Tìm hiểu năng lực mô hình hóa toán học của sinh viên sư phạm ngành toán trong môi trường công nghệ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ ÁNH TUYẾT

TÌM HIỂU NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA
CỦA SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN
TRONG MÔI TRƯỜNG CÔNG NGHỆ
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ TÂN AN

Thừa Thiên Huế, năm 2016

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nào khác.
Tác giả

Bùi Thị Ánh Tuyết

ii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Nguyễn Thị
Tân An, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Huế, Phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các
thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã
tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý
báu trong hai năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn tập thể sinh viên năm 4 của Khoa Toán
trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tạo điều kiện và phối hợp với tôi
khi tiến hành thực nghiệm sư phạm.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ,
quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng
dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 10 năm 2016
Bùi Thị Ánh Tuyết

iii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa ................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................. iii
MỤC LỤC ..................................................................................................... 1

BẢNG CHỮ VIẾT TẮT ............................................................................... 3
DANH MỤC BẢNG BIỂU ĐỒ HÌNH VẼ................................................ 4
CHƯƠNG 1

ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................... 7

1.1 Mô hình hóa Toán học ...................................................................... 7
1.2 Vai trò của công nghệ trong mô hình hóa Toán học...................... 8
1.3 Sơ lược lịch sử nghiên cứu liên quan đến đề tài ........................... 13
1.4 Đặt vấn đề ........................................................................................ 14
1.5 Kết luận chương 1 ........................................................................... 15
CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT........................................................ 16

2.1 Quá trình mô hình hóa toán học .................................................... 16
2.2 Quá trình mô hình hóa toán học trong môi trường công nghệ .. 17
2.3 Sự tương tác giữa MHH, nội dung toán và công nghệ ................ 24
2.4 Các loại tình huống MHH trong môi trường công nghệ ............. 25
2.5 Câu hỏi nghiên cứu ......................................................................... 26
3.1Ngữ cảnh và mục tiêu. ..................................................................... 27
3.2 Phương pháp nghiên cứu................................................................ 29
3.3 Phiếu học tập ................................................................................. 30
3.3.1 Nội dung phiếu học tập ............................................................ 30
3.3.2 Phân tích tiên nghiệm .............................................................. 34
CHƯƠNG 4

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................ 47

4.1. Ví dụ 1 ............................................................................................. 47

4.1.1. Mô tả bài làm của sinh viên.................................................... 47

1


4.1.2 Nhận xét ........................................................................................ 53
4.1.3 Kết luận ..................................................................................... 56
4.2. Tình huống 2 ................................................................................... 56
4.2.1. Mô tả bài làm của sinh viên.................................................... 56
4.2.2 Nhận xét .................................................................................... 62
4.2.3 Kết luận ..................................................................................... 65
4.3. Tình huống 3 ................................................................................... 66
4.3.1. Mô tả bài làm của sinh viên.................................................... 66
4.3.2 Nhận xét .................................................................................... 69
4.3.3 Kết luận ..................................................................................... 72
4.4 Kết luận chương 4 ........................................................................... 72
CHƯƠNG 5

KẾT LUẬN....................................................................... 74

5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu. ........................... 74
5.2 Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài.................. 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 79

2


BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
Cụm từ đầy đủ

Cụm từ viết tắt

Mô hình hóa

MHH

Hệ thống máy tính đại số

CAS

Phần mềm hình học động

DGS

Chương trình bảng tính

SP

Giá trị lớn nhất

GTLN

Giá trị nhỏ nhất

GTNN

3


DANH MỤC BẢNG BIỂU ĐỒ HÌNH VẼ

Nội dung

Bảng biểu
đồ hình vẽ
Hình 2.1

Chu trình MHH của Blum & Lei (2007)

Hình 2.2

Quy trình MHH kết hợp với công nghệ

Hình 2.3

Sơ đồ về bốn bước chuyển đổi của Siller & Greefrath (2010)

