NĂNG lực mô HÌNH hóa TOÁN học của học SINH lớp 10 TRONG học THEO bối CẢNH

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH HỮU HIỀN

NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC
CỦA HỌC SINH LỚP 10
TRONG HỌC THEO BỐI CẢNH

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRẦN VUI

Thừa Thiên Huế, năm 2016

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình và kết quả nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác cho đến hiện tại.

Thừa Thiên Huế, tháng 6 năm 2016

Huỳnh Hữu Hiền

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến:
PGS.TS Trần Vui đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Huế
đã tận tình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu.
TS.Trần Kiêm Minh, TS. Nguyễn Thị Duyến, TS. Nguyễn Phương Thảo, TS.
Nguyễn Đăng Minh Phúc đã có những lời khuyên và những bài giảng và tài liệu hết
sức quý báu liên quan đến đề tài; và giúp ý chúng tôi thực hiện đề tài này.
Ban giám hiệu, các thầy cô bộ môn Toán và các em học sinh trường THPT
Long Xuyên, tỉnh An Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tiến
hành viết luận văn và thực nghiệm sư phạm.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.

Thừa Thiên Huế, tháng 6 năm
2016

Huỳnh Hữu Hiền

iii


iv

MỤC LỤC
Trang phụ bìa...........................................................................................................i
Lời cam đoan...........................................................................................................ii
Lời cảm ơn..............................................................................................................iii
Mục lục.................................................................................................................... 1
Danh mục các chữ viết tắt.......................................................................................4
Danh mục các hình và sơ đồ...................................................................................5
Danh mục các bảng..................................................................................................5
Chương 1 MỞ ĐẦU.....................................................................................................7
1.1Giới thiệu..............................................................................................................7
1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu......................................................................................7
1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu.........................................................................8
1.2 Mục tiêu nghiên cứu..........................................................................................10
1.3 Câu hỏi nghiên cứu...........................................................................................10
1.4 Các định nghĩa và thuật ngữ.............................................................................10
1.5 Ý nghĩa của nghiên cứu....................................................................................11
1.6 Cấu trúc luận văn..............................................................................................11
Chương 2: TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN..................................13
1. Khái niệm mô hình hóa toán học.......................................................................13
2. Một số quy trình mô hình hóa toán học:.............................................................14
2.1 Sơ đồ Pollak (1979).......................................................................................14
2.2 Sơ đồ của Blum (2005)..................................................................................14
2.3 Sơ đồ của Stillman (2007).............................................................................15
2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA (2006)....................................................................15
2.5 Các bước của quy trình mô hình hoá ...........................................................16
2.6 Các giai đoạn của quy trình mô hình hoá toán học ......................................16

1

3. Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh.....................................................17
3.1 Năng lực (Competence).................................................................................17
3.2 Năng lực mô hình hoá...................................................................................17
3.3 8 Kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học...........................20
3.4 Các cấp độ trong năng lực mô hình hoá của học sinh..................................20
4. Bối cảnh và học theo bối cảnh:...........................................................................22
4.1 Bối cảnh (Context).........................................................................................22
4.2 Học theo bối cảnh..........................................................................................23
5. Chiến lược REACT.............................................................................................24
5.1 Liên hệ (Relating)..........................................................................................25
5.2 Trải nghiệm (Experiencing)..........................................................................26
5.3. Ứng dụng (Applying)...................................................................................26
5.4. Hợp tác (Cooperating)..................................................................................27
5.5 Chuyển đổi (Transferring).............................................................................27
6. Các nguyên tắc của việc học theo bối cảnh........................................................28
Kết luận chương 2...................................................................................................29
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU..........................................................31
3.1 Thiết kế nghiên cứu...........................................................................................31
3.1.1 Phương pháp nghiên cứu............................................................................31
3.1.2 Mẫu nghiên cứu..........................................................................................31
3.2 Đối tượng tham gia...........................................................................................32
3.3 Công cụ nghiên cứu..........................................................................................32
3.3.1 Phiếu bài tập số 1 (gồm 3 bài dành cho 24 nhóm).....................................32
3.3.2 Phiếu bài tập số 2........................................................................................40
3.3.3 Thiết kế đánh giá năng lực mô hình hoá của học sinh (theo 6 mức).........43

