Môment từ dị thường của electron và phương pháp điều cắt xung lượng trong lý thuyết trường lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.06 MB, 54 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
Nguyễn Đắc Minh
MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƢƠNG PHÁP CĂT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ
THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hµ Néi - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
Nguyễn Đắc Minh
MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƢƠNG PHÁP CĂT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ
THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
Chuyªn ngµnh: VËt lý lý thuyÕt vµ VËt Lý to¸n
M· sè: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN
Hµ Néi - 2014
Lêi c¶m ¬n
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn
Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt
thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể
cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ,
dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý
báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa
Vật lý đã hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này .
Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2014
Học viên
Nguyễn Đắc Minh
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chƣơng 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA
ELECTRON .................................................................................................... 5
1.1 Phương trình Pauli ..................................................................................... 5
1.2 Phương trình Dirac ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính.................6
1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ................................. 9
Chƣơng 2 - GIẢN ĐỒ FEYNMAN VÀ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG
ELECTRON .................................................................................................. 17
2.1 S-ma trận ................................................................................................... 17
2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường ............... 22
2.3 Hệ số dạng điện từ ..................................................................................... 23
Chƣơng 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG .................. 27
3.1. Bổ chính cho moment dị thường trong gần đúng một vòng .................... 27
3.2. Moment từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử ............................ 33
KẾT LUẬN .................................................................................................... 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 37
PHỤ LỤC ...................................................................................................... 38
DANH MỤC HÌNH
Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng .................................. 18
MỞ ĐẦU
Sự phát triển của điện động lực học lượng tử QED đã chứng minh rằng, trên cơ
sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do I. Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman khởi
xướng, cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron đã lý giải
thích thành công các quá trình vật lý cơ bản qua tương tác điện từ, đồng thời cho kết
quả tính toán lý thuyết phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác tùy ý. Ví
dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc
moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực
nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron
với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ của
tương tác này được mô tả bằng
e0h
e
0
0
| h c 1 2m0
2m0c
moment từ electron , và nó bằng
( m0 và e0 là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của
electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng tương tác của hạt với chân
không vật lý – khi tính các bổ chính bậc cao, cho mômen từ electron, sau khi tái
chuẩn hóa khối lượng electron m0 mR và điện tích electron e0 eR sẽ dẫn đến
sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường. Lưu ý, chỉ số 0 ký
hiệu cho các giá trị “trần”– các giá trị chưa kể tương tác, còn R – ký hiệu giá trị thu
được từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng 1,003875 0 ,
giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron. J. Schwinger /13/ là
người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của electron vào năm 1948
và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của
electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào
khoảng 1010 % ). Biểu thức giải tích của moment từ dị thường electron về mặt lý
thuyết gần đây đã thu được
1
ly thuyet 0 1
2
3
0,32748 2 1,184175 3
2
(0.1)
1,001159652236 28 .0
R 1,00115965241 20 .0
(0.2)
Ở đây về cơ bản các giá trị moment trong lý thuyết trường lượng tử được tính
bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn hiệp biến (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu
thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp khá tốt với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
moment từ dị thường của hạt trong lý thuyết trường lượng tử, cụ thể moment từ dị
thường của electron trong QED. Việc tính đóng góp bổ chính một vòng, sẽ phải tính
thêm nhiều giản đồ Feynman, chứa các tích phân phân kỳ, mà chúng có thể phân kỳ
hồng ngoại và phân kỳ tử ngoại. Việc loại bỏ phân kỳ hồng ngoại theo cách thông
thường: cho photon ảo một khối lượng tối thiếu min , kết quả cuối cùng cho
min 0 , còn phân kỳ tử ngoại trong quá trình tính toán giản đồ Feynman có nhiều
cách được sử dụng: phương pháp điều chỉnh Pauli- Villars, phương pháp điều chỉnh
thứ nguyên, và phương pháp cắt xung lượng lớn. Trong luận văn này chúng tôi sử
dụng phương pháp điều cắt xung lượng lớn, đang được sử dụng rộng rãi trong lý
thuyết trường lượng tử nói chung và QED nói riêng.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết
luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục.
Chương 1 - Phƣơng trình Pauli và moment từ của electron. Phương trình
Pauli và moment từ có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ
phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình
Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trường ngoài /1/. Mục 1.2
dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính
phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng v c , v – là vận tốc của
hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phương
2
trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi
Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3.
