Tích phân_07

WWW.VNMATH.COM
Chương 7
Tích phân
7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm
Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F
′
(x) = f(x) với mọi x ∈ K
Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng
F(x) = 4 sin x + (4x + 5)e
x
+ 1
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4cos x + (4x + 9)e
x
.
2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
1 + |x|
.
3. Chứng minh rằng
F(x) =





x
2
2
ln x −

x
2
4
+ 1 khix > 0
1 khix = 0
là một nguyên hàm của hàm số f(x) =



xln x khix > 0
0 khix = 0
trên [0; +∞).
Bài 7.2 : Xác định các hệ số a,b, c để hàm số F(x) = (ax
2
+ bx + c)
√
3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
√
3 − 2x.
Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x
2
+ 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
2x − 3
x
2
− 3x + 4
.
2. Cho hàm số f(x) = −xe
x

và F(x) = (ax + b)e
x
. Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau
149
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
Ê
0 dx = C;
Ê
dx =
Ê
1 dx = x + C;
2.
Ê
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C;
Ê
(ax + b)
α
dx =
1

a
.
(ax + b)
α+1
α + 1
+ C
(với α  −1, a  0);
3.
Ê
1
x
dx = ln|x| +C;
Ê
1
ax + b
dx =
1
a
ln|ax +b| +C (a  0);
4. Với a là hằng số khác 0
(a)
Ê
sin(ax + b) dx = −
cos(ax + b)
a
+ C;
(b)
Ê
cos(ax + b) dx =
sin(ax + b)

a
+ C;
(c)
Ê
e
(ax+b)
dx =
e
(ax+b)
a
+ C;
(d)
Ê
α
x
dx =
α
x
ln α
+ C (với 0 < α  1);
5. (a)
Ê
1
cos
2
x
dx = tan x + C;
(b)
Ê
1

sin
2
x
dx = − cot x + C.
Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1.
x +
√
x + 1
3
√
x
;
2.
 
√
x + 1
¡  
x −
√
x + 1
¡
;
3.
1
sin
2
x cos
2
x

;
4.
cos 2x
sin x + cos x
;
5.
x
3
+ 1
1 − x
2
;
6.
1
(1 + x)(1 − 2x)
;
7.
2
x
− 1
e
x
;
8. e
3−2x
;
9. x(x + 1)(x + 2);
10.
1
√

x
−
1
3
√
x
;
11.

1 − x
2
x

2
;
12.
3x
2
+ 3x + 3
x
3
− 3x + 2
;
13.
1
x(1 + x)
2
;
14.
x

4
− 2
x
3
− x
;
15. sin

x −
π
4

(1 + sin 2x);
16. sin x sin 2x cos 5x;
17. sin
6
x + cos
6
x;
18.
1
√
2 + sin x − cos x
;
19. sin x cos
2
x.
Vấn đề 3 : Tìm hằng số C
Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
x

3
+ 3x
2
+ 3x − 1
x
2
+ 2x + 1
, biết rằng F(1) =
1
3
.
2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
1 + sin x
1 + cos x
, biết rằng F(0) = 2.
Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :
1. f
′
(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5);
2. f
′
(x) = 2 − x
2
và f(2) =
7
3
.
Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f
′
(x) = ax +

b
x
2
, ở đây f(1) = 4 và f
′
(1) = 0.
Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần

Công thức

u dv = uv −

v du.
Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.
Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 150
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
Ê
(1 − 2x)e
3x
dx;
2.
Ê
(x
2
+ 2x − 1)e
x

dx;
3.
Ê
x sin(2x + 1) dx;
4.
Ê
(x
2
− 1) sin x dx;
5.
Ê
x ln(1 − x) dx;
6.
Ê
√
x ln
2
x dx;
7.
Ê
e
x
cos x dx;
8.
Ê
e
x
sin x dx;
9.
Ê

e
3x
sin 5x dx;
10.
Ê
e
3x
cos7x dx;
11.
Ê
xe
x
cos x dx;
12.
Ê
xe
2x
sin(2x + 1) dx;
13.
Ê
x sin
x
2
dx;
14.
Ê
x
2
cos x dx;
15.

