trị của g chứa miền giá trị của f và g hoặc f liên tục, thì f và g
có một điểm bất động chung duy nhất.

Định nghĩa 1.2.5. [6] Cho f và g là các ánh xạ đi từ không gian metric
(X, d) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là tương thích nếu với mỗi dãy
{xn } trong X thỏa mãn
lim g(xn ) = lim f (xn ) = x, với x ∈ X,

n→∞

n→∞

thì
lim d(g(f (xn )), f (g(xn ))) = 0.

n→∞

Ví dụ 1.2.3. Cho f, g : R → R với f (x) = x3 và g(x) = 2 − x.
Xét dãy {xn } bất kỳ trong R sao cho lim g(xn ) = lim f (xn ). Ta có,
n→∞

|f (xn ) − g(xn )| =

|x3n

− 2 + xn | = |xn −

1||x2n

n→∞

+ xn + 2| → 0 khi xn → 1.

Mặt khác
lim d(g(f (xn )), f (g(xn ))) = lim |f (g(xn )) − g(f (xn ))|
n

n

= lim |(2 − xn )3 − 2 + x3n | = lim 6|xn − 1|2 → 0 khi xn → 1.
n

n

Suy ra f và g là các ánh xạ tương thích trên R.
Định nghĩa 1.2.6. [6] Cho f, g là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d)
vào chính nó và C(f, g) := {x ∈ X : f (x) = g(x)}. Ta nói f và g là tương
thích yếu nếu
f (g(x)) = g(f (x)), ∀x ∈ C(f, g).
Khi đó, C(f, g) được gọi là tập các điểm trùng của f và g.
10


Ví dụ 1.2.4. Xét ánh xạ f, g : [0, 3] → [0, 3] xác định bởi:

f (x) =



 x, x ∈ [0, 1)

và

g(x) =


 3, x ∈ [1, 3]



 3 − x, x ∈ [0, 1)



3,

x ∈ [1, 3]

Với mỗi x ∈ [1, 3], ta có f (x) = g(x) = 3.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ [1, 3], ta lại có g(f (x)) = f (g(x)) = 3.
Nên suy ra f và g là các ánh xạ tương thích yếu trên [0, 3].
Định nghĩa 1.2.7. [6] Gọi F là họ các ánh xạ φ : (R+ )5 → R+ sao cho
φ
giảm với mỗi biến tọa độ và với t > 0
 là hàm nữa liên tục trên, không



 φ(t, t, 0, αt, 0) ≤ βt
 β = 1, khi α = 2
với



 φ(t, t, 0, 0, αt) ≤ βt
 β < 1, khi α < 2
Định lí 1.2.8. [6] Cho các ánh xạ A, B, S, T đi từ không gian metric đầy đủ
(X, d) vào chính nó và {A, S} và {B, T } là hai cặp ánh xạ tương thích yếu
thỏa mãn các điều kiện:
(i) A(X) ⊂ T (X) và B(X) ⊂ S(X).
(ii) d(A(x), B(y)) ≤ φ(d(S(x), T (y)), d(A(x), S(x)), d(B(y), T (y)),
d(A(x), T (y)), d(B(y), S(x))) với mọi x, y ∈ X; φ ∈ F.
Thì A, B, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trên X.

11


Chương 2

Không gian metric mờ
2.1

Tập mờ và các khái niệm liên quan

Những kết quả trong phần này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3].

Định nghĩa 2.1.1. Một tập mờ trong không gian X là một ánh xạ
f : X → [0, 1].
Khi X = R, ánh xạ f : R → [0, 1] được gọi là tập mờ thực.
4|t|
với t ∈ R là một tập mờ thực.
1 + 4t2
Thật vậy, f (t) xác định với mọi t ∈ R.
Ví dụ 2.1.1. Hàm số f (t) =

Theo bất đẳng thức Cauchy: 1 + 4t2 ≥ 2|2t| = 4|t|. Suy ra
0≤

4|t|
≤ 1 ⇒ f (t) ∈ [0, 1].
1 + 4t2

Do đó f (t) là một tập mờ thực.
Định nghĩa 2.1.2. Một tập mờ thực f được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ R và
∀λ ∈ [0, 1] thì
f [λx + (1 − λ)y] ≥ min{f (x), f (y)}.
Ví dụ 2.1.2. Cho hàm số f (t) =

1
với t ∈ R. Khi đó f (t) là một tập
1 + 3t2

mờ thực lồi.
12


Chứng minh. Ta có f (t) xác định với mọi t ∈ R và 0 <

1
≤ 1.
1 + 3t2

Suy ra f (t) ∈ (0, 1].
Do đó f (t) là một tập mờ thực.

