Ứng dụng phần mềm GEOGEBRA trong dạy học chứng minh hình học lớp 7 Trung học cơ sở : Luận văn ThS. Khoa học giáo dục: 81401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAO HẢI ĐĂNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAO HẢI ĐĂNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC
CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời
cảm ơn đến Ban giám hiệu và các thầy, cô giảng viên Trường Đại học Giáo
dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy, tận tình chỉ bảo cho tác giả
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường.
Tiếp theo, em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất tới
PGS. TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình làm và hoàn thiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các thầy cô
giáo trong tổ Tự Nhiên I cùng các em học sinh lớp 7 Trường Trung học cơ sở
Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn
thành khoá học và thực hiện đề tài.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2018
Học viên

Cao Hải Đăng

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CNTT

Công nghệ thông tin

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

MTĐT

Máy tính điện tử

PMDH

Phần mềm dạy học

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.

Số liệu về các chương, bài học, bài tập trong sách giáo khoa cấp
Trung học cơ sở nội dung hình học ....................................................

Bảng 1.2.

30

Tóm tắt nội dung chương trình trong sách giáo khoa lớp 7 phần
hình học ..............................................................................................

31

Bàng 1.3.

Một số hoạt động trong sách giáo khoa lớp 7 phần hình học

33

Bảng 1.4.

Tóm tắt các dạng bài tập trong sách giáo khoa lớp 7 phần hình học ..

35

Bảng 1.5.

Đánh giá mực độ cần thiết của công nghệ thông tin trong dạy học ....

40

Bảng 1.6.

Mức độ thường xuyên sử dụng máy tính điện tử trong giờ dạy .........

40

Bảng 1.7.

Các phần mềm giáo viên đã sử dụng trong hỗ trợ dạy học .................

40

Bảng 3.1.

Điểm số của học sinh hai lớp 7A10 và 7A12 trước và sau khi tiến
hành thực nghiệm ...............................................................................

iii

94


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................. iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .................................................................. 3

4. Phạm vi nghiên cứu .......................................................................................... 3
5. Giả thuyết nghiên cứu ....................................................................................... 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 3
7. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 4
8. Cấu trúc luận văn .............................................................................................. 5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 6
1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ............................................................................. 6
1.2. Dạy học chứng minh hình học ....................................................................... 9
1.2.1. Khái niệm chứng minh Toán học ............................................................... 9
1.2.2. Các phép chứng minh Toán học ............................................................... 10
1.2.3. Các bước chứng minh hình học ................................................................ 12
1.2.4. Phân bậc trong dạy học chứng minh ......................................................... 13
1.2.5. hình học trực quan và hình học suy diễn .................................................. 15
1.3. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học........... 16
1.3.1. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học .......................................... 16
1.3.2. Hình thức ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán ................. 17
1.3.3. Khai thác công nghệ thông tin trong giờ học Toán................................... 18
1.3.4. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học........ 20
1.4. Phần mềm hình học động GeoGebra ........................................................... 21
1.4.1. Phần mềm dạy học .................................................................................... 21
iv


1.4.2. Phần mềm hình học động GeoGebra ........................................................ 22
1.4.3. Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học ..... 23
1.5. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................. 27
1.5.1. Khái quát và phân tích về chương trình hình học Trung học cơ sở .......... 27
1.5.2. Phân tích chương trình Sách giáo khoa lớp 7 phần hình học.................... 30
1.5.3. Dạy học chứng minh hình học ở lớp 7 Trung học cơ sở........................... 37
1.5.4. Thực trạng của việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng

minh hình học ở một số trường Trung học cơ sở tại Quận Hoàn Kiếm Hà Nội . 39
Kết luận chương 1............................................................................................... 42
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG ..................... 43
DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 THCS .................................... 43
2.1. Định hướng, nguyên tắc và quy trình sử dụng phần mềm GeoGebra
trong dạy học chứng minh hình học ................................................................... 43
2.2. Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong 4 bước chứng minh hình học .......... 45
2.2.1. Sử dụng phần mềm GeoGebra để thể hiện giả thiết bằng hình vẽ ............ 45
2.2.2. Sử dụng phần mềm GeoGebra trong khai thác giả thiết giúp học sinh
phát hiện ra kết quả của chứng minh .................................................................. 49
2.2.3. Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ học sinh suy luận chứng minh ...... 57
2.2.4. Sử dụng phần mềm GeoGebra nghiên cứu mở rộng bài toán ................... 61
2.3. Ứng dụng phần mềm GeoGebra thiết kế các môi trường tương tác trong
dạy học chứng minh............................................................................................ 68
2.3.1. Sử dụng các hình động trong dạy học chứng minh................................... 68
2.3.2. Sử dụng các công cụ đo trong dạy học chứng minh ................................. 72
2.4. Phân bậc ứng dụng phần mềm trong dạy học chứng minh .......................... 77
Kết luận chương 2............................................................................................... 80
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 82
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 82
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................................ 82
v


