bài tập ứng dụng của tích phân

A– BÀI TẬP TÍNH DIỆN TÍCH VÀ QUÃNG ĐƯỜNG
Câu 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô
v t  5t  10  m/s 
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc  
, trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô
còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2m.
B. 2m.
C. 10m.
D. 20m.
v t  0 ��
� 5t  10  0 � t  2.
Lời giải. Lúc dừng hẳn thì  
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là
2

5 2
�2
s�

t

10
t
 5t  10  dt  �
�
�  10m.
�2
�0
0

Chọn C.

Câu 2. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc
a t 

3
m/s 2
t 1
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 14 m/s . B. 13m/s .
C. 11m/s .
D. 12 m/s .
3
v  t   � dt  3ln t  1  C.
t 1
Lời giải. Ta có
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t  0 thì v  6m/s nên ta có 3ln1  C  6 � C  6.
v  t   3ln t  1  6  m/s  .

Suy ra

Tại thời điểm

t  10 s ��
� v  10   3ln11  6 �13m/s.

Chọn B.

 
Câu 3. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao
nhiêu mét?
4000
4300
m
m
A. 3
. B. 3
.

1900
m
C. 3
.

a  t   3t  t 2 m/s 2

2200
m
D. 3
.

Câu 4. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 m so với
mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu
đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
v  t   10t  t 2  m/s 
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu

chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v của khí cầu bằng bao nhiêu?
A. v  5m/s.
B. v  7m/s.
C. v  9m/s.
D. v  3m/s.


Câu 5. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần
�1 �
I � ; 8�
parabol với đỉnh �2 �và trục đối xứng song song với
trục tung như hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy

được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy.
A. s  4 km.
B. s  2,3 km.
C. s  4,5 km.
D. s  5,3 km.
v t  at 2  bt  c
Lời giải. Hàm vận tốc  
có dạng là đường parabol đi qua các điểm

O  0; 0 

�
�
c0
a  32
�

�
�
abc  0 � �
b  32
�
�a b
�
c0
�
�  c 8
�4 2

�1 �
I � ; 8�
�2 �

A  1; 0 

,
và
nên
suy
ra
2
��
� v  t   32t  32t  m/s  .
Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 45 phút là:
3
4

s�
 32t 2  32t  dt 4,5km.
0

Chọn C.

( )
Câu 6. Cho đồ thị hàm số
như
hình vẽ bên. Diện tích S của hình phẳng
phần tô đậm trong hình được tính theo công
thức nào sau đây?
y= f x

3

A.

S = �f ( x) dx
- 2

0

B.
C.
D.

.
3

S = �f ( x) dx + �f ( x) dx
- 2

0

- 2

3

S = �f ( x) dx + �f ( x) dx
0

0

0

0

S = �f ( x) dx + �f ( x) dx
- 2

3

Câu 7. Cho hai hàm số

.
.
.

y = f1 ( x) , y = f2 ( x)

1( )
hạn các bởi đường cong
xác định bởi công thức nào sau đây?

y = f x , y = f2 ( x)

a;b .
liên tục trên [ ] Diện tích hình phẳng

và các đường thẳng

x = a, x = b ( a < b)

S

giới
được


b

A.

b

S = �f1 ( x) - f2 ( x) dx.

B.

a

b

S=

C.

f ( x) ��
�
a

Câu 8. Diện tích hình phẳng

S

a

b

f2 ( x) �
dx .
�

1

�
S=�
f2 ( x) - f1 ( x) �
dx.

�
�
S = �f1 ( x) + f2 ( x) dx.

D.

a

giới hạn

y = 2x, y = 4- x

bởi các đồ thị hàm số
và
Ox
trục hoành
(như hình vẽ) được tính
bởi công thức nào dưới đây?
4

A.
B.

0

0

2

4

S = � 2xdx + �
( 4- x) dx.
0

4

C.

2

(

)

(

2x dx.

S = � 2x - 4 + x dx.
0

2

D.

4

S = � 2xdx + �
( 4- x) dx.

S = �4- x -

)

0

Lời giải. Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
�x �4
� 2x = 4- x � �
� x = 2;
�2
�
�x - 10x +16 = 0
�4- x = 0 � x = 4;
� 2x = 0 � x = 0.
2

Dựa vào hình vẽ, ta có

0

S

Câu 9. Tính diện tích hình phẳng
đường thẳng x = 1 .
A.

1
S= .

3

B.

S=

4

S = � 2xdx + �
( 4- x) dx.

2 2- 1
.
3

2

giới hạn bởi đồ thị hàm số

C.

S=

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
1

Diện tích hình phẳng:

Chọn B.

2 2 +1
.
3

D.

(

, trục hoành và

)

S = 2 2- 1 .

x 1+ x2 = 0 � x = 0.
1

CASIO

S = �x 1+ x2 dx = �
x 1+ x2 dx =
0

y = x 1+ x2

0

2 2- 1
.
3

Chọn B.


y = f ( x)

Câu 10. Cho hàm số
hàm số
[1;2]

y = g( x) = x. f ( x

2

liên tục trên

�

và

) có đồ thị trên đoạn

như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền
S=

được tô màu là

5
2,

tính giá trị của tích phân

4

I = �f ( x) dx.
1

A.