Mặt khác, với mọi x, y ∈ R, với mọi λ ∈ [0, 1], giả sử f (x) ≤ f (y). Hay
1
1
≤
.
1 + 3x2
1 + 3y 2
Do đó x2 − y 2 ≥ 0 và min{f (x), f (y)} = f (x). Ta lại có
f [λx + (1 − λ)y] − f (x) =
=
=
=
=

1
1
−
1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 1 + 3x2
3{x2 − [λx + (1 − λ)y]2 }
{1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 }(1 + 3x2 )
3[x + λx + (1 − λ)y][x − λx − (1 − λ)y]
{1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 }(1 + 3x2 )
3[(x + y) + λ(x − y)][(x − y) − λ(x − y)]
{1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 }(1 + 3x2 )
3[(1 − λ)(x2 − y 2 ) + λ(1 − λ)(x − y)2 ]
.
{1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 }(1 + 3x2 )

Do x2 − y 2 ≥ 0, λ ∈ [0, 1] nên
3[(1 − λ)(x2 − y 2 ) + λ(1 − λ)(x − y)2 ]

≥ 0.
{1 + 3[λx + (1 − λ)y]2 }(1 + 3x2 )
Suy ra f [λx + (1 − λ)y] − f (x) ≥ 0.
Hay f [λx + (1 − λ)y] ≥ f (x), ∀λ ∈ [0, 1].
Mặt khác, vì min{f (x), f (y)} = f (x) nên
f [λx + (1 − λ)y] ≥ min{f (x), f (y)} = f (x).

Vậy f (t) là một tập mờ thực lồi.
Định nghĩa 2.1.3. Một tập mờ thực f được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại
t0 ∈ R sao cho
f (t0 ) = 1.
13


Ví dụ 2.1.3. Xét hàm số ở ví dụ 2.1.1, ta có f (t) là tập mờ thực mà

f

1
2

4×

1
2

=

1
2

1+4×

2

= 1,

nên suy ra f (t) là tập mờ thực chuẩn tắc.
Định nghĩa 2.1.4. Một tập mờ thực f được gọi là nửa liên tục trên tại t0
nếu ánh xạ f : R → [0, 1] nửa liên tục trên tại t0 .
Định nghĩa 2.1.5. Tập mờ thực f được gọi là không âm nếu thỏa mãn
f (t) = 0 ∀t < 0.
Định nghĩa 2.1.6. Một số mờ là một tập mờ thực lồi, chuẩn tắc và nửa liên
tục trên.
Ký hiệu tập các số mờ là R.
Một số mờ không âm là một tập mờ thực, lồi, chuẩn tắc, nửa liên tục trên
và không âm.
Ký hiệu tập các số mờ không âm là R+ .
Khi đó, ta có R+ ⊆ R.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm số
f (t) =





0

với t < 0




1
1+t

với t ≥ 0

thì f (t) là một số mờ không âm.
Chứng minh.

1. Ta thấy f (t) xác định với mọi t ∈ R và |f (t)| ≤ 1 với mọi

t ∈ R nên f (t) là một tập mờ thực.
2. Mặt khác f (0) = 1 nên f (t) là một tập mờ thực chuẩn tắc.
14


3. Ta chứng minh f (t) là một tập mờ thực lồi.
Với mọi x, y ∈ R và với mọi λ ∈ [0, 1]. Ta xét 3 trường hợp sau:
• Nếu x < 0, y < 0 thì min{f (x), f (y)} = 0.
Vì x < 0, y < 0, λ ∈ [0, 1] nên λx + (1 − λ)y < 0.
Suy ra f [λx + (1 − λ)y] = 0.
Do đó f [λx + (1 − λ)y] = min{f (x), f (y)}.
• Nếu xy ≤ 0 thì min{f (x), f (y)} = 0.
Vì f (t) ≥ 0, ∀t ∈ R nên f [λx + (1 − λ)y] ≥ 0.
Suy ra f [λx + (1 − λ)y] ≥ min{f (x), f (y)}.
1
1
và f (y) =

.
1+x
1+y
Giả sử min{f (x), f (y)} = f (x).