3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................................. 82
3.4. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................... 90
3.5. Đánh giá thực nghiệm .................................................................................. 91
Kết luận chương 3............................................................................................... 95
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..................................................................... 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 99

PHỤ LỤC

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với các môn học trong các nhà trường nói chung và trường Trung học
cơ sở (THCS) nói riêng, Toán học là môn học nòng cốt trong việc hình thành
và phát triển tư duy cho học sinh (HS), nếu học tốt môn Toán sẽ tạo tiền đề
cho HS học tốt các môn học khác. Môn Toán ở trường THCS là môn khoa
học tự nhiên có tính hệ thống, kế thừa và phát triển những kết quả giáo dục
của bậc Tiểu học, bước đầu hình thành và rèn luyện cho HS kĩ năng suy luận,
phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất của tư duy. Trong đó, hình
học là một phân nhánh của Toán học liên quan đến các câu hỏi về hình dạng,
kích thước và vị trí các hình. Nội dung của hình học ở trường THCS có các
đặc trưng cơ bản như: nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với trực quan; ngoài
ra nó đảm bảo mối liên hệ giữa hình học thuần túy với hình học thực tế.
Việc dạy học Hình học ở trường THCS phải thể hiện được hai đặc
trưng cơ bản trên. Muốn vậy cần giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản, hứng
thú trong giờ học, dễ hiểu bài và tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất các
nội dung kiến thức của từng bài, từng tiết, từng chương. Đặc biệt với các nội
dung yêu cầu phán đoán kết hợp suy luận như chứng minh hình học thì việc
tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình tiếp cận nội dung là cần thiết.
Từ thập niên 90 của thế kỉ trước, vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin
(CNTT) vào dạy học là một chủ đề lớn được UNESCO chính thức đưa ra
thành chương trình hành động trước ngưỡng cửa của thế kỉ XXI. Ngoài ra,
UNESCO còn dự báo rằng CNTT sẽ làm thay đổi nền giáo dục một cách cơ
bản, toàn diện vào đầu thế kỉ XXI. Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã có Quyết
định số 117/QĐ-TTg ngày 25/01/2017 của Thủ tướng Chính phủ triển khai đề

án tăng cường ứng dụng CNTT trong quản lý và hỗ trợ các hoạt động dạy và
học, nghiên cứu khoa học góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo
giai đoạn 2016-2020, định hướng đến năm 2025 cho thấy được tầm quan
1


trọng của việc ứng dụng CNTT vào dạy học. CNTT với tư cách là phương
tiện dạy học mới, làm thay đổi cách dạy và cách học, hỗ trợ đắc lực đổi mới
PPDH, nâng cao chất lượng dạy học. Các tình huống sư phạm cùng với các
phần mềm dạy học (PMDH) sẽ tạo ra môi trường học tập hiệu quả cho HS và
phát huy được sự sáng tạo trong học Toán. Hay nói cách khác, nếu trọng tâm
của việc dạy học là tạo ra được các tình huống sư phạm, thì CNTT đặc biệt là
các PMDH đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng các tình huống
ấy.
Như vậy, ứng dụng CNTT vào đổi mới PPDH theo hướng phát huy tính
tích cực nhận thức của HS là cần thiết. Hiện nay các phần mềm phục vụ cho
việc dạy và học môn Toán khá phong phú như: Maple, Matlab, Graph, Cabri,
GeoGebra. Trong đó, GeoGebra là một phần mềm Toán học kết hợp giữa
hình học và đại số. Phần mềm được phát triển cho việc dạy toán trong các
trường học bởi tác giả Markus Hohenwarter tại Đại học Florida Atlantic.
GeoGebra là phần mềm hình học động giúp người sử dụng dễ dàng
thực hiện các phép dựng hình cũng như vẽ đồ thị hàm số và thay đổi các tham
số của bài toán. Phần mềm GeoGebra giúp GV thiết kế các tình huống dạy
học khái niệm, tính chất, định lí trong hình học một cách trực quan, có tính
khám phá. Đặc biệt phầm mềm có tác dụng xây dựng các hình ảnh liên quan
giúp tạo niềm tin cho HS khi tiếp cận các định lí, tính chất, quan điểm mới từ
đó gợi tình huống sư phạm cho dạy học chứng minh. Ngoài ra, GeoGebra là
phần mềm mã nguồn mở miễn phí nên có thể cài đặt hợp pháp ở mọi nơi
(phòng học, phòng máy, máy tính cá nhân) tạo sự dễ dàng cho việc thiết kế
các hoạt động liên quan đến sử dụng phần mềm này. Bên cạnh đó, GeoGebra

còn được dịch ra hơn 60 ngôn ngữ trong đó có Tiếng Việt nên thuận tiện cho
GV cũng như HS trong quá trình sử dụng.
Với những lý do trên và qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường
THCS, tôi nhận thấy việc ứng dụng CNTT vào dạy học chứng minh là hết sức
2