Hình 2.4

Hình ảnh mô tả sân bóng futsal

Hình 2.5

Mô hình của ví dụ trong DGS

Hình 2.6

Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ DGS

Hình 2.7

Mô hình của ví dụ trong CAS

Hình 2.8

Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ CAS

Hình 2.9

Mô hình của ví dụ trong SP

Hình 2.10

Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ SP

Hình 2.11

Quy trình MHH và ảnh hưởng của công nghệ

Hình 2.12

Mối quan hệ giữa MHH nội dung toán và công nghệ

Hình 3.1

Hình ảnh tình huống 1

Hình 3.2

Hình ảnh tình huống 1

Hình 3.3

Hình ảnh tình huống 1

Hình 3.4

Hình ảnh công cụ đánh dấu của cách 1 trong tình huống 1

Hình 3.5

Hình ảnh công cụ tính diện tích của cách 1 trong tình huống 1

Hình 3.6

Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 1

Hình 3.7

Hình ảnh công cụ compa của cách 2 trong tình huống 1

Hình 3.8

Hình ảnh kết quả của cách 2 trong tình huống 1

Hình 3.9

Hình ảnh công cụ dựng hình đa giác của cách 3 trong tình
huống 1

Hình 3.10

Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 1

Hình 3.11

Hình ảnh mô hình của cách 1 trong tình huống 2

Hình 3.12

Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 2

4


Hình 3.13

Hình ảnh xây dựng công thức của cách 2 trong tình huống 2

Hình 3.14

Hình ảnh kết quả của cách 2 trong tình huống 2

Hình 3.15

Hình ảnh xây dựng công thức của cách 3 trong tình huống 2

Hình 3.16

Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 2

Hình 3.17

Hình ảnh kết quả giá trị a của cách 1 trong tình huống 3

Hình 3.18

Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 3

Hình 3.19

Hình ảnh kết quả giá trị a;b;c;d của cách 2 trong tình huống 3

Hình 3.20

Hình ảnh kết quả của cách 2 trong tình huống 3

Hình 3.21

Hình ảnh kết quả của giá trị a;b;c của cách 3 trong tình huống 3

Hình 3.22

Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 3

Hình 4.1

Cách làm thứ nhất của nhóm 1

Hình 4.2

Cách làm thứ hai của nhóm 1

Hình 4.3

Cách làm của nhóm 2

Hình 4.4

Cách làm của nhóm 3

Hình 4.5

Cách làm của nhóm 4

Hình 4.6

Cách làm thứ nhất của nhóm 5

Hình 4.7

Cách làm thứ hai của nhóm 5

Hình 4.8

Cách làm thứ ba của nhóm 5

Hình 4.9

Cách làm của nhóm 6

Hình 4.10

Cách làm của nhóm 7

Bảng 4.1

Tóm tắt kết quả thực nghiệm của tình huống 1

Hình 4.11

Cách làm của nhóm 1

Hình 4.12

Cách làm của nhóm 2

Hình 4.13

Kết quả của nhóm 2

Hình 4.14

Cách làm của nhóm 3 trong Maple

Hình 4.15

Cách làm của nhóm 3 trong GSP

Hình 4.16

Cách làm thứ nhất của nhóm 4

Hình 4.17

Cách làm thứ hai của nhóm 4

Hình 4.18

Cách làm của nhóm 5

5


Hình 4.19

Cách làm của nhóm 6

Bảng 4.2

Tóm tắt kết quả thực nghiệm của tình huống 2

Hình 4.20

Cách làm của nhóm 1

Hình 4.21

Cách làm của nhóm 2

Hình 4.22

Cách làm của nhóm 3

Hình 4.23

Cách làm của nhóm 4

Hình

4.24; Cách làm của nhóm 5

4.25
Bảng 4.3

Tóm tắt kết quả thực nghiệm của tình huống 3

6


CHƯƠNG 1

ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Mô hình hóa Toán học
Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học
được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà
mỗi tác giả lựa chọn. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa mô hình
hóa toán học của Edwards và Hamson (2001) như sau:
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một
vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học,

thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu
cách giải quyết không thể chấp nhận.
Phát biểu một cách cụ thể hơn, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển
đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến
quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình
toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên
quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại
quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, nếu nói
một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những
vấn đề thực tế bằng công cụ toán học.
Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động
phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì
vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán
học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được
xem xét.
Để thuận tiện trong việc trình bày luận văn, kể từ lúc này, tôi sử dụng thuật ngữ
“mô hình hóa”, viết tắt là MHH, thay cho thuật ngữ “mô hình hóa toán học”.
Trong những thập kỉ gần đây, việc đưa MHH vào dạy và học toán trong nhà
trường đã được nhiều sự ủng hộ vì những lí do sau:

7


 Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán
học với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác,
giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.
 Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như
một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài
toán, từ đó giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế.
Khả năng sử dụng toán vào các tình huống ngoài toán không phải là kết

quả tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự
chuẩn bị và rèn luyện.
 Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện
và phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một
ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người.
 Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình
hóa phù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc
phát triển thái độ tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy
việc học toán.
 Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng
lực toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết
vấn đề.
1.2 Vai trò của công nghệ trong mô hình hóa Toán học
Trên thế giới, xu hướng ứng dụng công nghệ vào các hoạt động đời sống hàng
ngày đang diễn ra và không ngừng phát triển. Chính vì lẽ đó mà công nghệ ngày
càng được quan tâm đầu tư không chỉ các tập thể mà còn có các cá nhân. Công
nghệ xâm nhập vào rất nhiều khía cạnh trong đó có giáo dục và ngày càng chứng
tỏ được vai trò của công nghệ trong việc giảng dạy nói chung và học tập nói
riêng.
Bên cạnh đó, tính chính xác và nhanh chóng của công nghệ cũng là một yếu tố
đáng chú ý. Bởi vì với yếu tố này công nghệ sẽ trở thành công cụ đầy quyền lực
cho sinh viên trong việc giải quyết các mô hình. Trên cơ sở đó, công việc giảng

8


dạy và thiết kế các mô hình để đưa vào công tác giảng dạy được đầu tư kỹ càng
hơn; tạo cơ hội cho việc toán học tiệm cận gần hơn thực tế.
Theo Siller & Greefrath (2010), công nghệ gần với toán học là hệ thống máy tính
đại số, phần mềm hình học động và chương trình bảng tính. Đây là những công

nghệ không thể thiếu trong một nền giáo dục Toán học hiện đại. Nghiên cứu này
cũng lựa chọn 3 phần mềm đại diện cho 3 loại công nghệ để tiến hành thực
nghiệm và đánh giá.
Hệ thống máy tính đại số (CAS)
Có khá nhiều phần mềm CAS nhưng có lẽ quen thuộc nhất đối với giáo viên và
sinh viên Toán thì đó là phần mềm Maple. Maple là một gói phần mềm toán học
thương mại phục vụ cho nhiều mục đích. Nó phát triển lần đầu tiên vào năm
1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo Ontario
Canada. Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo
Maple Inc (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng
có trụ sở tại Waterloo, Ontario. Phần mềm Maple trở thành một phần mềm được
giảng dạy trong chương trình của ngành Sư phạm Toán. Chính vì lẽ đó mà Maple
chiếm vị trí ưu tiên khi nói đến CAS.
Tuy nhiên Maple khá nặng và sử dụng khá phức tạp. Chính vì nó có thể giải
quyết được những bài toán cao cấp những hàm số với công thức phức tạp nên
việc sử dụng Maple cho những câu hỏi Toán học phổ thông trở nên quá cao. Do
đó ngoài việc vẫn lựa chọn Maple là phần mềm đại diện cho CAS thì nghiên cứu
này đã lựa chọn thêm một công cụ khác. Đó là máy tính bỏ túi của Vinacal. Đây
là loại máy tính quen thuộc với học sinh cũng như sinh viên. Nó sẽ trở nên hữu
hiệu khi giải quyết các bài toán phổ thông như giải hệ phương trình bậc nhất 3
ẩn 4 ẩn; ...
Tóm lại công cụ đại diện cho CAS là Maple và máy tính bỏ túi.
Phần mềm hình học động (DGS).
Công cụ đại diện được lựa chọn là phần mềm Sketchpad. Nhắc đến phần mềm
hình học động là nhắc đến Sketchpad Cabri Geogebra... Và khi tra thông tin