2

3.3.4 Bảng hỏi dành cho học sinh và giáo viên...................................................46
3.4 Quy trình thu thập và phân tích dữ liệu............................................................46
3.4.1 Thu thập dữ liệu..........................................................................................46
3.4.2 Phân tích dữ liệu.........................................................................................47
3.5 Các hạn chế.......................................................................................................47
Kết luận chương 3...................................................................................................48
4.1 Kết quả thăm dò phiếu bài tập..........................................................................49
4.2 Kết quả từ bài tập nhóm cho học sinh về nhà làm (bài toán 4)........................60
4.3 Kết quả thăm dò từ bảng hỏi học sinh..............................................................65
4.4 Kết quả thăm dò từ bảng hỏi giáo viên.............................................................67
Kết luận chương 4...................................................................................................68
Chương 5 KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG.................................................69
5.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.............................................................................69
5.1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất..................................................69
5.1.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất....................................................70
5.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai...............................................................................72
5.2.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai....................................................72
5.2.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai......................................................74
5.3 Một số kiến nghị nâng cao về việc nâng cao chất lượng của dạy và học theo
mô hình hóa.............................................................................................................74
5.4 Vận dụng...........................................................................................................76
KẾT LUẬN.............................................................................................................77
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................79

3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CORD

The leading educational change agency, and accomplishes its
purpose by marketing and disseminating programs developed by

NCTM
OECD

CORD and others.
Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kì
Organization for Economic Co-operation and Development

PISA

Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế
Programme for International Student Assessment

THPT
SGK
Tech Prep

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế
Trung học phổ thông
Sách giáo khoa
The Cornerstone of Tech Prep: một xu hướng cải cách giáo dục hàng
đầu ở Hoa Kỳ học theo bối cảnh

4


DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ SƠ ĐỒ
Hình 2.1 Sơ đồ Pollak.................................................................................................14

Hình 2.2 Sơ đồ của Blum (2005)...............................................................................14
Hình 2.3 Sơ đồ của Stillman.......................................................................................15
Hình 2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA..............................................................................15
Hình 2. 5 Sơ đồ mối quan hệ 8 kĩ năng mô hình hoá và các mức năng lực mô hình
hoá ..............................................................................................................................22
Hình 2.6 Các yếu tố chủ yếu của các chiến lược REACT.........................................25
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1 Bảng các mức trong đánh giá khả năng mô hình hoá................................21
đối với học sinh..........................................................................................................21
Bảng 2.2 Tóm tắt chiến lược REACT .......................................................................28
Bảng 3.1 Mức năng lực bài toán 1.............................................................................43
Bảng 3.2 Mức năng lực câu hỏi 2.1...........................................................................43
Bảng 3.3 Mức năng lực câu hỏi 2.2...........................................................................44
Bảng 3.4 Mức năng lực câu hỏi 3.1...........................................................................44
Bảng 3.5 Mức năng lực câu hỏi 3.2...........................................................................44
Bảng 3.6 Mức năng lực bài toán 4.............................................................................45
Bảng 4.1 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 1...................................................49
Bảng 4.2 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 2 – Câu hỏi 2.1............................52
Bảng 4.3 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 2 – Câu hỏi 2.2............................54
Bảng 4.4 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 3 – Câu hỏi 3.1............................57
Bảng 4.5 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 3 – Câu hỏi 3.2............................59
Bảng 4.6 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 4...................................................60
Bảng 5.1 Đánh giá về mức mô hình hoá (phiếu số 1)...............................................72
5


Bảng 5.2 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 4...................................................73