cần thiết nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng phần mềm
GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học lớp 7 THCS”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định quy trình dạy học và đề
xuất một số tình huống dạy học với sự hỗ trợ của phần mềm hình học động
GeoGebra nhằm tích cực hóa hoạt động học tập, kiến tạo tri thức mới cho HS
trong dạy học môn Toán đặc biệt là trong dạy học chứng minh hình học ở
trường THCS.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: HS trường THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà
Nội.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm GeoGebra, chương trình hình học lớp
7.
4. Phạm vi nghiên cứu
4.1. Về nội dung: Các định lí và một số bài tập hình học lớp 7.
4.2. Về phạm vi khảo sát: Trường THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu khai thác hiệu quả các tình huống dạy học ứng dụng phần mềm
GeoGebra sẽ tích cực hóa hoạt động của HS, giúp HS hiểu rõ bản chất của
một số định lí hình học, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán
lớp 7 ở trường THCS.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
– Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài về việc ứng dụng phần mềm

GeoGebra trong dạy học môn hình học lớp 7
– Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy nhu cầu hình thành năng lực của
người học nói chung và năng lực chứng minh hình học nói riêng

3


– Phân tích các tài liệu để khẳng định việc ứng dụng phần mềm
GeoGebra vào dạy học hình học là hoàn toàn phù hợp với đối tượng HS lớp 7
THCS
– Đề xuất một số tình huống ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy
học nhằm phát triển năng lực chứng minh hình học ở HS qua quá trình dạy
học định lí và giải các bài tập hình học THCS
– Tiến hành thực nghiệm sư phạm, bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi,
tính hiệu quả của những tình huống và biện pháp đề xuất trong luận văn.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Thu thập, phân tích, nghiên cứu và tổng hợp một cách hệ thống các
nguồn tài liệu tham khảo, các giáo trình có liên quan tới đề tài
– Nghiên cứu các vấn đề ứng dụng CNTT trong dạy và học ở THCS
– Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa (SGK) về mục tiêu, nội
dung dạy học của hình học THCS.
7.2. Phương pháp điều tra - quan sát
– Điều tra thực trạng chứng minh hình học và ứng dụng CNTT trong
trường THCS thông qua phiếu điều tra, phiếu hỏi
– Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với các GV dạy Toán, những
người có kinh nghiệm dạy học môn Toán, lấy ý kiến đóng góp qua phiếu điều
tra.
7.3. Phương pháp chuyên gia
Xin ý kiến các giảng viên dạy bộ môn Toán trong tổ Phương pháp của

trường Đại học Giáo dục và của một số GV dạy giỏi môn Toán có nhiều kinh
nghiệm nhằm hoàn thiện luận văn.
7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.
4


8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh
hình học lớp 7 THCS
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Đề tài ứng dụng CNTT vào dạy học đã được khai thác rất nhiều trong
các tài liệu, giáo trình, bài viết, luận văn, luận án của nhiều tác giả trong cả
nước cũng như trên thế giới. Đặc biệt ứng dụng CNTT vào Toán học luôn là
đề tài nóng hổi cho GV và các nhà khoa học phần mềm. Đi kèm với sự phát
triển của công nghệ nói chung thì các phần mềm Toán học ứng dụng vào
giảng dạy cũng ngày càng được phát triển, từ những phần mềm tính toán thô
sơ thì đến nay các công cụ như Matlab, Maple, GeoGebra đã có thể sử dụng
để nghiên cứu mọi góc cạnh của Toán học. Đặc biệt là trong Toán học chứng
minh, việc phát hiện vấn đề chứng minh đòi hỏi tính chính xác cao thì nhu

cầu ứng dụng CNTT là tất yếu. Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về ứng dụng
CNTT trong Toán học đặc biệt là trong dạy học chứng minh. Một số đề tài
nổi bật liên quan có thể kể đến như:
– Năm 2006, Luận án tiến sĩ “Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy
học hình học lớp 7 theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh”
[6] của tác giả Trịnh Thanh Hải tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Luận án đưa ra cái nhìn tổng quan về ứng dụng CNTT vào trong dạy
học, đặc biệt việc sử dụng các phần mềm vẽ hình vào trong dạy học hình học
lớp 7 phù hợp và thiết thực như thế nào. Cụ thể, luận án phân tích chương
trình dạy học hình học lớp 7 và tâm lý HS THCS, đưa ra các phương án sử
dụng phần mềm Cabri Geometry trong dạy học khái niệm, định lý và giải bài
tập hình học qua nhiều ví dụ cụ thể, chi tiết nhằm phát huy tính tích cực hóa
hoạt động học tập của HS. Các tình huống sử dụng đa dạng có đi kèm phân
tích cho người đọc nhiều ý tưởng áp dụng vào dạy học thực tiễn ở trên lớp
hay nghiên cứu. Tuy nhiên do áp dụng cho nhiều nội dung nên thiếu trọng
tâm và một số ví dụ lặp lại.