9


trên Google thì Sketchpad là cái tên được nhắc đến nhiều nhất. The Geometer's

Sketchpad (thường được gọi tắt là Sketchpad hay GSP) là một phần mềm thương
mại với mục đích khám phá Hình học Euclid, Đại số, Giải tích, và các ngành
khác của Toán học. Geometer's Sketchpad được sử dụng rộng rãi trong việc
giảng dạy ở nhiều trường trung học cơ sở ở Hoa Kỳ và Canada. Geometer's
Sketchpad từng nhận được nhiều giải thưởng công nghiệp và từng có mặt trong
các bài thuyết trình của John Sculley (giám đốc Apple Computer) và Bill
Gates (giám đốc Microsoft) về những công nghệ giáo dục tốt nhất. Trong chương
trình học của ngành sư phạm Toán thì Sketchpad đã được đưa vào giảng dạy với
giáo trình riêng. Còn trong chương trình tập huấn cho giáo viên Toán phổ thông
Sketchpad cũng là lựa chọn công nghệ hàng đầu để giới thiệu cho giáo viên. Do
đó nghiên cứu này đã chọn công cụ đại diện cho DGS là Sketchpad.
Chương trình bảng tính (SP).
Bộ Microsoft Office là bộ Office thông dụng đối với tất cả mọi người. Kể từ khi
ra đời cho đến nay bộ Office này vẫn giữ vị trí tiên phong trong chương trình tin
học văn phòng. Microsoft Office ngày càng nâng cấp với rất nhiều phần mềm
nhưng phố biến nhất phải kể đến đó Microsoft Word Microsoft

Excel

Microsoft Power Point. Microsoft Excel là chương trình xử lý bảng tính được
thiết kế để giúp ghi lại, trình bày các thông tin xử lý dưới dạng bảng, thực hiện
tính toán và xây dựng các số liệu thống kê trực quan có trong bảng từ Excel.
Bảng tính của Excel bao gồm nhiều ô được tạo bởi các dòng các cột và Excel có
nhiều tính năng ưu việt và có giao diện rất thân thiện với người dùng. Do
đónghiên cứu này đã chọn công cụ đại diện cho SP là Excel.
Một ý tưởng quan trọng của việc sử dụng các công cụ kỹ thuật số trong toán học
và đặc biệt là trong các bài học MHH là sự tích hợp. Các công cụ đồ họa biểu
tượng mang tính hiện đại và máy tính cung cấp những cách thức mới trong việc
học và sự hiểu biết toán học.
Nhưng các công cụ kỹ thuật số không chỉ là công cụ để hỗ trợ các hoạt động mô

hình của sinh viên. Trong nhiều dự án, giáo viên cố gắng thực hiện các công cụ
kỹ thuật số như máy tính xách tay với phần mềm máy tính đại số để mang lại

10


nhiều ứng dụng và MHH vào kinh nghiệm giảng dạy từng ngày (Henn 1998).Vậy
thì trong công việc của giáo viên những yếu tố nào sẽ ảnh hưởng đến sự chọn lựa
của họ? Vince Geiger đã nghiên cứu và đưa ra những yếu tố ảnh hưởng đến thực
hành sáng tạo với công nghệ và MHH toán học của giáo viên.
Đầu tiên phải nói đến việc sử dụng CAS trong MHH toán học.
Trong hai thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu đã lập luận rằng các công nghệ kỹ
thuật số có khả năng tăng cường giảng dạy và học tập của toán học (Zbiek và
cộng sự 2007). Mặc dù nghiên cứu năng lực chuyển giao công nghệ kỹ thuật số
đến giảng dạy toán học đã tăng lên nhanh chóng (Hoyles và NOSS 2003), nhưng
nghiên cứu về cách thức sẵn có của các tác động công nghệ vào giảng dạy và học
tập MHH toán học là ít phổ biến.
Một số nhà nghiên cứu đã tìm thấy rằng nhiều phương tiện biểu hiện được cung
cấp bởi công nghệ kỹ thuật số có thể tăng cường năng lực của sinh viên để giải
quyết các vấn đề mang ngữ cảnh toán học (xem ví dụ, Huntley và cộng sự 2000).
Vì vậy, nghiên cứu về các lợi ích tiềm năng được cung cấp bởi công nghệ là
tương đối mới với bối cảnh trường học, như CAS - công nghệ kích hoạt, cũng
phải xem xét các khả năng và hạn chế gặp phải trong thiết lập lớp học đích thực
khi công nghệ này được giới thiệu. Trong khi nó đã được lập luận rằng CAS có
tiềm năng để cung cấp truy cập đến các vấn đề phức tạp hơn liên quan đến cuộc
sống (Thomas 2001) thông qua bản chất tích hợp cao của tính đại diện và sức
mạnh tính toán tăng cường cung cấp bởi các thiết bị, các tiềm năng của mô hình
và CAS được xem xét riêng biệt trong nghiên cứu giáo dục toán học (Thomas et
al. 2004).
Thứ hai mô hình của việc sử dụng công nghệ trong MHH Toán Học.