6

Chương 1 MỞ ĐẦU
1.1 Giới thiệu
1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu
Giáo dục Toán học được đánh dấu một bước phát triển mới bằng một hội
nghị quốc tế gồm các nhà giáo dục toán tổ chức tại Bologna năm 1908. Đến 1968,
tại Hội nghị quốc tế về Giáo dục toán học (ICME), khái niệm mô hình hóa toán học
được đưa ra và thảo luận. Năm 1970, Aristides Camargo Barreto (người Brazil) báo
cáo tại Hội nghị quốc tế ICME III và IV về việc sử dụng mô hình toán học trong
âm nhạc ở các lớp học của mình tại PUC- RJ, Rio de Janeiro, Brazil. Cho đến nay,
việc thực hiện mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được thúc đẩy
nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng xuất phát từ bối cảnh
thực tế, được đặt ra bởi nhiều nhà giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay như Galbraith
(1995), Blum (1996). Trong đó, mô hình hóa toán học là quá trình tạo ra các mô
hình toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, nó được xây dựng bằng cách chuyển
các vấn đề từ thực tiễn với ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu (sau
này tôi xin được gọi là mô hình hoá)... Nói cách khác, “mô hình hóa là toàn bộ quá
trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ
liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một
mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả
liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp
lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý” (Trần Vui, 2014,
[7]). Mô hình hóa toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó học sinh
được yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn toán hoặc các tình huống thực tế có
tính chất liên môn khác. Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế vào các hoạt động
dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng nhằm giúp cho học sinh thấy được
tính ứng dụng thực tiễn của toán học.
Thông qua mô hình, chúng ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của
đối tượng mà không cần đến vật thật. Mô hình ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ,
bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả

7


các mô hình ảo trên máy vi tính (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003; Van de Walle,
2004). Mô hình hoá toán học giúp học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến
thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và
giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, bối cảnh khác nhau; phát triển
tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học vào thực tế cuộc sống và với
các môn học khác, hoặc có thể vận dụng một phần vào liên môn.
Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của đồ
dùng dạy học, công nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi các kĩ năng và thao tác tư
duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Mô
hình hóa cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo
khoa dưới góc nhìn của toán học. Các nghiên cứu của Niss (1989) và Mason &
Davis (1991) cho rằng, ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán
của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ tích cực và niềm say mê học toán.
Học theo bối cảnh là một trong số các con đường để phát triển khả năng kết
nối toán học với thực tế nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh. Trong đó có thể nói đến Tech Prep, Tech Prep giúp học sinh nâng cao thành
tích học tập khi các em có thể liên hệ các khái niệm mới với thế giới thực thông qua
kinh nghiệm của bản thân, bạn bè hoặc của giáo viên cung cấp. Tech Prep đã tạo ra
sự thay đổi cơ bản trong chương trình giảng dạy. Ở đó, giáo viên thực hiện từ 9 đến
14 tiết dạy những kiến thức nền và kĩ năng cơ bản, sau đó sử dụng thực hành dạy và
học theo bối cảnh là chủ yếu. Từ 1985-1995, các kết quả thu được đã chỉ ra rằng
những học sinh trước đây yếu kém trong toán học và khoa học trừu tượng có thể đạt
được mức độ cao trong các lĩnh vực trên nếu các em được giảng dạy trong một bối
cảnh có tính vận dụng và thực hành (CORD, 1999, [22]).
1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Mô hình hóa toán học là chủ đề đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của

nhiều nhà giáo dục trên thế giới (Michael L. Crawford, Jacinta Johnny, Wanty
Widjaja...) và cả ở Việt Nam (Nguyễn Thị Tân An, Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị
8