Ê
√
x ln x dx;
16.
Ê
x
2
e
x
dx;
17.
Ê
3
x
cos x dx;
18.
Ê
xe
x
sin 2x dx;
19.
Ê
1 + sin x
1 + cos x
e
x
dx;
20.
Ê
sin(ln x) dx;

21.
Ê
ln

x +
√
1 + x
2

dx;
22.
Ê
x ln
1 + x
1 − x
dx;
23.
Ê
cos
(
ln(tan x)
)
dx;
24.
Ê
x cos x
sin
2
x
dx;

25.
Ê
x2
x
dx;
26.
Ê
xe
−x
dx;
27.
Ê
25e
3x
cos4x dx.
Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f(u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f , tức
Ê
f(u) du = F(u) + C thì

f [u(x)] u
′
(x) dx = F [u(x)] + C.
Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.
Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :
1.
Ê
2(4x − 1)

6
dx;
2.
Ê
7
4 − 3x
dx;
3.
Ê
3
√
2x + 1
dx;
4.
Ê

e
−4x
+
5
√
3x + 2

dx;
5.
Ê

cos

π

2
x

−
2
6x + 5

dx;
6.
Ê
(2x + 1)
4
dx;
7.
Ê
2x(x
2
+ 1)
3
dx;
8.
Ê
x
2
√
x
3
− 4
dx;
9.

Ê
x
√
x − 1 dx;
10.
Ê
2x
√
x
2
+ 1 dx;
11.
Ê
3x
2
√
x
3
+ 1 dx;
12.
Ê
2x
3
√
4 − x
4
dx;
13.
Ê
3x

2
x
3
+ 1
dx;
14.
Ê
x
(3x
2
+ 9)
4
dx;
15.
Ê
2x
√
e
x
2
+4
dx;
16.
Ê
2x + 4
x
2
+ 4x − 5
dx;
17.

Ê
x
3
√
2 − t
2
dx;
18.
Ê
cos xe
sin x
dx;
19.
Ê
e
x
e
x
+ 1
dx;
20.
Ê
cos x sin
4
x dx;
21.
Ê
x
√
x + 1 dx;

22.
Ê
cos x
1 + sin x
dx;
23.
Ê
x
x
2
+ 4
dx;
24.
Ê
(x + 1)
√
x − 1 dx;
25.
Ê
tan x
sin
2
x
dx;
26.
Ê
4x
(1 − 2x
2
)

dx;
27.
Ê
4x
(1 − 2x
2
)
2
dx;
28.
Ê
ln x
x
dx;
29.
Ê
e
−x
1 + e
−x
dx;
30.
Ê
1
x ln x
dx.
Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :
1.
Ê
(2x + 1)

20
dx;
2.
Ê
x
x
2
+ 1
dx;
3.
Ê
x
2
√
x
3
+ 5 dx;
4.
Ê
e
3 cos x
si
n x dx;
5.
Ê
ln
4
x
x
dx;

6.
Ê
e
2x
√
e
x
+ 1
dx;
7.
Ê
3x
√
7 − 3x
2
dx;
8.
Ê
9x
2
√
1 − x
3
dx;
9.
Ê
1
√
x(1 +
√

x)
3
dx;
10.
Ê
x
√
2x + 3
dx;
11.
Ê
x
(1 + x
2
)
2
dx;
12.
Ê
dx
e
x
− e
−x
;
13.
Ê
ln
2
x

x
dx;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 151
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
14.
Ê
3
√
1 + ln x
x
dx;
15.
Ê
cos x sin
3
x dx;
16.
Ê
cos x + sin x
√
sin x − cos x
dx;
17.
Ê
sin x cos x
√
a
2

sin
2
x + b
2
cos
2
x
, (a
2
 b
2
);
18.
Ê
dx
cos x sin
2
x
;
19.
Ê
x
√
1 + x
2
dx;
20.
Ê
sin
2

x cos
3
x dx;
21.
Ê
e
3sin x
cos x dx;
22.
Ê
(3x + 2)
10
dx.
Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau :
1.
Ê
x
3
e
−x
2
dx;
2.
Ê
sin
√
x dx;
3.
Ê
ln(ln x)

x
dx;
4.
Ê
cos
2
(ln x) dx;
5.
Ê
e
√
x
dx;
6.
Ê
sin(ln x) dx;
7.
Ê
cos
2
√
x dx;
8.
Ê

1
ln
2
x
−

1
ln x

dx;
9.
Ê
x cos x
sin
2
x
dx;
10.
Ê
sin
 
√
x + 1
¡
dx;
11.
Ê
ln
(
tan x
)
cos
2
x
dx;
12.