Mô hình toán học thường được trình bày như là một quá trình tuần hoàn bắt đầu
với một vấn đề thiết lập trong cuộc sống để rồi trừu tượng thành một đại diện
toán học của tình huống bối cảnh hóa và giải quyết thông qua việc áp dụng các
thói quen và quá trình tính toán. Các giải pháp được đưa vào hỗ trợ chống lại vấn

11


đề ban đầu để xem xét sự phù hợp của nó với bối cảnh ban đầu. Các công nghệ
đóng vai trò trong quá trình này đã được mô tả bởi Galbraith và cộng sự (2003).
Quan điểm này xác định các khái niệm của MHH toán học là một hoạt động độc
quyền của con người, trong khi các hành động của việc tìm kiếm một giải pháp
cho các mô hình trừu tượng có thể tăng cường thông qua sự kết hợp của công
nghệ. Do đó công nghệ được xem là một công cụ dùng để tương tác với những ý
tưởng toán học chỉ sau một MHH toán học được phát triển, chứ không phải là
một công cụ cho việc thăm dò và phát triển của một mô hình hoặc xác nhận nó
như là một đại diện đáng tin cậy của một tình huống liên quan.
Nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng đây là một quan điểm hạn chế về vai trò của công
nghệ trong MHH toán học. Confrey và Maloney (2007) cho rằng quá trình xây
dựng mô hình được thành lập trên hai hoạt động: điều tra và lập luận. Trong khi
công nghệ trong mô hình này có thể kết hợp và tạo ra các cơ quan đại diện hỗ trợ
sự chuyển đổi của một tình huống không xác định đến một tình huống có chủ
đích, nó cũng đóng một vai trò trung tâm trong việc phối hợp điều tra, lý luận, hệ
thống hóa và dẫn đến một tình huống có chủ đích.
Trong một nghiên cứu gần đây về vai trò của công nghệ trong MHH toán học
Geiger và cộng sự (2008) nhận thấy rằng công nghệ CAS có thể được sử dụng
bởi các giáo viên như một chất kích thích để kích thích khám phá các khái niệm
toán học trong các vấn đề cuộc sống đến học sinh trung học.
Công nghệ có một vai trò trong việc làm trung gian cho quá trình tính toán ở gần
tất cả các điểm trong chu kỳ mô hình. Vai trò của công nghệ trong chu kỳ mô

hình là phù hợp với Confrey và Maloney (2007), người xem công nghệ như
phương tiện cho sự phối hợp của các cuộc điều tra và lý luận cần thiết để tham
gia với các vấn đề thiết lập trong một bối cảnh cuộc sống thực tế.
Các quan điểm khác nhau chỉ ra rằng vai trò của công nghệ, và đặc biệt là CAS,
trong chu kỳ MHH phụ thuộc vào quan điểm cá nhân của giáo viên về việc sử
dụng các công nghệ và các mô hình toán học cũng như nhận thức của họ trong
các trường hợp mà họ làm việc. Từ đó thấy rõ vai trò thiết yếu của giáo viên liên