6


– Năm 2008, Luận án tiến sĩ “Rèn luyện kĩ năng tiền chứng minh cho
học sinh lớp 5 thông qua dạy học các yếu tố hình học” [15] của tác giả
Nguyễn Thị Kim Thoa tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Luận án sử dụng nhiều hình vẽ minh họa, nhiều phương pháp khai thác
bài toán đa dạng phù hợp với HS Tiểu học. Luận án đề cập đến nội dung tiền
chứng minh nhằm phát triển tư duy cho HS Tiểu học tạo tiền đề cho HS học
các nội dung chứng minh hình học ở THCS sau này. Các phương pháp khai
thác đề bài và vẽ hình minh họa tương ứng đặt cho ta câu hỏi sẽ thuận lợi thế
nào nếu được hỗ trợ bởi CNTT trong quá trình dạy học? Các nội dung kiến
thức hướng đến đối tượng HS Tiểu học nên phần nào đơn giản và thiên về

trực giác, nhìn hình vẽ rồi mới dần dần hướng HS đến việc lập luận trong
chứng minh.
– Năm 2013, bài viết “Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học
khám phá định lí” [4] của tác giả Phan Trọng Hải đăng trên tạp chí Khoa học
Trường Đại học Cần Thơ.
Bài viết đề cập đến vấn đề cốt lõi của sử dụng phần mềm GeoGebra
trong dạy học chứng minh, đó là khám phá ra định lí hay vấn đề cần chứng
minh. Bài báo giới thiệu mô hình dạy học khám phá định lí với sự hỗ trợ của
phần mềm GeoGebra, mô hình này chỉ ra các bước chính mà GV có thể áp
dụng trong dạy học khám phá định lí. Là một bài báo trên tạp chí nên bài viết
có sự hạn chế về thời lượng, chỉ đưa ra các nét chính chứ chưa đi vào phân
tích cụ thể từng nội dung, từng đối tượng, ngoài ra các ví dụ được kể đến đều
là về nội dung vectơ của THPT nên còn thiếu đa dạng và khó áp dụng cho bậc
THCS.
– Năm 2014, học viên Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Sư phạm,
Đại học Thái Nguyên với đề tài: “Phát triển năng lực chứng minh cho HS
THPT trong dạy học hình học” [7].

7


Trong luận văn này tác giả đã trình bày các cơ sở lí luận về chứng minh
Toán học và dạy học chứng minh hình học ở bậc THPT. Luận văn còn đưa ra
một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong dạy học hình
học, trong đó kể đến biện pháp bồi dưỡng năng lực quan sát Toán học cho HS
có đề cập đến ứng dụng các phần mềm vẽ hình tạo ra các tình huống quan sát
giúp HS dễ dàng phát hiện các định lí, tính chất, bài toán nhưng chỉ chiếm
một phần nhỏ trong luận văn. Ngoài ra hệ thống cơ sở lí luận chỉ tập trung vào
nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT.
– Năm 2015, học viên Luckxay Poummyxay Trường Đại học Sư phạm,

Đại học Thái Nguyên đã nghiên cứu luận văn: “Khai thác phần mềm
GeoGebra trong dạy học môn toán lớp 10 ở trường THPT nước CHDCND
Lào” [13].
Tác giả đã xây dựng tổng quan về lí luận và thực tiễn ứng dụng CNTT
đặc biệt là phần mềm GeoGebra trong dạy học môn Toán khá chi tiết. Luận
văn mới lạ trong phần cơ sở thực tiễn tại nước CHDCND Lào, có nghiên cứu
và so sánh về chương trình Toán học lớp 10 tại nước bạn so với Việt Nam.
Luận văn có nhiều hình ảnh minh họa cụ thể bám sát nội dung dạy học bao
gồm cả Giải tích và hình học, sắp xếp lôgíc. Tuy nhiên nội dung chương trình
Toán cũng như trình độ HS, cơ sở vật chất giữa hai nước có sự chênh lệnh
nên cần xem xét, thay đổi khi áp dụng vào dạy học ở Việt Nam. Luận văn có
đề cập đến ứng dụng GeoGebra trong dạy học chứng minh một số định lí, bài
tập nhưng đều là các nội dung kiến thức THPT và nội dung ứng dụng vào dạy
học chứng minh còn chưa đa dạng.
– Năm 2016, tài liệu “Thinking Creatively about Teaching Geometry”
của tác giả Meril Rasmussen [18].
Tài liệu gồm các nội dung hướng dẫn các kĩ năng sử dụng phần mềm
GeoGebra từ các kĩ năng cơ bản cho đến việc sử dụng kho tài nguyên học liệu
của GeoGebra. Tuy chưa đề cập đến việc ứng dụng vào nội dung dạy học cụ