Ê
sin
5
x
3
cos
x
3
dx;
13.
Ê
1
x
2
sin
1
x
cos
1
x
dx;
14.
Ê
dx
3 + 5 cos x
;
15.
Ê
dx
sin x + cos x

;
16.
Ê
dx
8 − 4 sin x + 7 cos x
;
17.
Ê
4 sin x + 6 cos x + 5
sin x + 2 cos x + 2
dx.
7.2 Các dạng toán tích phân
Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản

Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì

b
a
f(x) dx = F(x)
¬
¬
¬
b
a
= F(b) − F(a).
Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :
1.
2
Ê
0

x(x + 1)
2
dx;
2.
π
2
Ê
0
(
2 cos x − sin 2x
)
dx;
3.
2
Ê
1
2
1
x(x + 1)
dx;
4.
ln 2
Ê
0
e
2x+1
+ 1
e
x
dx;

5.
π
2
Ê
0
 
2x
2
+ cos x
¡
dx;
6.
π
6
Ê
0
(sin6x sin 2x − 6) dx;
7.
8
Ê
1

4x −
1
3
3
√
x
2


dx;
8.
1
Ê
0

3x − e
x
4

dx;
9.
4
Ê
1
dx
x
2
(x + 1)
;
10.
π
3
Ê
π
6
sin
3
x
1 − cos x

dx;
11.
2
Ê
0
√
x
3
− 2x
2
+ x dx;
12.
π
3
Ê
π
6
dx
sin
2
x cos
2
x
;
13.
π
4
Ê
0
dx

(1 + tan
2
x) cos
4
x
;
14.
π
2
Ê
−
π
2
cos
2
2x dx;
15.
π
2
Ê
−
π
2
sin 2x sin 6x dx;
16.
π
6
Ê
0
tan x dx.

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối

1. Công thức tách cận tích phân

b
a
f(x) dx =

c
a
f(x) dx +

b
c
f(x) dx.
2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối
b
Ê
a
|f(x)| dx (giả s
ử a > b).
(a) Giải phương trình f(x) = 0, được các nghiệm x
i
∈ [a; b], giả sử a ≤ x
1
< x
2
< ··· < x
n
≤ b.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 152
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(b) Dùng công thức tách cận
b

a
|f(x)| dx =
x
1

a
|f(x)| dx +
x
2

x
1
|f(x)| dx + ··· +
b

x
n
|f(x)| dx
=
¬
¬
¬
¬

¬
¬
x
1

a
f(x) dx
¬
¬
¬
¬
¬
¬
+
¬
¬
¬
¬
¬
¬
x
2

x
1
f(x) dx
¬
¬
¬
¬

¬
¬
+ ··· +
¬
¬
¬
¬
¬
¬
b

x
n
f(x) dx
¬
¬
¬
¬
¬
¬
.
Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.
Bài 7.13 : 1. Cho
5
Ê
0
f(t) dt = −3 và
7
Ê
0

f(u) du = 4, tính
7
Ê
5
f(x) dx.
2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f
′
(1) = 2 và
2
Ê
0
f(x) dx = 4.
Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f(x) = a.3
x
+ b, biết rằng f
′
(0) = 2 và
2
Ê
1
f(x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b.
2. Cho hàm số f(x) = a sin2x + b, biết rằng f
′
(0) = 4 và
2π
Ê
0
f(x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b.
Bài 7.15 : 1. Cho
4

Ê
0
f(x) dx = 1 và
6
Ê
0
f(t) dt = 5. Tính tích phân I =
6
Ê
4
f(x) dx.
2. Cho a ∈
å
π
2
;
3π
2
è
và thoả mãn
1
Ê
0
cos(x + a
2
) dx = sin a. Tính giá trị của a.
Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :
1.
2
Ê

0
|1 − x| dx;
2.
2
Ê
0
|x
2
− x| dx;
3.
2π
Ê
0
√
1 − cos2x dx;
4.
√
3
Ê
0
|1 − x
2
|
1 + x
2
dx;
5.
2
Ê
0

|x − 2| dx;
6.
3
Ê
−3
|x
2
− 1| dx;
7.
4
Ê
1
√
x
2
− 6x + 9 dx;
8.
5
Ê
−2
(
|x + 2| − |x − 2|
)
dx;
9.
3
Ê
0
√
x

3
− 4x
2
+ 4x dx;
10.
2
Ê
0
|x
2
+ 2x − 3| dx;
11.
3
Ê
0
|2
x
− 4| dx;
12.
1
Ê
−1
√
4 − |x| dx;
13.
π
Ê
−π
√
1 − sin x dx;