Chương 2 - Giản đồ Feynman và moment từ dị thƣờng của electron.
Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu vắn tắt các
xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ
ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng
đóng góp cho moment từ dị thường của electron. Các giản đồ Feynman liên quan
đến các đường ngoài mà hạt tương tác với chân không vật lý: chân không của
trường điện từ - các photon và chân không của trường electron – positron- các
electron ảo – positron ảo. Các giản đồ Feynman này gắn với việc tái chuẩn hóa hàm
sóng của electron hay hàm sóng của trường ngoài, và chúng không cho đóng góp
cho moment từ electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số
dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính.
Chương 3 - Bổ chính cho moment từ dị thƣờng của electron. Trong mục
3.1 sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ
cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính cho
moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2. Lưu ý,
việc tính moment từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn
này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng
việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái
chuẩn hóa khối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện
từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần
đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho moment từ dị
thường của electron.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự.
Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h c 1
và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :
3
r
x x0 t , x1 x, x 2 y, x3 z t , x
r
thì các véctơ tọa độ hiệp biến : x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z t , x ,
trong đó
g g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
4
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON
Phương trình Pauli cho electron có spin và số hạng tương tác giữa moment từ
của nó với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Xuất phát từ
phương trình Schrodinger cho hat có spin không, ta thêm spin của electron và tương
tác của moment từ của nó với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ
phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, ta thực hiện phép gần đúng
phi tương đối tính cho phương trình này ở gần đúng bậc v c ta thu phương trình
Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho
phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi FouldyWouthuyen.
1.1 Phƣơng trình Pauli
Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ
ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình
Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm
sóng trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần
r
r , t phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin
r
của hạt là s z . Kết quả để cho hàm sóng r , sz , t là một spinor hai thành phần
r h
1 r , , t
2
r
r , sz , t
r h
2 r , , t
2
(1.1)
Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann moment
từ của hạt với spin bằng h 2 .
r
r
0 ,
(1.2)
r
0 - là magneton Bohr, còn là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ
ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.
5
r r
e r e0h r r
r
U H
s
sH
mc 2m0c
(1.3)
Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng
r
p2
H
U (r )
2m0
(1.4)
Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới
đây trong phương trình Schrodinger
r
r e r
p p 0 A
c
E E e0
(1.5)
Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ
r r
eh rr
U H 0 sH . Kết quả ta thu được phương trình
2m0c
ih
r
r , sz , t
t
1 r e0 r 2
eh rr r
p A e0 r U r 0 sH r , sz , t
c
2m0c
2m0
(1.6)
r
ở đây r , A(r ) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình
(1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann.
1.2 Phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính
Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta
có:
ih
( x) r r e0 r
c p A e0 A0 m0c 2 ( x)
t
c
(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết
các spinor hai thành phần
u 1 , d 3 , u
2
4
d
Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình
6
(1.8)
u
r r e r
c p 0 A d e0 A0 m0c 2 u
t
c
r
d
r e9
0
2
ih
c p A u e0 A m0c d
t
c
ih
(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần
dưới). Kể thêm
v2 ( )
0 ()
2
ih e0 A u ,d m0c 1 O 2 u ,d
t
c
(1.10)
Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)
d
r
r
v2
e0 r ( )
p
A
O
2
u
2m0c
c
c
(1.11)
Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-)
r
( )
u
r
v2
e0 r ( )
p
A
O
2
d
2m0c
c
c
(1.12)
Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor d liên hệ
với u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor u liên hệ với d thừa số
vc
. Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta
có
1
u
O (v / c )
d
1
ih
t
2m0
2
v3
r r e r
2
0
p
A
m
c
eA
O
3 u
0
c
c
(1.13)
Và để cho nghiệm âm
1
ih u
t
2m0
2
v3
r r e r
2
0
p
A
m
c
eA
O
3 d
0
c
c
7
O (v / c )
d
1
(1.14)
Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau
r A r B ( AB) ir ( A B) ,
r
r
rr
r
r
eh r
r e r r e r
p
A
p
A
B
c
c
ic
(1.15)
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac
H nr
t
2
3
r
r
r
1
e
e
h
v
r
0
m0 c 2
ˆ B O 3 ,
p A eA
2m0
c
2m0c
c
r r 0
ˆ
r
0
ih
H nr
đúng đến bậc
v c cùng với toán tử và tự liên hợp H
2
2
nr
(1.16)
. Nếu chúng ta giới hạn ở
nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác
m0c 2 trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài
Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của
rr
phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MB
giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có
moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn
M (e)
eh
eg
S,
2m0c
2m0c
g 2
(thừa số Lande)
(1.17)
Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu
hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình
r
r
giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M p eS / mp c . Rõ ràng trong những
trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính
vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối
8
tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng
tay” các số hạng moment
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ
xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính
c .