8


thể nào trong Toán học nhưng những ví dụ về sử dụng công cụ hay kho học
liệu cho ta cái nhìn sáng tạo trong việc sử dụng các chức năng của phần mềm
hay mượn ý tưởng từ kho tài nguyên học liệu rộng lớn.
Từ các đề tài nghiên cứu nêu trên có thể rút ra một số đặc điểm chung
như sau: Các tài liệu trên đã khái quát trình bày được tầm quan trọng, phân
tích được vai trò và thực trạng của ứng dụng CNTT trong dạy học môn Toán
và phát triển năng lực chứng minh cho HS, đưa ra một số biện pháp, khuyến

nghị nhằm nâng cao thực trạng. Các thực nghiệm cho thấy tính thiết thực của
việc ứng dụng CNTT và cho thấy HS rất thích thú khi được học các nội dung
Toán học đặc biệt là chứng minh hình học bằng các phần mềm vẽ hình.
Tuy nhiên vẫn có thể thấy được một số hạn chế nhất định như sau: đa
số các đề tài đều có phạm vi nghiên cứu ở bậc THPT; nghiên cứu ứng dụng
phần mềm cho cả đại số, giải tích, hình học trong một đề tài nên có phần chưa
đầy đủ cho từng nội dung; sau một vài năm các chức năng phần mềm, thực
trạng nghiên cứu không được cập nhật đã có phần lỗi thời, không còn tính
thời sự, ứng dụng cao; các đề tài về phần mềm GeoGebra chưa nhiều và đặc
biệt ứng dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học chứng minh hình học THCS
còn hạn chế.
Vì vậy trong khuôn khổ luận văn này tôi muốn dựa trên những cơ sở lí
luận về dạy học chứng minh và ứng dụng CNTT trong dạy học môn Toán để
xây dựng một số tình huống dạy học ứng dụng phần mềm GeoGebra trong
dạy học nhằm góp phần nâng cao khả năng học tập nội dung chứng minh hình
học của HS THCS.
1.2. Dạy học chứng minh hình học
1.2.1. Khái niệm chứng minh Toán học
Khái niệm chứng minh Toán học được nhiều nhà nghiên cứu định
nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Theo Nguyễn Bá Kim [8]: “Trong Toán
học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn

9


mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu là đúng đắn”.
Có nghĩa một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng
trong mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng
minh nhưng được chấp nhận được gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã
được chứng minh thường được gọi là định lí, khi định lí đã được chứng minh

thì nó có thể dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác. Tùy từng
trường hợp định lí cũng có thể được gọi là bổ đề, hệ quả hay các bài tập thực
ra cũng được coi là định lí.
Như vậy ta có thể hiểu: Chứng minh Toán học là quá trình suy luận
tổng hợp xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là tiên đề,
định nghĩa, định lí đã được chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần
chứng minh) và nhờ các quy tắc lôgíc để dẫn đến một kết luận đúng.
1.2.2. Các phép chứng minh Toán học
Theo Hứa Thuần Phỏng [11], trong Toán học ta có các phép chứng
minh như sau:
a) Phép chứng minh diễn dịch: Phép chứng minh diễn dịch là phép
chứng minh được dựa trên những tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) và
các quy tắc suy luận (được gọi là các luận chứng) để suy ra điều phải chứng
minh (được gọi là các luận đề). Trong phép chứng minh diễn dịch ta có thể
chia thành hai loại: phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minh gián tiếp.
– Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa trên các
luận cứ, qui tắc suy luận Toán học để rút ra luận đề. Cơ sở của chứng minh
trực tiếp là các quy tắc suy luận, người chứng minh có thể sử dụng phương
pháp phân tích từ kết luận đi ngược lên giả thiết (phân tích đi lên) hay tổng
hợp từ những giả thiết mà suy ra kết quả.
Phép chứng minh trực tiếp có ưu điểm nổi bật là trình bày bài gọn
gàng, chặt chẽ, có hệ thống. Do đó phép chứng minh này thường được sử
dụng để trình bày chứng minh hầu hết các Định lí trong (SGK) hoặc trình bày

10


lời giải một bài toán nói chung. Tuy nhiên xét về phương diện sư phạm phép
chứng minh này thường thiếu tự nhiên vì HS không hiểu lí do vì sao (tìm ở
đâu ra, tại sao phải đi tìm) lại có thể tìm ra luận cứ đầu tiên để chứng minh.