12


quan đến sự thay đổi sư phạm, và nó sẽ liên quan đến phát triển công nghệ và khi
đó quan điểm truyền thống có nghĩa là để học toán học được thử thách.
Cuối cùng Gilbert Greefrath, Ilans-Stefan ShIer, and .Jens Weitendorf đã xem
xét sự ảnh hưởng của công nghệ đến MHH. Bằng cách sử dụng công nghệ trong
giáo dục toán học, một sự thay đổi rất lớn từ các thành quả để giải quyết vấn đề
có thể được thực hiện, vì vậy, một sự thay đổi hữu ích nhấn mạnh từ các hoạt
động toán học để các kiến thức toán học và phản xạ có thể được nhận ra. Nếu bạn
sử dụng công nghệ, ví dụ, CAS (hệ thống máy tính đại số), đồ họa Máy tính,
Spreadsheets DGS (Phần mềm hình học động), hoặc phần mềm MHH, một số
phản xạ toán học bên trong phải được thực hiện. Nhìn lại lịch sử, việc sử dụng
công nghệ trong giáo dục toán học bắt đầu vào những năm 1970 (Siller 2008).
Ngày nay, sự phát triển về công nghệ đã rất thành công, và từ một loạt phần
mềm, các công nghệ thích hợp cho vấn đề tương ứng phải được chọn. Tính toán
vẫn tồn tại trong nhiều lớp học, nhưng các thiết bị điện tử khác như CAS-máy
tính (ví dụ .. CASIO ClassPad) là những công cụ mạnh hơn cho giáo dục.
Khi vai trò của công nghệ có thể tác động mạnh đến giáo dục toán học, trong mô
hình toán học đặc biệt, nó là cần thiết để bao gồm vai trò của phụ gia công nghệ
trong chu kỳ mô hình. Một cách tiếp cận đã được khái niệm bởi Siller và
Greefrath (2010).

1.3 Sơ lược lịch sử nghiên cứu liên quan đến đề tài
Đề tài về MHH và công nghệ đã được rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Bằng
chứng là có rất nhiều bài báo khoa học đã được công bố về MHH cũng như vai
trò của công nghệ.
Vào năm 2007, Confrey và Maloney trong quyển sách

"Modelling and

applications in mathematics education" đã đề cập đến một lý thuyết MHH Toán
học trong thiết lập công nghệ. Trong bài nghiên cứu này, Confrey đã xác định có
bốn cách tiếp cận khác nhau nhưng liên quan đến công nghệ. Đó là:

13


- Dạy khái niệm và kỹ năng mà không cần máy tính, và cung cấp các công cụ
công nghệ như là nguồn lực sau khi làm chủ.
- Giới thiệu công nghệ để thực hiện mô hình có thể nhìn thấy dễ dàng hơn, và để
hỗ trợ các khái niệm toán học.
- Dạy nội dung mới cần phải có do một môi trường công nghệ nâng cao (dự toán,
kiểm tra , phương pháp lặp đi lặp lại ).
- Tập trung vào các ứng dụng, giải quyết vấn đề, và MHH, và sử dụng công nghệ
này như một công cụ để giải quyết của họ.
Năm 2010, Siller và Greefrath cũng đã đề cập đến MHH trong công nghệ ở bài
báo của mình. Trong bài báo này, Siller đã phân bố thành 3 phần rất rõ ràng.
Phần thứ nhất là MHH không có sự giúp đỡ của công nghệ. Ở phần này ông đã
nói về tầm quan trọng của Toán học trong các vấn đề thực tế cuộc sống. Đồng
thời trong phần này ông cũng đã sử dụng mô hình chu kỳ của Blum (2007) để
làm cơ sở cho những phát biểu của mình. Và dựa trên chu kỳ đó ông đã mở rộng

ra thành chu kỳ MHH khi có sự tham gia của công nghệ. Phần thứ hai ông viết
MHH với sự trợ giúp của công nghệ. Trong phần này, Siller đã trích dẫn những
mục tiêu có thể đạt được thông qua MHH với công nghệ của của Möhringer
(2006). Đó là những mục đích về sư phạm, về tâm lý, về văn hóa và về thực tế.
Ông cũng đã nói việc sử dụng các công nghệ có thể giúp đơn giản thủ tục khó
khăn trong mô hình hóa. Trong một số thời điểm sử dụng công nghệ thậm chí
còn không thể thiếu. Phần cuối cùng ông giới thiệu về các phần mềm ông cho
rằng là là những công cụ công nghệ hữu hiệu cho MHH Toán học.
1.4 Đặt vấn đề
Dựa trên các nghiên cứu đã có về MHH trong môi trường công nghệ, đề tài
nghiên cứu này phát triển cụ thể hơn nữa về những gì đang diễn ra trên môi
trường công nghệ khi giải quyết MHH.
Cụ thể, đề tài này sử dụng cơ sở lý thuyết về MHH của Blum để phân tích những
bước trong quá trình MHH mà công nghệ đã được sử dụng. Đề tài này cũng thực
hiện theo đúng chu kỳ MHH mở rộng trong môi trường công nghệ mà Siller đã
đưa ra để giải quyết vấn đề. Đồng thời, căn cứ vào các loại công nghệ của Siller