2
xác v
2
h †
2ie
†
A †
2im
hc
† , j
(1.18)
Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục / t j 0 và trong trường
hợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương
đối tính.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở
c và sai sót trong
2
trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v
c . Trong giới hạn này H
3
Hamilton ở bậc v
3
nr
2
là chéo nhưng các nghiệm âm và
dương là hoàn toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn
một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử
dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc v / c và phương trình Dirac ở dạng
m0c2 K 0,
K
(1.19)
cùng với
v2
v2
1
0
i
h
eA
O
(1)
O
,
O
2
2
m0c 2 t
c
c
(1.20)
và
ở đây và
c
e
v
p A O
2
m0c
c
c
(1.21)
là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng
việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp U eiS , U eiS , ... với
9
v / c
mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó cao hơn và cao hơn bậc
sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới
bậc v / c . Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được
m0c2 K 0,
U ,
v2
,
2
c
K ,
K UKU 1
(1.22)
v3
(hay cao hơn)
3
c
O
O
(1.23)
Và phép biến đổi thứ hai ta có
m0c2 K 0,
U ,
K U K U 1
v2
,
2
c
K ,
O
(1.24)
v5
(hay cao hơn)
5
c
O
(1.25)
và tiếp tục..Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là
U eiS ,
S
i
2
(1.26)
Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng như
công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán 3 cho việc tính
toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến
K
(1.27)
Cùng với
v2
O 2
c
3
3
v6
O 6
c
2
2
2
v12
O 12
c
v8
O 8
c
4
1
, , ...
8
8
,
v2
O 2
c
(1.28)
v5
, , , ... O 5
48
c
(1.29)
Như ta đã thấy bây giờ đã nâng lên hai bậc v / c Từ đây chúng ta nhận được
c , đúng trong phương trình Pauli (1.16)
3
toán tử K đúng đến bậc v
3
10
Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép
biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng
U eiS , S
i
2
(1.30)
Từ đây suy ra
K
(1.31)
cùng với
v2
O 2
c
v6
O 6
c
2
2
v12
O 12
c
v8
O 8
c
4
1
, , ...
8
8
(1.32)
v2
O 2
c
và
3
3
2
,
v5
, , , ... O 5
48
c
(1.33)
c (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn
5
Bỏ qua tất cả các số hạng O v
K
2
5
4
v5
1
, , O 5
2
8
8
c
(1.34)
Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac
ih
H
t
Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau
2
1
m02c 2
1
m02c 2
e
e
p c A p c A
i
i, j
j
e
e
pi Ai p j Aj
c
c
11
(1.35)
i
e
e
1
e
ˆ p Ai p j Aj 2 2 p A
2 2 ijk k i
m0 c i , j ,k
c
c m0 c
c
ie
1
e
ˆ p A 2 2 p A
3
m0c
m0 c
c
eh
1
e
ˆ B 2 2 p A
3
m0c
m0 c
c
2
2
2
(1.36)
Tiếp theo ta tính giao hoán tử
,
1
ieh
e p, A0
A,
2 3
m0 c
c t
ieh 0 1 ieh
A A 2 3 E
m02c3
c m0 c
ieh
, , 3 4
m0 c
e
0
p c A , ih t eA
1
m02c3
e
p c A , E
ieh
p, E
m03c 4
ieh
m03c 4
p E
i
j
i
j
Ei p j
i, j
ieh
i j pi E j i , j E j pi
m03c 4 i , j
ieh
i ˆ ij pi E j 2i ijkˆ k E j pi
3 4 ijk k
m0 c i , j ,k
i, j
ieh2
eh2
2eh
ˆ
3 4 E 3 4 E 3 4 ˆ E p
m0 c
m0 c
m0 c
(1.37)
Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau
12
)
i , j 2i i j k k
i j i i j k k ,
(1.38)
c với việc chéo hóa Hamilton
4
Đúng đắn đến bậc O v
4
2
4
1
1
e
eh
e
e2 h2 2
2
0
ˆ
H m0c
p
A
B
eA
p
A
B
3 2
2m0
c 2m0c
c 8m03c 4
8m0 c
v5
eh2
ieh2
eh
ˆ
ˆ
2 2 E 2 2 E
E p O 5
8m0 c
8m0 c
4m02c 2
c
(1.39)
Và ta có hàm sóng
x ei/2ei /2 x
(1.40)
Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho
những bậc cao hơn có thể thực hiện v / c Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây
- Khi các S , S , ... là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
U , U , ... cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị
trung bình như phép biến đổi U .U 1.
- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t 0 khi sự biến đổi
K 0 K 0,
K UKU 1 UKU † ,
U
(1.41)
tương đương với
ih
H ih
H ,
t
t
H U H ih U †
t
(1.42)
- Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép
biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo.
Phương pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm
sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt.
- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong
vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy –
Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu
hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng.
13
m0c2 K (0) (0) 0,
K (0) (0) (0)
(1.43)
Cùng với các toán tử chẵn 0 , (0) O v2 / c2 và toán tử lẻ 0 O v / c lặp
lại các hệ thức này theo
K ( n) ( n) ( n) U ( n1) K ( n1)U ( n1)†
(1.44)
( n ) x U n1 n1 x
(1.45)
i ( n )
U ( n ) exp
2
(1.46)
Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó
v2
,
2
c
v 2 n 1
2 n 1
c
(n) O
( n) O
(1.47)
Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt
2 n 1
và phản hạt và đúng cho bậc O v
c 2 n 1
.
-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình
(2.98). Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường
hợp electron
trong thế
eA0 V x V r , A 0 xuyên tâm tĩnh điện
(1.48)
Trong trường hợp này ta có
B 0,
E A0
1 x V
,
e r r
E 0
(1.49)
Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng
H u m0c 2
p2
p4
h2
h 1 V
V r 3 2 2 2 2V
L
2m0
8m0 c 8m0 c
4m02c 2 r r
(1.50)
Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần
thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và
có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lượng
tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo.
Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4
14
trong mẫu số1. Trong trường hợp của thế Coulomb
V r Ze2 / r hai thành phần
cuối cùng là
Ze2h 2
2m02c 2
r
Ze2 h r r
và
L
4m02c 2 r 3
(1.51)
Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái.
Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của
phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây
suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho
phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ
là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao
hơn v / c . Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự
liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v / c , mà từ đây ta thu được lý
thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars,
là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có
thể so sánh với bước sóng Compton.
- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất
phép khai triển v / c là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.
Hamiltonian của phương trình có dạng
H
r 2
1 r
r r
p eA e H
2m
Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:
Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với
spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do
xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
1
15
r r
r
r
H mô tả tương tác của moment từ riêng với từ trường ngoai H . Hạt có spin
bằng ½ có điện tích e, sẽ có moment từ
r
r
0
eh r eh r
S
2mc
mc
- Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng
0
eh
- magneton Bohr
2mc
Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron
0 1 a
0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân
không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới
đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt
với chân không vật lý.
16
CHƢƠNG 2
GIẢN ĐỒ FEYNMAN VÀ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG ELECTRON
Xuất phát từ Lagrange tương tác của electron với trường điện từ, kể cả trường
điện từ ngoài, ta nêu vắn tắt cách xây dựng S-matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài
toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Aext x , Aext ( x) 0 . Trong mục 2.2
ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng góp vào
moment từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý
của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính
2.1. S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài. Nếu trường
ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về
nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ được mô tả
bằng S-matrận /1/
S T exp Lint x d 4 x ;
(2.1)
Lint ( x) ieN A x ieN Aext x i mN
trong đó T là T-tích, N là N-tích. Số hạng thứ nhất trong Lint ( x) công thức (2.1) là
biểu diễn tương tác của trường electron-positron với trường điện từ lượng tử trường bức xạ, số hạng thứ hai – tương tác với trường ngoài điện từ Aext x , với
điều kiện Aext x 0 , còn số hạng thứ ba – là phản thành phần để tái chuẩn hóa
khối lượng mR m0 m . Sử dụng khai triển hàm mũ dưới đây
eZ 1 Z
Z2 Z3
Zn
... ,
2! 3!
n 0 n !