Để khắc phục nhược điểm này đòi hỏi trong quá trình chứng minh GV thường
xuyên sử dụng phương pháp phân tích đi lên giúp HS tìm ra lời giải. Vì vậy
áp dụng CNTT đặc biệt là các PMDH vào giảng dạy sẽ tăng hiệu quả giúp HS
biết được phải chứng minh từ đâu, chứng minh cái gì.
– Phép chứng minh gián tiếp (Chứng minh phản chứng): Trong một số
trường hợp để chứng minh mệnh đề A  B là đúng nếu ta chứng minh trực
tiếp thì sẽ gặp khó khăn. Khi đó thay vì chứng minh A  B ta có thể chứng
minh mệnh đề B  A là đúng. Muốn vậy ta có thể giả thiết phản chứng
mệnh đề B là sai tức là B là đúng, từ đó suy ra điều này mâu thuẩn với giả
thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết. Điều đó chứng tỏ giả
thiết phản chứng là sai. Vậy kết luận B đúng (theo luật mâu thuẫn).
b) Chứng minh quy nạp: Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp
là một phương pháp chứng minh thường gặp trong Toán học. Nội dung của
phương pháp này được mô tả như sau:
Giả sử ta phải chứng minh rằng mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số
tự nhiên n, với n a, trong đó a là số tự nhiên cho trước.
Ta sẽ tiến hành theo các bước như sau:
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = a.
Bước 2: Giả sử mệnh đề vẫn đúng với n = k (k  a) nào đó. Ta sẽ đi
chứng minh tiếp rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n  a.
Cơ sở lí luận của phương pháp là:
Theo bước 1: Mệnh đề P(n) đúng với n = a
Theo bước 2: Ta có P(a) đúng  P(a+1) đúng

11


P(a+1) đúng  P(a+2) đúng
…

Phép suy luận sẽ đúng liên tục như vậy, nên P(n) đúng  n  a.
1.2.3. Các bước chứng minh hình học
Cũng như trình tự giải một bài toán thông thường theo 4 bước của
G.Polya, quy trình chứng minh một bài toán hay định lí hình học nói chung
cũng thường trải qua các bước sau đây:
Bước 1: Phân tích giả thiết chứng minh và vẽ hình.
Phân tích giả thiết là công việc quan trọng trong giải quyết một bài
toán, ở đó GV cần giúp HS tìm hiểu đề bài và chú ý gợi đông cơ, khơi gợi trí
tò mò, hứng thú cho các em. Ngoài ra cần giúp HS nắm vững mọi khái niệm
đề cập trong bài toán, nắm được giả thiết và kết luận của bài toán. Dựa vào
giả thiết đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán. Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được
đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn và còn có tác dụng gợi ý cho việc tìm
ra các giải pháp, cách giải quyết vấn đề vì vậy cần lưu ý khi vẽ hình chú ý
đảm bảo các tính chất hình học.
Bước 2: Phát hiện kết quả chứng minh và tìm cách chứng minh.
Việc tìm tòi phát hiện kết quả chứng minh là một bước thú vị trong
chứng minh một vấn đề. Trong quá trình nghiên cứu giả thiết bài toán qua các
trường hợp HS phát hiện có một số yếu tố không thay đổi dù ta di chuyển các
đối tượng trong hình. Từ đó HS nhận ra vấn đề cần được chứng minh và có
thể tìm ra cách giải quyết vấn đề đó nếu kết hợp được các nội dung kiến thức
đã học vào hình vẽ. Đó chính là hướng đi để chứng minh một bài toán hình
học. Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh
chóng hướng giải bài toán vì vậy việc hướng dẫn của GV trong giai đoạn làm
quen với hoạt động chứng minh rất quan trọng. Trong khi tìm tòi lời giải bài
toán chứng minh hình học nếu không biết phải bắt đầu từ đâu thì ta thường sử
dụng sơ đồ phân tích đi lên để tìm hướng giải quyết.

12

Bước 3: Trình bày cách chứng minh.
Sau khi HS đã tìm được kết quả chứng minh và nắm được phương pháp
giải cần trình bày lời giải chính xác, mạch lạc, gọn gàng. Cần lưu ý cho HS
trình tự trình bày bài chứng minh có thể khác với trình tự tìm lời giải, vì quá
trình tìm lời giải là quá trình phân tích còn quá trình trình bày bài giải là quá
trình tổng hợp các kết quả đã phân tích.
Bước 4: Kiểm tra kết quả và mở rộng.
Cuối cùng để hoàn thành quá trình chứng minh cần kiểm tra lại các
bước chứng minh, kết quả chứng minh tránh trường hợp ngộ nhận trong
chứng minh. Để kiểm tra một cách khách quan và chính xác cần phải tránh
các trường hợp hình đặc biệt, tốt nhất nên xem xét dưới nhiều trường hợp
khác nhau. Ngoài ra có thể mở rộng kết quả bài toán bằng cách thay đổi một
vài yếu tố của giả thiết để xem kết quả có còn đúng hay không.
Những nội dung trên đây là các bước thường được sử dụng trong chứng
minh hình học, quá trình HS thực hiện các bước này cần được GV sát sao
hướng dẫn ngay từ những bài học đầu tiên tiếp cận với hoạt động chứng minh
hình học, nên sử dụng các PMDH hỗ trợ để minh họa các nội dung dạy học
cho HS dễ hình dung.
1.2.4. Phân bậc trong dạy học chứng minh
Trong quá trình dạy học chứng minh tùy theo mức độ nhận thức của
HS mà GV có thể tổ chức hoạt động theo các mức độ khác nhau với mục đích
cuối cùng vẫn là giúp HS nắm được kết quả chứng minh, biết sử dụng các
định lí đã biết trình bày chứng minh Toán học. Dựa vào căn cứ phân bậc hoạt
động của Nguyễn Bá Kim [8] tôi đưa ra đề xuất phân bậc hoạt động trong dạy
học chứng minh như sau:
Cấp độ 1: Hiểu nội dung chứng minh.
Cấp độ này áp dụng khi dạy học chứng minh cho HS mới làm quen với
chứng minh Toán học, cần hiểu trình tự một bài chứng minh Toán học hoặc