14.
π
3
Ê
π
6
√
tan
2
x + cot
2
x − 2 dx;
15.
π
Ê
0
√
1 − sin 2x dx;
16.
2π
Ê
0
√
1 + cos x dx;
17.
π
2
Ê
−
π

2
cos x
√
cos x − cos
3
x dx;
18.
π
2
Ê
−
π
2
| sin x| dx;
19.
π
Ê
0
√
1 + cos 2x dx;
20.
2π
Ê
0
√
1 + cos x dx.
Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần

b


a
u dv = uv
¬
¬
¬
b
a
−
b

a
v du.
Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc
chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.
Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại.
Chú ý :
• Tích phân I =
Ê
e
x
sin x dx đặt u = e
x
v
à dv = sin x dx . . .;
• Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 153
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.

Bài 7.17 : Tính các tích phân sau :
1.
ln 2
Ê
0
xe
2x
dx;
2.
1
Ê
0
(2x
2
+ x + 1)e
x
dx;
3.
π
2
Ê
0
(1 − x) sin x cos x dx;
4.
π
4
Ê
0
x sin x dx;
5.

3
Ê
1
2x ln x dx;
6.
e
Ê
1
x
3
ln
2
x dx;
7.
π
2
Ê
0
e
2x
sin 3x dx;
8.
π
Ê
0
e
x
cos 2x dx;
9.
1

Ê
0
(x
2
+ 1)e
2x
dx;
10.
1
Ê
0
(2x − 1)e
−2x
dx;
11.
3
Ê
0
√
x + 1e
√
x+1
dx;
12.
1
Ê
0
2
√
x

dx;
13.
π
Ê
0
(x
2
+ 2x + 3) cos x dx;
14.
π
2
Ê
0
(x − 1) sin x dx;
15.
π
2
Ê
0
x cos x sin
2
x dx;
16.
π
2
Ê
π
3
x − sin x
1 + cos x

dx;
17.
5
Ê
2
2x ln(x − 1) dx;
18.
e
Ê
1
x ln
2
x dx;
19.
1
Ê
0
x ln

x +
√
1 + x
2

dx;
20.
3
Ê
2
(

ln(x − 1) − ln(x + 1)
)
dx;
21.
π
Ê
0
e
x
cos
2
x dx;
22.
1
Ê
0
e
x
sin
2
(πx) dx;
23.
π
2
Ê
0
x
2
cos x dx;
24.

π
3
Ê
0
(2 − x) sin x dx.
Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số

1. Phương pháp đổi biến số đơn giản
(a)
Ê
f(ax + b) dx =
1
a
Ê
f(ax + b) d(ax + b);
VD :
Ê
(2x − 3)
2
dx =
1
2
Ê
(2x − 3)
2
d(2x− 3) =
1
2
(2x − 3)
3

3
+ C.
Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx =
1
a
d(ax + b).
(b)
Ê
f(x
n+1
)x
n
dx =
1
n + 1
f(x
n+1
) d(x
n+1
), đặt t = x
n+1
;
VD : I =
Ê
(4x
3
+ 1)
2
x
5

dx =
Ê
(4x
3
+ 1)
2
x
3
.x
2
dx.
Đặt t = 4x
3
+ 1 ⇒ dt = 12x
2
dx và x
3
=
1 − t
4
.
Vậy I =
Ê
t
2

1 − t
4

3

dt
12
= ···
(c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm
sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó.
VD :
i. I =
Ê
x
2
√
2x
3
+ 1 dx, đặt t =
√
2x
3
+ 1 ⇒ t
2
= 2x
3
+ 1 ⇒ 2t dt = 6x
2
dx ⇒ x
2
dx =
t dt
3
, nên I =
Ê

t.
t dt
3
= ···
ii. I =
Ê
x
3
.e
x
2
+1
dx, đặt t = x
2
+1 ⇒ dt = 2x dx và x
2
= t− 1, nên I =
Ê
x
2
.e
x
2
+1
x dx =
Ê
(t−1)e
t
dt
2

rồi dùng phương
pháp nguyên hàm từng phần.
iii. I =
Ê
1
x
2
sin
1
x
cos
1
x
dx, đặt t =
1
x
⇒ dt = −
dx
x
2
, nên I = −
Ê
sin t cos t dt = −
1
2
Ê
sin 2t dt.
2.
Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác
Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 154
www.VNMATH.com www.VNMATH.com