Nga, Trần Dũng, Nguyễn Danh Nam...). Mô hình hoá toán học từ lâu đã được xem
là chiếc cầu nối để gắn kết việc học toán của học sinh với thế giới thực. Tuy nhiên,
ở Việt Nam vận dụng mô hình hóa toán học vào khung cảnh trường học chưa được
quan tâm đúng mức. Một số nghiên cứu ở Việt Nam (Nguyễn Danh Nam, 2015,[5])
đã chỉ ra rằng chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam (ban cơ bản và
nâng cao) có rất ít bài toán mang bối cảnh thực tế, hầu hết các bài toán chỉ là vận
dụng kiến thức và các công thức vừa học để giải toán hoặc các bài toán mang
yếu tố “áp dụng toán”. Ngay cả sách hướng dẫn giáo viên cũng chưa đặt mô hình
hóa toán học đúng với vị trí của nó vì thế giáo viên thiếu các kinh nghiệm cần thiết
khi thực hành dạy học theo xu hướng gắn kết với thực tiễn, nhiều giáo viên sử dụng
các tình huống, ví dụ có sẵn trong sách giáo khoa; không biết xây dựng tình huống
dạy học cũng như các vấn đề toán học xuất phát từ thực tiễn. Học sinh vì thế mà
thiếu cơ hội làm việc thường xuyên với các tình huống mô hình hóa toán học. Do
đó các em không phát huy được năng lực gắn kết toán học với thực tế. Hầu hết các
em đều không giải quyết trọn vẹn tình huống mô hình hóa toán học. Trong lúc đó,
dạy học theo bối cảnh cho phép học sinh sử dụng sự hiểu biết và khả năng học tập
của mình trong một loạt các bối cảnh trong và ngoài nhà trường để giải quyết vấn
đề được mô phỏng hoặc từ thế giới thực tế (bởi bản thân hay với những bạn học
khác), Pate (2003, [19]). Điều này cho thấy học theo bối cảnh có thể là chất xúc tác
để phát triển khả năng kết nối toán học với thế giới thực nói chung và năng lực mô
hình hóa toán học nói riêng. Từ đó, chúng tôi muốn tìm hiểu nhiều hơn cơ hội phát
triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trong môi trường dạy học theo bối
cảnh. Do đó, chúng tôi quyết định chọn “NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN
HỌC CỦA HỌC SINH LỚP 10 TRONG HỌC THEO BỐI CẢNH” là đề tài để
nghiên cứu cho luận văn này. Kết quả của đề tài sẽ là một đóng góp nhỏ nhằm có sự

hiểu biết nhất định về các mức năng lực mô hình hoá của học sinh trong học theo
bối cảnh cũng như những thuận lợi và khó khăn của học sinh trong quá trình mô
hình hoá các bài toán theo bối cảnh.

9


1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chung của luận văn là tìm hiểu, đánh giá năng lực mô hình hóa toán
học của học sinh lớp 10 THPT trong học theo bối cảnh và những thuận lợi và khó
khăn của HS khi tiến hành hoạt động mô hình hóa toán học trong học theo bối cảnh.
Mục tiêu cụ thể trong nghiên cứu này là:
+ Tìm hiểu quy trình mô hình hoá toán học.
+ Tìm hiểu năng lực mô hình hoá của học sinh.
+ Xem xét năng lực mô hình hoá toán học của nhóm học sinh lớp 10 khi học
theo bối cảnh.
+ Tìm hiểu một số thuận lợi và khó khăn của học sinh khi học theo bối cảnh.
+ Xem xét thái độ của học sinh trong khi tiến hành hoạt động mô hình hóa
toán học trong môi trường học theo bối cảnh.
1.3 Câu hỏi nghiên cứu
Với mục tiêu nghiên cứu đã được đề cập ở trên, nghiên cứu này nhằm tìm
cách trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau:
1. Những thuận lợi và khó khăn của học sinh lớp 10 khi tiến hành hoạt động
mô hình hóa toán học trong học theo bối cảnh là gì?
2. Năng lực mô hình hóa của học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh thể
hiện như thế nào?
1.4 Các định nghĩa và thuật ngữ
Toán học hóa là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực sang vấn đề toán bằng
cách thiết lập một mô hình toán học. Để làm được điều này, học sinh đòi hỏi phải
hiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin được cho, loại bỏ các thông tin không cần thiết,

đưa ra các giả thuyết phù hợp và đơn giản hóa vấn đề để có thể giải quyết. Học sinh
cần nhận ra các khái niệm toán học, các biến và biểu diễn vấn đề dưới dạng toán
học, đưa ra một mô hình toán như hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc hệ các phương
trình... (Nguyễn Thị Tân An, 2014, 2)
Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ các vấn đề thực tế
sang các vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ
bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm

10


việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống
thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho
đến khi có được một kết quả hợp lý.
Một các tổng quát “mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề
thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán
học, thể hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách
giải quyết không thể chấp nhận”, Edwards và Hamson (2001).
Năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá
trình mô hình hóa (toán học hoá, giải bài toán, thông hiểu, đối chiếu) nhằm giải
quyết vấn đề được đặt ra (Nguyễn Danh Nam, 2015, 5).
Theo PISA, bối cảnh là một phần thế giới của học sinh trong các nhiệm vụ
được đưa ra.
Tình huống của một câu hỏi là sự thể hiện cụ thể trong một bối cảnh. Nó
bao gồm tất cả những yếu tố chi tiết được sử dụng để thiết lập vấn đề.
Học theo bối cảnh: việc học chỉ xảy ra khi học sinh xử lí những thông tin
mới hoặc kiến thức mới theo cách phù hợp với suy nghĩ và kinh nghiệm của các em.
Điều này có thể hiểu là từ thế giới nội tâm của học sinh (thế giới nội tâm của học
sinh về bộ nhớ, kinh nghiệm và phản ứng). Tâm trí tự nhiên tìm kiếm ý nghĩa trong
bối cảnh bằng cách tìm kiếm các mối quan hệ có ý nghĩa và vẻ hữu ích [23], [26].

1.5 Ý nghĩa của nghiên cứu
Thăm dò, đánh giá năng lực mô hình hoá của học sinh lớp 10 trong học theo
bối cảnh. Phản ánh được các mức năng lực của học sinh, những khó khăn mà học
sinh gặp phải trong quá trình vận dụng kiến thức, kĩ năng đã biết để mô hình hoá
nhằm giải quyết bài toán theo bối cảnh trong của mẫu thực nghiệm.
1.6 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mục lục, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày
trong 5 chương:
Lời giới thiệu
Chương 1: Mở đầu
Chương 2: Tổng quan các kiến thức liên quan

11


Chương 3: Phương pháp nghiên cứu
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Chương 5: Kết luận, lý giải và vận dụng.
Kết luận chương 1.
Trong chương này chúng tôi đã trình bày mục tiêu và ý nghĩa của đề tài:
“Năng lực mô hình hoá toán học của học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh”.
Đồng thời, chúng tôi cũng phát biểu hai câu hỏi nghiên cứu. Chúng tôi sẽ trình bày
nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo.

12


Chương 2: TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Khái niệm mô hình hóa toán học
Mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng các

công cụ toán học (Trần Vui, 2014, 7). Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình
chuyển đổi từ các vấn đề thực tế sang các vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi
thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định
một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết
quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp
lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý.
Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như
hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức,. . .
( M i c h e a l , 2 0 0 1 , [ 1 7 ] ) . Do đó, mô hình hóa giúp học sinh nhận biết được ý
nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân
tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàn
cảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học
với các môn học khác
Đây là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi qua lại hai chiều
giữa toán học và thực tế, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau
trong các lĩnh vực kiến thức có liên quan. Do đó, bên cạnh việc cung cấp cho học
sinh những kiến thức và kĩ năng liên quan đến toán học như là khái niệm, định lý,
công thức, quy tắc… việc dạy toán đòi hỏi giúp học sinh phát triển khả năng kết nối
các kiến thức, cũng như kĩ năng toán học cụ thể để giải quyết những vấn đề thực tế.
Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực ngoài toán thì áp dụng mô
hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là cần thiết. Khi đó mô hình hóa
toán học cần thiết đối với học sinh vì các lý do chính sau đây (Trần Vui, 2014, 7):
- Cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môi
trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên có ý
nghĩa hơn.

13

- Trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải
quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp các em thấy
được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Đánh giá cao khả năng sử dụng toán
vào các tình huống ngoài toán
- Góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú của toán
học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một
phần của lịch sử và văn hóa loài người.
- Giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực
của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán.
- Phát triển các năng lực suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề thực
tế của học sinh.
2. Một số quy trình mô hình hóa toán học:
Có nhiều quy trình mô hình hóa toán học đã được các nhà toán học, giáo dục
học nghiên cứu, công bố và sử dụng nhiều trong những thập niên vừa qua. Tiêu biểu
có thể kể đến là:
2.1 Sơ đồ Pollak (1979)
TG
toán
học

TG
thực

Hình 2.1 Sơ đồ Pollak
2.2 Sơ đồ của Blum (2005)

Mô hình
thực
MH
tình

huống

T.huống
thực tế

TG thực

Kquả
thực

Mô hình
toán

Kết quả
toán
TG Toán học

Hình 2.2 Sơ đồ của Blum (2005)
14


1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó;
2: Đơn giản hóa và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực;
3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;
4: Giải toán để đạt được kết quả toán;
5: Thể hiện kết quả toán trong ngữ cảnh thực tế;
6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay thực hiện quá trình lần 2;
7: Trình bày cách giải quyết.
2.3 Sơ đồ của Stillman (2007)