13

các HS trung bình không có năng lực để phát hiện hay tự mình thực hiện một
bài chứng minh. Khi đó các hoạt động của GV xoay quanh tổ chức cho HS
tham gia vào việc đọc hiểu một bài chứng minh, giải thích lí do của các bước
lập luận, sắp xếp thứ tự của một bài chứng minh từ đó cải thiện cho HS tư duy
lôgíc, phương pháp trình bày cũng như kĩ năng chứng minh Toán học dần dần
giúp HS tiếp cận được với cấp độ cao hơn.
Cấp độ 2: Tìm tòi chứng minh dưới sự dẫn dắt của GV.
Việc dẫn dắt và tìm tòi chứng minh dưới sự hướng dẫn của GV là bậc
cao hơn của việc hiểu nội dung, thường được sử dụng với các đối tượng HS
khá sau khi các em đã nắm được các nội dung cơ bản của chứng minh. GV
dẫn dắt HS lần lượt qua các hoạt động mà ở đó HS tự mình tìm ra đáp án sau
đó dần dần ghép lại thành kết quả chứng minh. Qua các hoạt động của giáo
viên, HS không chỉ tìm ra kết quả mà còn hình thành trong đầu các suy luận
từ đó có thể sắp xếp lại thành một bài chứng minh Toán học như các em đã
được làm ở cấp độ 1.
Cấp độ 3: Độc lập chứng minh.
Đây là cấp độ cao nhất trong hoạt động chứng minh của HS khi mà HS
tự mình lên kế hoạch từng bước khai thác giả thiết, liên hệ các đơn vị kiến
thức liên quan, tổ chức suy luận để tìm ra cách chứng minh của vấn đề. Vai
trò của GV ở đây là tạo động cơ chứng minh cho HS và sau quá trình chứng
minh của HS cần kiểm tra lại các bước chứng minh cũng như mở rộng thêm
bài toán kích thích tư duy chứng minh của HS. Với mức độ vận dụng cao như
vậy thì đối tượng cấp độ hướng đến là HS Khá – Giỏi có năng lực suy luận,
thiết kế hoạt động chứng minh.
Các cấp độ trên chỉ mang tính chất thao khảo, khi vận dụng vào thực tế
giảng dạy tùy vào đặc thù đối tượng HS từng lớp GV cần linh hoạt vận dụng
các cấp độ, thay đổi phương thức hoạt động cho phù hợp. Quan trọng vẫn là

14


tạo được hứng thú cho HS đối với việc chứng minh và rèn luyện khả năng suy
luận, kĩ năng chứng minh cho HS.
1.2.5. Hình học trực quan và hình học suy diễn
“Hình học trực quan” và “Hình học suy diễn” là hai cách tiếp cận trong
hình học. Cụ thể hơn, theo Lê Thị Hoài Châu [3]: Trong cách tiếp cận hình
học trực quan, các kiến thức hình học thu được là kết quả trực tiếp của việc
quan sát vẽ hình, các mô hình và các hoạt động thực hành như đo đạc, tô vẽ,
cắt ghép, gấp xếp hình. Còn cách tiếp cận hình học suy diễn các kết quả hình
học được chứng minh nhờ các định nghĩa, tính chất đã có trên cơ sở một hệ
tiên đề và một số khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Hai cách tiếp cận của
hình học là trực quan và suy diễn này tương ứng với hai quan điểm dạy học
hình học là “Quan điểm thực nghiệm” và “Quan điểm tiên đề”.
Theo quan điểm thực nghiệm, ta cho học sinh thiết lập các tính chất
hình học trên cơ sở quan sát, đo đạc, cắt ghép hình. Những SGK theo xu
hướng này hình thành các khái niệm và tính chất hình học theo tiến trình quan
sát – thực nghiệm – mô tả – khái quát hóa. Yêu cầu chủ yếu của dạy học hình
học, nhất là đối với bậc THCS là luyện tập sử dụng các dụng cụ đo quen
thuộc để vẽ hình, đo đạc rồi quan sát và mô tả hình, qua đó hiểu và vận dụng
được các khái niệm, rút ra một số tính chất của hình. Trong quan điểm này ta
chú trọng suy luận quy nạp, thực hành, thí nghiệm trên hình vẽ, cắt ghép hình,
xếp hình, đo đạc qua đó “phát hiện” các định lý (hầu hết các định lý không
được chứng minh bằng suy diễn)
Khác với quan điểm thực nghiệm, quan điểm tiên đề lại chú trọng việc
trình bày kiến thức theo một hệ thống lôgíc chặt chẽ trên cơ sở một hệ tiên đề
được trình bày tường minh. Ở đây người ta đặt ra yêu cầu cao cho học sinh về
khả năng suy luận diễn dịch. Quan điểm này cho rằng sau giai đoạn học sinh
đã nghiên cứu hình học bằng thực nghiệm cần phải chuyển sang khoa học suy