14


đề tài này cũng đã lựa chọn ra 3 phần mềm trở thành công cụ then chốt, xuyên
suốt quá trình điều tra và nghiên cứu.
Bên cạnh đó, qua nghiên cứu của Confrey, chúng ta không chỉ thấy được vai trò
của công nghệ trong các công đoạn tìm hiểu và lưu giữ kiến thức mà chúng ta
còn suy nghĩ đến phương cách để công nghệ giải quyết vấn đề một cách tự động
và khoa học hơn. Và câu hỏi đặt ra là trước khi bài toán thực tế đến với học sinh,
người giáo viên sẽ làm gì để việc giải quyết bài toán được nhanh chóng và tiện
lợi nhất? Có nghĩa là đề tài nghiên cứu này đang hướng đến phương cách giải
quyết vấn đề MHH một cách tối tân của cao cấp của các nhà giáo, những người
sẽ hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh.

1.5 Kết luận chương 1
Đề tài nghiên cứu này là sự phát triển tiếp nối của những nghiên cứu trước
đó về MHH và công nghệ. Đề tài này còn là cầu nối giúp cho công nghệ tiến gần
hơn với MHH và trở thành công cụ đắc lực cho việc giải quyết các bài toán MHH
phức tạp.

15


CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Quá trình mô hình hóa toán học
MHH toán học thường được biểu diễn như một quy trình bắt đầu với một vấn đề
đặt ra trong tình huống có ngữ cảnh thực tế, tiếp theo tình huống được trừu tượng
hóa thành các biểu diễn toán học và được giải quyết thông qua sử dụng các quá
trình toán học. Người thực hiện MHH dựa trên kết quả toán có được để đưa ra
phương pháp giải quyết đối với vấn đề ban đầu, tuy nhiên nếu cách giải quyết
không phù hợp với ngữ cảnh thực tế thì quá trình trên được lặp lại.
Các nhà nghiên cứu giáo dục thường sử dụng những sơ đồ khác nhau, tùy thuộc
vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc
mục đích nghiên cứu... để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ
đều nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình
huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt
được kết quả tốt hơn.
Blum và Leiß (2007) đã sử dụng một sơ đồ gồm 7 bước (sơ đồ 2.1) để mô tả quá
trình giải quyết một nhiệm vụ MHH. Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt
giữa mô hình tình huống với tình huống thực tế và mô hình thực, bởi vì Blum và
Leiß cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH mà mỗi học

sinh ít nhiều đều phải trải qua.

16


Hình 2.1 Chu trình MHH của Blum & Leiß (2007)
Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống
đó;
Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô
hình thực của tình huống;
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;
Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;
Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần
2;
Bước 7: Trình bày cách giải quyết.
2.2 Quá trình mô hình hóa toán học trong môi trường công nghệ
Công nghệ có thể được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau trong quá trình
MHH toán học và tạo cơ hội cho quá trình này được diễn ra thuận lợi hơn.
a. Công nghệ hỗ trợ giải quyết mô hình toán học trong quá trình MHH
Theo Greefrath (2011), việc giải quyết các vấn đề MHH trong môi trường công
nghệ đòi hỏi các quá trình chuyển đổi quan trọng sau đây:

17




Tình huống thực tế của vấn đề phải được hiểu và chuyển đổi sang ngôn
ngữ toán học.



Các biểu diễn toán học tiếp tục được chuyển đổi sang ngôn ngữ của
máy tính, hay nói cách khác là một mô hình máy tính cụ thể phải được
xây dựng.



Sau đó, kết quả có được trong môi trường công nghệ phải được chuyển
đổi ngược lại vào môi trường toán học.



Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả trong tình huống thực tế ban
đầu.

Hình 2.2 Quy trình MHH kết hợp với môi trường công nghệ
Bốn quá trình chuyển đổi quan trọng giữa thế giới thực tế, thế giới toán học và
thế giới công nghệ trong chu trình MHH toán học có sử dụng công nghệ đã được
Siller & Greefrath (2010) mô tả với một sơ đồ ngắn gọn hơn.