• Nếu x ≥ 0, y ≥ 0 thì f (x) =

Suy ra
f (x) ≤ f (y)
⇔

1
1
≤
1+x
1+y

⇔ x ≥ y.
Ta có
f [λx + (1 − λ)y] − f (x) =
=
=

1
1
−
1 + λx + (1 − λ)y 1 + x
x − λx − (1 − λ)y
[1 + λx + (1 − λ)y](1 + x)
(1 − λ)(x − y)

.
[1 + λx + (1 − λ)y](1 + x)

Vì λ ∈ [0, 1], x ≥ y nên
(1 − λ)(x − y)
≥ 0.
[1 + λx + (1 − λ)y](1 + x)
Suy ra f [λx + (1 − λ)y] − f (x) ≥ 0.
15


Hay f [λx + (1 − λ)y] ≥ f (x).
Từ đó, ta có f [λx + (1 − λ)y] ≥ min{f (x), f (y)} = f (x).
Vậy f [λx + (1 − λ)y] ≥ min{f (x), f (y)} nên f (t) là tập mờ thực lồi.
4. Vì f (t) là hàm số liên tục với mọi t = 0 nên cũng nửa liên tục trên với
mọi t = 0.
Ta chứng minh f (t) là nửa liên tục trên tại t = 0. Ta có
lim+ f (t) = lim+

t→0

t→0

1
1+t

=1
= f (0).
Suy ra f (t) là nửa liên tục trên tại t = 0.
5. Rõ ràng f (t) = 0, ∀t < 0 nên f (t) là không âm.

Vậy f (t) là số mờ không âm.

2.2

Định nghĩa không gian metric mờ

Như ta đã biết, khái niệm “khoảng cách” xuất hiện trong không gian metric.
Bây giờ, ta thử xét một ví dụ trong thực tế, cụ thể là việc “đo lường”. Ta thấy
rằng trong việc đo lường một độ dài thông thường, số được cho là khoảng
cách giữa hai điểm thường không phải là kết quả của một phép đo đơn lẻ mà
là giá trị trung bình của một loạt các phép đo. Điều này cho ta đánh giá khái
niệm khoảng cách như là một sự “thống kê” chứ không phải là một sự xác
định chắc chắn. Vì vậy vào năm 1942, “không gian metric suy rộng” đã được
giới thiệu lần đầu tiên bởi K. Menger mà theo ông, nó được gọi là “Không
gian metric thống kê hay không gian metric xác suất”. Không gian Menger
là một trường hợp đặc biệt của không gian metric xác suất và nó được coi
16


như là không gian trung gian để liên kết giữa không gian metric xác suất và
không gian metric mờ.
Trong mục này, chúng tôi trình bày quá trình hình thành không gian metric
mờ từ không gian metric xác suất.
Những kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu [1], [9].
Định nghĩa 2.2.1. Một ánh xạ F : R → [0, 1] được gọi là một hàm phân bố
nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và
inf F (t) = 0 ,

sup F (t) = 1.

t∈R

t∈R

Ta định nghĩa hàm phân bố đặc trưng H như sau:


 0, t ≤ 0
H(t) =

 1, t > 0
Khi đó, ta gọi:
∆ : là tập tất cả các hàm phân bố.
∆+ : là tập con của tập ∆, gồm những hàm F sao cho F (0) = 0.
Ví dụ 2.2.1. Cho F là hàm xác định như sau:

t


, t>0
t + |x − y|
Fxy (t) =


0,
t=0
với x, y ∈ R+ .
Khi đó, Fxy (t) là hàm phân bố.
Chứng minh. Chứng minh Fxy (t) là hàm không giảm.
Với 0 < t1 , t2 ∈ R+ , giả sử 0 < t1 < t2 , ta có

Fxy (t1 )

t1
,
t1 + |x − y|

=

17


Fxy (t2 )

t2
.
t2 + |x − y|

=

Ta có
t1
(t2 − t1 )|x − y|
t2
−
=
.
t2 + |x − y| t1 + |x − y| (t2 + |x − y|)(t1 + |x − y|)
Do 0 < t1 < t2 nên t2 − t1 > 0. Khi đó,
(t2 − t1 )|x − y|
≥ 0.