Hình 2.3 Sơ đồ của Stillman
1. Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống.
2. Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán.
3. Giải toán.
4. Giải thích kết quả toán.
5. So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý.
6. Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình thỏa đáng).
7. Lặp lại quá trình (nếu mô hình không thỏa đáng).
2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA (2006)
5

Lời giải thực tế

Lời giải toán học

4

5
Vấn đề thực tế

Vấn đề toán học

1,2,3

Thế giới toán học

Thế giới thực tế

Hình 2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA

15


Trong đó
1: Bắt đầu từ 1 vấn đề đặt ra trong thực tế;
2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm
toán học;
3: Tiếp tục cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán thể
hiện trung thực cho tình huống;
4: Giải quyết bài toán;
5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác
định những hạn chế của lời giải.
2.5 Các bước của quy trình mô hình hoá
Qua tham khảo từ một số các quy trình mô hình hóa toán học khác nữa
(Kaiser và Blum, 2011; Frank Swetz và J. S. Hartler, 1991), chúng tôi
chọn quy trình mô hình hoá của OECD/PISA (2006) để nghiên cứu và có
thể tạm phân chia quá trình mô hình hoá theo 5 bước chính
Bước 1: Là một quy trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này
thường được cấu trúc lại (đơn hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa – thu gọn) để
được một mô hình phỏng thực tiễn;
Bước 2: Mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;
Bước 3: Được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học;
Bước 4: Kết quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế
ban đầu;
Bước 5: Sự phù hợp của kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải
không thỏa đáng thì quy trình này phải được lặp lại.
2.6 Các giai đoạn của quy trình mô hình hoá toán học
Theo nghiên cứu của Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa toán
học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [5]:
+ Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả

thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn
ngữ toán học.

16


+ Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán
học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.
+ Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình
huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu).
+ Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế
của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương
pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng.
3. Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh
3.1 Năng lực (Competence)
Năng lực là tổ hợp các kĩ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện được một
dạng hoạt động nào đó.
Năng lực toán (Mathematical competence) là tổ hợp các kĩ năng của một cá
nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học. Các kĩ năng của cá nhân vừa là sản
phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có). Các
hoạt động toán học đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng
minh,…) với các đối tượng, nội dung toán học.
Niss (2004) cho rằng năng lực toán học có nghĩa là khả năng hiểu toán, phán
đoán, làm và sử dụng toán học trong một loạt các bối cảnh và tình huống trong và
ngoài môn toán trong đó kiến thức toán học đóng một vai trò quan trọng... Kết quả
nghiên cứu của Tanner và Jones (1995) đã chỉ ra rằng không phải lúc nào hiểu biết
hiện thời học sinh cũng có thể cho phép các em tiến hành hoạt động mô hình hóa
toán học thành công. Lúc đó, các em phải lựa chọn kiến thức cần thiết và theo dõi
quá trình mô hình hóa mà bản thân đang được thực hiện.
3.2 Năng lực mô hình hoá

Có nhiều định nghĩa khác nhau của các nhà nghiên cứu về năng lực mô hình
hoá và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần. Blomhoj và Jensen (2007, [9]) định
nghĩa năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của
quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước. Maab (2006, [16]) định
nghĩa năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá
trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định.

17


Theo Kaiser (2007, [14]), một trong những mục tiêu hàng đầu của giáo dục
toán là hình thành và phát triển năng lực sử dụng toán để giải quyết các vấn đề nảy
sinh trong cuộc sống hiện tại và tương lai cho người học. Để đáp ứng được mục tiêu
đó, việc dạy học toán trong nhà trường phải mang đến cơ hội để học sinh thấy được
sự cần thiết của toán trong cuộc sống và trong các ngành khoa học khác đồng thời
phải hình thành ở các em năng lực giải quyết các vấn đề thực tế bằng công cụ toán
học. Năng lực sử dụng toán để giải quyết các vấn đề trong thế giới thực được các
nhà giáo dục toán gọi với thuật ngữ là năng lực mô hình hoá toán học (Kaiser, 2014,
[15]). Theo Kaiser (2014) năng lực mô hình hoá toán học đặc trưng cho khả năng
thực hiện toàn bộ quá trình mô hình hoá toán học và phản ánh về quá trình đó. Năng
lực mô hình hoá toán học được đặc trưng bởi một số thành tố sau:
-