18


Hình 2.3 Sơ đồ về bốn bước chuyển đổi của Siller & Greefrath (2010)
Ba thế giới trong chu trình trên có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau. Sự phát triển của
một mô hình toán học trong môi trường công nghệ một mặt phụ thuộc vào kiến
thức về tình huống và kiến thức toán, mặt khác chịu ảnh hưởng bởi khả năng sử
dụng công nghệ. Sử dụng công nghệ trong quá trình MHH giúp đơn giản hóa các

quá trình, mở rộng khả năng dự đoán, thử nghiệm các phương án giải quyết các
mô hình toán học mà đôi khi sẽ rất khó thực hiện nếu chỉ dùng giấy viết thông
thường.
Ví dụ: Trong môn bóng đá futsal, các cầu thủ có nhiệm vụ đưa bóng vào khung
thành. Tuy nhiên, việc sút bóng vào khung thành chỉ có một góc hẹp là có thể ghi
bàn thắng. Khi một cầu thủ đang chạy dọc theo đường chạy điển hình, song song
và cách đường biên dọc 10m thì góc sút sẽ thay đổi tùy thuộc vào khoảng cách từ
vị trí cầu thủ tới đường biên ngang. Tại những vị trí nào trên đường chạy, góc sút
của cầu thủ là rộng nhất? Biết rằng sân bóng futsan có kích thước là 42m x 25m,
chiều rộng của khung thành là 3m.

19


Hình 2.4 Hình ảnh mô tả sân bóng futsal
Tình huống trên có thể được giải quyết theo nhiều cách hoàn toàn khác nhau
trong môi trường công nghệ.
 DGS : Sử dụng phần mềm hình học động để minh họa cho tình huống.
Xây dựng lại mô hình của sân bóng trên phần mềm GSP sử dụng hệ trục tọa
độ làm cơ sở với 1 đơn vị độ dài trên hệ trục tương ứng với 10m độ dài trên
thực tế. Đoạn GH tượng trưng cho khung thành lúc này GH = 03. Điểm I là
hình ảnh mô phỏng một cầu thủ trên đường chạy điển hình EF. Kết quả thu
được khi cho I chạy đó là góc GIH lớn nhất khi I ở tọa độ (1;4) hay cầu thủ
ở vị trí trên đường chạy điển hình, cách đường biên ngang của khung thành
2m sẽ có góc sút rộng nhất.

Hình 2.5 Mô hình của ví dụ trong DGS
Lúc này, chu trình MHH với sự giúp đỡ của công nghệ (công cụ DGS) để
giải quyết tình huống có thể được mô tả trong hình 2.6.

20


Hình 2.6 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ DGS
 CAS: Mô tả tình huống với sự giúp đỡ của công cụ hàm số
4

1

Sử dụng Maple vẽ đồ thị hàm số: arctan    arctan   với x nằm trong
 x
 x
khoảng từ 1 đến 42. Ở cách giải quyết này chúng ta đang sử dụng đơn vị
đúng với đơn vị thực tế đồng thời từ đồ thị ta kẻ thêm đường thằng y = 644
cắt đồ thị tại điểm đạt GTLN. Theo tọa độ hiện lên của điểm GTLN (phần
khoanh đỏ) cho ra kết quả x 2m. Như vậy cầu thủ nên sút bóng tại vị trí trên
đường chạy điển hình cách đường biên ngang 2m sẽ có góc sút rộng nhất.

Hình 2.7 Mô hình của ví dụ trong CAS

21


Như vậy, với cùng một mô hình toán nhưng việc sử dụng phần mềm hỗ trợ
khác nhau đã tạo nên các mô hình máy tính khác nhau. Khi sử dụng công cụ
CAS, làm việc trên các đối tượng đại số, chúng ta có thể sử dụng đạo hàm và
khoảng cách để giải quyết tình huống.
Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công nghệ (công cụ CAS) để giải quyết
tình huống có thể được mô tả trong hình 2.8.

Hình 2.8 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ CAS
 SP hoặc máy tính bỏ túi: Tính toán các dữ liệu để giải quyết vấn đề.
Sử dụng Excel xây dựng bảng tính và dùng hàm atan để tính arctan và hàm max
để tìm GTLN. Từ đó ta có kết quả:

Hình 2.9 Mô hình của ví dụ trong SP

22