(t2 + |x − y|)(t1 + |x − y|)
Hay
t2
t1
−
≥ 0.
t2 + |x − y| t1 + |x − y|
Do đó
Fxy (t1 ) ≤ Fxy (t2 ).
Vậy Fxy (t) là hàm không giảm.
Chứng minh Fxy (t) là hàm nửa liên tục dưới.
• Nếu x = y.
Do Fxy (t) là hàm liên tục nên Fxy (t) là nửa liên tục dưới.
• Nếu x = y.
Khi đó,

Fxy (t) =



 1, t > 0

 0, t = 0

Ta dễ dàng kiểm tra được Fxy (t) là nửa liên tục dưới.
Chứng minh

inf Fxy (t) = 0 , sup Fxy (t) = 1.
t∈R+

t∈R+

Ta có
t
t→+∞ t + |x − y|
lim

|x − y|
t→+∞
t + |x − y|
|x − y|
= lim 1 − lim
t→+∞
t→+∞ t + |x − y|
=

lim

= 1.
18

1−


Vậy sup Fxy (t) = 1.
t∈R+



Fxy (t) ≥ 0

Mặt khác, vì
nên suy ra inf Fxy (t) = 0.

t∈R+
 Fxy (t) = 0, khi t = 0
Vậy Fxy (t) là hàm phân bố.
Định nghĩa 2.2.2. Không gian metric xác suất là một cặp (X, F), trong đó
X là một tập khác rỗng và,
F : X × X → ∆+
(x, y) → Fxy
thỏa mãn các điều kiện sau:
(P M 1) Fxy (t) = 1 ∀t > 0 ⇔ x = y.
(P M 2) Fxy (t) = Fyx (t) ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X.
(P M 3) Nếu Fxy (t) = 1 và Fyz (s) = 1 thì Fxz (t + s) = 1 ∀x, y, z ∈ X, ∀t, s ∈ R.
Khi đó, ánh xạ F được gọi là một metric xác suất.
Chú ý 2.2.3. Các điều kiện (P M 1), (P M 2), (P M 3) của định nghĩa 2.2.2 có
thể được viết lại như sau:
1. F (0, x, x) = 1.
2. F (0, x, y) < 1 nếu x = y.
3. F (t, x, y) = F (t, y, x).
4. T [F (t, x, y), F (s, y, z)] ≤ F (t + s, x, z).
trong đó, T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] thỏa mãn:
a) T (c, d)

≥

T (a, b) với c ≥ a, d ≥ b.

b) T (a, b)

=

T (b, a).
19


c) T (1, 1)

=

1.

d) T (a, 1)

>

0 với a > 0.

Ánh xạ T này được gọi là một t-chuẩn.
Định nghĩa 2.2.4. Một ánh xạ ∗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] được gọi là một
chuẩn tam giác, viết tắt là t-chuẩn nếu thỏa các điều kiện sau:
1. a ∗ 1 = a, ∀a ∈ [0, 1].
2. a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ [0, 1].
3. a ∗ b ≤ c ∗ d, nếu a ≤ c; b ≤ d; a, b, c, d ∈ [0, 1].
4. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀a, b, c ∈ [0, 1].
Nếu ∗ liên tục thì ta nói ∗ là t-chuẩn liên tục.
Ta xét 3 t-chuẩn cơ bản sau:
a ∗ b = max{a + b − 1, 0}.
a ∗ b = ab.
a ∗ b = min{a, b}.