(2.2)
S0 1; S1 T Lint x d 4 x T ie N A x d 4 x
T ie N Aext x d 4 x i m N d 4 x ...;
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến có thể viết:
17
p2 | S | p1 p2 | S0 | p1 p2 | S1 | p1 p2 | S2 | p1 ... (2.3)
p2 p1 ieT p2 | N A x d 4 x | p1 ieT p2 | N Aext x d 4 x | p1
i mT p2 | N d 4 x p1 .........
trong đó p1 , p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo
điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc ba (bổ chính) cho quá
trình tán xạ này (xem Hình 1).
Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đường electron
trường điện từ ngoài
đường photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (a) electron có xung lượng p1 bay vào vùng có
trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp nhất. Các
giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật
lý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-positron. Giản
đồ (b) electron có xung lượng bay vào bức xạ một photon ảo, sau đó bay tiếp và
18
tương tác với trường ngoaì, sau đó electron có thể hấp thụ một photon ảo và bay ra.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b) cho
đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn các giản đồ còn lại
c1 , c2 , d1 , d2 , e liên quan đến tương tác của hạt với chân không vật lý: các giản đồ
c1 , d1 , diễn tả quá trình tương tác của electron với chân không vật lý của trường
điện từ - photon ảo. Giản đồ Feynman c1 mô tả electron bức xạ một photon sau đó
lại hấp thụ photon này trước khi tương tác với trường ngoài. Giản đồ Feynman d1
diễn tả quá trình ngược lại electron sau khi tương tác với trường ngoài nó sẽ bức xạ
ra một photon và sau hấp thụ photon này. Giản đồ Feynman e diễn tả quá trình
tương tác của pho ton với chân không vật lý của trường electron – positron.
Electron tương tác với photon sau khi nó được sinh ra khi hủy cặp electron-positron
khi có mặt ở trường ngoài. Tất cả các giản đồ Feynman kể trên lien quan đến việc
chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, và các hàm
sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài, chứ không cho đóng góp
vào moment từ dị thường của electron. Tròng luận văn này chúng ta chỉ giữ lại phần
đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b) cho moment từ dị
thường của electron
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với
giản đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
p2 | S1 | p1 e0 d 4 xb p2 | N ( x) ( x) Aext ( x) | p1 .
(2.4)
Vì trường ngoài
Aext ( x) không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta
có thể bỏ ra ngoài N-tích và p2 | ... | p1 , đồng thời khai triển các toán tử ( x) và
( x) thành các toán tử sinh hủy hạt.
N ( x) ( x) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
với: ( ) x :toán tử hủy e ; ( ) x :toán tử hủy e ;
( ) x :toán tử sinh e ;
( ) x :toán tử sinh e .
19
Vì
N ( ) ( ) N
()
%
()
nên N ( x) ( x) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%
.
(2.5)
Xét yếu tố ma trận:
p2 | N | p1 0 | c p2 N c p1 | 0
| p2 c p2 | 0
| p c p | 0;
0 | c p2 c p1 | 0 0 | c p2 c p1 | 0
0 | c p2 c p1 | 0 0 | c p2 % c p1 | 0
c ( p1 ) từ phải sang trái và chuyển các toán
Khi chuyển các toán tử sinh electron
tử hủy electron
(2.6a)
c( p2 ) từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư
của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.
p2 | N | p1 0 | c p2 ( ) ( )c p1 | 0
p2 | ( ) ( ) | p1 p2 | ( ) x | 0 0 | ( ) x | p1
1
2
3
2
m
p20
2
1 3 pmp
2
10 20
1
2
1
2
u p2 e
ip x
2
u p e
1 3 pm
10
2
2
u p2 u p1 e
1
2
ip x
1
1
i p p x
2
1 .
(2.6b)
Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :
1
m2 2
p2 | S1 | p1 e0 p 0p u p2 u p1 Aext p2 p1 ,
10 20
trong đó: u p1 : spinor của electron ở trạng thái đầu ; u p2 u p2 . 4 ;
ext
A
p2 p1 e
i p p x
20
2
1
Aext x d 4 x
(2.7)