Khả năng giải quyết một phần vấn đề thực tế thông qua việc sử dụng công cụ

toán học (mô hình hóa);
- Khả năng phản ánh về quá trình mô hình hoá toán học bằng cách kích hoạt các
kiến thức tổng hợp về các quá trình mô hình hoá toán học;
- Thấu hiểu được sự kết nối giữa toán học và thực tế;
- Nhận thức được toán học là một quá trình chứ không chỉ là một sản phẩm;

- Nhìn thấy tính chủ quan của cá nhân trong hoạt động mô hình hoá toán học, sự
phụ thuộc của quá trình mô hình hoá toán học vào mục đích và năng lực của cá nhân;
- Khả năng làm việc hợp tác và giao tiếp các ý tưởng toán học khi tiến hành
quá trình mô hình hoá toán học.
Tiếp cận năng lực mô hình hoá toán học theo tiến trình thực hiện hoạt động
này, Henning và Keune (2007) cho rằng năng lực mô hình hoá toán học là tổ hợp
những thuộc tính của cá nhân người học như kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự sẵn
sàng tham gia vào hoạt động mô hình hoá toán học nhằm đảm bảo cho hoạt động đó
đạt hiệu quả. Dựa trên nghiên cứu của Blum và các cộng sự (2002), Henning và
Keune (2007) xác định năng lực mô hình hoá toán học bao gồm khả năng xây dựng
mô hình, thông dịch giữa thế thực và thế giới toán học, làm việc với mô hình toán
như chính xác hóa và đánh giá các mô hình toán, phản ánh về kết quả của những mô
hình đó để điều chỉnh quá trình mô hình hoá toán học nếu cần thiết.
Henning và Keune (2007) đã phân loại năng lực mô hình hoá toán học thành
ba mức là nhận biết và hiểu về hoạt động mô hình hoá toán học, độc lập tiến hành

18


hoạt động mô hình hoá toán học, phản ánh toàn diện về hoạt động mô hình hoá toán
học. Bảng sau sẽ mô tả chi tiết những đặc trưng của từng cấp độ trong năng lực mô
hình hoá toán học:
Mức
(1)
Nhận biết, hiểu
về mô hình hoá
toán học

Đặc trưng
- Nhận ra quá trình mô hình hoá toán học;

- Mô tả quá trình mô hình hoá toán học;
- Xác định và phân biệt các bước cụ thể trong quá trình mô hình
hoá toán học.
- Phân tích, tổ chức các vấn đề và trừu tượng hóa các đại lượng;
- Thích ứng với các tiếp cận khác nhau về tình huống thực tế
(2)
ban đầu;
Độc lập tiến
- Thiết lập các mô hình toán học;
hành hoạt động
- Làm việc với các mô hình toán học;
mô hình hoá
- Thông dịch kết quả toán học với tình huống thực tế ban đầu;
toán học
- Chính xác hóa kết quả với tình huống thực tế và quá trình mô
hình hoá toán học.
- Phân tích một cách phê phán về hoạt động mô hình hoá toán
(3)
học;
Phản ánh toàn
- Mô tả các tiêu chuẩn để đánh giá các mô hình;
diện về hoạt
- Phản ánh bản chất của hoạt động mô hình hoá toán học;
động mô hình
- Phản ánh về việc sử dụng toán học trong quá trình mô hình hoá
hoá toán học
toán học.
Theo Henning và Keune (2007), năng lực MHHTH của học sinh đạt được

mức (2) nếu các em có khả năng độc lập giải quyết vấn đề. Bất cứ khi nào bối cảnh