Định nghĩa 2.2.5. Không gian Menger là một bộ 3 (X, F, ∗) với (X, F) là
một không gian metric xác suất, ∗ là t-chuẩn, sao cho
Fxz (t + s) ≥ Fxy (t) ∗ Fyz (s) ∀x, y, z ∈ X, t, s ≥ 0.
Định nghĩa 2.2.6. Không gian metric mờ là một bộ ba (X, M, ∗) sao cho
X = ∅, ∗ là t-chuẩn liên tục và M là một tập mờ trên X × X × (0, +∞),
thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X, s, t > 0 :
(GV 1) M (x, y, t) > 0.
20


(GV 2) M (x, y, t) = 1 ⇔ x = y.
(GV 3) M (x, y, t) = M (y, x, t).
(GV 4) M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s).
(GV 5) M (x, y, ) : (0, +∞) → [0, 1] liên tục.
Tập mờ M được gọi là một metric mờ trên X.
Nhận xét 2.2.7. 1) M (x, y, ) là một hàm không giảm với mọi x, y ∈ X.
Chứng minh. Với 0 < t < s, giả sử M (x, y, t) > M (x, y, s). Khi đó, từ
điều kiện (GV 4), ta có M (x, y, t) ∗ M (y, y, s − t) ≤ M (x, y, s).
Mặt khác, từ điều kiện (GV 2) suy ra M (y, y, s − t) = 1. Do đó,
M (x, y, t) ∗ M (y, y, s − t) = M (x, y, t) ∗ 1 = M (x, y, t) ≤ M (x, y, s).
(Mâu thuẫn với điều giả sử)
Vậy M (x, y, ) là hàm không giảm.
2) Ta có thể xem M (x, y, t) là mức độ gần nhau của x và y tại thời điểm t
(x và y càng gần nếu M (x, y, t) càng lớn và ngược lại).
3) Tiên đề (GV 1) có nghĩa là khoảng cách giữa x và y không thể bằng ∞.
4) Tiên đề (GV 2) tương đương với điều kiện sau:
M (x, x, t) = 1 ∀x ∈ X, t > 0,
M (x, y, t) < 1 ∀x = y, t > 0.
Tiên đề (GV 2) khẳng định rằng khi x = y, mức độ gần của x và y là
“hoàn hảo” (nghĩa là bằng 1) và vì thế M (x, y, t) = 1, với mỗi x ∈ X, với

mỗi t > 0.

21


Ví dụ 2.2.2. Cho không gian metric (X, d), t-chuẩn a ∗ b = min{a, b} và
ánh xạ M được xác định bởi:
M (x, y, t) =

t
t + d(x, y)

∀x, y ∈ X,

t > 0.

Khi đó, (X, M, ∗) là một không gian metric mờ. Metric mờ M được gọi là
metric mờ cảm sinh bởi metric d.
1. Vì (X, d) là không gian metric nên d(x, y) ≥ 0.
t
> 0 ∀x, y ∈ X, t > 0.
Suy ra M (x, y, t) =
t + d(x, y)

Chứng minh.

2. Ta có d(x, y) = 0 ⇔ x = y

∀x, y ∈ X.

Do đó ∀x, y ∈ X, t > 0 thì
t
t
M (x, y, t) =
= = 1 khi và chỉ khi x = y.
t + d(x, y) t
3. Do d là metric trên X nên d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X.
Suy ra ∀x, y ∈ X, t > 0 ta có
M (x, y, t) =

t
t
=
= M (y, x, t).
t + d(x, y) t + d(y, x)

Do đó M (x, y, t) = M (y, x, t) ∀x, y ∈ X, t > 0.
4. Giả sử min{M (x, y, t), M (y, z, s)} = M (x, y, t).
Suy ra M (x, y, t) ≤ M (y, z, s). Ta có
s
t
≤
.
t + d(x, y)
s + d(y, z)
Hay

ts + td(y, z) ≤ st + sd(x, y).

Do đó td(y, z) ≤ sd(x, y). Xét

s+t
t
−
s + t + d(x, z) t + d(x, y)
st + sd(x, y) + t2 + td(x, y) − st − t2 − td(x, z)
=
[s + t + d(x, z)][t + d(x, y)]
sd(x, y) + td(x, y) − td(x, z)
=
[s + t + d(x, z)][t + d(x, y)]

M (x, z, s + t) − M (x, y, t) =

22