5
I = .
2

B.

5
I = .
4

C.

I = 10.

D.

I = 5.
2

Lời giải. Diện tích phần tô màu là

S = �g( x) dx.
1

2

S=

Theo giả thiết
Đặt

5
5
� x. f ( x2 ) dx = .
2 �
2
1

2

t = x ��
� dt = 2xdx .
2

Khi đó

Đổi cận:

x = 1� t = 1
�
�

.
�
�
�x = 2 � t = 4

4

4

5
1
=�
x. f ( x2 ) dx = �f ( t) dt ��
� �f ( t) dt = 5
2 1
21
1

4

hay

�f ( x) dx = 5.
1

Câu 11. Cho một viên gạch men có dạng
hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa
O 0;0 , A 0;1 , B 1;1 , C 1;0
độ hóa, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) và
hai đường cong trong hình lần lượt là đồ

3

3

thị hàm số y = x và y = x. Tính tỷ số
diện tích của phần tô đậm so với diện tích
phần còn lại của hình vuông.
A.

1
.
2

B.

5
.
4

C.

4
.
3

D.

1.

Lời giải. Diện tích hình vuông có cạnh bằng

1

là

S1 = 12 = 1 m2

.

Chọn D.


1

Diện tích phần tô đậm :

CASIO

S2 = �3 x - x3 dx =
0

Do đó diện tích phần còn lại :

D S = S1 - S2 = 1-

1
= m2.
2
S
1 1 2

= m ��
� 2 = 1.
2 2
DS

Chọn D.

Câu 23. Ông An có một mảnh vườn hình Elip
có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé
bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất
rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng / m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng
hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
2

A.
C.

7.862.000
7.128.000

đồng.
đồng.

B.
D.

Giả sử elip có phương trình
Từ giả thiết, ta có

7.653.000
7.826.000

đồng.
đồng.

x2 y2
+ =1
a2 b2
.

2a = 16 ��
�a= 8

và

2b = 10 ��
� b = 5.

� 5
�y =
64- x2
x
y
� 8
+ = 1��
��
�
5

64 25
y=64- x2
�
8
�
2

Vậy phương trình của elip là

2

( E1)

.

( E2 )

E , E , x =Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( 1) ( 2 )
�
5
5
p
3�
�
�
S = 2� 64- x2 dx = � 64- x2 dx = 80�
+ �
m2
�
�

�
�
8
2
6
4
- 4
0
4

Do đó

4

và

x= 4.

4

.

B – BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH
Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Thì thể tích vật thể tròn xoay được
sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox có giá trị bằng?

16
A. 15 (đvtt)

15

B. 16 (đvtt)

5
C. 6 (đvtt)

6
D. 5 (đvtt)


2
Câu 2: Thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đườn y  x  4, y  2x  4, x  0, x  2 quay
quanh trục Ox bằng:



32
5

32
D. 5

A.
B. 6
C. 6
Câu 3: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
1

x

y  x2 .e2 , x  1, x  2, y  0 quanh trục ox là:

2
2
A. (e  e)
B. (e  e)

C. e
D. e
Câu 4: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y

2

4
, y  0, x  1, x  4
x
quanh trục ox là:

A. 6

B. 4

C. 12

D. 8

Câu 5: Cho hình phẳng

 H

giới hạn bởi các đường y  sin x ; x  0 ; y  0 và x   . Thể tích vật thể

tròn xoay sinh bởi hình

 H

quay quanh Ox bằng

A. 2

2
B. 2

Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. 


B. 6

2
C. 4


D. 2

x và y  x quay xung quanh trục Ox . Thể tích

C. 0

D. 

Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0, y  2  x
quanh trục ox là:

7
A. 12

13
C. 3

6
B. 6
D. 5
2
2
Câu 8: Thể tích vật thể tròn xoang khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ; x  y quanh
trục ox là

 2
A. 10

4
B. 3

3
C. 10


D. 10

2
Câu 9: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 8x và x = 2
B. 4

C. 16

quanh trục ox là:
A. 12

D. 8

2
Câu 10: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , y  0 quanh

a
trục ox có kết quả dạng b khi đó a+b có kết quả là:


C. 31
D. 25
A. 11
B. 17
Câu 11: Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
(1- x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 bằng:

8 2
B. 3

5
C. 2

2
D. 5

C. 3

3
D. 10

A. 2
Câu 12: Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = x2 và x = y2 bằng:

10
B. 3

A. 10

Câu 13: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  1
, trục hoành, x  2, x  5 quanh trục Ox bằng:
5

A.

5

�x  1dx

B.

2

�
 x  1 dx
2

2

C.

5

�
 y  1 dx
2

2

D.

1

 x  1 dx
�
2

2
Câu 14: Thể tích của khối tròn xoay tạo lên bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y   x  2 ;

y  1 và trục Ox khi quay xung quanh Ox là

1

1

�
( x  1) dx   �
dx
2

A.

C.

1

2

1

1

1

1

1

1

�

( x 2  2) 2 dx   �
dx

1

�
( x  2) dx   �
dx
2

B.

1
1

D.

2

�
( x 2  2) 2 dx
1

1