và phạm vi của vấn đề thay đổi thì học sinh có khả năng điều chỉnh mô hình hoặc
phát triển một chiến lược mới để thích ứng với tình huống mới mà các em đang gặp
phải. Năng lực mô hình hoá toán học của học sinh đạt ở mức (3) nếu các em hiểu
một cách thấu đáo các bước trong quá trình mô hình hoá toán học và có thể tiến
hành quá trình mô hình hoá toán học một cách thành thạo. Hơn nữa các em có khả
năng phán đoán một cách phê phán và nhận ra mối quan hệ quan trọng đã được phát
triển khi tiến hành quá trình mô hình hoá toán học.
Việc phân loại các mức trong năng lực mô hình hoá toán học của học sinh
nhằm giúp giáo viên đưa ra các nhiệm vụ học tập phù hợp để đánh giá năng lực mô
hình hoá toán học của học sinh (Henning & Keune, 2007).
Từ nghiên cứu của Henning và Keune (2004, [11]), Kaiser (2014) và Nguyễn
Danh Nam (2015, 5), chúng tôi cho rằng năng lực mô hình hóa là khả năng thực
19


hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa (toán học hoá, giải bài toán,
thông hiểu, đối chiếu) nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra; và chúng tôi dựa trên 8
kỹ năng (mục 3.3) sẽ tạm phân ra 6 mức năng lực mô hình hoá bài toán theo bối
cảnh (trình bày ở mục 3.4 chương này).
3.3 8 Kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học
Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống theo bối cảnh và
bài tập mô hình hóa để xác định những kĩ năng mà học sinh cần đạt được để giải
quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình mô hình hoá. Từ đó các nghiên cứu đã
chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học 5 đó là:
(1) Đơn giản giả thiết;
(2) Làm rõ mục tiêu (xác định được yêu cầu của đề bài);
(3) Thiết lập vấn đề toán học;
(4) Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện);
(5) Thiết lập mệnh đề toán học;
(6) Lựa chọn mô hình;

(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị;
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
3.4 Các cấp độ trong năng lực mô hình hoá của học sinh
Các bài toán thực nghiệm của chúng tôi dự kiến sẽ được đánh giá theo
các mức mô hình hóa đối với học sinh (theo 8 kĩ năng thành phần của năng lực mô
hình hoá toán học) dựa theo đề xuất Ludwig và Xu (2010), Nguyễn Danh Nam (2015,
5). Học sinh đạt:
+ Mức 0: khi đọc không hiểu tình huống/ bối cảnh và không thể viết, vẽ, phác
thảo những gì liên quan đến vấn đề; ngộ nhận bởi các tình huống gây nhiễu.
+ Mức 1: khi chỉ đơn giản giả thiết (tình huống); chỉ hiểu tình huống thực
tiễn theo bối cảnh nhưng không cấu trúc; hoặc chưa tìm được các mối liên hệ giữa
các giả thiết, không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
+ Mức 2: sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh biết tìm mô hình thật
qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toán
học.
→ Ở mức 2, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên.

20


+ Mức 3: có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó thành
vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới
toán học.
→ Ở mức 3, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 4.
+ Mức 4: có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn/ bối cảnh,
làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.
→ Ở mức 4, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 7.
+ Mức 5: có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và kiểm nghiệm
lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
→ Ở mức 5, học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mô hình hóa ở trên.

Mức
0
1

2

3

4

5

Biểu hiện của học sinh
Ghi chú
Đọc không hiểu tình huống và không thể viết,
vẽ, phác thảo những gì liên quan đến vấn đề.
Chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu
trúc và đơn giản tình huống hoặc không tìm
được các mối liên hệ giữa các giả thiết, không
thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào
Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm Học sinh cần đạt được
mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, hai kĩ năng mô hình
nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề hóa đầu tiên
toán học.
Có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn Học sinh cần đạt được
phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng các kĩ năng mô hình
không thể làm việc với nó một cách rõ ràng hóa từ 1 đến 4.
trong thế giới toán học.
Có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống Học sinh cần đạt được
thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức các kĩ năng mô hình

toán học và có kết quả cụ thể.
hóa từ 1 đến 7
Có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán Học sinh cần đạt được
học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối đầy đủ 8 kĩ năng mô
quan hệ với tình huống đã cho.
hình hóa ở trên.
Bảng 2.1 Bảng các mức trong đánh giá khả năng mô hình hoá
đối với học sinh

21