diễn, tuy nhiên cần phù hợp với đối tượng học sinh không được quá hình thức

15


và trừu tượng. Tức là cần phải có quá trình chuyển giao giữa hai quan điểm,
hình thức này của hình học.
“Lập luận trong hình học rất phong phú vì trước hết nó dựa trên việc
quan sát hình vẽ, xây dựng phỏng đoán, xem xét có phê phán phỏng đoán vừa
được hình thành và cuối cùng là tìm một sự hợp thức có tính thuyết phục bằng
cách chứng minh. Đây là một quá trình có mối liên hệ giữa trực quan và tính
chặt chẽ của lập luận thường xuyên được duy trì”. Theo đó hình học trực quan
và hình học suy diễn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, muốn HS phát triển
năng lực suy luận chứng minh hình học thì không thể bỏ qua hình học trực
quan mà phải tạo ra các tình huống học tập trong đó xây dựng các mô hình để
chính học sinh tự mình phát hiện ra các kết quả của chứng minh, kiểm chứng
lại phát hiện và nhận thức được tính cần thiết của việc chứng minh.
1.3. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học
1.3.1. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học
Ứng dụng CNTT trong dạy và học nhằm hỗ trợ cho người học tiếp thu
kiến thức một cách nhanh chóng, hiệu quả. Với các công nghệ đang ngày
càng tiên tiến hiện nay, CNTT có thể đảm nhận những vai trò quan trọng
trong hoạt động dạy và học giúp nâng cao chất lượng giáo dụng trong nhà
trường, góp phần tạo ra một môi trường học tập tích cực giúp người học phát
huy tối đa các phẩm chất, kĩ năng. Nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử
(MTĐT) mà người dạy và học có thể ứng dụng CNTT để xây dựng các giả
thiết đồng thời tự mình kiểm nghiệm các giả thiết, qua đó nâng cao khả năng
tự học, tự hoạt động của HS. Ngoài ra CNTT còn là công cụ để giáo viên triển
khai các ý tưởng sư phạm của mình cho phần dẫn nhập kiến thức từ đó giúp
học sinh khắc sâu kiến thức mới, biết vận dụng kiến thức trong nhiều tình

huống.
Tóm lại CNTT hỗ trợ thay đổi phương thức học tập, giúp giáo viên xây
dựng một môi trường dạy học hiệu quả theo đúng ý đồ sư phạm, nâng cao

16


tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp hoạt động giáo dục diễn ra mọi
lúc mọi nơi cả trong và ngoài nhà trường góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục.
1.3.2. Hình thức ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán
Hai tác giả Sue Johnston Wilder và David Pimm [19] đã đưa ra 5 hình
thức chính ứng dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học
Toán, cụ thể là:
– Học tập dựa trên thông tin ngược: MTĐT có khả năng khai thác
nhanh và chính xác các thông tin phản hồi cho phép người học đưa ra dự đoán
của mình và từ đó có thể thử nghiệm, thay đổi để kiểm chứng dự đoán.
– Thao tác với các mô hình ảo: Với khả năng và tốc độ xử lý của
MTĐT người dạy có thể đưa ra nhiều ví dụ, tình huống giúp người học khám
phá nhiều khía cạnh của một vấn đề trong Toán học. So với các phương tiện
đồ dùng dạy học truyền thống thì MTĐT có khả năng thể hiện các đối tượng
Toán học theo nhiều chiều, nhiều phương diện giúp GV trình bày các vấn đề
Toán học rõ ràng, sinh động và khám phá những vấn đề phức tạp trong cuộc
sống để cô đọng lại những gì tinh tế, sâu sắc rồi kết nối chúng lại xây dựng
thành các mô hình Toán học.
– Khai thác các phần mềm Toán học động: Trong quá trình học Toán,
GV có thể sử dụng, hướng dẫn HS sử dụng các phần mềm Toán học động
biểu diễn các biểu đồ, hình vẽ một cách sinh động. Với các phần mềm hỗ trợ,
chỉ cần một vài thao tác đơn giản HS có thể có được hình ảnh về đối tượng
cần nghiên cứu dưới các góc độ khác nhau, thậm chí có thể cho một vài yếu tố

của đối tượng Toán học biến đổi liên tục một cách tự động. Nhờ đó HS hình
dung ra các tính chất hình học một cách trực quan trên cơ sở hình ảnh được
máy tính mô tả. Việc cho thay đổi một vài đối tượng hình học và cho phép
quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại giúp người học phát hiện sự

17